Curryho Paradox

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-05-24 11:17

Vstupná navigácia

• Obsah vstupu
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Náhľad priateľov PDF
• Informácie o autorovi a citácii
• Späť na začiatok

Curryho paradox

Prvýkrát publikované st 9. september 2017; podstatná revízia piatok 19. januára 2018

„Curryho paradox“, ako ho v súčasnosti používajú filozofi, sa vzťahuje na širokú škálu paradoxov autoreferencie alebo kruhovitosti, ktoré sledujú ich moderného predka k Currymu (1942b) a Löbovi (1955). ^[1]Spoločnou charakteristikou týchto takzvaných Curryových paradoxov je spôsob, akým využívajú pojem implikácie, implikácie alebo následky, buď vo forme spojiva alebo vo forme predikátu. Curryho paradox vzniká v rôznych doménach. Rovnako ako Russellov paradox, môže mať podobu paradoxu teórie množín alebo teórie vlastností. Môže však mať aj podobu sémantického paradoxu, ktorý sa veľmi podobá paradoxu klamára. Curryho paradox sa líši od Russellovho paradoxu a paradoxného klamára v tom, že v zásade nezahŕňa pojem negácie. Bežné verzie teoretickej pravdy zahŕňajú vetu, ktorá hovorí o tom, že ak je to pravda, potom je svojvoľne zvolený nárok pravdivý, alebo - ak použijete viac zlovestný príklad - hovorí o sebe, že ak je to pravda, potom je každá nepravda pravdivá. Paradoxne sa zdá, že existencia takejto vety naznačuje pravdu svojvoľne zvoleného nároku alebo - v zlovestnejšom prípade - každej nepravdivosti. V tomto článku ukazujeme, ako je možné zostaviť rôzne curryho paradoxy, skúmať priestor dostupných riešení a vysvetliť niektoré spôsoby, ako Curryho paradox je významný a predstavuje výrazné výzvy.

• 1. Úvod: Dve raje paradoxu

  • 1.1 Neformálny argument
  • 1.2 Obmedzenie teórií
  • 1.3 Prehľad

• 2. Vytváranie karíných viet

  • 2.1 Curryho prvá metóda a teoretické vety s kari
  • 2.2 Curryho druhá metóda a Pravdovo-teoretické Curryove vety

• 3. Odvodenie paradoxu

  • 3.1 Kari-paradoxná lemma
  • 3.2 Alternatívne priestory

• 4. Reakcie na Curryho paradox

  • 4.1. Kari - nekompletnosť

  • 4.2 Odpovede na úplnosť karí

    • 4.2.1 Reakcie bez kontrakcie
    • 4.2.2 Reakcie bez odpojenia
    • 4.2.3 Uplatňovanie na neformálny argument

• 5. Význam Curryho paradoxu

  • 5.1 Prerušenie nádeje na riešenie negatívnych paradoxov

    • 5.1.1 Parakonzistentné riešenia frustrované
    • 5.1.2. Paracomplete Solutions Frustrated
  • 5.2 Poukazovanie na všeobecnú paradoxnú štruktúru

• 6. Platnosť Curry

  • 6.1 Formulár na vyplnenie
  • 6.2 Predikátový formulár
  • 6.3 Dôležitosť

• Bibliografia

  • Kľúčové historické zdroje
  • Ďalšie referencie
• Akademické nástroje
• Ďalšie internetové zdroje
• Súvisiace záznamy

1. Úvod: Dve raje paradoxu

1.1 Neformálny argument

Predpokladajme, že váš priateľ vám povie: „Ak to, čo hovorím s použitím tejto vety, je pravda, čas je nekonečný“. Ukazuje sa, že existuje krátky a zdanlivo presvedčivý argument pre tento záver:

(P) Samotná existencia tvrdenia vášho priateľa znamená (alebo má za následok), že čas je nekonečný

Mnohí si myslia, že (P) je mimo viery (av tomto zmysle paradoxné), aj keď čas je skutočne nekonečný. Ak to nie je dosť zlé, zvážte inú verziu, tentoraz zahŕňajúcu tvrdenie, o ktorom je známe, že je nepravdivé. Namiesto toho povedzte svojmu priateľovi: „Ak platí to, čo hovorím s použitím tejto vety, všetky čísla sú prvoradé“. Teraz mutatis mutandis poskytuje rovnaké krátke a zdanlivo presvedčivé argumenty (Q):

(Q) Samotná existencia tvrdenia vášho priateľa znamená (alebo má za následok) to, že všetky čísla sú prvotriedne

Toto je argument pre (P). Nech (k) je samoreferenčná veta, ktorú vyslovil váš priateľ, trochu zjednodušená, takže znie „Ak je (k) pravda, čas je nekonečný“. Vzhľadom na to, čo (k) hovorí, toho veľa vieme:

(1) Za predpokladu, že (k) je pravda, platí, že ak je k pravdivý, čas je nekonečný

Ale samozrejme, že áno

(2) Za predpokladu, že (k) je pravda, platí, že k je pravda

Za predpokladu, že (k) je pravda, sme odvodili podmienku spolu s jej predchodcom. Použitím modus ponens v rozsahu domnienky teraz odvodzujeme podmienené následky za tých istých predpokladov:

(3) Za predpokladu, že (k) je pravda, je to tak, že čas je nekonečný

Pravidlo podmienečného dôkazu nás teraz oprávňuje potvrdiť podmienečnú podmienku s naším predpokladom ako predchodcu:

(4) Ak je (k) pravda, čas je nekonečný

Ale pretože (4) je sám o sebe (k), máme ho

(5) (k) je pravda

Nakoniec, keď spojíme (4) a (5) spolu s modus ponens, dostaneme

(6) Čas je nekonečný

Zdá sa, že sme si stanovili, že čas je nekonečný bez akýchkoľvek predpokladov nad rámec existencie samoreferenčnej vety (k), spolu so zdanlivo zrejmými princípmi pravdy, ktoré nás vzali k (1) a tiež od (4) do (5). A to isté platí pre (Q), pretože sme mohli použiť tú istú formu argumentu, aby sme dospeli k nesprávnemu záveru, že všetky čísla sú prvoradé.

1.2 Obmedzenie teórií

Jednou z výziev, ktoré predstavuje Curryho paradox, je zistiť, čo sa v predošlom neformálnom argumente pre (P), (Q) alebo podobne stalo nesprávnym. Ale od úvodnej prezentácie Curryho v Curry 1942b (pozri doplnkový dokument o Curryovom paradoxe) sa diskusia o Curryovom paradoxe zvyčajne zamerala inak. Týkalo sa to rôznych formálnych systémov - väčšinou často stanovených teórií alebo teórií pravdy. V tomto prostredí je paradoxom dôkaz, že systém má konkrétnu vlastnosť. Zvyčajne je spornou vlastnosťou trivialita. Teória sa považuje za triviálnu alebo absolútne nekonzistentnú, keď potvrdzuje každé tvrdenie, ktoré je možné vyjadriť v jazyku teórie. ^[2]

Argument potvrdzujúci, že konkrétna formálna teória je triviálna, bude predstavovať problém, ak nastane niektorý z nasledujúcich prípadov: (i) chceme použiť formálnu teóriu v našich vyšetrovaniach, pretože pri matematike používame teóriu množín, alebo (ii) chceme modelovú teóriu používať na modelovanie znakov jazyka alebo myslenia, najmä tvrdení, ku ktorým sú niektorí rečníci alebo myslitelia zaviazaní. V každom prípade by trivialita cieľovej teórie ukázala, že je na svoj určený účel neprimeraná. Toto je druhá výzva, ktorú predstavuje Curryho paradox.

Aby sme objasnili zmysel, v ktorom Curryho paradoxne obmedzuje teórie, musíme povedať, čo je Curryho veta. Neformálne je Curryova veta vetou, ktorá je podľa svetiel nejakej teórie rovnocenná s podmienkou, ktorá je sama o sebe ako predchodca. Napríklad by sme si mohli myslieť, že argument oddielu 1.1 je príťažlivý pre neformálnu teóriu pravdy. Potom veta „(k) je pravdivá“slúži ako Curryho veta pre túto teóriu. Je to preto, že vzhľadom na to, čo nám hovorí naša neformálna teória o tom, čo sa týka pravdy (k), „(k) je pravda“by malo byť rovnocenné s „Ak je pravda, že čas (potom) je nekonečný “(Pretože táto podmienka je sama o sebe (k)).

V nasledujúcom texte sa používa notácia (vdash _ { mathcal {T}} alpha), že teória (mathcal {T}) obsahuje vetu (alfa) a (Gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) sa používa na označenie, že (alfa) vyplýva z priestorov zhromaždených v (Gamma) podľa (mathcal {T}) (tj podľa (mathcal {T}) dôsledkových vzťahov (vdash _ { mathcal {T}})). ^[3] S výnimkou oddielu 4.2.1 sa však budeme zaoberať iba tvrdeniami o tom, čo vyplýva z teórie z jedného predpokladu, tj tvrdení vyjadrených vetami tvaru (gamma \ vdash _ { mathcal {T }} alfa). (Spoliehame sa na kontext, aby sme objasnili, kde sa takáto veta používa a kde sa iba spomína.)

