Hypotéza Kontinua

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-11-26 16:14

Vstupná navigácia

• Obsah vstupu
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Náhľad priateľov PDF
• Informácie o autorovi a citácii
• Späť na začiatok

Hypotéza kontinua

Prvýkrát zverejnené 22. mája 2013

Hypotézy kontinua (CH) sú jedným z najdôležitejších otvorených problémov v teórii množín, ktorý je dôležitý z matematických aj filozofických dôvodov.

Problém skutočne vznikol s narodením teórie množín; v skutočnosti to v mnohých ohľadoch stimulovalo vznik teórie množín. V roku 1874 Cantor ukázal, že existuje prirodzená korešpondencia medzi prirodzenými číslami a algebraickými číslami. Prekvapivejšie ukázal, že medzi prirodzenými číslami a skutočnými číslami neexistuje žiadna vzájomná korešpondencia. Berúc do úvahy existenciu dvojstrannej korešpondencie ako kritéria pre prípad, kedy majú dva súbory rovnakú veľkosť (niečo, čo určite urobil do roku 1878), tento výsledok ukazuje, že existuje viac ako jedna úroveň nekonečna, a tak sa rodili vyššie nekonečné v matematike. Cantor sa okamžite pokúsil zistiť, či existujú nejaké nekonečné množiny reálnych čísel, ktoré boli strednej veľkosti, to znamená,či existuje nekonečná množina reálnych čísel, ktoré sa nedajú dať do vzájomnej korešpondencie s prirodzenými číslami a nedajú sa dať do vzájomnej korešpondencie so skutočnými číslami. Hypotéza kontinua (pod jednou formuláciou) je jednoducho tvrdením, že takáto množina reálnych čísel neexistuje. To bolo jeho pokusom dokázať túto hypotézu, ktorá viedla Cantora k tomu, aby rozvinul teóriu množín do sofistikovaného odvetvia matematiky.^[1]

Napriek jeho úsiliu Cantor nedokázal vyriešiť CH. Problém trval a bol považovaný za tak dôležitý tým, Hilbert, že ho prvýkrát uvedený na jeho slávnom zozname otvorených problémov, ktoré majú byť s ktorými sa stretávajú v 20 ^th storočia. Hilbert sa tiež snažil vyriešiť CH, opäť bez úspechu. Tento nedostatok pokroku bol nakoniec vysvetlený kombinovanými výsledkami Gödela a Cohena, ktoré spolu ukázali, že CH nemožno vyriešiť na základe axiómov, ktoré matematici zamestnávajú; v modernom zmysle je CH nezávislá od teórie množín Zermelo-Fraenkel rozšírenej o Axiom of Choice (ZFC).

Tento výsledok nezávislosti rýchlo nasledovalo mnoho ďalších. Techniky nezávislosti boli natoľko silné, že teoretici sa čoskoro ocitli v obavách meta-teoretického podnikania dokazujúceho, že určité základné výroky nemožno v rámci ZFC dokázať alebo vyvrátiť. Potom vyvstala otázka, či existujú spôsoby, ako urovnať nezávislé vyhlásenia. Komunita matematikov a filozofov matematiky bola v tejto otázke do značnej miery rozdelená. Pluralisti (ako Cohen) tvrdili, že výsledky nezávislosti účinne vyriešili otázku tým, že ukázali, že na ňu neodpovedali. Z tohto pohľadu by bolo možné prijať systém, v ktoromhovoria, že CH bol axióm a bolo možné prijať systém, v ktorom ¬CH bol axióm a to bol koniec veci - niet pochýb o tom, ktoré z dvoch nekompatibilných rozšírení bolo „správne“. Pluralisti (ako Gödel) sa domnievali, že výsledky nezávislosti iba naznačujú nedostatok našich prostriedkov na ohraničenie matematickej pravdy. Z tohto pohľadu boli potrebné nové axiómy, axiómy, ktoré sú pre túto úlohu dostatočné a dostatočné. Gödel v skutočnosti išiel ďalej pri navrhovaní kandidátov na nové axiómy - veľké kardinálne axiómy - a predpokladal, že sa vysporiadajú s CH. Gödel v skutočnosti išiel ďalej pri navrhovaní kandidátov na nové axiómy - veľké kardinálne axiómy - a predpokladal, že sa vysporiadajú s CH. Gödel v skutočnosti išiel ďalej pri navrhovaní kandidátov na nové axiómy - veľké kardinálne axiómy - a predpokladal, že sa vysporiadajú s CH.

Gödelov program veľkých kardinálnych axiómov sa ukázal byť mimoriadne úspešný. V priebehu nasledujúcich 30 rokov sa ukázalo, že veľké kardinálne axiómy riešia mnoho otázok, ktoré sa v období nezávislosti ukázali ako nezávislé. CH však zostal nedotknutý. Situácia sa ukázala byť dosť ironická, pretože nakoniec sa ukázalo (v istom zmysle, ktorý je možné spresniť), že hoci štandardné veľké kardinálne axiómy skutočne riešia všetky otázky zložitosti striktne pod otázkou CH, nemôžu (vďaka výsledkom Levy a Solovay a iní) sa sami vyrovnajú s CH. Pri výbere CH ako testovacieho prípadu pre jeho program teda Gödel položil prst presne na miesto, kde zlyhal. Z tohto dôvodu hrá CH naďalej hlavnú úlohu pri hľadaní nových axiómov.

V tejto časti uvádzame prehľad hlavných prístupov k vysporiadaniu s CH a diskutujeme o niektorých hlavných základných rámcoch, ktoré tvrdia, že CH nemá odpoveď. Táto téma je veľká a my sme museli obetovať úplnú komplexnosť v dvoch dimenziách. Po prvé, neboli sme schopní diskutovať o hlavných filozofických problémoch, ktoré ležia v pozadí. Preto je čitateľ nasmerovaný na záznam „Veľkí kardináli a determinácia“, ktorý obsahuje všeobecnú diskusiu o výsledkoch nezávislosti, povahe axiómov, povahe odôvodnenia a úspechoch veľkých kardinálnych axiómov v ríši „pod CH“., Po druhé, neboli sme schopní diskutovať o každom prístupe k CH, ktorý je uvedený v literatúre. Namiesto toho sme sa obmedzili na tie prístupy, ktoré sa javia ako najsľubnejšie z filozofického hľadiska a kde sa matematika vyvinula do dostatočne pokročilého stavu. V prístupoch budeme diskutovať o axiómoch nútiacich sily, teórii vnútorného modelu, kvázi veľkých kardinálov - matematika bola v priebehu 40 rokov stlačená do veľmi pokročilého štádia. A to nám trochu sťažilo našu úlohu. Snažili sme sa, aby bola diskusia čo najprístupnejšia a do koncových poznámok sme vložili ďalšie technické prvky. Čitateľ by však mal mať na pamäti, že predkladáme pohľad z vtáčej perspektívy a že pre vyššie rozlíšenie by mal čitateľ ponoriť do navrhovaných údajov, ktoré sa objavujú na konci každej časti. V prístupoch budeme diskutovať o axiómoch nútiacich sily, teórii vnútorného modelu, kvázi veľkých kardinálov - matematika bola v priebehu 40 rokov stlačená do veľmi pokročilého štádia. A to nám trochu sťažilo našu úlohu. Snažili sme sa, aby bola diskusia čo najprístupnejšia a do koncových poznámok sme vložili ďalšie technické prvky. Čitateľ by však mal mať na pamäti, že predkladáme pohľad z vtáčej perspektívy a že pre vyššie rozlíšenie by mal čitateľ ponoriť do navrhovaných údajov, ktoré sa objavujú na konci každej časti. V prístupoch budeme diskutovať o axiómoch nútiacich sily, teórii vnútorného modelu, kvázi veľkých kardinálov - matematika bola v priebehu 40 rokov stlačená do veľmi pokročilého štádia. A to nám trochu sťažilo našu úlohu. Snažili sme sa, aby bola diskusia čo najprístupnejšia a do koncových poznámok sme vložili ďalšie technické prvky. Čitateľ by však mal mať na pamäti, že predkladáme pohľad z vtáčej perspektívy a že pre vyššie rozlíšenie by mal čitateľ ponoriť do navrhovaných údajov, ktoré sa objavujú na konci každej časti. Snažili sme sa, aby bola diskusia čo najprístupnejšia a do koncových poznámok sme vložili ďalšie technické prvky. Čitateľ by však mal mať na pamäti, že predkladáme pohľad z vtáčej perspektívy a že pre vyššie rozlíšenie by mal čitateľ ponoriť do navrhovaných údajov, ktoré sa objavujú na konci každej časti. Snažili sme sa, aby bola diskusia čo najprístupnejšia a do koncových poznámok sme vložili ďalšie technické prvky. Čitateľ by však mal mať na pamäti, že predkladáme pohľad z vtáčej perspektívy a že pre vyššie rozlíšenie by mal čitateľ ponoriť do navrhovaných údajov, ktoré sa objavujú na konci každej časti.^[2]

V skutočnosti existujú dva druhy prístupov k novým axiómom - miestny prístup a globálny prístup. Pri lokálnom prístupe sa hľadajú axiómy, ktoré odpovedajú na otázky týkajúce sa špecifického fragmentu vesmíru, ako je _{Vω + 1} alebo _{Vω + 2}, kde CH leží. Pri globálnom prístupe sa hľadajú axiómy, ktoré sa snažia osvetľovať celú štruktúru vesmíru množín. Globálny prístup je jednoznačne oveľa náročnejší. V tomto článku začneme miestnym prístupom a nakoniec sa krátko dotkneme globálneho prístupu.

Tu je prehľad záznamu: Oddiel 1 skúma výsledky nezávislosti v kardinálnych aritmetických postupoch, ktoré sa vzťahujú tak na bežných kardinálov (kde CH leží), ako aj na jednotlivých kardinálov. Oddiel 2 sa zaoberá prístupmi k CH, pri ktorých sa postupne overuje hierarchia aproximácií s CH, z ktorých každý predstavuje „účinnú“verziu CH. Tento prístup viedol k pozoruhodnému objavu Woodina, že je možné (v prítomnosti veľkých kardinálov) mať účinné zlyhanie CH, čo ukazuje, že účinné zlyhanie CH je nevyliečiteľné (vzhľadom na veľké kardiálne axiómy) ako CH sám. Oddiel 3 pokračuje vývojom, ktorý vyplynul z tohto objavu. Ústredným bodom diskusie je objavenie „kanonického“modelu, pri ktorom zlyháva CH. To tvorilo základ siete výsledkov, ktorú Woodin kolektívne predstavil ako dôvod zlyhania CH. Pre predstavenie tohto prípadu v najefektívnejšej podobe predstavujeme silnú logiku Ω-logiku. Oddiel 4 preberá konkurenčný základný názor, že riešenie CH neexistuje. Tento pohľad je nabrúsený z hľadiska všeobecnej viacsvetovej koncepcie pravdy a tento pohľad je potom skúmaný. Oddiel 5 pokračuje v posudzovaní prípadu pre ¬CH vyšetrovaním súbežného prípadu pre CH. V zostávajúcich dvoch oddieloch sa zameriavame na globálny prístup k novým axiómom a tu budeme omnoho stručnejší. Časť 6 pojednáva o prístupe prostredníctvom teórie vnútorného modelu. Časť 7 pojednáva o prístupe prostredníctvom kvázi veľkých kardinálnych axiómov. Pre predstavenie tohto prípadu v najefektívnejšej podobe predstavujeme silnú logiku Ω-logiku. Oddiel 4 preberá konkurenčný základný názor, že riešenie CH neexistuje. Tento pohľad je nabrúsený z hľadiska všeobecnej viacsvetovej koncepcie pravdy a tento pohľad je potom skúmaný. Oddiel 5 pokračuje v posudzovaní prípadu pre ¬CH vyšetrovaním súbežného prípadu pre CH. V zostávajúcich dvoch oddieloch sa zameriavame na globálny prístup k novým axiómom a tu budeme omnoho stručnejší. Časť 6 pojednáva o prístupe prostredníctvom teórie vnútorného modelu. Časť 7 pojednáva o prístupe prostredníctvom kvázi veľkých kardinálnych axiómov. Pre predstavenie tohto prípadu v najefektívnejšej podobe predstavujeme silnú logiku Ω-logiku. Oddiel 4 preberá konkurenčný základný názor, že riešenie CH neexistuje. Tento pohľad je nabrúsený z hľadiska všeobecnej viacsvetovej koncepcie pravdy a tento pohľad je potom skúmaný. Oddiel 5 pokračuje v posudzovaní prípadu pre ¬CH vyšetrovaním súbežného prípadu pre CH. V zostávajúcich dvoch oddieloch sa zameriavame na globálny prístup k novým axiómom a tu budeme omnoho stručnejší. Časť 6 pojednáva o prístupe prostredníctvom teórie vnútorného modelu. Časť 7 pojednáva o prístupe prostredníctvom kvázi veľkých kardinálnych axiómov. Oddiel 5 pokračuje v posudzovaní prípadu pre ¬CH vyšetrovaním súbežného prípadu pre CH. V zostávajúcich dvoch oddieloch sa zameriavame na globálny prístup k novým axiómom a tu budeme omnoho stručnejší. Časť 6 pojednáva o prístupe prostredníctvom teórie vnútorného modelu. Časť 7 pojednáva o prístupe prostredníctvom kvázi veľkých kardinálnych axiómov. Oddiel 5 pokračuje v posudzovaní prípadu pre ¬CH vyšetrovaním súbežného prípadu pre CH. V zostávajúcich dvoch oddieloch sa zameriavame na globálny prístup k novým axiómom a tu budeme omnoho stručnejší. Časť 6 pojednáva o prístupe prostredníctvom teórie vnútorného modelu. Časť 7 pojednáva o prístupe prostredníctvom kvázi veľkých kardinálnych axiómov.

• 1 Nezávislosť v kardinálnej aritmetike

  • 1.1 Pravidelní kardináli
  • 1.2 Nezávislí kardináli

• 2 Definovateľné verzie hypotézy kontinua a jej negácia

  • 2.1 Tri verzie
  • 2.2 Program Foreman-Magidor

• 3 Prípad pre ¬CH

  • _Max. 3,1 ℙ
  • 3.2 Ω-Logic
  • 3.3 Prípad

• 4 Multiverse

  • 4.1 Široké pohľady na rôzne oblasti
  • 4.2 Všeobecný multiverse
  • 4.3 Koncentrácia Ω a generický multiverse
  • 4.4 Existuje východisko?

• 5 Miestny prípad bol obnovený

  • 5.1 Prípad pre ¬CH
  • 5.2 Súbežný prípad CH
  • 5.3 Hodnotenie
• 6 Konečný vnútorný model
• 7 Teória štruktúry L (V _{λ + 1})
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Ďalšie internetové zdroje
• Súvisiace záznamy

1. Nezávislosť v kardinálnej aritmetike

V tejto časti sa budeme zaoberať výsledkami nezávislosti v kardinálnej aritmetike. Najprv sa budeme zaoberať prípadom pravidelných kardinálov, kde CH leží a kde je v kontexte ZFC stanovené len veľmi málo. Po druhé, v záujme komplexnosti sa budeme venovať prípadu jednotlivých kardinálov, kde je možné v kontexte ZFC ustanoviť omnoho viac.

1.1 Pravidelní kardináli

Sčítanie a množenie nekonečných kardinálov je triviálne: Pre nekonečné kardinály κ a λ,

K + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

Situácia sa stáva zaujímavou, keď sa človek obráti k exponentiácii a pokusu vypočítať κ ^λ pre nekonečných kardinálov.

Počas úsvitu teórie množín Cantor ukázal, že za každého kardinála κ,

2 ^k > κ.

Nie je žiadne tajomstvo o veľkosti 2 ⁿ pre konečné n. Prvou prirodzenou otázkou je, kde sa 2 ^{ℵ ₀} nachádza v hierarchii alefov: Je ℵ ₁, ℵ ₂,…, ℵ ₁₇ alebo niečo oveľa väčšie?

Kardinál 2 ^{ℵ ₀} je dôležitý, pretože je to veľkosť kontinua (množina reálnych čísel). Cantorova známa hypotéza kontinua (CH) je tvrdením, že 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁. To je zvláštny prípad hypotézy všeobecného kontinua (GCH), ktorá tvrdí, že pre všetkých a, 2 ^{ℵ _alfa} = ℵ _{alfa + 1}. Jednou z výhod GCH je, že poskytuje úplné riešenie problému výpočtu κ ^λ pre nekonečných kardinálov: Za predpokladu, že GCH, ak κ ≤ λ, potom κ ^λ = λ ⁺; ak cf (k) ≤ λ ≤ κ, potom κ ^λ = κ ⁺; a ak λ <cf (κ), potom κ ^λ = κ.

Veľmi malý pokrok sa dosiahol v prípade CH a GCH. V skutočnosti, na začiatku éry teórie množín, bol jediným ďalším krokom, ktorý prekročil Cantorov výsledok, že 2 ^κ > κ (a triviálny výsledok, že ak κ ≤ λ, potom 2 ^κ ≤ 2 ^λ) bol Königov výsledok, že cf (2 ^κ) > κ. Vysvetlenie nedostatku pokroku sa dosiahlo na základe výsledkov nezávislosti v teórii množín:

Veta 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).

Predpokladajme, že ZFC je konzistentný. Potom sú ZFC + CH a ZFC + GCH konzistentné.

Na preukázanie toho Gödel vynašiel metódu vnútorných modelov - ukázal, že CH a GCH držali v minimálnom vnútornom modeli L ZFC. Cohen potom doplnil tento výsledok:

Veta 1.2 (Cohen 1963).

Predpokladajme, že ZFC je konzistentný. Potom sú ZFC + ¬CH a ZFC + ¬GCH konzistentné.

Urobil to vymyslením metódy vonkajších modelov a preukázaním, že CH zlyhalo v generickom rozšírení ^VB z V. Kombinované výsledky podľa Gödela a Cohena teda ukazujú, že za predpokladu konzistencie ZFC je v zásade nemožné vyrovnať CH alebo GCH v ZFC.

Na jeseň roku 1963 Easton dokončil obraz tým, že pre nekonečné pravidelné kardinály κ sú jedinou prekážkou vo funkcii κ ↦ 2 ^κ, ktorá sa dá preukázať v ZFC, triviálne obmedzenie a výsledky Cantora a Königa:

Veta 1.3 (Easton 1963).

Predpokladajme, že ZFC je konzistentný. Predpokladajme, že F je (definovateľná trieda) funkcia definovaná na nekonečných bežných kardinálov tak, že

1. ak ≤ λ λ, potom F (κ) ≤ F (λ),
2. F (K)> K a
3. cf (F (K))> K.

Potom ZFC + „Pre všetky nekonečné kardinály κ, 2 ^κ = F (κ)“je konzistentné.

Teoretici súboru tak posunuli kardinálnu aritmetiku bežných kardinálov, pokiaľ to bolo možné, v rámci hraníc ZFC.

1.2 Nezávislí kardináli

Prípad kardinálnej aritmetiky na jednotlivých kardinálov je omnoho jemnejší. Kvôli úplnosti sa pred tým, ako budeme pokračovať v hypotéze kontinua, krátko prediskutujeme toto.

Všeobecne sa verilo, že tak ako v prípade bežných kardinálov, správanie funkcie K 2 ^κ by bolo v rámci nastavenia ZFC relatívne neobmedzené. Ale potom Silver preukázal tento pozoruhodný výsledok: ^[3]

Veta 1.4 (Silver 1974).

Ak je ℵ _δ jedinečný kardinál nezodpovedateľnej koinality, potom, ak GCH drží pod ℵ _δ, potom GCH drží na ℵ _δ.

Ukazuje sa, že (vďaka hlbokému výsledku Magidora, uverejneného v roku 1977) môže GCH najprv zlyhať pri ℵ _ω (za predpokladu konzistencie kardinála superkompaktu). Silverova veta ukazuje, že nemôže najprv zlyhať pri ℵ _{ω 1, a to je preukázateľné v ZFC.}

To vyvoláva otázku, či je možné „kontrolovať“veľkosť 2 ^{ℵ _δ} pri slabšom predpoklade, že ℵ _δ je jedinečný kardinál nespočetnej koinality, takže GCH je pod ℵ _δ. Prirodzenou hypotézou je, že ℵ _δ je jedinečný kardinál nespočetnej kofinality, ktorý je silným limitným kardinálom, to znamená, že pre všetky α <ℵ _δ, 2 ^α <ℵ _δ. V roku 1975 Galvin a Hajnal preukázali (okrem iného), že podľa tohto slabšieho predpokladu existuje skutočne určitá hranica:

Veta 1.5 (Galvin a Hajnal 1975).

Ak je ℵ _δ jedinečným silným limitujúcim kardinálom nespočetnej náhodnosti

2 ^{ℵ _δ} <ℵ _{(| 5 | ^{cf (5)}) ⁺}.

Je možné, že dôjde ku skoku, Woodin ukázal (opäť za predpokladu veľkých kardinálov), že je možné, že pre všetky κ, 2 ^κ = κ ⁺⁺. Z vyššie uvedenej vety vyplýva, že v ZFC existuje preukázateľná hranica toho, aký veľký môže byť skok.

Ďalšou otázkou je, či prevláda podobná situácia s jedinečnými kardinálmi spočívajúcimi v počitateľnosti. V roku 1978 Shelah ukázal, že to tak skutočne je. Ak chceme opraviť nápady, sústredme sa na ℵ _ω.

Veta 1.6 (Shelah 1978).

Ak ℵ _ω je kardinál silného limitu, potom

2 ^{ℵ _omega} <ℵ _{(2 ^{ℵ 0}) ⁺}.

Jednou nevýhodou tohto výsledku je, že hranica je citlivá na skutočnú veľkosť 2 ^{ℵ ₀}, čo môže byť čokoľvek pod ℵ _ω. Je pozoruhodné, že Shelah to neskôr dokázal napraviť vývojom svojej teórie pcf (možné kofinality). Jedným veľmi citovateľným výsledkom tejto teórie je:

Veta 1.7 (Shelah 1982).

Ak ℵ _ω je kardinál s pevným limitom, potom (bez ohľadu na veľkosť 2 ^{ℵ ₀})

2 ^{ℵ _omega} <ℵ _{omega 4.}

Stručne povedané, hoci funkcia kontinua u bežných kardinálov je v ZFC relatívne neobmedzená, funkcia kontinua u jednotlivých kardinálov je (preukázateľne v ZFC) významne obmedzená chovaním funkcie kontinua u menších kardinálov.

Ďalšie čítanie: Viac kardinálnej aritmetiky nájdete v Jech (2003). Viac informácií o teórii singulárnych kardinálov a pcf nájdete v Abraham & Magidor (2010) a Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Definovateľné verzie hypotézy kontinua a jej negácia

Vráťme sa k funkcii kontinua na bežných kardinálov a ^{sústredme sa} na najjednoduchší prípad, veľkosť 2 ^{ℵ ₀}. Jedným z pôvodných Cantorových prístupov k CH bolo skúmanie „jednoduchých“množín reálnych čísel (pozri Hallett (1984), s. 3–5 a §2.3 (b)). Jedným z prvých výsledkov v tomto smere je Cantor-Bendixsonova veta o tom, že každá nekonečná uzavretá množina je buď spočítateľná, alebo obsahuje perfektnú podmnožinu, v tomto prípade má rovnakú kardinálnosť ako množina reálov. Inými slovami, CH platí (v tejto formulácii), keď človek obmedzuje svoju pozornosť na uzavreté súbory skutočností. Všeobecne platí, že otázky týkajúce sa „definovateľných“množín realít sú lepšie sledovateľné ako otázky týkajúce sa ľubovoľných množín realít, čo naznačuje, že sa treba pozerať na definovateľné verzie hypotézy kontinua.

2.1 Tri verzie

Existujú tri rôzne formulácie hypotézy kontinua - interplantačná verzia, dobre usporiadaná verzia a verzia injekcie. Všetky tieto verzie sú v ZFC navzájom rovnocenné, ale uvalíme obmedziteľnosť, a v tomto prípade môžu existovať zaujímavé rozdiely (naša diskusia nasleduje Martin (1976)). V skutočnosti existuje hierarchia pojmov definovateľnosti siahajúcich od Borelskej hierarchie, projektívnej hierarchie, hierarchie v L (ℝ) a všeobecnejšie hierarchie univerzálne Baireových množín - a tak každá z týchto troch všeobecných verzií je skutočne hierarchia verzií, z ktorých každá zodpovedá určitej úrovni hierarchie definovateľnosti (pre diskusiu o hierarchii definovateľnosti pozri §2.2.1 a §4.6 záznamu „Veľkí kardináli a determinácia“).