Dve vety (v jazyku teórie (mathcal {T})) sa budú nazývať vzájomne zastupiteľnými podľa (mathcal {T}) za predpokladu, že je pravdivá akákoľvek požiadavka na formu (Gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alfa) nie je ovplyvnený substitúciou jedného za druhého v (alfa) alebo v rámci ktorejkoľvek vety v (Gamma). Nakoniec predpokladáme, že jazyk obsahuje spojovacie ({ rightarrow}), ktoré slúži v určitom vhodnom zmysle ako podmienečné. Na účely nasledujúcej definície nestanovujeme žiadne konkrétne požiadavky na správanie sa tejto podmienenosti. Teraz môžeme definovať pojem Curryho vety pre pár vety vety.

Definícia 1 (Curryova veta) Nech je (pi) veta jazyka (mathcal {T}). Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T}) je akákoľvek veta (kappa) taká, že (kappa) a (kappa { rightarrow} pi) sú vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T}). ^[4]

Rôzne verzie Curryho paradoxu vyplývajú z existencie argumentov v prospech nasledujúceho veľmi všeobecného tvrdenia. (Tieto argumenty, ktoré vychádzajú z predpokladov o podmienenom ({ rightarrow}), sa podrobne rozoberajú v oddiele 3.)

Problémové tvrdenie pre každú teóriu (mathcal {T}) a každú vetu (pi) v jazyku (mathcal {T}), ak existuje Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T}), potom (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Argument, ktorý sa zdá byť založený na tvrdení o nepokojoch, sa bude považovať za paradoxný za predpokladu, že existuje aj presvedčivý dôvod domnievať sa, že tento nárok je nepravdivý. Protikladom k tvrdeniu o trápení by bola akákoľvek teória (mathcal {T}) a veta (pi) taká, že existuje Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T}), ale nie je to tak, že (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Ako bolo uvedené vyššie, Curryho paradox sa často chápe ako výzva existencii netriviálnych teórií. Vzhľadom na problémové tvrdenie bude teória triviálna vždy, keď sa dá kariho veta formulovať pre akúkoľvek vetu v jazyku teórie. Trivialita skutočne vyplýva zo slabšieho stavu, ktorý je v nasledujúcej definícii výslovný.

Definícia 2 (Curryova úplná teória) Teória (mathcal {T}) je Curryho úplná za predpokladu, že pre každú vetu (pi) v jazyku (mathcal {T}) existuje niektoré (pi ') také, že (i) existuje Curryova veta pre (pi') a (mathcal {T}) a (ii) ak (vdash _ { mathcal {T }} pi '), potom (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Zatiaľ čo jedna inštancia (pi ') spĺňajúca podmienku (ii) by bola sama o sebe (pi), iná inštancia by bola "výbušnou" vetou (bot), ktorá je obsiahnutá v teórii, iba ak každá veta je obsiahnutá v teórii. ^[5]

Problémové tvrdenie má teraz okamžitý dôsledok: teória úplného Curryho musí obsahovať každú vetu vo svojom jazyku.

Znepokojujúce následky Každá teória úplného Curryho je triviálna.

Opäť platí, že každý argument, ktorý sa javí ako ustanovujúci znepokojujúci dôsledok, sa bude považovať za paradoxný za predpokladu, že existuje presvedčivý dôvod domnievať sa, že existujú netriviálne teórie (skutočne pravdivé teórie), ktoré sú Curryho úplné.

1.3 Prehľad

Po zvyšok tohto záznamu sa bude Curryho paradox chápať tak, že ukladá paradoxné obmedzenia teóriám, a to paradoxne uvedené vyššie uvedené znepokojujúce dôsledky. Predstavenie verzie Curryho paradoxu, chápané týmto spôsobom, zahŕňa vykonanie dvoch vecí:

• argumentujúc, že (mathcal {T}) je Curryho kompletný pre nejakú zdanlivo netriviálnu teóriu cieľov (mathcal {T}), a
• argumentácia pre problémový nárok. ^[6]

V oddieloch 2 a 3 sa diskutuje o týchto dvoch úlohách v tomto poradí. Zatiaľ je možné základnú myšlienku sprostredkovať pomocou príkladu samoreferenčnej vety (k), ktorá znie: „Ak je (k) pravda, čas je nekonečný“. Po prvé, vzhľadom na naše chápanie pravdy uznávame, že veta „(k) je pravdivá“je zameniteľná s „Ak je pravda, (k), potom je čas nekonečný“. Po druhé, neformálne tvrdenie oddielu 1.1 odvodzuje z tejto rovnocennosti paradoxný záver. Čitatelia, ktorí sa zaujímajú hlavne o logické princípy obsiahnuté v tomto argumente as nimi súvisiace, ao možnosti odmietnuť takéto argumenty, by sa mohli obrátiť na oddiel 3.

2. Vytváranie karíných viet

Ako sa dnes dnes štandardne uvádza, Curryho paradox sa týka „naivných“pravdivých teórií (tých, ktoré majú „priehľadnú“predikát pravdy) a „naivných“teórií množín (tých, ktoré majú neobmedzenú abstrakciu množín). V tejto časti sa vysvetlí, ako môže každý druh teórie viesť k Curryovým vetám. Začneme však verziou, ktorá sa týka teórií vlastností, verziou, ktorá sa viac podobá Curryho formulácii. (Doplnkový dokument Curry on Curry's Paradox stručne charakterizuje ciele Curryho vlastných verzií paradoxu.)

Teória vlastností sa vyznačuje neobmedzenou abstrakciou majetku za predpokladu, že pre každú podmienku, ktorá je definovateľná v jazyku teórie, existuje vlastnosť, ktorá (podľa teórie) je doložená presne tým, čo spĺňa túto podmienku. Zoberme si teóriu (mathcal {T_P}) formulovanú v jazyku so zariadením na abstrakciu vlastností ([x: \ phi x]) a vzorovým vzťahom (epsilon). Napríklad, ak (phi (t)) hovorí, že objekt, ktorý označuje výraz (t), je trojuholníkový, (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) hovorí, že tento objekt ilustruje vlastnosť trojuholníka. Potom by sme vzhľadom na neobmedzenú abstrakciu majetku mali mať nasledujúci princíp.

(Vlastnosť) Pre každú otvorenú vetu (phi) s jednou voľnou premennou a každý výraz (t), vety (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) a (phi t) sú vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T_P}).

Curry (1942b) v skutočnosti načrtáva dve „metódy konštrukcie“karíských viet pomocou svojho náprotivku (Property). Hovorí, že prvý je „založený na Russellovom paradoxe“, zatiaľ čo druhý je „založený na paradoxe Epimenides“. Aj keď sú obe metódy teoretické vlastnosti, prvá metóda dáva predchodca teoretických verzií Curryho paradoxu, zatiaľ čo druhá poskytuje predchodcu verzií teoretických pravdy.

2.1 Curryho prvá metóda a teoretické vety s kari

Verzia Russellova paradoxu, ktorú Curryho prvá metóda pripomína, sa týka príkladu majetku. Jej témou je vlastnosť bytia takého, že sa človek nedá doložiť príkladom. Dosiahneme vlastne-teoretickú vetu Curryho tým, že namiesto toho vezmeme do úvahy vlastnosť bytia taká, že človek sa doloží iba vtedy, ak je čas nekonečný. Povedzme, že pre túto vlastnosť uvádzame názov (h) zadaním (h = _ {def} [x: x \ \ epsilon \ x { rightarrow} pi]), kde veta (pi) hovorí, že čas je nekonečný. ^[7] Pri použití zásady (vlastnosť) na vetu (h \ \ epsilon \ h) nájdeme:

(h \ \ epsilon \ h) a (h \ \ epsilon \ h { rightarrow} pi) sú vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T_P}).

Inými slovami, (h \ \ epsilon \ h) je Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T_P}).

Curryho prvá metóda následne viedla k stanoveniu teoretických Curryových viet. Teória množín má neobmedzenú abstrakciu množín za predpokladu, že pre každú podmienku, ktorá je v jazyku teórie definovateľná, existuje množina, ktorá (podľa teórie) obsahuje všetko a iba veci, ktoré túto podmienku spĺňajú. Nech je (mathcal {T_S}) naša teória množín, formulovaná v jazyku, ktorý vyjadruje abstrakciu množiny pomocou ({x: \ phi x }) a nastavenie členstva pomocou (in). Potom je náprotivkom položky (Property)

(Nastaviť) Pre každú otvorenú vetu (phi) s jednou voľnou premennou a každý výraz (t), vety (t \ in {x: \ phi x }) a (phi t) sú vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T_S}).

Aby ste získali vetu Curryho o teoretických množinách, zvážte množinu pozostávajúcu zo všetkého, čo je samo osebe, iba ak je čas nekonečný. Povedzme, že pre túto množinu uvádzame názov (c) určením (c = _ {def} {x: x \ in x { rightarrow} pi }). Pri použití princípu (Set) na vetu (c \ in c) nájdeme:

(c \ in c) a (c \ in c { rightarrow} pi) sú vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T_S}).

Inými slovami, (c \ in c) je Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T_S}).

Set-teoretická verzia Curryho paradoxu bola predstavená vo Fitch 1952 ^[8] a je uvedená aj v Moh 1954 a v roku 1955.