2.1.1 Interpolančná verzia

Prvá formulácia CH je, že neexistuje interplantácia, to znamená, že neexistuje nekonečná množina A skutočných čísel, takže kardinálnosť A je striktne medzi prirodzenými číslami a skutočnými číslami. Na získanie definovateľných verzií sa jednoducho tvrdí, že neexistuje „definovateľný“interpolant, čo vedie k hierarchii definovateľných interpolančných verzií v závislosti od toho, ktorý pojem definovateľnosti človek používa. Presnejšie povedané, pre danú bodovú triedu Γ v hierarchii definovateľných množín nehnuteľností zodpovedajúca definovateľná interplantačná verzia CH tvrdí, že interplantácia nie je v Γ.

Cantor-Bendixsonova veta ukazuje, že v prípade, že the je bodová trieda uzavretých množín, neexistuje interplantácia, čím sa overuje táto verzia CH. Vylepšil to Suslin, ktorý ukázal, že táto verzia CH platí pre Γ kde Γ je trieda Σ̰11 sád. V ZFC nie je možné ísť ďalej, aby sme dokázali silnejšie verzie, musíme priniesť silnejšie predpoklady. Ukazuje sa, že to dosiahnu axiómy definovateľnej determinácie a veľké kardinálne axiómy. Napríklad výsledky Kechris a Martin ukazujú, že ak Δ̰1 n -determinacy platí, potom táto verzia CH platí pre bodovú triedu n1n + 1. Ak ideme ďalej, ak predpokladáme AD ^{L (ℝ)}potom táto verzia CH platí pre všetky množiny reálnych čísel, ktoré sa objavujú v L (ℝ). Pretože tieto hypotézy vyplývajú z veľkých kardinálnych axiómov, existuje tiež to, že silnejšie a silnejšie veľké kardinálne predpoklady zaisťujú silnejšie a silnejšie verzie tejto verzie efektívnej hypotézy kontinua. Veľké kardinálne axiómy v skutočnosti znamenajú, že táto verzia CH platí pre všetky skupiny skutočností v hierarchii definovateľnosti, ktorú zvažujeme; presnejšie, ak existuje správna trieda kardinálov Woodina, potom táto verzia CH platí pre všetky univerzálne súbory Baire.

2.1.2 Prehľadná verzia

Druhá formulácia CH tvrdí, že každé usporiadanie nehnuteľností má typ poriadku menej ako ℵ ₂. Pre danú bodovú triedu Γ v hierarchii zodpovedajúca definovateľná dobre usporiadaná verzia CH tvrdí, že každé správne usporiadanie (kódované sadou) v Γ má typ objednávky menší ako ℵ ₂.

Aj axiómy definovateľnej determinácie a veľké kardinálne axiómy naznačujú túto verziu CH pre bohatšie predstavy o definovateľnosti. Napríklad, ak platí AD ^{L (ℝ),} potom táto verzia CH platí pre všetky množiny reálnych čísel v L (ℝ). A ak existuje správna trieda kardinálov Woodina, potom táto verzia CH platí pre všetky univerzálne súbory Baire.

2.1.3 Verzia injekcie

Tretia verzia formulácie CH tvrdí, že neexistuje žiadny odhad ρ: ℝ → ℵ ₂, alebo rovnocenne, že nedochádza k predbežnému zavedeniu ℝ dĺžky ℵ ₂. Pre danú bodovú triedu Γ v hierarchii definovateľnosti zodpovedajúca verzia verzie CH s výrokom tvrdí, že neexistuje žiadny výrok ρ: ℝ → ℵ ₂ taký, že (kód pre) ρ je v Γ.

Tu je situácia zaujímavejšia. Axiómy definovateľnej determinácie a veľké kardinálne axiómy majú vplyv na túto verziu, pretože kladú hranice pre to, ako dlho môžu byť definované predsudky. Nech δ̰1 n je supremum dĺžok Σ̰1 n-vývrtkov reálov a nech Θ ^{L (ℝ)} je supremum dĺžok predkontrolerov reálov, kde je prewellordering definovateľný v zmysle bytia v L (ℝ). Je to klasický výsledok, ktorý δ̰11 = ℵ ₁. Martin ukázal, že δ̰12 ≤ ℵ ₂ a že ak existuje merateľný kardinál, potom δ̰13 ≤ ℵ ₃. Kunen a Martin tiež ukázali v PD, 8 ~ 14 ≤ and ₄ a Jackson ukázal, že v PD pre každé n <co, ô̰1 n <ℵ _ω, Teda za predpokladu, že existuje nekonečne veľa kardinálov Woodina, tieto hranice platia. Hranice navyše zostávajú zachované bez ohľadu na veľkosť 2 ^{ℵ ₀}. Samozrejme je otázkou, či sa tieto hranice môžu vylepšiť, aby sa preukázalo, že predbežné kontroly sú kratšie ako ℵ ₂. V roku 1986 Foreman a Magidor iniciovali program na jeho vytvorenie. Vo všeobecnejšej podobe chceli ukázať, že veľké kardinálne axiómy naznačujú, že táto verzia CH sa týkala všetkých univerzálnych Baireov reálov.

2.1.4 Potenciálne ložisko na CH

Všimnite si, že v kontexte ZFC sú všetky tieto tri hierarchie verzií CH po sebe idúce aproximácie CH a v limitnom prípade, kde Γ je bodová trieda všetkých množín nehnuteľností, sú rovnocenné s CH. Otázkou je, či tieto aproximácie môžu poskytnúť akýkoľvek pohľad na samotný CH.

Martin poukázal na asymetriu, a to, že definovateľný príklad pre CH je skutočným príkladom, pričom bez ohľadu na to, ako ďaleko človek postupuje pri overovaní definovateľných verzií CH v žiadnom štádiu, sa sám dotkne CH. Inými slovami, prístup definovateľnosti mohol vyvrátiť CH, ale nemohol to dokázať.

Napriek tomu by sa dalo tvrdiť, že hoci prístup definovateľnosti nemohol dokázať CH, mohol by pre to poskytnúť určité dôkazy. V prípade prvých dvoch verzií vieme, že CH platí pre všetky definované sady. Poskytuje to dôkaz o CH? Martin zdôraznil (predtým ako boli známe úplné výsledky), že je to veľmi pochybné, pretože v jednom prípade sa jedná o atypické súbory. Napríklad v prvej verzii sa v každej fáze zaistí definovateľná verzia CH ukázaním, že všetky sady v triede definovateľnosti majú dokonalú množinu vlastností; napriek tomu sú takéto sady atypické v tom prípade, že za predpokladu, že je AC, je ľahké preukázať, že existujú sady bez tejto vlastnosti. V druhej verzii jedna v skutočnosti ukazuje nielen to, že každé usporiadanie nehnuteľností v triede definovateľnosti má typ objednávky menší ako ℵ _2., ale tiež to, že má typ objednávky menej ako ℵ ₁. Ani jedna z týchto verzií teda skutočne neosvetľuje CH.

Tretia verzia má v tomto ohľade výhodu, pretože nie všetky súpravy, s ktorými sa zaoberá, sú atypické. Napríklad, zatiaľ čo všetky sady 11 majú dĺžku menšiu ako ₁, existuje 11 súprav dĺžky ₁. Samozrejme by sa mohlo ukázať, že aj keby mal program Foreman-Magidor uspieť, súbory by sa mohli ukázať ako atypické v inom zmysle, v takom prípade by to vrhlo málo svetla na CH. Zaujímavejšie však je, že na rozdiel od prvých dvoch verzií by to skutočne poskytovalo skutočný príklad pre CH. To by si, samozrejme, vyžadovalo zlyhanie programu Foreman-Magidor.

2.2 Program Foreman-Magidor

Cieľom programu Foreman-Magidor bolo ukázať, že veľké kardinálne axiómy tiež naznačujú, že tretia verzia CH sa konala pre všetky súbory v L (ℝ) a všeobecnejšie pre všetky univerzálne Baireove súbory. Inými slovami, cieľom bolo ukázať, že veľké kardinálne axiómy naznačujú, že Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ a všeobecnejšie, že Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ pre každú univerzálnu Baireovu množinu A.

Motivácia prišla z oslavovaných výsledkov Foremana, Magidora a Šelaha na Martinovo maximum (MM), ktoré ukázali, že za predpokladu veľkých kardinálnych axiómov je možné vždy prinútiť získať zrazený ideál na ℵ ₂ bez zrútenia ℵ ₂ (pozri Foreman, Magidor & Shelah) (1988)). Program zahŕňal dvojdielnu stratégiu:

1. Posilnite tento výsledok, aby ste ukázali, že za predpokladu veľkých kardinálnych axiómov je možné vždy prinútiť získať saturovaný ideál na ℵ ₂ bez zrútenia ℵ ₂.
2. Ukážte, že existencia takého nasýteného ideálu znamená, že Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ a všeobecnejšie, že Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ pre každú univerzálne Baire množinu A.

To by ukázalo, že to ukazuje, že Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ a všeobecnejšie, že that ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ pre každú univerzálnu sadu Baire. ^[4]

V decembri 1991 nasledujúci výsledok prerušil nádeje tohto programu.

Veta 2.1 (Woodin).

Predpokladajme, že nestacionárny ideál ℵ ₁ je nasýtený a že existuje merateľný kardinál. Potom δ̰12 = ℵ ₂.

Ide o to, že hypotéza tejto vety môže byť vždy vynútená za predpokladu veľkých kardinálov. Je teda možné mať Θ ^{L (ℝ)} > ℵ ₂ (v skutočnosti δ̰13> ℵ ₂).

Kde sa program pokazil? Foreman a Magidor mali priblíženie k (B) a nakoniec sa ukázalo, že (B) je pravda.

Veta 2.2 (Woodin).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov a že je nasýtený ideál ℵ ₂. Potom pre každý A ∈ Γ ^∞, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂.

Problém je teda s (A).

To ilustruje zaujímavý kontrast medzi našimi tromi verziami efektívnej hypotézy kontinua, konkrétne, že sa môžu rozpadnúť. Zatiaľ čo veľkí kardináli vylučujú definované protiklady prvých dvoch druhov, nemôžu vylúčiť definovateľné protiklady tretieho druhu. Musíme však opäť zdôrazniť, že nemôžu dokázať, že takéto protiklady existujú.

Je tu však dôležitý bod: Za predpokladu veľkých kardinálnych axiómov (AD ^{L (ℝ)} postačuje), hoci je možné vyrobiť vonkajšie modely, v ktorých δ̰13> ℵ ₂, v súčasnosti nie je známe, ako vyrábať vonkajšie modely, v ktorých δ̰13> ℵ ₃ alebo dokonca Θ ^{L (ℝ)} > ℵ ₃. Je teda otvorenou možnosťou, že zo ZFC + AD ^{L (ℝ)} je možné dokázať Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₃. Keby to tak bolo, znamenalo by to, že hoci veľkí kardináli nemôžu vylúčiť definitívne zlyhanie CH, môžu vylúčiť definitívne zlyhanie 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂, To by mohlo poskytnúť určitý pohľad na veľkosť kontinua a zdôrazniť centrálnosť ℵ ₂.

Ďalšie čítanie: Viac o troch účinných verziách CH pozri Martin (1976); pre viac informácií o programe Foreman-Magidor pozri Foreman & Magidor (1995) a úvod do Woodina (1999).

3. Prípad pre ¬CH

Vyššie uvedené výsledky viedli Woodina k identifikácii „kanonického“modelu, v ktorom CH zlyhá, a to tvorilo základ jeho argumentu, že CH je nepravdivý. V časti 3.1 opíšeme model a vo zvyšnej časti ukážeme prípad zlyhania CH. V časti 3.2 predstavíme Ω-logiku a ďalšie pojmy potrebné na vytvorenie prípadu. V časti 3.3 predstavíme prípad.

_Max. 3,1 ℙ

Cieľom je nájsť model, v ktorom je CH nepravdivý a ktorý je kanonický v tom zmysle, že jeho teória sa nemôže zmeniť stanovením sily v prítomnosti veľkých kardinálov. Základná motivácia je táto: Po prvé, vieme, že v prítomnosti veľkých kardinálnych axiómov je teória aritmetiky druhého rádu a dokonca celá teória L (ℝ) invariantná v rámci nastaveného nútenia. Dôležitosť tohto je, že to dokazuje, že naše hlavné techniky nezávislosti nemožno použiť na preukázanie nezávislosti otázok o aritmetike druhého poriadku (alebo o L (ℝ)) v prítomnosti veľkých kardinálov. Po druhé,Skúsenosti ukázali, že sa zdá, že dané veľké kardinálne axiómy odpovedajú na všetky hlavné známe otvorené problémy týkajúce sa aritmetiky druhého rádu a L (ℝ) a vety o vynútení invariancie dávajú presný obsah tvrdeniu, že tieto axiómy sú „efektívne úplné“.,^[5]

Z toho vyplýva, že ak ℙ je nejaký homogénny čiastkový poriadok v L (ℝ), potom generické rozšírenie L (ℝ) ^ℙ zdedí generickú absolútnosť L (ℝ). Woodin zistil, že existuje veľmi špeciálna čiastková objednávka ℙ _max, ktorá má túto funkciu. Navyše, model L (ℝ) ^{ℙ _max} spĺňa ZFC + ¬CH. Kľúčovou črtou tohto modelu je to, že je „maximálny“(alebo „nasýtený“) vo vzťahu k vetám, ktoré majú určitú zložitosť a ktoré sa dajú preukázať ako konzistentné prostredníctvom vynútenia daného modelu; inými slovami, ak tieto vety môžu vydržať (nastavením sily na model), potom sa držia modelu. Aby sme to presnejšie uviedli, musíme zaviesť niekoľko skôr technických pojmov.

Existujú dva spôsoby vrstvenia vesmíru súprav. Prvý je vyjadrený ako ⟨V _α | α ∈ Na⟩ je druhá hodnota vyjadrená ako ⟨H (k) | κ ∈ Card⟩, kde H (κ) je množina všetkých skupín, ktoré majú kardináliu menšiu ako κ a ktorých členovia majú kardináliu menšiu ako κ, a ktorých členovia majú menšiu kardinálnosť ako κ, atď. Napríklad H (ω) = V _ω a teórie štruktúr H (ω ₁) a V _{ω + 1}sú vzájomne interpretovateľné. Táto posledná štruktúra je štruktúra aritmetických rádov druhého poriadku a, ako bolo uvedené vyššie, veľké kardinálne axiómy nám poskytujú „efektívne úplné“porozumenie tejto štruktúry. Mali by sme byť v rovnakej pozícii, pokiaľ ide o väčšie a väčšie fragmenty vesmíru a otázkou je, či by sme mali postupovať v zmysle prvej alebo druhej stratifikácie.

Druhá stratifikácia je potenciálne jemnejšia. Za predpokladu, že jeden CH má, že teória H (čo ₂) a V _{ω + 2} sú vzájomne interpretovateľné a za predpokladu, že stále väčšie a väčšie fragmenty GCH táto korešpondencia pokračuje smerom nahor. Ale ak je CH false štruktúra H (ω ₂) je menej bohatá než štruktúra V _{Sout 2. V tomto prípade druhá štruktúra zachytáva úplnú aritmetiku tretieho rádu, zatiaľ čo prvá zachytáva iba malý zlomok aritmetiky tretieho poriadku, napriek tomu je dosť bohatá na vyjadrenie CH. Vzhľadom na to je pri pokusoch o pochopenie vesmíru množín spracovaním cez jednotlivé úrovne účelné použiť potenciálne jemnejšiu stratifikáciu.}

Naším ďalším krokom je teda pochopiteľné H (Q ₂). V skutočnosti sa ukazuje, že budeme schopní porozumieť o niečo viac, a to je trochu technické. Budeme sa zaoberá konštrukciou ⟨H (čo ₂), ∈, I _N, A ^G ⟩ ⊧ φ, kde som _NS je nestacionárne ideálny na? ₁ a A ^G je výklad (kánonické reprezentácia) množina skutočností A v L (ℝ). Podrobnosti nebudú dôležité a od čitateľa sa vyžaduje, aby premýšľal o H (ω ₂) spolu s niektorými „ďalšími vecami“a nestaral sa o podrobnosti týkajúce sa ďalších vecí. ^[6]

Teraz sme schopní uviesť hlavný výsledok:

Veta 3.1 (Woodin 1999).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) a φ je Π _2- veta (v rozšírenom jazyku s dvoma ďalšími predikátmi) a existuje množina vynútenia rozšírenia V [G] tak, že

⟨H (ω ₂), ∈, I _N, A ^G ⟩ ⊧ φ

(kde A ^G je interpretácia A vo V [G]). potom

L (ℝ) ^{ℙ _max} ⊧ "⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A⟩ ⊧ φ".

Existujú dva kľúčové body: Po prvé, teória L (ℝ) ^{ℙ _max} je „efektívne úplná“v tom zmysle, že je nemenná v rámci nastaveného nútenia. Po druhé, model L (ℝ) ^{ℙ _max} je „maximálny“(alebo „nasýtený“) v tom zmysle, že spĺňa všetky Π _2- vety (o príslušnej štruktúre), ktoré môžu obsahovať (v tom zmysle, že môžu byť zobrazené) aby boli konzistentné stanovením sily modelu.

Človek by sa chcel naučiť teóriu tejto štruktúry axiomatizáciou. Príslušná axiom je nasledujúci:

Definícia 3.2 (Woodin 1999).

Axióm (*): AD ^{L (ℝ)} drží a L (P (ω ₁)) je ℙ _max -generic predĺženie L (ℝ).

Nakoniec sa tento axiom vyrovnáva s CH:

Veta 3.3 (Woodin 1999).

Predpokladajme (∗). Potom 2 ^ω = ℵ ₂.

3.2 Ω-Logic

Vyššie uvedené výsledky teraz prepracujeme z hľadiska silnej logiky. V plnej miere využijeme veľké kardinálne axiómy av tomto prostredí nás zaujímajú logiky, ktoré sa „správajú dobre“v tom zmysle, že otázka, čo naznačuje, čo nie je radikálne nezávislé. Napríklad je dobre známe, že CH je vyjadriteľná úplnou logikou druhého poriadku. Z toho vyplýva, že v prítomnosti veľkých kardinálov je možné vždy použiť množinu nútených na preklopenie pravdy o hodnote údajnej logickej platnosti úplnej logiky druhého poriadku. Existujú však silné logiky - ako ω-logic a β-logic -, ktoré nemajú túto vlastnosť - správajú sa v tom zmysle, že v prítomnosti veľkých kardinálnych axiómov otázka, čo naznačuje, čo sa nedá zmeniť súborom nútiť. Zavedieme veľmi silnú logiku, ktorá má túto funkciu-Ω-logiku. V skutočnosti,logiku, ktorú uvedieme, možno charakterizovať ako najsilnejšiu logiku s touto funkciou (pozri Koellner (2010) pre ďalšiu diskusiu o silnej logike a pre presné vyjadrenie tohto výsledku).

3.2.1 Ω-logika

Definícia 3.4.

Predpokladajme, že T je počítateľná teória v jazyku teórie množín a φ je veta. potom

T ⊧ _Ω φ

ak pre všetky úplné booleovské algebry B a pre všetky ordinály α,

ak VB α ⊧ T, potom VB α ⊧ φ.

Hovoríme, že vyhlásenie φ je Ω- uspokojivé, ak existuje ordinálna α a úplná booleovská algebra B tak, že VB α ⊧ φ, a hovoríme, že φ je Ω- platné, ak ∅ ⊧ _Ω φ. Vyššie uvedená veta teda hovorí, že (podľa našich základných predpokladov) je vyhlásenie „φ vyhovujúce Ω“vo všeobecnosti nemenné a pokiaľ ide o platnosť Ω, je to jednoducho toto:

Veta 3.5 (Woodin 1999).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že T je počítateľná teória v jazyku teórie množín a φ je veta. Potom pre všetky kompletné booleovské algebry B,

T ⊧ _Ω φ iff V ^B ⊧ „T ⊧ _Ω φ.“

Táto logika je teda robustná v tom, že otázka, čo znamená, čo je invariantné v rámci stanoveného nútenia.

3.2.2

Zodpovedajúce sémantickému vzťahu ⊧ _Ω existuje kvázi-syntaktický vzťahový vzťah ⊢ _Ω. „Dôkazy“sú určité robustné súbory reálov (všeobecne sady Baire realít) a testovacie štruktúry sú modely, ktoré sú pod týmito dôkazmi „uzavreté“. Presné pojmy „uzavretie“a „dôkaz“sú do istej miery technické, a preto ich mlčky odovzdáme. ^[7]

Rovnako ako sémantický vzťah, aj tento kvázi-syntaktický dôkazový vzťah je robustný za veľkých kardinálnych predpokladov:

Veta 3.6 (Woodin 1999).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že T je spočítateľná teória v jazyku teórie množín, φ je veta a B je úplná booleovská algebra. potom

T ⊢ _Ω φ iff V ^B ⊧ „T ⊢ _Ω φ“.

Máme teda vzťah sémantických dôsledkov a vzťah kvázi syntaktického dôkazu, ktoré sú robustné za predpokladu veľkých kardinálnych axiómov. Je prirodzené sa pýtať, či pre tieto vzťahy platia vety o spoľahlivosti a úplnosti. Je známe, že veta o zvuku je:

Veta 3.7 (Woodin 1999).

Predpokladajme ZFC. Predpokladajme, že T je počítateľná teória v jazyku teórie množín a φ je veta. Ak T ⊢ _Ω φ, potom T ⊧ _Ω φ.

Je otvorené, či platí príslušná veta o úplnosti. Argument Ω je jednoducho tvrdenie, že:

Predpoklad 3,8 (odhad Q).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Potom pre každú vetu φ,

∅ ⊧ _Ω φ iff ∅ ⊢ _Ω φ.

Budeme potrebovať silnú formu tejto domnienky, ktorú budeme nazývať silná domnienka Ω. Je to trochu technické, a tak to prejdeme mlčky. ^[8]

3.2.3 Kompletné teórie Ω

Pripomeňme, že jednou z kľúčových cností veľkých kardinálnych axiómov je to, že „efektívne usadzujú“teóriu aritmetiky druhého poriadku (a v skutočnosti teóriu L (ℝ) a viac) v tom zmysle, že v prítomnosti veľkých kardinálov jeden nemôže použiť metódu stanovenia sily na vytvorenie nezávislosti, pokiaľ ide o vyhlásenia o L (ℝ). Tento pojem invencie v rámci stanoveného výkonu zohral v oddiele 3.1 kľúčovú úlohu. Teraz môžeme preformulovať tento pojem z hľadiska Ω-logiky.

Definícia 3.9.

Teória T je Ω - úplná pre súbor viet Γ, ak pre každú φ ∈ Γ, T ⊧ _Ω φ alebo T ⊧ _Ω ¬φ.

Invázia teórie L (ℝ) v rámci stanovenej sily môže byť teraz preformulovaná takto:

Veta 3.10 (Woodin 1999).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Potom je ZFC Ω -kompletný na zbieranie viet v tvare „L (ℝ) ⊧ φ“.

Bohužiaľ, zo série výsledkov, ktoré vyplynuli z práce Levyho a Solovaya, bohužiaľ vyplýva, že tradičné veľké kardinálne axiómy neprinášajú Ω-úplné teórie na úrovni Σ21, pretože človek môže vždy použiť „malú“(a teda veľkú kardinálnu konzerváciu) nútenie zmeniť skutočnú hodnotu CH.

Veta 3.11.

Predpokladajme, že L je štandardná veľká kardinálna axióma. Potom ZFC + L nie je Ω -kompletný pre Σ21.

3.3 Prípad

Ak však niekto doplní veľké kardinálne axiómy, prichádzajú teórie teórie Ω. Toto je ústredný bod prípadu proti CH.

Veta 3.12 (Woodin).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov a že platí domnienka Strong Ω.

1. Existuje taká axióma A

   1. ZFC + A je Ω-uspokojivý a
   2. ZFC + A je Ω -kompletných pre štruktúru H (ω ₂).

2. Každá takáto axióma A má tú vlastnosť, že

   ZFC + A ⊧ _W 'H (ω ₂) ⊧ ¬CH'.

Preformulujme to takto: Pre každú A spĺňajúcu (1), nech

T = {φ | ZFC + A ⊧ _W 'H (ω ₂) ⊧ ¬φ'}.

Veta hovorí, že ak existuje správna trieda Woodinových kardinálov a drží sa Ω predpoklad, potom existujú (netriviálne) Ω-úplné teórie T _A H (ω ₂) a všetky také teórie obsahujú ¬CH.