2.2 Curryho druhá metóda a Pravdovo-teoretické Curryove vety

Napriek jeho poznámke o „Epimenides paradoxe“, podobe lhárskeho paradoxu, je Curryho druhá metóda variantom príbuzného sémantického paradoxu, Grellingovho paradoxu. ^[9]Grellingov paradox vo svojej pôvodnej podobe považuje za majetok vlastnený mnohými slovami, konkrétne za majetok, ktorý má slovo, keď nedokáže ilustrovať vlastnosť, ktorú predstavuje (Grelling & Nelson 1908). Napríklad slovo „urážlivosť“má túto vlastnosť: nedokazuje to príklad vlastníctva, ktoré predstavuje, pretože nie je urážlivé (pozri záznam o paradoxoch a súčasnej logike). V skutočnosti namiesto toho Curry zvažuje vlastnosť, ktorú slovo poskytuje, ak ilustruje vlastnosť, ktorú predstavuje, iba ak je čas nekonečný. Teraz predpokladajme, že naša teória zavádza pre túto vlastnosť názov (u). Curry potom ukazuje, ako zostaviť vetu, ktorá (neformálne) hovorí, že meno (u) ilustruje vlastnosť, ktorú predstavuje. Ukazuje, že táto veta bude slúžiť ako karí veta pre teóriu vlastností a označenie mien.^[10]

Aj keď je tento spôsob získavania Curryho vety založený na sémantickom ryse výrazov, stále sa spolieha na abstrakciu majetku. Môže sa však považovať za predchodcu úplne sémantickej verzie. (Namiesto toho, aby sme zvážili vyššie uvedenú vlastnosť, dalo by sa uvažovať o predikáte „platí pre seba iba vtedy, ak je čas nekonečný“.) Preto, keďže Geach (1955) a Löb (1955) boli prvými, ktoré ukázali, Curryove vety možno získať iba pomocou sémantických princípov, bez spoliehania sa na odber majetku. Ich cesta zodpovedá neformálnemu argumentu v oddiele 1.1, ktorý obsahuje samoreferenčnú vetu (k), ktorá znie „Ak je hodnota (k) pravdivá, čas je nekonečný.“

Za týmto účelom nech je (mathcal {T_T}) teória pravdy, kde (T) je predikát pravdy. Predpokladajme zásadu „transparentnosti“

(Pravda) Pre každú vetu (alfa) sú vety (T \ langle \ alpha \ rangle) a (alfa) vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T_T}).

Na získanie Curryho vety pomocou tohto princípu predpokladajme, že existuje veta (xi), ktorá je (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi). ^[11] Potom z toho (Pravda) okamžite vyplýva, že

(T \ langle \ xi \ rangle) a (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) sú vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T_T}).

Inými slovami, (T \ langle \ xi \ rangle) je Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T_T}).

Geach poznamenáva, že sémantický paradox, ktorý je výsledkom vety ako (T \ langle \ xi \ rangle), sa podobá „Curryho paradoxu v teórii množín“. Löb, ktorý nespomína Curryho prácu, pripisuje paradoxné pozorovanie rozhodcu rozhodnutiu o tom, čo sa dnes nazýva Löbova veta týkajúca sa preukázateľnosti (pozri zápis o Gödelových teorémoch neúplnosti). Rozhodca, o ktorom sa v súčasnosti hovorí, že je Leon Henkin (Halbach & Visser 2014: 257), navrhol, že metóda, ktorú Löb použil vo svojom dôkaze „vedie k novej derivácii paradoxov v prirodzenom jazyku“, konkrétne k neformálnemu argumentu v oddiele 1.1 vyššie. ^[12]

3. Odvodenie paradoxu

Predpokladajme, že sme použili jednu z vyššie uvedených metód na preukázanie, pre niektorú teóriu pravdy, množín alebo vlastností, že teória je Curryho úplná (na základe, povedzme, obsahovania Curryho vety pre každú vetu jazyka alebo pre výbušnú vetu). Na záver, že predmetná teória je triviálna, postačuje teraz uviesť argument pre tvrdenie o znepokojení. Toto je tvrdenie, že pre každú teóriu (mathcal {T}), ak existuje Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T}), potom (vdash _ { mathcal {T}} pi). Takýto argument využije predpoklady o logickom správaní podmieneného ({ rightarrow}) uvedeného v definícii 1. Za predpokladu, že sa musí vzniesť námietka proti obavám, predstavuje to obmedzenia pre správanie tohto podmieneného.

3.1 Kari-paradoxná lemma

Na začiatok je tu veľmi všeobecný obmedzujúci výsledok, blízky variant Lemmy v Curry 1942b. ^[13]

Curry-Paradox Lemma Predpokladajme, že teória (mathcal {T}) a veta (pi) sú také, že (i) existuje Curryova veta pre (pi) a (mathcal {T}), (ii) všetky prípady pravidla identity (Id) (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) hold a (iii) podmienené ({ rightarrow}) vyhovuje obom z týchto zásad:

(tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {a} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

Potom (vdash _ { mathcal {T}} pi).

MP je tu verzia modus ponens a Cont je princíp kontrakcie: dva výskyty vety (alfa) sú „zmluvne“spojené do jedného. (Čoskoro sa stretneme so súvisiacimi zásadami, ktoré sa častejšie označujú ako kontrakcie. ^[14]) Curryho-paradoxná lemma znamená, že každá teória Curryho paradoxu musí porušovať jednu alebo viac Id, MP alebo Cont o bolesti triviality.

Aby sme dokázali Lemmu, ukazuje sa, že Id, MP a Cont, spolu s „Curry-intersubstitutivity“v (kappa) s (kappa { rightarrow} pi), postačujú na založenie (vdash_ { mathcal {T}} pi). Nasledujúca derivácia pripomína neformálny argument v oddiele 1.1. Toto tvrdenie obsahovalo aj čiastkový argument pre zásadu Cont, ktorá sa bude ďalej skúmať.

(begin {array} {rll} 1 & \ kappa \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {Id} \ 2 & \ kappa \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {2 Cont} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 MP} end {array})

V oddiele 4 sa bude diskutovať o spôsoboch, ako by bolo možné odôvodniť alebo zamietnuť každú z dvoch zásad týkajúcich sa ({ rightarrow}) prevzatých v Curry-Paradox Lemma.

3.2 Alternatívne priestory

Existujú náprotivky Curry-Paradox Lemma, ktoré sa odvolávajú na alternatívne súbory logických princípov (pozri napr. Rogerson & Restall 2004 a Bimbó 2006). Pravdepodobne najbežnejšia verzia nahrádza pravidlá Id a Cont zodpovedajúcimi zákonmi:

(tag {IdL} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} alpha) (tag {ContL} vdash _ { mathcal {T}} (alfa { rightarrow} (alfa { rightarrow} beta)) { rightarrow} (alfa { rightarrow} beta))

Odvodenie teraz prebieha nasledovne:

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} kappa & \ textrm {IdL} \ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} (kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow}) pi)) { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & \ textrm {2 ContL} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm { 2, 3 MP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {4, 5 MP} \ \ end {array})

Druhým spoločným náprotivkom Curry-Paradox Lemma je Meyer, Routley a Dunn (1979). ^[15] Používa sa dve zásady týkajúce sa spojenia: právna forma modus ponens a idempotencia spojenia.

(tag {MPL} vdash _ { mathcal {T}} ((alfa { rightarrow} beta) wedge \ alfa) { rightarrow} beta)

(Idem (_ { wedge})) Vety (alfa) a (alfa \ wedge \ alfa) sú vzájomne nahraditeľné podľa (T)

Tentoraz derivácia ide nasledovne:

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} ((kappa { rightarrow} pi) wedge \ kappa) { rightarrow} pi & \ textrm {MPL} \ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} (kappa \ wedge \ kappa) { rightarrow} pi & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {2 Idem (_ { wedge})} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 MP} \ \ end {array})

Formulovanie Curryho-Paradoxovej lemmy pomocou Cont, a nie ContL alebo MPL, uľahčí upozornenie (v nasledujúcej časti) na významné rozdiely v rámci triedy odpovedí, ktoré odmietajú obidva uvedené princípy. ^[16]

4. Reakcie na Curryho paradox

Reakcie na Curryho paradox možno rozdeliť do dvoch tried na základe toho, či akceptujú znepokojujúci dôsledok, že všetky teórie, ktoré sú kompletné s Currym, sú triviálne.

• Odpovede na neúplnosť karí akceptujú znepokojujúci dôsledok. Popierajú však, že cieľové teórie vlastností, množín alebo pravdy sú Curryho úplné. Odpovede na neúplnosť v kari môžu a zvyčajne zahŕňajú klasickú logiku.
• Odpovede na úplnosť karí odmieta Trollingový dôsledok; Trvajú na tom, že môžu existovať netradičné Curryho teórie. Akákoľvek takáto teória musí porušovať jeden alebo viac logických princípov prevzatých v Curry-Paradoxovej lemme. Pretože klasická logika tieto princípy potvrdzuje, tieto reakcie vyvolávajú neklasickú logiku. ^[17]

Existuje tiež možnosť obhajovať Curryho-nekompletnosť reakcie na Curryho paradoxy vznikajúce v jednej doméne, povedzme teórie množín, zatiaľ čo obhajovať Curryho-úplnosť reakcie na Curryho paradoxy vznikajúce v inej oblasti, povedzme teória vlastností (napr. Field 2008; Beall 2009).