Je prirodzené sa pýtať, či existuje väčšia zhoda medzi omega-kompletné teória T _A. V ideálnom prípade by existoval iba jeden. Posledný výsledok (vychádzajúci z teórie 5.5) ukazuje, že ak existuje jedna takáto teória, existuje veľa takýchto teórií.

Veta 3.13 (Koellner a Woodin, 2009).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov. Predpokladajme, že A je axióm taký

i. ZFC + A je Ω-uspokojivý a

ii. ZFC + A je Ω -kompletných pre štruktúru H (ω ₂).

Potom existuje axiom B taký

i '. ZFC + B je Ω-uspokojivý a

ii '. ZFC + B je Ω -kompletných pre štruktúru H (ω ₂)

a T ≠ T _B.

Ako si potom človek vyberie z týchto teórií? Woodinova práca v tejto oblasti značne presahuje teorém 5.1. Okrem izolácie axiómu, ktorý spĺňa (1) vety 5.1 (za predpokladu splniteľnosti Ω), izoluje aj taký špeciálny axióm, konkrétne axióm (∗) („hviezda“), ktorý bol uvedený vyššie.

Táto axióma môže byť vyjadrená ako (predpokladateľnosť) Ω-logiky:

Veta 3.14 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Potom sú ekvivalentné:

1. (∗).

2. Pre každú Π _2- vetu φ v jazyku štruktúry

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

   ak

   ZFC + ⟨H (ω ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

   je teda Ω-konzistentný

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Z toho vyplýva, že z rôznych teórií T zapojených do Vety 5.1, je tam jeden, ktorý vyniká: Teória T _(*) daný (*). Táto teória maximalizuje n ₂ -Teorie štruktúry ⟨H (čo ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Hypotéza kontinua v tejto teórii zlyhá. Navyše, v maximálnej teórii T _(∗) danej (∗) je veľkosť kontinua ℵ ₂. ^[9]

Zhrnutie: Za predpokladu, že silné Ohmov domnienok, je "dobrý" teórie H (ω ₂), a všetky tieto teórie vyplýva, že CH zlyhá. Okrem toho (opäť za predpokladu silného Ω dohadu) existuje maximálna takáto teória av tejto teórii 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

Ďalšie čítanie: O matematike týkajúcej sa ℙ _max pozri Woodin (1999). Úvod k Ω-logike pozri Bagaria, Castells & Larson (2006). Viac informácií o nekompatibilných teóriách s úplným Ω pozri Koellner & Woodin (2009). Viac o prípade proti CH pozri Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Multiverse

Vyššie uvedený prípad zlyhania CH je najsilnejším známym miestnym prípadom pre axiómy, ktoré vyrovnávajú CH. V tejto a ďalšej časti sa budeme venovať stránkam a budeme brať do úvahy pluralistické argumenty, podľa ktorých nemá CH (v tejto časti) odpoveď a že je rovnako dobrý prípad pre CH (v nasledujúcej časti). V záverečnej časti budeme skúmať optimistické globálne scenáre, ktoré poskytujú nádej na vyriešenie problému.

Pluralista tvrdí, že výsledky nezávislosti účinne riešia nerozhodnuté otázky tým, že preukazujú, že na ne nemajú žiadnu odpoveď. Jedným zo spôsobov, ako zabezpečiť takýto základný rámec, je multivesmír. Z tohto pohľadu nejestvuje ani jeden vesmír teórie množín, ale skôr multivesmír legitímnych kandidátov, z ktorých niektoré môžu byť na určité účely výhodnejšie ako iné, ale žiadny z nich nemožno považovať za „pravý“vesmír. Viacúrovňová koncepcia pravdy je názor, že tvrdenie o teórii množín možno považovať za pravého zjednodušovateľa, iba ak je pravdivé vo všetkých vesmíroch multivesmíru. Na účely tejto diskusie povieme, že vyhlásenie je neurčité podľa multivesmírovej koncepcie, ak nie je ani pravdivé, ani nepravdivé podľa multivesmírovej koncepcie. Aká radikálna je takáto predstava, závisí od šírky koncepcie multivesmíru.

4.1 Široké pohľady na rôzne oblasti

Pluralista je vo všeobecnosti nepluralistický v určitých oblastiach matematiky. Napríklad, prísny finitista môže byť nepluralistický o PA, ale pluralista o teórii množín a jeden môže byť nepluralistický o ZFC a pluralista o veľkých kardinálnych axiómoch a výrokoch, ako je CH.

Existuje určitá forma radikálneho pluralizmu, ktorá obhajuje pluralizmus vo všetkých oblastiach matematiky. Z tohto pohľadu je každá konzistentná teória legitímnym kandidátom a zodpovedajúce modely takýchto teórií sú legitímnymi kandidátmi na oblasť matematiky. Nazvime to najširší viacúčelový pohľad. Je ťažké formulovať tento názor, ktorý môže byť uvedený nasledovne: Na začiatok je potrebné zvoliť teóriu pozadia, v ktorej sa budú diskutovať o rôznych modeloch, čo vedie k ťažkostiam. Napríklad podľa všeobecnej koncepcie multivesmíru, pretože PA nemôže preukázať Con (PA) (podľa druhej vety o neúplnosti, za predpokladu, že PA je konzistentná), existujú modely PA + ¬Con (PA) a tieto modely sú legitímnymi kandidátmi, že je to, že sú to vesmíry v rámci širokého multivesmíru. Teraz, aby sme dospeli k tomuto záveru, musí byť (v teórii pozadia) dokázané preukázať Con (PA) (pretože tento predpoklad je potrebný na uplatnenie druhej vety o neúplnosti v tomto konkrétnom prípade). Z hľadiska teórie pozadia, ktorá sa používa na tvrdenie, že vyššie uvedené modely sú legitímnymi kandidátmi, teda uvedené modely spĺňajú falošnú vetu s hodnotou 0,01, a to (Con (PA). Stručne povedané, chýba to súlad medzi tým, čo sa koná na úrovni meta a tým, čo sa drží na úrovni objektu. Stručne povedané, chýba to súlad medzi tým, čo sa koná na úrovni meta a tým, čo sa drží na úrovni objektu. Stručne povedané, chýba to súlad medzi tým, čo sa koná na úrovni meta a tým, čo sa drží na úrovni objektu.

Jediným spôsobom, ako sa z tejto ťažkosti vynoriť, by sa zdalo, že každé hľadisko - každé vyjadrenie viacsvetovej koncepcie - je predbežné a ak je stlačené, zahŕňa pluralitu v súvislosti s teóriou pozadia. Inými slovami, človek by musel prijať multivesmírové poňatie multivesmíru, multiverse poňatie multiverse poňatia multivesmíru, a tak ďalej, až do nekonečna. Z toho vyplýva, že takúto pozíciu nemožno nikdy úplne vyjadriť - zakaždým, keď sa niekto pokúša artikulovať širokospektrálnu koncepciu, musí sa použiť teória pozadia, ale keďže jeden je pluralistom tejto teórie pozadia, ktorú tento prístup používa pri vyjadrovaní koncepcie širokého multivesmíru nerobia koncepciu úplnej spravodlivosti. Poloha je preto ťažké vyjadriť. Určite je možné zaujať pluralistické stanovisko a pokúsiť sa prejaviť alebo prejaviť názor, ktorý má v úmysle dočasne sa vysporiadať s konkrétnou teóriou pozadia, ale potom, keď je tlačený, obhajovať pluralitu. Pohľad je teda niečo ako „pohyblivý cieľ“. Tento názor mlčíme a sústredíme sa na názory, ktoré je možné vyjadriť v základnom rámci.

V súlade s tým sa pozrieme na názory, ktoré zahŕňajú pluralitu s ohľadom na daný úsek matematiky az dôvodov vesmíru, a pretože je to vstup do teórie množín, prejdeme cez dlhé diskusie týkajúce sa prísneho finitizmu, finitizmu, prediktivizmu a začatia s názormi, ktoré sa týkajú plurality, pokiaľ ide o ZFC.

Nech je široký multiverse (založený na ZFC) zbierkou všetkých modelov ZFC. Široká mnohostranná koncepcia pravdy (založená na ZFC) je potom jednoducho názorom, že tvrdenie o teórii množín je skutočne zjednodušujúce, ak je preukázateľné v ZFC. Z tohto pohľadu sú výrok Con (ZFC) a ďalšie nerozhodnuté výroky01 klasifikované ako neurčité. Tento pohľad teda čelí ťažkostiam paralelným s vyššie uvedeným problémom týkajúcim sa radikálneho pluralizmu.

Toto motivuje posun k názorom, ktoré zužujú triedu vesmíru vo viacsvete pomocou silnej logiky. Napríklad, jeden sa môže obmedziť na vesmíry, ktoré sú ω-modely, β-modely (tj dobre zdôvodnené), atď. Na pohľade, kde sa vezme ω-modely, je vyhlásenie Con (ZFC) klasifikované ako pravdivé (hoci je to citlivé) k teórii pozadia), ale vyhlásenie PM (všetky projektívne množiny sú Lebesgueove merateľné) je klasifikované ako neurčité.

Pre tých, ktorí sú presvedčení argumentmi (skúmanými v položke „Veľkí kardináli a determinácia“) pre veľké kardinálne axiómy a axiómy definovateľnej determinácie, sú dokonca aj tieto mnohorozmerné koncepcie príliš slabé. Ideme touto cestou. Do zvyšku tejto časti sa budeme venovať nepluralite, ktorá sa týka veľkých kardinálnych axiómov a axiómov definovateľnej determinácie a zameriame sa na otázku CH.

4.2 Všeobecný multiverse

Motiváciou generického multivesmíru je udelenie prípadu veľkým kardinálnym axiómom a definovateľnej determinácii, ale popierajú, že výroky ako CH majú určujúcu pravdu. Aby sme boli konkrétni o teórii pozadia, vezmime ZFC + „Existuje správna trieda Woodinových kardinálov“a pripomeňme, že tento veľký kardinálny predpoklad zaisťuje axiómy definovateľnej determinácie, ako sú PD a AD ^{L (ℝ)}.

Nech je generický multiverse ? výsledkom uzavretia V pod generickými rozšíreniami a generickými vylepšeniami. Jedným zo spôsobov, ako to formalizovať, je zobrať externý výhodný bod a začať s počitateľným tranzitívnym modelom M. Generický multiverse založený na M je potom najmenšou množinou ? _M tak, že M ∈ ? _M a pre každú dvojicu spočítateľných tranzitívnych modelov (N, N [G]) tak, že N ⊧ ZFC a G ⊆ ℙ je N-generická pre niektoré čiastočné usporiadanie v ℙ ∈ N, ak je buď N alebo N [G] je v ? _M potom N aj N [G], sú v ? _M.

Nech je všeobecná multivesmírová koncepcia pravdy názorom, že tvrdenie je pravda, zjednodušujúci prostriedok, ak je pravdivý vo všetkých vesmíroch generického multiverse. Takýto výrok budeme nazývať všeobecnou viacstrannou pravdou. Tvrdenie sa považuje za neurčité podľa všeobecnej koncepcie multivesmíru, ak podľa všeobecnej koncepcie multiverse nie je ani pravdivé, ani nepravdivé. Napríklad pri poskytovaní našich veľkých kardinálnych predpokladov sa takýto názor považuje za PM (a PD a AD ^{L (ℝ)}) pravdivý, ale považuje ho za neurčitý.

4.3 Koncentrácia Ω a generický multiverse

Je všeobecná viacstranná koncepcia pravdy únosná? Odpoveď na túto otázku úzko súvisí s predmetom Ω-logiky. Základné spojenie medzi generickou viacsvetovou pravdou a Ω-logikou je vyjadrené v nasledujúcej vete:

Veta 4.1 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Potom pre každú Π ₂ -statement cp nasledujúcom texte sú rovnocenné:

1. φ je všeobecná viacstranná pravda.
2. φ je Ω-neplatné.

Teraz si pamätajte, že podľa vety 3.5 je podľa našich základných predpokladov Ω-platnosť všeobecne nemenná. Z toho vyplýva, že vzhľadom na našu teóriu pozadia je pojem všeobecnej viacsmernej pravdy robustný s ohľadom na stat _2- stavy. Najmä v prípade Π ₂ - vyhlásenie „φ je neurčité“je samo osebe určené podľa všeobecnej viacsvetovej koncepcie. V tomto zmysle nie je koncepcia pravdy „sebapodkopávajúca“a nie je poslaná v zostupnej špirále, kde musí človek čeliť mnohorozmerným multivesmírom. Takže prechádza prvým testom. To, či prejde náročnejšou skúškou, závisí od Ω dohady.