4.1. Kari - nekompletnosť

Príklady prominentných teórií pravdy, ktoré poskytujú Curryho neúplnosť odpovedí na Curryho paradox, zahŕňajú Tarskiho hierarchickú teóriu, teóriu revízie pravdy (Gupta a Belnap 1993) a kontextové prístupy (Burge 1979, Simmons 1993 a Glanzberg 2001, 2004). Všetky tieto teórie obmedzujú „naivný“princíp transparentnosti (Pravda). Prehľad nájdete v zázname o klamárskom paradoxe. V kontexte teórie množín Curryove nekompletnosti zahŕňajú rusellovské teórie typu a rôzne teórie, ktoré obmedzujú princíp „naivnej“abstrakcie (množiny). Pozrite si záznamy o Russellových paradoxných a alternatívnych axiomatických teóriách množín.

Všeobecne platí, že úvahy týkajúce sa vyhodnotenia väčšiny reakcií na Curryho neúplnosť sa nezdajú byť špecifické pre Curryho paradox, ale týkajú sa rovnako Liarovho paradoxu (v oblasti teoretickej pravdy) a Russellovho paradoxu (v množine a vlastníctve) teoretické domény). ^[18] Z tohto dôvodu sa zvyšok tohto záznamu zameria na odpovede na úplnosť Curryho, hoci oddiel 6.3 sa krátko vracia k rozlišovaniu v kontexte takzvaných validných Curryho paradoxov.

4.2 Odpovede na úplnosť karí

Curryho-úplnosť odpovede na Curryho paradoxné tvrdia, že existujú teórie, ktoré sú Curry-kompletné, ale netriviálne; takáto teória musí porušovať jeden alebo viac logických princípov prevzatých v Curry-Paradoxovej lemme. Keďže pravidlo Id sa vo všeobecnosti nepopieralo (pozri francúzsky 2016 a Nicolai & Rossi, ktorý nastane), znamenalo to poprieť, že podmienená ({ rightarrow}) netriviálnej teórie úplného Curryho spĺňa MP aj Cont. Odpovede sa preto rozdelili do dvoch kategórií.

(I) Najbežnejšou stratégiou bolo akceptovať, že podmienená teória sa riadi MP, ale popiera, že sa riadi Cont. Pretože Cont je kontrakčný princíp, takéto reakcie sa môžu nazývať kontrakcia bez. Túto stratégiu prvýkrát navrhol Moh (1954), ktorého citujú Geach (1955) a Prior (1955)

(II) Druhou a oveľa novšou stratégiou je akceptovať, že podmienka takejto teórie sa riadi Cont, ale popiera, že sa riadi MP (niekedy sa nazýva pravidlo „odlúčenia“). Takéto reakcie možno nazvať bez oddelenia. Ripley (2013) a Beall (2015) obhajujú túto stratégiu rôznymi spôsobmi

Každá kategória odpovedí typu Curry-Completeity sa dá ďalej rozdeliť podľa toho, ako blokuje domnelé odvodenia Cont a MP.

4.2.1 Reakcie bez kontrakcie

Princíp Cont, ktorý je odmietnutý reakciami bez kontrakcie, vyplýva z dvoch štandardných princípov. Sú to podmienené dôkazy s jednoduchým predpokladom a mierne všeobecnejšia verzia modus ponens, ktorá zahŕňa najviac jednu premisu (gamma):

• (MP ') Ak (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) a (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha), potom (gama \ vdash _ { mathcal {T}} beta)
• (CP) Ak (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta), potom (vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta)

(begin {array} {rll} 1 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \ textrm {Id} \ 3 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1, 2 MP '} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow } beta & \ textrm {3 CP} \ \ end {array})

Reakcie bez kontrakcie musia preto odmietnuť jeden alebo druhý z týchto dvoch princípov pre podmienku netriviálnej teórie úplného Curryho. Na základe toho je možné identifikovať dve podkategórie teoretikov v kategórii (I):

(Ia) Výrazne bez kontrakcie popiera, že ({ rightarrow}) sa riadi MP '(napr. Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)

(Ib) Slabá reakcia bez kontrakcie akceptuje, že ({ rightarrow}) sa riadi MP ', ale popiera, že sa riadi CP (napr. Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)

Dôvodom, prečo sa odpovede v kategórii (Ib) počítajú iba ako slabé kontrakcie, je to, že, ako ukazujú kroky 1-3, akceptujú princíp kontrakcie, podľa ktorého, ak (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta), potom (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta).

Navrhovatelia silne kontrakčných reakcií tvrdia, že MP 'správne nevyjadruje príslušnú formu modus ponens. Typicky predstavujú svoju vlastnú formu tohto pravidla v „subštrukturálnom“rámci, konkrétne taký, ktorý nám umožňuje rozlišovať medzi tým, čo vyplýva z predpokladu prijatého raz a toho, čo vyplýva z toho istého predpokladu prijatého dvakrát. (Pozri položku o subštrukturálnej logike.) V súlade s tým sa MP 'musí nahradiť

(MP ″) Ak (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) a (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha), potom (gama, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

a pravidlo „štrukturálneho sťahovania“sa musí zamietnuť:

(sCont) Ak (Gamma, \ Gamma, \ Gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta), potom (Gamma, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

Je to preto, že odmietajú štrukturálne kontrakcie, že prístupy so silnou kontrakciou môžu tvrdiť, že zachovávajú modus ponens napriek odmietnutiu MP “(pozri Shapiro 2011, Zardini 2013 a Ripley 2015a).

Silne kontrakčné reakcie tiež musia blokovať odvodenie MP 'pomocou párov princípov zahŕňajúcich spojenie:

(MP '(_ { land})) Ak (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta) a (delta \ vdash _ { mathcal {T} } alfa), potom (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

(Idem (_ { wedge})) Vety (alfa) a (alfa \ wedge \ alfa) sú vzájomne nahraditeľné podľa (T)

(begin {array} {rll} 1 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & \ gamma \ wedge \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1, 2 MP '(_ { wedge})} \ 4 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {3 Idem (_ { wedge})} \ \ end {array})

Aby sa zabránilo tomuto odvodeniu MP ', treba poprieť, že existuje spojenie (wedge), ktoré sa riadi tak MP' (_ { wedge}), ako aj Idem (_ { wedge}). Podľa mnohých odpovedí bez kontrakcie (napr. Mares & Paoli 2014; Zardini 2011), jeden druh spojenia - „multiplikatívny“druh alebo „fúzia“- nemá MP '(_ { wedge}), ale nie Idem (_ { wedge}), zatiaľ čo iný druh - "aditívny" druh - poslúcha Idem (_ { wedge}), ale nie MP '(_ { wedge}) (pozri záznam na lineárnom logika a Ripley 2015a). Ak sa použije vyššie opísaný subštruktúrny rámec, zlyhanie MP '(_ { wedge}) sa rovná skutočnosti, že pre aditívnu kombináciu (gamma, \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta) nie je ekvivalentom (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta).

Pokiaľ ide o reakcie bez slabých kontrakcií, zlyhanie CP bolo niekedy motivované pomocou sémantiky „svetov“, ktorá zahŕňa rozlíšenie medzi logicky možnými a nemožnými svetmi (napr. Beall 2009; Nolan 2016). Na vyvrátenie CP potrebujeme pravdu o (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) a falošnosť (vdash_ \ mathcal {T} alfa { rightarrow} beta). Pokiaľ ide o cieľ, „svety“sú prístupy (vdash_ \ mathcal {T}) definované ako uchovanie pravdy v správnom podsvetí (v modeli), konkrétne „možné svety“modelu. Preto pre (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) platí, že neexistuje žiadny možný svet (v akomkoľvek modeli), v ktorom je (alfa) pravdivý a (beta) nepravdivé. Na druhej strane, na vyvrátenie (vdash_ \ mathcal {T} alpha { rightarrow} beta) potrebujeme možný svet, v ktorom je (alfa { rightarrow} beta) nepravdivý. Ako sa to stane? Pretože spojnice sú definované spôsobom, ktorý zohľadňuje všetky (typy) svety v modeli (možné a, ak sú nejaké možné, nemožné), existuje možnosť, že (alpha { rightarrow} beta) nie je pravdivý v možnom svete na základe toho, že (alfa) je pravdivý a (beta) nepravdivý v nemožnom svete. A to je to, čo sa deje s cieľovými prístupmi. (Presne to, ako človek definuje podmienky pravdy na svete a nepravdivosti na svete, závisí od presného prístupu „svety“). A to je to, čo sa deje s cieľovými prístupmi. (Presne to, ako človek definuje podmienky pravdy na svete a nepravdivosti na svete, závisí od presného prístupu „svety“). A to je to, čo sa deje s cieľovými prístupmi. (Presne to, ako človek definuje podmienky pravdy na svete a nepravdivosti na svete, závisí od presného prístupu „svety“).

4.2.2 Reakcie bez odpojenia

Reakcie bez odpojenia musia blokovať priamu deriváciu MP založenú na princípe transitivity spolu s prevrátením podmienečného dôkazu s jednoduchým predpokladom:

• (Trans) Ak (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta) a (vdash _ { mathcal {T}} alpha), potom (vdash _ { mathcal {T}} beta)
• (CCP) Ak (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta), potom (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1 CCP} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {2, 3 Trans} \ \ end {array })

V kategórii (II) sú dve podkategórie teoretikov:

• (IIa) Odozva bez detašovania popiera, že ({ rightarrow}) sa riadi CCP (Goodship 1996; Beall 2015).
• (IIb) Slabá odpoveď bez oddelenia akceptuje, že ({ rightarrow}) sa riadi CCP, ale odmieta Trans (Ripley 2013).

Dôvod, prečo sú reakcie v kategórii (IIb) len slabo oddelené, je ten, že centrálna protistrana, ktorú tieto odpovede akceptujú, sa môže považovať za určitý druh odpojenia pre podmienené.

Jednou zo stratégií reagovania na obvinenie, že reakcie bez hraníc sú kontraintuitívne, bolo odvolanie sa na súvislosť medzi dôsledkom a naším prijatím a zamietnutím trestov. Podľa tohto spojenia, kedykoľvek je to tak, že (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta), to znamená (alebo aspoň naznačuje), že je nekoherentné podľa teórie svetla (mathcal {T}) akceptovať (alfa) pri odmietnutí (beta) (pozri Opakovať 2005). Teraz predpokladajme, že na základe teórie (mathcal {T}) nie je koherentné odmietnuť (alfa) a je tiež nesúdržné akceptovať (alfa) pri odmietnutí (beta). Potom, Ripley (2013) tvrdí, že svetlá teórie o odmietnutí (beta) nemusia existovať nič nesúvisiace, pokiaľ jeden neakceptuje (alfa). Existuje teda priestor na to, aby sa Trans vzdal a prijal slabo oddelenú reakciu na Curryho paradox. Beallova obrana prístupu bez dôrazu na slobodu spočíva na súvisiacich úvahách. Tvrdí, že princíp slabší ako CCP môže zohrávať dôležitú úlohu pri obmedzovaní kombinácií prijímania a odmietania trestov vrátane (alfa), (beta) a (alfa { rightarrow) } beta).

4.2.3 Uplatňovanie na neformálny argument

Prístupy k Curryho paradoxu sa práve odlišovali, našli chybu s rôznymi závermi a čiastkovými závermi neformálneho paradoxného argumentu v oddiele 1.1. Silne bez kontrakcie zodpovedá blokujúcemu kroku (3) tohto argumentu, pretože odmieta MP '. Slabá reakcia bez kontrakcie namiesto toho blokuje krok (4), pretože odmieta CP. Ani jeden druh reakcie bez odpojenia neakceptuje zdôvodnenie v kroku (3). Keďže akceptujú Cont, reakcie bez oddelenia nám umožňujú odvodiť záver (4), z čoho nám slabé reakcie bez oddelenia umožňujú odvodiť záver (3) prostredníctvom CCP. Obidva druhy reakcie bez odpojenia však nachádzajú chybu pri poslednom pohybe MP k (6).

5. Význam Curryho paradoxu

V tejto časti vysvetlíme niektoré charakteristické ponaučenia, ktoré je možné získať poukazom na Curryho paradox. Pre diskusiu o význame, ktorý zdieľajú verzie Curryho paradoxu so súvisiacimi paradoxmi, pozri záznamy o Russellovom paradoxe a Liarovom paradoxe.

5.1 Prerušenie nádeje na riešenie negatívnych paradoxov

Počnúc cirkvou (1942), Mohom (1954), Geachom (1955), Löbom (1955) a Prerokom (1955), diskusia o Curryho paradoxe zdôraznila, že sa líši od Russellovho paradoxu a paradoxu klamára v tom, že sa „ „„ v podstate sa jedná o negáciu “(Anderson 1975: 128). ^[19] Jedným z dôvodov statusu Curryho paradoxu bez negácií je to, že robí paradox odolným voči niektorým uzneseniam, ktoré by mohli byť pre takéto „negačné paradoxy“primerané.

Geach tvrdí, že Curryho paradox predstavuje problém pre všetkých zástancov teórie naivnej pravdy alebo teórie naivných súborov, ktorí čelia negačným paradoxom,

možno … dúfam, že sa vyhneme [týmto paradoxom] použitím logického systému, v ktorom „(p), ak a iba ak nie - (p)“, boli veta pre niektoré interpretácie „(p)“bez nášho možnosť odvodiť odtiaľ každé svojvoľné vyhlásenie …. (Geach 1955: 71)

Problémom je, že Curryho paradox „nemožno vyriešiť iba prijatím systému, ktorý obsahuje čudnejšiu negáciu“. Skôr „ak si chceme zachovať naivný pohľad na pravdu alebo naivný pohľad na triedy …, potom musíme zmeniť základné pravidlá dedukcie týkajúce sa„ ak ““(1955: 72). Geyov názor na význam Curryho paradoxu úzko znejú Meyer, Routley a Dunn (1979: 127). Dospeli k záveru, že Curryho paradox frustruje tých, ktorí „dúfali, že oslabenie klasických negačných princípov“vyrieši Russellov paradox. ^[20]

Stručne povedané, ide o to, že existujú neklasické logiky so slabými negačnými princípmi, ktoré riešia Russellov paradox a klamára, ale stále sú zraniteľné voči Curryho paradoxu. Ide o logiku s nasledujúcimi vlastnosťami:

• a) Môže slúžiť ako základ pre netriviálnu teóriu, podľa ktorej je určitá veta nezlučiteľná s jej vlastnou negáciou.
• b) Nemôžu slúžiť ako základ pre netriviálnu teóriu, ktorá je Curryho úplná.

Aj keď nie je jasné, ktorá logika by mala mať na mysli Geach, existujú skutočne neklasické logiky, ktoré spĺňajú tieto dve podmienky. Teórie založené na týchto logikách preto zostávajú citlivé na Curryho paradox.

5.1.1 Parakonzistentné riešenia frustrované

Meyer, Routley a Dunn (1979) upozorňujú na jednu triedu logiky, ktorá spĺňa podmienky (a) a (b). Patria medzi parakonzistentné logiky, ktoré sú logikou, podľa ktorej veta spolu s jej negáciou nebude mať svojvoľný trest. Parakonzistentná logika môže byť použitá na získanie teórií, ktoré riešia Russellov paradox a klamára, prijatím nekonzistencie negácie bez podľahnutia bezvýznamnosti.

Podľa takejto teórie (mathcal {T}) môžu byť vety (lambda) a (lnot \ lambda) vzájomne zastupiteľné, pokiaľ obidve (vdash _ { mathcal {T} } lambda) a (vdash _ { mathcal {T}} lnot \ lambda). Takéto teórie sú „lepkavé“v tom zmysle, že potvrdzujú určitú vetu spolu s jej negáciou (pozri záznam o dialetizme). Mnohé prominentné paraokonzistentné logiky však nemôžu slúžiť ako základ Curryho teórií o bolesti bezvýznamnosti. O takýchto logikách sa niekedy hovorí, že nie sú „Curryho paraconsistentný“(Slaney 1989). ^[21]

5.1.2. Paracomplete Solutions Frustrated

Mnohé z neklasických logík, ktoré boli navrhnuté na upísanie odpovedí na Russellov paradox a klamársky paradox, sú parokompletnou logikou, logikou, ktorá odmieta zákon vylúčeného stredu. Tieto logiky umožňujú „veselé“teórie. Najmä tam, kde (lambda) a (lnot \ lambda) sú vzájomne nahraditeľné podľa takejto teórie (mathcal {T}), nebude to tak, že (vdash _ { mathcal {T}} lambda \ lor \ lnot \ lambda). Niektoré z týchto paracomplete logík tiež spĺňajú podmienky (a) a (b).

Jedným príkladom je logika Ł (_ {3}) založená na troch hodnotných tabuľkách pravdy Łukasiewicza (pozri napr. Priest 2008). Vzhľadom k tomu, že spĺňa podmienku a), Ł (_ {3}) ponúka možnú reakciu na Russellov paradox a najmä na klamára, veselú odpoveď. Napriek tomu považujeme iterované podmienené (alfa { rightarrow} (alfa { rightarrow} beta)), ktoré skrátime na (alfa \ Rightarrow \ beta). Predpokladajme, že Curryova veta pre teóriu založenú na (pi) a Ł (_ {3}) (mathcal {T}) je predefinovaná tak, aby bola akákoľvek veta (kappa), ktorá je nahraditeľná s (kappa \ Rightarrow \ pi). Potom (mathcal {T}) splní všetky podmienky Curryho-Paradoxovej lemmy, ako to prvýkrát poznamenal Moh (1954). Preto, pokiaľ existuje (kappa), ktorý je nahraditeľný s (kappa \ Rightarrow \ pi) podľa (mathcal {T}), potom (vdash _ { mathcal { T}} pi). Preto Ł (_ {3}) neprepíše odpoveď na Curryho paradox.^[22]

Aby som to zhrnul: Curryho paradox stojí v ceste iným inak dostupným cestám na riešenie sémantických paradoxov pomocou lepkavých alebo šťastných teórií. Výsledkom je, že potreba vyhnúť sa Curryho paradoxu zohrala významnú úlohu pri rozvoji neklasickej logiky (napr. Priest 2006; Field 2008).