Predpoklad Ω má hlboké následky pre všeobecnú viacsvetovú koncepciu pravdy. nechať

? _Ω = {φ | ∅ ⊧ _Ω φ}

a v prípade akýchkoľvek konkrétnych kardinálov κ, let

? _W (H (κ ⁺)) = {φ | ZFC ⊧ _Ω „H (K ⁺) ⊧ φ“},

kde si pripomíname, že H (K ⁺) je zbierka dedičných kardinálií menšia ako K ⁺. Teda za predpokladu, že je ZFC a že existuje správna trieda kardinálov Woodina, množina ? _Ω je Turingova ekvivalentná množine Π ₂ generických viacsvetových právd a množina ? _Ω (H (K ⁺)) je presne sada generických viacsvetových pravdy H (K ⁺).

Aby sme opísali vplyv Ω dohadu na všeobecno-multiversitné chápanie pravdy, zaviedli sme dva transcendentné princípy, ktoré slúžia ako obmedzenia akejkoľvek udržateľnej koncepcie pravdy v teórii množín - obmedzenie pravdy a obmedzenie definovateľnosti.

Definícia 4.2 (Obmedzenie pravdy).

Akákoľvek udržateľná multivesmírová koncepcia pravdy v teórii množín musí byť taká, aby Π _2- pravdy (podľa tejto koncepcie) vo vesmíre množín neboli rekurzívne v pravdách o H (κ) (podľa tejto koncepcie), pre akékoľvek konkrétne kardinál.

Toto obmedzenie je v duchu tých princípov teórie množín, najmä princípov reflexie, ktorých cieľom je zachytiť predheoretickú myšlienku, že vesmír množín je taký bohatý, že ho nemožno „opísať zhora“; presnejšie povedané, že tvrdí, že akákoľvek obhájiteľné poňatie pravdy je potrebné rešpektovať názor, že vesmír sád je tak bohatá, že pravda (alebo dokonca len Π ₂ -truth) nemožno opísať nejakým stanoviteľnú fragmentu. (Všimnite si, že podľa Tarského vety o nedefinovateľnosti pravdy je obmedzenie pravdy triviálne uspokojené štandardným poňatím pravdy v teórii množín, podľa ktorého multivesmír obsahuje jediný prvok, konkrétne V.)

S tým súvisí aj obmedzovanie týkajúce sa definovateľnosti pravdy. Pre konkrétny kardinál κ je množina Y ⊆ ω definovateľná v H (K ⁺) naprieč multiverzou, ak Y je definovateľná v štruktúre H (K ⁺) každého vesmíru multiverse (prípadne vzorcami, ktoré závisia od materského vesmíru),

Definícia 4.3 (Obmedzenie definovateľnosti).

Každý udržateľný multivesmír poňatie pravda v teórii množín, musia byť také, aby Π ₂ -truths (podľa tohto poňatia) vo vesmíre súprav sú definovateľné v H (K) cez multiverza vesmíru, pre akýkoľvek stanoviteľnú kardinála Mitka.

Znovu si všimnite, že podľa Tarského vety o nedefinovateľnosti pravdy je obmedziteľnosť definovateľnosti triviálne splnená degenerovanou multiverseovou koncepciou, ktorá vyžaduje, aby multiverse obsahoval jediný prvok V. (Všimnite si tiež, že ak jeden modifikuje obmedzenie definovateľnosti pridaním požiadavky, aby definícia bola jednotná v rámci viacerých druhov, obmedzenie by sa automaticky splnilo.)

Úvaha Ω dohadu o únosnosti všeobecno-multiverseho koncepcie pravdy je obsiahnutá v nasledujúcich dvoch vetách:

Veta 4.4 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že predpoklad Ω platí. Potom je urs _Ω rekurzívny v ? _Ω (H (δ + 0)), kde δ ₀ je najmenej Woodinov kardinál.

Veta 4.5 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že predpoklad Ω platí. Potom je _{Ω Ω} definovateľné v H (δ + 0), kde δ ₀ je najmenej Woodinov kardinál.

Inými slovami, ak existuje správna trieda Woodinových kardinálov a ak Ω Kontrakt drží, potom generická viacsvetová koncepcia pravdy porušuje tak Pravdivosť (na δ ₀), ako aj Definovateľnosť (δ ₀).

V skutočnosti existujú ostrejšie verzie vyššie uvedených výsledkov, ktoré namiesto H (5 + 0) zahŕňajú H (c ⁺).

Veta 4.6 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že predpoklad Ω platí. Potom je urs _Ω rekurzívny v ? _Ω (H (c ⁺)).

Veta 4,7 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že predpoklad Ω platí a že predpoklad AD ⁺. Potom je defin _Ω definovateľné v H (c ⁺).

Inými slovami, ak existuje správna trieda Woodinových kardinálov a ak Ω Kontrakt drží, potom genericko-multiverzitné poňatie pravdy porušuje Pravdu Obmedzenie na úrovni aritmetiky tretieho poriadku a ak navyše, AD ⁺ Konjekcia platí, potom všeobecné-mnohovrstevné poňatie pravdy porušuje obmedzenie definovateľnosti na úrovni aritmetiky tretieho poriadku.

4.4 Existuje východisko?

Zdá sa, že existujú štyri spôsoby, ako obhajca generického multivesmíru môže odolať vyššie uvedenej kritike.

Po prvé by sme mohli tvrdiť, že Ω predpoklad je rovnako problematický ako CH, a preto sa ako CH považuje za neurčitý podľa všeobecnej viacstrannej koncepcie pravdy. Ťažkosti s týmto prístupom sú tieto:

Veta 4,8 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Potom, pre každú úplnú booleovskú algebru ?,

V ⊧ Ω-domnienka, ak V ? ⊧ Ω-domnienka.

Na rozdiel od CH sa teda nemôže ukázať, že Ω Conjecture je nezávislá od ZFC + „Nastáva správna trieda Woodinových kardinálov“prostredníctvom núteného nastavenia. Pokiaľ ide o všeobecnú viacsvetovú koncepciu pravdy, môžeme to povedať takto: Zatiaľ čo všeobecná viacstranná koncepcia pravdy považuje CH za neurčitú, nepovažuje Ω predpoklad za neurčitý. Horeuvedená odpoveď teda nie je dostupná obhajcovi genericko-multiverzálnej koncepcie pravdy. Zastánca tejto koncepcie sa už domnieva, že Ω dohad je určujúci.

Po druhé, dalo by sa uznať, že odhad Q je určený, ale tvrdiť, že je nepravdivý. Existuje niekoľko spôsobov, ako to urobiť, ale to nespochybňuje vyššie uvedený argument. Dôvod je nasledujúci: Na začiatok existuje úzko súvisiaca Σ _2- podmienka, že v uvedených argumentoch je možné nahradiť Ω dohad. Toto je vyhlásenie, že Ω predpoklad je (netriviálne) Ω uspokojivý, to znamená, že: Existuje ordinálny α a vesmír V 'multiverzu tak, že

V ' _α ⊧ ZFC + „Existuje správna trieda Woodinových kardinálov“

a

V ' _α ⊧ „TheΩ Conjecture“.

To Σ ₂ -statement je nemenná pod súborom nútiť, a preto je jedným prívrženci generického multiverse pohľadu pravda musí Deem určitý. Navyše, vyššie uvedené kľúčové argumenty prechádzajú s týmto Σ _2- stavom namiesto Ω dohadu. Osoba, ktorá prijíma túto druhú líniu odpovede, by teda tiež musela tvrdiť, že toto tvrdenie je nepravdivé. Existujú však podstatné dôkazy o tom, že toto tvrdenie je pravdivé. Dôvod je ten, že neexistuje známy príklad example ₂- stav, ktorý je invariantný pri nútenom nastavovaní v porovnaní s veľkými kardinálnymi axiómami a ktorý nemožno vyriešiť veľkými kardinálnymi axiómami. (Takéto vyhlásenie by bolo kandidátom na absolútne nerozhodnuteľné vyhlásenie.) Preto je možné očakávať, že toto vyhlásenie bude vyriešené veľkými kardinálnymi axiómami. Najnovší pokrok v teórii vnútorného modelu - najmä v Woodin (2010) - však poskytuje dôkaz, že žiadny veľký kardinálny axiom nemôže vyvrátiť toto tvrdenie. Zjednotenie všetkého: Je veľmi pravdepodobné, že toto vyhlásenie je v skutočnosti pravdivé; takže táto línia odpovedí nie je sľubná.

Po tretie, jeden by mohol odmietnuť buď Pravdu obmedzenia alebo Definovateľnosť obmedzenia. Problém je v tom, že ak niekto odmietne obmedzenie pravdy, potom je z tohto pohľadu (za predpokladu Ω dohadu) truth ₂ pravda v teórii množín redukovateľná v zmysle Turingovej redukovateľnosti voči pravde v H (δ ₀) (alebo za predpokladu silného Ω dohadu). H (c ⁺)). A ak niekto odmietne obmedzenie definovateľnosti, potom z tohto pohľadu (za predpokladu Ω dohadu) truth _{2 je} pravda v teórii množín redukovateľná v zmysle definovateľnosti k pravde v H (δ ₀) (alebo za predpokladu silného Ω dohadu H (c) ⁺)). Z oboch hľadísk je redukcia v napätí s prijatím pluralizmu v súvislosti s teóriou pozadia ZFC + „Existuje správna trieda Woodinových kardinálov“.

Po štvrté, dalo by sa prijať kritiku, odmietnuť všeobecnú mnohostrannú koncepciu pravdy a pripustiť, že existujú určité výroky o H (δ + 0) (alebo H (c ⁺), ktoré navyše poskytujú AD ⁺ dohad), ktoré sú skutočný zjednodušujúci prostriedok, ale nie je to pravda v zmysle generického multivesmíru, a napriek tomu naďalej tvrdí, že CH je neurčitý. Problém je v tom, že každá takáto veta φ je kvalitatívne rovnako ako CH v tom, že môže byť prinútená zadržať a prinútiť zlyhať. Výzva pre obhajcu tohto prístupu spočíva v úprave všeobecnej a mnohorozmernej koncepcie pravdy takým spôsobom, že sa počíta φ ako determinovaná a napriek tomu sa počíta s CH ako neurčitou.

V súhrne: Existujú dôkazy, že jediným východiskom je štvrtý krok a toto kladie bremeno na pluralistu - pluralista musí prísť s upravenou verziou generického multiverse.

Ďalšie čítanie: Viac informácií o spojitosti medzi Ω-logikou a generickým multiversom a vyššie uvedenou kritikou generického multiverse pozri Woodin (2011a). Informácie o najnovších výsledkoch v teórii vnútorného modelu o stave Ω dohady pozri Woodin (2010).

5. Miestny prípad bol obnovený

Prejdime teraz k druhému spôsobu, ktorým by sme mohli odolávať miestnemu prípadu v prípade zlyhania CH. Ide o paralelný prípad CH. V oddiele 5.1 preskúmame hlavné znaky prípadu pre ¬CH, aby sme ho porovnali s paralelným prípadom pre CH. V časti 5.2 predstavíme paralelný prípad CH. V časti 5.3 vyhodnotíme porovnanie.

5.1 Prípad pre ¬CH

Pripomeňte, že v prípade uvedenom v oddiele 3.3 existujú dva základné kroky. Prvý krok zahŕňa úplnosť Ω (a to dáva ¬CH) a druhý krok predstavuje maximalitu (a to dáva silnejší 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂). Pre ľahšie porovnanie zopakujeme tieto vlastnosti:

Prvý krok je založený na nasledujúcom výsledku:

Veta 5.1 (Woodin).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov a že platí domnienka Strong Ω.

1. Existuje taká axióma A

   1. ZFC + A je Ω-uspokojivý a
   2. ZFC + A je Ω -kompletných pre štruktúru H (ω ₂).

2. Každá takáto axióma A má tú vlastnosť, že

   ZFC + A ⊧ _W "H (ω ₂) ⊧ ¬CH".

Preformulujme to takto: Pre každú A spĺňajúcu (1), nech

T = {φ | ZFC + A ⊧ _W "H (ω ₂) ⊧ ¬φ"}.

Veta hovorí, že ak existuje správna trieda Woodinových kardinálov a Strong Ω Conjecture platí, potom existujú (netriviálne) Ω-úplné teórie T _A H (ω ₂) a všetky také teórie obsahujú ¬CH. Inými slovami, podľa týchto predpokladov existuje „dobrá“teória a všetky „dobré“teórie naznačujú ¬CH.