5.2 Poukazovanie na všeobecnú paradoxnú štruktúru

Z druhého dôvodu je na štatúte Curryho paradoxu stav bez negácií. Predchádzajúce upozorňuje na tento dôležitý bod:

Môžeme … povedať nielen to, že Curryho paradox nezahŕňa negáciu, ale aj to, že aj Russellův paradox predpokladá iba tie vlastnosti negácie, s ktorými má implicitne spoločné dôsledky. (Predchádzajúca 1955: 180) ^[23]

Má na mysli to, že Russellov paradox a Curryho paradox možno chápať ako výsledok tej istej všeobecnej štruktúry, ktorá môže byť vytvorená pomocou negácie alebo podmienečného. ^[24]

Všeobecná štruktúra sa dá explicitne definovať definovaním typu unárneho spojiva, ktoré vedie k Curryho paradoxu, a ukazovaním toho, ako je tento typ ilustrovaný ako negáciou, tak aj unárnym spojivom definovaným ako podmienené.

Definícia 3 (Curryho spojivo) Nech je (pi) veta v jazyku teórie (mathcal {T}). Unary spojivo (odot) je Curryho spojivo pre (pi) a (mathcal {T}) za predpokladu, že spĺňa dva princípy:

(tag {P1} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {a} vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { matematický {T}} pi.) (tag {P2} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha.)

Zovšeobecnená Curry-Paradoxová lemma Predpokladajme, že (mathcal {T}) je taký, že platí ID a že pre niektoré vety (pi) a (mu), (i) (mu) a (odot \ mu) sú vzájomne nahraditeľné podľa (mathcal {T}) a (ii) (odot) je Curryho spojivo pre (pi) a (mathcal { T}). V takom prípade (vdash _ { mathcal {T}} pi). ^[25]

Dôkaz:

(begin {array} {rll} 1 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {Id} \ 2 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {2 P2} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 P1} \ \ end {array})

Zovšeobecnená kari-paradoxná lemma sa teraz dá vytvoriť dvoma rôznymi spôsobmi, aby sa dosiahol Curryho paradox alebo negačný paradox:

• Aby sme získali Curryho paradox, nechajme unárne spojivo (odot) také, že (odot \ alpha) je (alpha { rightarrow} pi) a nech (mu) je vetu, ktorú je možné nahradiť (mu { rightarrow} pi) podľa (mathcal {T}). Potom P1 predstavuje inštanciu MP použitú v našej derivácii Curryho-Paradoxovej lemmy, zatiaľ čo P2 nie je nič iné ako naše pravidlo Kont.

  (tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {a} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

• Ak chcete získať paradox negácie, nech (odot \ alpha) bude (lnot \ alpha) a nech \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ mathcal {T}). ^[26] P1 potom predstavuje prípad ex contradictione quodlibet (alebo „výbuch“), zatiaľ čo P2 je zásada reductio.

  (tag {ECQ} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {a} vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Red} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha)

Prior poukazuje na to, že črty negácie, ktoré sú relevantné pre Russellov paradox alebo klamársky paradox, sú vyčerpané svojím statusom Curryho spojiva. To objasňuje, prečo tieto paradoxy nezávisia od prvkov negácie, ako je vylúčené odstránenie strednej alebo dvojitej negácie, ktoré sa nedržia v neklasických teóriách, kde negácia zostáva Curryho spojivom (napr. V intuitionistických teóriách, kde platí ECQ aj Red)., ^[27]

Navyše, karího spojivo nemusí byť vôbec veľmi negované. Môže to byť dokonca aj minimálna negácia (pozri poznámku o negácii), pretože sa nemusí riadiť zákonom o dvojitom zavedení:

(tag {DI} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ odot \ alpha.)

Predpokladajme napríklad, že (odot \ alpha) je (alpha { rightarrow} pi). Potom, aby (odot) vyhovel DI, muselo by to byť tak, že (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} (alfa { rightarrow} pi) { rightarrow} pi). Tento princíp je porušený niekoľkými neklasickými teóriami, pre ktoré (odot), ak sú definované týmto spôsobom, sa kvalifikujú ako karího spojivo. ^[28]

Aby som to zhrnul: Curryho paradox ukazuje na všeobecnú štruktúru vytvorenú širokou škálou paradoxov. Táto štruktúra sama o sebe nezahŕňa negáciu, ale prejavujú sa ňou aj paradoxy, ktoré (na rozdiel od Curryho paradoxu) v podstate zahŕňajú negáciu, napríklad Russellov paradox a klamársky paradox.

Otázka paradoxov, ktoré vykazujú spoločnú štruktúru, sa stáva dôležitou vo svetle „princípu jednotného riešenia“, ktoré podľa kňaza (1994) zásadne presadzuje. Podľa tohto princípu by paradoxy, ktoré patria k „rovnakému druhu“, mali dostať „rovnaké riešenie“. Predpokladajme, že vymedzíme jeden druh paradoxu takto:

Definícia 4 (Generalized Curry-Paradox) Generalizovaný Curryov paradox máme vo všetkých prípadoch, kde sa zdá, že predpoklady uvedené v Generalized Curry-Paradox Lemma sú v platnosti.

Za predpokladu, že človek prijme zásadu jednotného riešenia, stáva sa otázkou, čo sa považuje za návrh jednotného riešenia všetkých zovšeobecnených Curryových paradoxov. Stačí najmä pre každý takto vymedzený prípad ukázať, že to, čo sa javí ako kariho spojivo, v skutočnosti nie je jedno? Zdá sa, že by to skutočne malo stačiť. Nie je jasné, prečo by uniformita mala vyžadovať, aby sa všetky zdanlivé Curryho spojky kvalifikovali ako také z dôvodu porušenia rovnakej podmienky. Predpokladajme napríklad, že negácia a naše unárne spojivo definované pomocou ({ rightarrow}), zdá sa, že spĺňajú všeobecný princíp P2, v prvom prípade, pretože sa zdá, že ({ lnot}) sa riadi červenou a v druhej prípad, pretože sa zdá, že ({ rightarrow}) sa riadi Cont. Pokiaľ tieto dve vystúpenia nezdieľajú spoločný zdroj (napr.implicitné spoliehanie sa na štrukturálne kontrakcie, ako sa uvádza v Zardini 2011), nemusí byť nič neprimerane nejednotné, pokiaľ ide o zaujatie jedného vzhľadu v nominálnej hodnote, zatiaľ čo druhé odmietnutie je klamlivé. (Ak chcete diskutovať o filozofickej otázke tu, ktorá sa týka inej triedy paradoxov, pozrite si výmenu v Smith 2000 a Priest 2000.)

Ak je to správne, desideratum, ktoré sa má vyriešiť zovšeobecnené Curryho paradoxy, nemusí rozlišovať medzi rôznymi logicky revíznymi riešeniami, ktoré sa sledujú. Zahŕňajú tieto tri možnosti:

• Jeden by si mohol myslieť, že je to samotný princíp P1, ktorý zlyhá, keď (odot \ alpha) je inštancia \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \; odot \ alpha) je konkretizovaný ako (alpha { rightarrow} pi) (na získanie Curryho paradoxu). Pri tomto prístupe zlyhajú ECQ a Cont, zatiaľ čo Red a MP drží (Priest 1994, 2006).
• Dalo by sa predpokladať, že samotný P2 zlyhá pre obe inštancie (odot). Pri tomto prístupe zlyhávajú Red a Cont, zatiaľ čo ECQ a MP trvajú (Field 2008; Zardini 2011).
• Jeden by mohol mať za to, že P1 sám zlyhá pre obe inštancie (odot). Pri tomto prístupe zlyhajú ECQ a MP, zatiaľ čo Red a Cont hold (Beall 2015; Ripley 2013).

Napríklad kňazov vlastný prístup by sa teda považoval za riešenie Curryho paradoxu a klamárskeho paradoxu jednotne ako príklady zovšeobecneného Curryho paradoxu. Bolo by to tak napriek skutočnosti, že kňaz hodnotí lhárske vety ako pravdivé aj nepravdivé, zatiaľ čo odmieta tvrdenie, že Curryove vety sú pravdivé.

Curryho paradox v každom prípade predstavuje problémy v súvislosti s otázkou, aký typ uniformity by sa mal vyžadovať pri riešení rôznych paradoxov (pozri tiež Zardini 2015). Samotný kňaz upozorňuje na určitý druh paradoxu, ktorý je užší ako zovšeobecnené Curryho paradoxy, druh, ktorého príklady zahŕňajú paradoxy negácie, ale vylučujú Curryho paradox. Tento druh si vyberie Priestova schéma „uzavretia“(2002); pozri poznámku o vlastnom odkaze. Jeden prebiehajúci spor sa týka toho, či by mohla existovať verzia Curryho paradoxu, ktorý sa počíta ako „paradox uzavretia“, aj keď odoláva Prietovmu jednotnému dialetickému riešeniu takýchto paradoxov (pozri výmenu v Beall 2014b, Weber et al. 2014 a Beall 2014a)., ako aj Pleitz 2015).

6. Platnosť Curry

Posledné desaťročie (k dátumu tejto verzie tohto záznamu) bolo svedkom rozmachu v pozornosti na Curryho paradoxy, a možno najmä na to, čo sa nazýva validita Curry alebo v-Curryho paradoxy (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi). 2013). ^[29] V-Curry zahŕňa Curryove vety, ktoré špecificky vyvolávajú vzťah teórie o dôsledkoch alebo „platnosti“, použitím buď podmieneného alebo predikátu, ktorý sa snaží vyjadriť vzťah teórie (mathcal {T}) (vdash_ \ mathcal {T}) v jazyku samotného (mathcal {T}).