Druhý krok sa začína otázkou, či existuje väčšia zhoda medzi teóriami T _A -úplnosti. V ideálnom prípade by existoval iba jeden. To však nie je tento prípad.

Veta 5.2 (Koellner a Woodin 1999).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov. Predpokladajme, že A je axióm taký

i. ZFC + A je Ω-uspokojivý a

ii. ZFC + A je Ω -kompletných pre štruktúru H (ω ₂).

Potom existuje axiom B taký

i '. ZFC + B je Ω-uspokojivý a

ii '. ZFC + B je Ω -kompletných pre štruktúru H (ω ₂)

a T ≠ T _B.

To vyvoláva otázku, ako je možné vybrať spomedzi týchto teórií? Ukazuje sa, že medzi T _A existuje maximálna teória a je daná axiómom (∗).

Veta 5.3 (Woodin).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Potom sú ekvivalentné:

1. (∗).

2. Pre každú Π _2- vetu φ v jazyku štruktúry

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

   ak

   ZFC + ⟨H (ω ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

   je teda Ω-konzistentný

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Takže z rôznych teórií T zapojených do Vety 5.1, je tam jeden, ktorý vyniká: Teória T _(*) daný (*). Táto teória maximalizuje n ₂ -Teorie štruktúry ⟨H (čo ₂), ∈, I _N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Základným výsledkom je to, že v tejto maximálnej teórii

2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

5.2 Súbežný prípad CH

Paralelný prípad pre CH má tiež dva kroky, prvý zahŕňajúci Ω-úplnosť a druhý maximálny.

Prvý výsledok v prvom kroku je nasledujúci:

Veta 5,4 (Woodin 1985).

Predpokladajme, že ZFC a že existuje správna trieda merateľných kardinálov Woodina. Potom je ZFC + CH Ω -kompletné pre Σ21.

Okrem toho, až do ekvivalencie Ω, je CH jedinečný Σ21-príkaz, ktorý je Ω-úplný pre Σ21; to znamená, nechať T je Ω-kompletný teória daná ZFC + A, kde A je Σ21, všetky tieto T sú Ω-ekvivalentné T _CH, a teda (triviálne) všetko také T obsahovať CH. Inými slovami, existuje „dobrá“teória a všetky „dobré“teórie naznačujú CH.

Na dokončenie prvého kroku musíme určiť, či je tento výsledok robustný. Mohlo by sa stať, že keď vezmeme do úvahy ďalšiu úroveň, Σ22 (alebo ďalšie úrovne, ako aritmetika tretieho rádu), CH už nie je súčasťou obrazu, to znamená, že z veľkých kardinálov možno vyplýva, že existuje axióm A taký, že ZFC + a je Ω-úplný pre Σ22 (alebo, ide ďalej, všetky tretie aritmetické objednávky) a ešte nie všetci taký pridružený T _a, ktorý obsahuje CH. Musíme to vylúčiť, ak máme zabezpečiť prvý krok.

Najoptimistickejší scenár je nasledujúci: Scenár je taký, že existuje veľká kardinálna axióma L a axiómy A → také, že ZFC + L + A → je Ω kompletná pre všetky aritmetiky tretieho poriadku a všetky tieto teórie sú Ω -kvivalentné a znamenajú CH. Ísť ešte ďalej, možno pre každú stanoviteľnú fragment V _lambda vesmíre súborov existuje veľké hlavné axióma L a Axiómy A → také, že ZFC + L + A → je Ω-úplný pre celú teóriu V _lambda a, okrem toho, že takéto teórie sú ekvivalentné a znamenajú CH. Keby to tak bolo, znamenalo by to, že pre každý taký λ existuje jedinečný Ω-úplný obraz V _λa mali by sme jedinečné Ω-úplné pochopenie ľubovoľne veľkých fragmentov vesmíru súprav. To by bolo silným dôvodom pre nové axiómy, ktoré dopĺňajú axiómy ZFC a veľké kardinálne axiómy.

Tento optimistický scenár nanešťastie zlyhá: Za predpokladu existencie jednej takejto teórie je možné skonštruovať inú, ktorá sa líši v CH:

Veta 5,5 (Koellner a Woodin, 2009).

Predpokladajme, že ZFC, a že existuje správna trieda Woodin kardinálov. Predpokladajme, že V _λ je špecifikovateľný fragment vesmíru (ktorý je dostatočne veľký) a predpokladajme, že existuje veľký kardinálny axiom L a axiómy A → také, že

ZFC + L + A → je Ω-kompletné pre Th (V _λ).

Potom existujú axiómy B → také

ZFC + L + B → je Ω-kompletné pre Th (V _λ)

a prvá teória Ω - implikuje CH iba vtedy, ak druhá teória Ω - implikuje ¬CH.

To nám stále ponecháva otázku existencie a odpoveď na túto otázku je citlivá na Ω dohad a dohad AD ⁺:

Veta 5,6 (Woodin).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov a že Ω Kontrakt drží. Potom neexistuje rekurzívna teória A → taká, že ZFC + A → je Ω - úplná pre teóriu V _{δ 0 +1}, kde δ ₀ je najmenej Woodinov kardinál.

V skutočnosti, za silnejších predpokladov, scenár musí zlyhať na oveľa skoršej úrovni.

Veta 5,7 (Woodin).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov a že Ω Kontrakt drží. Predpokladajme, že predpoklad AD ⁺ platí. Potom neexistuje rekurzívna teória A →, takže ZFC + A → je Ω - úplná pre teóriu Σ23.

Je otvorené, či takáto teória môže existovať na úrovni Σ22. Predpokladá sa, že ZFC + ◇ je Ω úplná (za predpokladu veľkých kardinálnych axiómov) pre Σ22.

Predpokladajme, že je zodpovedaná pozitívne, a vráťte sa k otázke jedinečnosti. Pre každý takýto axiómu A, nech T byť Σ22 teórie vypočítané ZFC + A v Q-logiky. Otázka jedinečnosti jednoducho pýta, či T je jedinečný.

Veta 5,8 (Koellner a Woodin, 2009).

Predpokladajme, že existuje správna trieda Woodinových kardinálov. Predpokladajme, že A je axióm taký

i. ZFC + A je Ω-uspokojivý a

ii. ZFC + A je Ω -kompletný pre Σ22.

Potom existuje axiom B taký

i '. ZFC + B je Ω-uspokojivý a

ii '. ZFC + B je Ω -kompletný pre Σ22

a T ≠ T _B.

Toto je obdoba vety 5.2.

Pre dokončenie paralelné bolo by potrebné, že CH je medzi všetkými T _A. To nie je známe. Je to však rozumná domnienka.

Predpoklad 5.9.

Predpokladajme veľké kardinálne axiómy.

1. Existuje Σ22 axiom A taký, že

   1. ZFC + A vyhovuje Ω a
   2. ZFC + A je Ω-kompletný pre Σ22.

2. Akýkoľvek taký axiom A22 má tú vlastnosť, že

   ZFC + A ⊧ _Ω CH.

Ak by sa táto domnienka zachovala, poskytlo by to pravú analógiu vety 5.1. Tým by sa dokončil paralelne s prvým krokom.

Existuje tiež paralelne s druhým krokom. Pripomeňme, že pre druhý stupeň v predchádzajúcom odseku sme sa, že aj keď rôzne T nesúhlasila, ktoré všetky obsahovali ¬CH a navyše, z medzi nimi je ten, ktorý vyčnieva, a to teória daný (*), pretože táto teória maximalizuje n ₂ -Teorie štruktúry ⟨H (čo ₂), ∈, I _N, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. V súčasnom kontexte CH máme opäť (za predpokladu domnienky), že aj keď T _Anesúhlasia, všetky obsahujú CH. Ukazuje sa, že opäť medzi nimi je jeden, ktorý vyniká, a to maximálny. Pretože je známe (výsledkom Woodina v roku 1985), že ak existuje správna trieda merateľných kardinálov Woodina, potom existuje nútené predĺženie, ktoré spĺňa všetky Σ22 vety φ také, že ZFC + CH + φ je Ω-vyhovujúce (pozri Ketchersid, Larson a Zapletal (2010)). Z toho vyplýva, že ak je otázka existencie zodpovedaná kladne s A, ktorá je Σ 22, potom T _A musí byť táto teória maxima Σ22, a preto sa všetky T _A dohodnú, keď A je Σ22. Takže za predpokladu, že existuje T kde A je Σ22, potom, aj keď nie všetky T _A súhlasí (keď A je ľubovoľné) existuje jeden, ktorý vyniká, a to ten, ktorý je maximálny pre 22 viet.

Ak teda platí vyššie uvedená domnienka, potom prípad CH je paralelný s prípadom ¬CH, až teraz nahradí teória H (ω ₂) Σ22.

5.3 Hodnotenie

Za predpokladu, že domnienka platí pre prípad CH, ktorý je rovnobežný s prípadom ¬CH, len teraz Σ22 nahrádza teóriu H (ω ₂): Podľa predpokladov na pozadí máme:

1. 1. Existuje tak, že ZFC + A je Ω-úplný pre H (ω ₂)
   2. pre každé také A obsahuje pridružená TA _{A =} CH a
   3. existuje T _A, ktorý je maximálny, konkrétne T _(∗) a táto teória obsahuje 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.
2. 1. existujú Σ22-axiómy A také, že ZFC + A je Ω-kompletný pre Σ22
   2. pre každý takýto pridružený T obsahuje CH, a
   3. existuje T _A, ktoré je maximálne.

Tieto dve situácie sú paralelné z hľadiska maximality, ale pokiaľ ide o úroveň úplnosti Ω, prvá je silnejšia. V prvom prípade sa nielen stále čo-úplnosť s ohľadom na Π ₂ teórie H (čo ₂) (s dodatočnými predikáty), skôr sa dostávame čo-úplnosť s ohľadom na všetky H (ω ₂), Toto je pravdepodobne argument v prospech prípadu ¬CH, dokonca aj za predpokladu, že by sa predpokladalo.

Je tu však silnejší bod. Z teórie vnútorného modelu (o ktorej budeme diskutovať v nasledujúcej časti) vyplýva, že domnienka je v skutočnosti nepravdivá. Ak by sa ukázalo, že by to tak bolo, narušilo by to paralelu a posilnilo by to prípad ¬CH.

Dalo by sa tomu však čeliť takto: Vyšší stupeň Ω-úplnosti v prípade ¬CH je skutočne iluzórny, pretože je to artefakt skutočnosti, že pod (∗) je teória H (ω ₂) vzájomne interpretovateľný s H (ω ₁) (hlbokým výsledkom Woodina). Táto posledná skutočnosť je navyše v rozpore s duchom zásad transcendencie diskutovaných v oddiele 4.3. Tieto zásady boli uplatnené v tvrdení, podľa ktorého CH nemá odpoveď. Keď sa teda všetok prach usadí, skutočný dovoz Woodinovej práce na CH (tak sa tvrdí) nie je to, že CH je nepravdivý, ale skôr, že CH má pravdepodobne odpoveď.

Zdá sa spravodlivé tvrdiť, že v tejto fáze je stav miestnych prístupov k riešeniu CH trochu neurčitý. Z tohto dôvodu sa vo zvyšku tejto položky zameriame na globálne prístupy k vysporiadaniu CH. Veľmi stručne prediskutujeme dva takéto prístupy - prístup prostredníctvom teórie vnútorného modelu a prístup prostredníctvom kvázi veľkých kardinálnych axiómov.

6. Konečný vnútorný model

Cieľom teórie vnútorných modelov je vyrábať modely podobné L, ktoré obsahujú veľké kardinálne axiómy. Pre každú veľkú kardinálnu axiómu Φ, ktorá bola dosiahnutá teóriou vnútorného modelu, má axióma tvar V = L ^Φ. Táto axióma má tú výhodu, že (rovnako ako v najjednoduchšom prípade V = L) poskytuje „efektívne kompletné“riešenie otázok týkajúcich sa L ^Φ (ktoré, podľa predpokladu, je V). Nanešťastie sa ukázalo, že axiom V = L ^{Φ nie} je kompatibilný so silnejšími veľkými kardinálnymi axiómami Φ '. Z tohto dôvodu sa axiómy tohto formulára nikdy nepovažovali za pravdepodobných kandidátov na nové axiómy.