6.1 Formulár na vyplnenie

Pre jednu formu paradoxu v-Curry nech je podmienka uvedená v definícii Curryho vety (definícia 1) spojivom ({ Rightarrow}). Vetu s ({ Rightarrow}) ako jej hlavným operátorom treba vykladať takto: „To (p) znamená (podľa (mathcal {T})), že (q)”. Teraz okamžite získame verzie teoretickej, teoretickej, teoretickej alebo pravo-teoretickej verzie Curryho paradoxu za predpokladu, že ({ Rightarrow}) spĺňa podmienky MP a Cont of Curry-Paradox Lemma.

Tento prípad Curryho-paradoxnej lemmy je obzvlášť problematický v tom, že predstavuje prekážku jednej spoločnej reakcii na Curryho paradox, konkrétne slabej reakcii bez kontrakcie, o ktorej sa hovorí v oddiele 4.2.1. Táto odpoveď závisela od zamietnutia pravidla CP podmienečného dôkazu s jednoduchým predpokladom, jedného smeru „dedukčnej vety“s jednoduchým predpokladom. Je to však pravidlo, ktorému sa zdalo ťažké odolať spojitosti (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Ak (beta) je dôsledkom (alfa) podľa dôsledkovej súvislosti teórie (mathcal {T}), kde táto teória má ({ Rightarrow}) ako svoj vlastný dôsledok spojovací, potom (mathcal {T}) musí určite obsahovať následný nárok (alpha { Rightarrow} beta). Podobne táto rozmanitosť Curryho paradoxu predstavuje prekážku pri reakciách bez oddelenia,ktoré vyžadujú odmietnutie pravidla MP. Ak teória s vlastným dôsledkom spojivom obsahuje (alfa) aj podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom určite musí obsahovať aj (beta). Alebo sa to aspoň zdalo. Navrhovateľ, ktorý sa zasadzuje za slabú väzbu, bude síce tvrdiť, že MP pre ({ Rightarrow}) nedovolene buduje tranzitivitu (pozri časť 4.2.2). Stále sa však zdá byť nevyhnutné obrátiť sa na CP, pravidlo CCP, ktoré je ďalším smerom vety o jednoduchom odpočte. Ak teória obsahuje podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom z teórie (alfa) určite vyplýva (beta). To by stále vylučovalo silne nezávislú odpoveď. Ak teória s vlastným dôsledkom spojivom obsahuje (alfa) aj podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom určite musí obsahovať aj (beta). Alebo sa to aspoň zdalo. Navrhovateľ, ktorý sa zasadzuje za slabú väzbu, bude síce tvrdiť, že MP pre ({ Rightarrow}) nedovolene buduje tranzitivitu (pozri časť 4.2.2). Stále sa však zdá byť nevyhnutné obrátiť sa na CP, pravidlo CCP, ktoré je ďalším smerom vety o jednoduchom odpočte. Ak teória obsahuje podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom z teórie (alfa) určite vyplýva (beta). To by stále vylučovalo silne nezávislú odpoveď. Ak teória s vlastným dôsledkom spojivom obsahuje (alfa) aj podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom určite musí obsahovať aj (beta). Alebo sa to aspoň zdalo. Navrhovateľ, ktorý sa zasadzuje za slabú väzbu, bude síce tvrdiť, že MP pre ({ Rightarrow}) nedovolene buduje tranzitivitu (pozri časť 4.2.2). Stále sa však zdá byť nevyhnutné obrátiť sa na CP, pravidlo CCP, ktoré je ďalším smerom vety o jednoduchom odpočte. Ak teória obsahuje podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom z teórie (alfa) určite vyplýva (beta). To by stále vylučovalo silne nezávislú odpoveď.zdalo sa to. Navrhovateľ, ktorý sa zasadzuje za slabú väzbu, bude síce tvrdiť, že MP pre ({ Rightarrow}) nedovolene buduje tranzitivitu (pozri časť 4.2.2). Stále sa však zdá byť nevyhnutné obrátiť sa na CP, pravidlo CCP, ktoré je ďalším smerom vety o jednoduchom odpočte. Ak teória obsahuje podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom z teórie (alfa) určite vyplýva (beta). To by stále vylučovalo silne nezávislú odpoveď.zdalo sa to. Navrhovateľ, ktorý sa zasadzuje za slabú väzbu, bude síce tvrdiť, že MP pre ({ Rightarrow}) nedovolene buduje tranzitivitu (pozri časť 4.2.2). Stále sa však zdá byť nevyhnutné obrátiť sa na CP, pravidlo CCP, ktoré je ďalším smerom vety o jednoduchom odpočte. Ak teória obsahuje podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom z teórie (alfa) určite vyplýva (beta). To by stále vylučovalo silne nezávislú odpoveď. Ak teória obsahuje podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom z teórie (alfa) určite vyplýva (beta). To by stále vylučovalo silne nezávislú odpoveď. Ak teória obsahuje podmienené (alfa { Rightarrow} beta), potom z teórie (alfa) určite vyplýva (beta). To by stále vylučovalo silne nezávislú odpoveď.

6.2 Predikátový formulár

Druhá forma paradoxu v-Curry vzniká pre teóriu (mathcal {T} _V), ktorej predmetom je vzťah dôsledkov s jediným predpokladom (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) ktoré podľa tejto teórie získava medzi vetami vo svojom jazyku. ^[30] Nech je tento vzťah vyjadrený predikátom (Val (x, y)), a ďalej predpokladajme, že existuje veta (chi), ktorá je buď \ (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)), alebo je s ňou aspoň vzájomne zameniteľný podľa (mathcal {T} _V). Jedna forma paradoxu v-Curry využíva dva princípy, ktorými sa riadi (Val), ktoré nazývame „odlúčenie platnosti“a „dôkaz platnosti“podľa Beall & Murzi (2013).

(tag {VD} textrm {If} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ alpha \ rangle, \ langle \ beta \ rangle) textrm {a} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} alpha \ textrm {then} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta) (tag {VP} textrm {If } alpha \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ alpha \ rangle, \ langle \ beta \ zvonenie))

Pomocou týchto princípov získame nasledujúci rýchly argument pre (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).

(begin {array} {rll} 1 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {Id} \ 2 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {2 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm {1, 2 VD} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {3 VP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm { 4, 5 VD} \ \ end {array})

Pri použití tejto predikátovej formy v-Curry by reakcia so slabou kontrakciou odolala „kontrakcii“z kroku 2 do kroku 4 odmietnutím pravidla VP a odpoveď bez odpojenia by odmietla VD, a to aj pri nule - forma predpokladov použitá v kroku 6. Aj napriek tomu sa VP aj nulová premisa VD javili ako nevyhnutní vzhľadom na zamýšľanú interpretáciu predikátu (Val) (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest) 2015; Zardini 2014). ^[31] Nakoniec, aj keď je VD odmietnutá ako nezákonne zahŕňajúca tranzitivitu, zdá sa, že je nevyhnutné obrátiť sa na VP. Ak by to tak bolo, vylúčilo by to prinajmenšom dôrazne nezávislú odpoveď.

Pravdepodobne silnejšia verzia argumentácie v-Curry predstavuje Shapiro (2013) a Field (2017: 7). Toto zdôvodnenie môže mať formu spojitosti alebo predikátu, ale nezávisí od CP alebo VP. Tu dáme predikátový formulár pomocou (Val). Ako je uvedené vyššie, najprv odvodíme, že (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) pomocou VD. Vzhľadom na význam (Val), záver, že (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) ukazuje, že (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) je pravda, to znamená, že (chi) je pravda. Ale ak (chi) je pravda a (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), potom sa zdá, že (pi) musí byť tiež pravda. Pretože slabo oddeliteľné (netransparentné) reakcie na v-Curry umožňujú odvodenie (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), aj toto zdôvodnenie predstavuje námietku proti takýmto reakciám.,

6.3 Dôležitosť

Ak v skutočnosti nie sú v-Curryho paradoxy prístupné pre reakcie bez slabých kontrakcií alebo bez silného oddelenia, potom (za predpokladu, že je zachované pravidlo Id), je priestor odpovedí typu Curry obmedzený na silne bez kontrakcie a slabo reakcie bez odpojenia. Predchádzajúce odpovede, ako je vysvetlené v oddiele 4.2.1, sa zvyčajne predkladajú preformulovaním modus ponens (alebo odpojením pre predikát platnosti) v subštrukturálnom dedukčnom systéme a odmietnutím pravidla štrukturálneho kontrakcie sCont. Posledne uvedené odpovede, ako je vysvetlené v oddiele 4.2.2, odmietajú štrukturálny princíp tranzitivity. Z tohto dôvodu sa niekedy používali paradoxy v-Curry na motiváciu vzťahov medzi štrukturálnymi dôsledkami (napr. Barrio a kol., Pripravované; Beall a Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). ^[32]

Živá a rozsiahla diskusia o paradoxoch v-Curry viedla k skutočnému pokroku v našom chápaní Curryho paradoxov. Nakoniec sa vyjasnilo, že zatiaľ čo paradoxy v-Curry môžu vyžadovať odlišné rozlíšenia od paradoxov, ktoré nie sú v-Curry, zostávajú v tej istej forme ako zovšeobecnené curryovské paradoxy. Najmä vo všeobecnej šablóne v oddiele 5.2 je potrebné vziať (odot) na vyjadrenie (buď ako predikát alebo ako spojovací) dôsledok vzhľadom na samotný (vdash_ \ mathcal {T}). Toto je srdce v-Curryho. Pokiaľ existuje (veľa) rôznych (formálnych) vzťahov dôsledkov definovateľných v našom jazyku (napr. Logický dôsledok na základe logického slovníka, epistemický dôsledok na základe logického plus plus epistemického slovníka atď.), Existuje teda veľa rôznych v -Malé paradoxy, ktoré môžu vzniknúť. napriek tomu,priestor pre riešenie týchto paradoxov je priestor pre riešenie zovšeobecnených Curryho paradoxov, ktoré sú predmetom tejto položky.