Ale nedávny vývoj v teórii vnútorného modelu (kvôli Woodinovi) ukazuje, že všetko sa mení na úrovni superkompaktného kardinála. Tento vývoj ukazuje, že ak existuje vnútorný model N, ktorý „zdedí“superkompaktného kardinála z V (spôsobom, akým by sa dalo očakávať vzhľadom na trajektóriu teórie vnútorného modelu), potom existujú dva pozoruhodné následky: Najprv N je blízko k V (napríklad v tom zmysle, že pre dostatočne veľké jednotné kardinály λ, N správne vypočíta λ ⁺). Po druhé, N dedí všetkých známych veľkých kardinálov, ktorí existujú vo V. Na rozdiel od doteraz vyvinutých vnútorných modelov by teda vnútorný model na úrovni superkompaktu poskytoval axiómu, ktorú by nemohli vyvrátiť silnejšie veľké kardinálne predpoklady.

Otázkou samozrejme je, či je možné na tejto úrovni mať model typu „L“(model, ktorý poskytuje „efektívne kompletný“axióm). Existuje dôvod veriť, že človek môže. Teraz existuje kandidátsky model L ^Ω, ktorý poskytuje axiom V = L ^Ω s nasledujúcimi vlastnosťami: Najprv je V = L ^Ω „efektívne kompletný“. Po druhé, V = L ^Ω je kompatibilný so všetkými veľkými kardinálnymi axiómami. Takže v tomto scenári by konečnou teóriou bola (otvorená) teória ZFC + V = L ^Ω + LCA, kde LCA je schéma označujúca „veľké kardinálne axiómy“. Veľké kardinálne axiómy zachytia prípady Gödelianovej nezávislosti a axiómu V = L ^Ωzachytí zostávajúce prípady nezávislosti. Táto teória by naznačovala CH a vyriešila zostávajúce nerozhodnuté vyhlásenia. Nezávislosť prestane byť problémom.

Ukazuje sa však, že existujú aj ďalšie kandidátske axiómy, ktoré zdieľajú tieto črty, a tak sa znova objaví prízrak plurality. Napríklad existujú axiómy V = L Ω S a V = L Ω (∗). Tieto axiómy by tiež boli „efektívne úplné“a kompatibilné so všetkými veľkými kardinálnymi axiómami. Napriek tomu by vyriešili rôzne otázky inak ako axiom V = L ^Ω. Napríklad axiom V = L Ω (∗) by znamenal ¬CH. Ako je teda možné medzi nimi rozhodovať?

Ďalšie čítanie: Úvod k teórii vnútorného modelu pozri Mitchell (2010) a Steel (2010). Viac informácií o nedávnom vývoji na úrovni jedného superkompaktu a neskôr pozri Woodin (2010).

7. Štruktúrna teória L (V _{λ + 1})

Toto nás privádza k druhému globálnemu prístupu, ktorý sľubuje vybrať správnu axiómu z V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) a ich varianty. Tento prístup je založený na pozoruhodnej analógii medzi teóriou štruktúry L (ℝ) za predpokladu AD ^{L (ℝ)} a teóriou štruktúry L (V _{λ + 1}) za predpokladu, že existuje elementárne vloženie z L (V _{λ + 1}) do seba s kritickým bodom pod λ. Tento predpoklad vloženia je najsilnejším veľkým kardinálnym axiómom, ktorý sa objavuje v literatúre.

Analógia medzi L (ℝ) a L (V _{λ + 1}) je založená na pozorovaní, že L (ℝ) je jednoducho L (_{Vω + 1}). A je teda analóg ω, λ ⁺ je analóg ω ₁ atď. Ako príklad rovnobežne medzi teóriou štruktúry L (ℝ) pod AD ^{L (ℝ)} a teórie štruktúry L (V _{λ + 1}) pod zalievacej AXIÓMA, uveďme, že v prvom prípade, ω ₁ je merateľný kardinál v L (ℝ) a, v druhom prípade, analóg ω ₁ - λ ⁺ - je merateľný kardinál v L (V _{λ + 1)}). Tento výsledok je dôsledkom Woodina a je len jedným z príkladov z mnohých príkladov paralely, ktoré obsahuje jeho práca.

Teraz máme veľa informácií o teórii štruktúry L (ℝ) pod AD ^{L (ℝ)}. Ako sme už uviedli, táto axióma je skutočne „úplná“, pokiaľ ide o otázky týkajúce sa L (ℝ). Na rozdiel od toho osamotenie vkladania samo osebe nestačí na to, aby naznačovalo, že L (V _{λ + 1}) má teóriu štruktúry, ktorá je úplne paralelná s osou L (ℝ) pod AD ^{L (ℝ)}. Existencia už tak bohatej paralely je však dôkazom jej rozšírenia a my môžeme doplniť doplňujúcu axiómu pridaním niektorých kľúčových komponentov. Keď sa tak stane, stane sa niečo pozoruhodné: dodatočné axiómy sa stanú krehkými. To znamená, že majú potenciál vymazať nezávislosť a poskytnúť netriviálne informácie o V _{λ + 1}, Napríklad tieto doplnkové axiómy môžu vyriešiť CH a oveľa viac.

Ťažkosti pri skúmaní možností teórie štruktúry L (V _{λ + 1}) spočívajú v tom, že nemáme správne šošovky, cez ktoré by sme ich mohli vidieť. Problém je v tom, že model L (V _{λ + 1}) obsahuje veľkú časť vesmíru - menovite L (V _{λ + 1}) - a teória tejto štruktúry je radikálne nedostatočne určená. Výsledky diskutované vyššie nám poskytujú správne šošovky. Napríklad je možné skúmať teóriu štruktúry L (V _{λ + 1}) v kontexte konečných vnútorných modelov ako L ^Ω, L Ω S, L Ω (∗) a ich variantov. Ide o to, že tieto modely môžu vyhovovať vloženému axiómu a v rámci každého z nich bude schopný vypočítať teóriu štruktúry L (V _{λ + 1}).

To poskytuje prostriedky na výber správnej axiómy z V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) a ich variantov. Jeden sa jednoducho pozrie na L (V _{λ + 1}) každého modelu (kde platí axiom vloženia) a skontroluje, či má skutočný analóg teórie štruktúry L (ℝ) za predpokladu AD ^{L (ℝ)}. Už je známe, že určité časti teórie štruktúry nemôžu mať hodnotu L ^Ω. Je však otvorené, či sa môžu držať v L Ω S.

Uvažujme jeden taký (veľmi optimistický) scenár: Skutočný analóg teórie štruktúry L (ℝ) pod AD ^{L (ℝ)} drží L (V _{λ + 1}) L Ω S, ale nie žiadnej z jeho variantov, Táto teória štruktúry je navyše „efektívne kompletná“pre teóriu V _{λ + 1}. Za predpokladu, že existuje správna trieda λ, v ktorej je vložená axióma, poskytuje to „efektívne úplnú“teóriu V. Pozoruhodné je, že súčasťou tejto teórie je, že V musí byť L Ω S. Tento (samozrejme veľmi optimistický) scenár by predstavoval veľmi silný dôvod pre axiómy, ktoré vyriešia všetky nerozhodnuté tvrdenia.

Jeden by nemal prikladať príliš veľký dôraz na tento konkrétny scenár. Je to len jeden z mnohých. Ide o to, že teraz sme schopní napísať zoznam konkrétnych otázok s nasledujúcimi vlastnosťami: Po prvé, otázky v tomto zozname budú mať odpovede - nezávislosť nie je problémom. Po druhé, ak sa odpovede zblížia, bude mať silný dôkaz o nových axiómach, ktoré sa zaoberajú nerozhodnutými tvrdeniami (a teda nepluralitou o vesmíre množín); zatiaľ čo v prípade, že odpovede oscilujú, bude existovať dôkaz, že tieto vyhlásenia sú „absolútne nerozhodnuteľné“, čo posilní dôvod pluralizmu. Týmto spôsobom dostanú otázky „absolútnej nerozhodnosti“a pluralizmu matematickú trakciu.

Ďalšie čítanie: Viac informácií o teórii štruktúry L (V _{λ + 1}) a paralele s determináciou pozri Woodin (2011b).

Bibliografia

• Abraham, U. a M. Magidor, 2010, „kardinálna aritmetika“, v Foremane a Kanamori 2010.
• Bagaria, J., N. Castells, a P. Larson, 2006, „Ω-logický primer,“v J. Bagaria a S. Todorcevic (eds), Teória množín, Trends in Mathematics, Birkhäuser, Basel, s. 1 -28.
• Cohen, P., 1963, „Nezávislosť hypotézy kontinua I.“, Zborník Národnej akadémie vied USA, 50: 1143–48.
• Foreman, M. a A. Kanamori, 2010, Handbook of Theory Theory, Springer-Verlag.
• Foreman, M. a M. Magidor, 1995, „Veľké kardinály a definované protiklady k hypotéze kontinua,“Annals of Pure and Applied Logic 76: 47–97.
• Foreman, M., M. Magidor a S. Shelah, 1988, „Martinove maximum, nasýtené ideály a nepravidelné ultrafiltre. Časť i, “Annals of Mathematics 127: 1-47.
• Gödel, K., 1938a. "Konzistentnosť axiómu výberu a všeobecnej hypotézy kontinua," Zborník z Národnej akadémie vied USA, 24: 556–7.
• Gödel, K., 1938b. „Dôkaz konzistentnosti pre zovšeobecnenú hypotézu kontinua,“Zborník Národnej akadémie vied USA, 25: 220–4.
• Hallett, M., 1984, Cantoriánska teória množín a obmedzenie veľkosti, roč. 10 Oxford Logic Guides, Oxford University Press.
• Holz, M., K. Steffens a E. Weitz, 1999, Úvod do kardinálnej aritmetiky, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Verlag, Basel.
• Jech, TJ, 2003, Teória množín: tretie vydanie tisícročia, revidované a rozšírené, Springer-Verlag, Berlín.
• Ketchersid, R., P. Larson a J. Zapletal, 2010, „Pravidelné vkladanie stacionárnej veže a Woodinovej vety Sigma-2-2 o maximalite.“Journal of Symbolic Logic 75 (2): 711–727.
• Koellner, P., 2010, „Silná logika prvého a druhého poriadku“, Bulletin of Symbolic Logic 16 (1): 1-36.
• Koellner, P. a WH Woodin, 2009, „Nekompatibilné teórie úplného Ω“, The Journal of Symbolic Logic 74 (4).
• Martin, DA, 1976, „Hilbertov prvý problém: Hyperéza kontinua“, v F. Browder (ed.), Mathematical Developments vznikajúci z Hilbertových problémov, zv. 28 of Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, Providence, s. 81–92.
• Mitchell, W., 2010, „Začiatočná teória vnútorného modelu“, Foreman a Kanamori 2010.
• Steel, JR, 2010, „Náčrt teórie vnútorného modelu“, Foreman a Kanamori 2010.
• Woodin, WH, 1999, Axióma determinácie, Nútené Axiómy a Nestacionárny Ideál, zv. 1 série Gruyter v logike a jej aplikáciách, de Gruyter, Berlín.
• –––, 2001a, „Hypotéza kontinua, časť I“, Oznámenia American Mathematical Society 48 (6): 567–576.
• –––, 2001b, „Hypotéza kontinua, časť II“, Oznámenia American Mathematical Society 48 (7): 681–690.
• –––, 2005a, „Hypotéza kontinua“, R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević a C. Wood (eds), Logic Colloquium 2000, roč. 19 poznámok z prednášky v logike, Združenie symbolickej logiky, s. 143–197.
• –––, 2005b, „Teória množín po Russellovi: cesta späť do Edenu“, v G. Link (ed.), Sto rokov Russellovho paradoxu: matematika, logika, filozofia, roč. 6 série de Gruyter v logike a jej aplikáciách, Walter De Gruyter Inc, s. 29–47.
• –––, 2010, „Vhodné predlžovacie modely I“, Journal of Mathematical Logic 10 (1–2): 101–339.
• –––, 2011a, „Hypotéza kontinua, generický multiverza množín a Ω-dohad“, v J. Kennedy a R. Kossak (eds), Teória množín, aritmetika a základy matematiky: vety, Philosophies, zv. 36 prednášok z logiky, Cambridge University Press.
• –––, 2011b, „Vhodné predlžovacie modely II“, Journal of Mathematical Logic 11 (2): 115–436.

Akademické nástroje

	Ako citovať tento záznam.
	Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
	Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

[Obráťte sa na autora s návrhmi.]