Existujú však najmenej dva dôvody, prečo si paradoxné v-Curry zaslúžia osobitnú pozornosť. Po prvé, ako je uvedené vyššie, dve kategórie riešení typu Curry-Complete - slabé možnosti bez kontrakcie a možnosti bez oddelenia - sa javili ako zvlášť problematické v prípade paradoxov v-Curry. Po druhé, predpokladajme, že človek zaobchádza s obyčajným Curryovým paradoxom (vlastnosť - teoretická, teoretická alebo sémantická) kuriérovým spôsobom. Stále môže existovať dôvod na to, aby sa zodpovedajúci (spojivý alebo predikátny) paradox v-Curry považoval za Curryho nekompletný, možno preto, lebo videl vzťahový vzťah k teórii ako v podstate mimo zachytenia akýmkoľvek spojivom alebo predikátom v jazyku teórie (pozri napr. Myhill 1975; Whittle 2004). To znamená,„nejednotné“riešenie bežných curryových paradoxov a ich náprotivkov v-Curry môže byť opäť motivovanou nejednotnosťou.^[33]

Bibliografia

Kľúčové historické zdroje

• Curry, Haskell B., 1942a, „Kombinované základy matematickej logiky“, Journal of Symbolic Logic, 7 (2): 49–64. doi: 10,2307 / 2266302
• –––, 1942b, „Nekonzistencia určitých formálnych logík“, Journal of Symbolic Logic, 7 (3): 115–117. doi: 10,2307 / 2269292
• Curry, Haskell B. a Robert Feys, 1958, Combinatory Logic, zväzok 1, Amsterdam: North-Holland.
• Fitch, Frederic B., 1952, Symbolic Logic: Úvod, New York: Ronald Press Company.
• Geach, PT, 1955, „On Insolubilia“, Analysis, 15 (3): 71–72. doi: 10,1093 / analytička / 15.3.71
• Löb, MH, 1955, „Riešenie problému Leon Henkin“, Journal of Symbolic Logic, 20 (2): 115–118. doi: 10,2307 / 2266895
• Meyer, Robert K., Richard Routley a J. Michael Dunn, 1979, „Curryho paradox“, analýza, 39 (3): 124–128. doi: 10,1093 / analytička / 39.3.124
• Moh Shaw-Kwei, 1954, „Logické paradoxy pre systémy s mnohými hodnotami“, Journal of Symbolic Logic, 19 (1): 37–40. doi: 10,2307 / 2267648
• Prior, AN, 1955, „Curryho paradox a logika s 3 hodnotami“, Australasian Journal of Philosophy, 33 (3): 177–82. doi: 10,1080 / 00048405585200201

Ďalšie referencie

• Anderson, Alan Ross, 1975, „Fitch on Consistency“, v Anderson, Marcus a Martin 1975: 123–141.
• Anderson, Alan Ross a Nuel D. Belnap, Jr., 1975, Entailment: Logic of Relevance and Necessity, zväzok 1, Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Anderson, Alan Ross, Ruth Barcan Marcus a RM Martin (eds), 1975, The Logical Enterprise, New Haven, CT: Yale University Press.
• Ashworth, EJ, 1974, Jazyk a logika v období po stredoveku, Dordrecht: Reidel.
• Bacon, Andrew, 2015, „Paradoxy logickej rovnocennosti a identity“, Topoi, 34 (1): 89–98. doi: 10,1007 / s11245-013-9193-8
• Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt a Diego Tajer, pripravovaný „Zachytenie naivnej platnosti v prístupe bez obmedzení“, Synthese, prvý online 1. septembra 2016. doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
• Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199268733.001.0001
• ––– 2014a „Koniec uzavretia“, Mind, 123 (491): 829–849. doi: 10,1093 / mysle / fzu075
• ––– 2014b „Hľadanie tolerancie bez lepkov“, Mind, 123 (491): 791–811. doi: 10,1093 / mysle / fzu081
• ––– 2015, „Bez obmedzenia: Logika, racionalita a lepky“, Noûs, 49 (2): 410–423. DOI: 10.1111 / nous.12029
• Beall, Jc a Julien Murzi, 2013, „Dva príchute Curryho paradoxu“, Journal of Philosophy, 110 (3): 143–165. DOI: 10.5840 / jphil2013110336
• Bimbó, Katalin, 2006, „Paradoxy typu Curryho typu“, Logique & Analyze, 49 (195): 227–240.
• Brady, Ross, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: Publikácie CSLI.
• Bunder, MW, 1986, „Tautológie, ktoré s neobmedzeným chápavým axiómom vedú k nekonzistentnosti alebo trivialite“, Journal of Non-Classical Logic, 3 (2): 5-12.
• Burge, Tyler, 1979, „Sémantický paradox“, Journal of Philosophy, 76 (4): 169–198. doi: 10,2307 / 2025724
• Carnap, Rudolf, 1934, „Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik“, Monatshefte für Mathematik, 41: 263–84.
• –––, 1937, Logická syntax jazyka, Amethe Smeaton (trans), Londýn: K. Paul Trench.
• Church, Alonzo, 1932, „Súbor postulátov pre založenie logiky“, Annals of Mathematics, 33 (2): 346–366. doi: 10,2307 / 1968337
• –––, 1942, „Recenzia: Nekonzistencia určitých formálnych logík od Haskella B. Curryho“, Journal of Symbolic Logic, 7 (4): 170–71. doi: 10,2307 / 2268117
• Cook, Roy T., 2014, „Neexistuje žiadny paradox logickej platnosti!“, Logica Universalis, 8 (3–4): 447–467. doi: 10,1007 / s11787-014-0094-4
• Curry, Haskell B., 1930, „Grundlagen der kombinatorischen Logik (Teile I & II)“, American Journal of Mathematics, 52: 509–36, 789–834.
• –––, 1950, teória formálnej dedukcie (Notre Dame Mathematical Lectures, 6), Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press. [Curry 1950 je k dispozícii online]
• –––, 1952, „K definícii negácie pevným návrhom v inferenciálnom počte“, Journal of Symbolic Logic, 17 (2): 98–104. doi: 10,2307 / 2266240
• Curry, Haskell B., J. Roger Hindley, a Jonathan P. Seldin, 1972, Combinatory Logic, zväzok 2 (Štúdie v logike a základy matematiky, 65), Amsterdam: Severný Holland.
• Field, Hartry, 2008, Ukladanie pravdy od spoločnosti Paradox, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199230747.001.0001
• ––– 2017, „Vypnutie odzbrojenia paradoxu platnosti“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 58 (1): 1–19. doi: 10,1215 / 00.294.527-3699865
• Fitch, Frederic B., 1969, „Metóda na zabránenie Curryho paradoxu“, v Nicholas Rescher (ed.), Eseje na počesť Karla. G. Hempel, Dordrecht: Reidel, s. 255 - 265.
• Francúzsky, Rohan, 2016, „Štrukturálna reflexivita a paradoxy seba referencie“, Ergo, 3 (5): 113–131. doi: 10,3998 / ergo.12405314.0003.005
• Glanzberg, Michael, 2001, „Klamár v kontexte“, Filozofické štúdie, 103 (3): 217–251. doi: 10,1023 / A: 1010314719817
• –––, 2004, „Kontextovo-hierarchický prístup k pravde a klamárskemu paradoxu“, Journal of Philosophical Logic, 33 (1): 27–88. doi: 10,1023 / B: LOGI.0000019227.09236.f5
• Goldstein, Laurence, 2000, „Jednotné riešenie niektorých paradoxov“, Zborník aristotelskej spoločnosti, 100 (1): 53–74. doi: 10,1111 / j.0066-7372.2003.00003.x
• Goodship, Laura, 1996, „On Dialethism“, Australasian Journal of Philosophy, 74 (1): 153–161. doi: 10,1080 / 00048409612347131
• Grelling, Kurt a Leonard Nelson, 1908, „Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti“, Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
• Gupta, Anil a Nuel Belnap, 1993, Teória revízie pravdy, Cambridge, MA: MIT Press.
• Halbach, Volker a Albert Visser, 2014, „The Henkin Sentence“, v Maria Manzano, Ildikó Sain a Enrique Alonso (eds), Život a dielo Leon Henkin, (Štúdie v univerzálnej logike), Cham: Springer International, pp 249 - 264. doi: 10,1007 / 978-3-319-09719-0_17
• Hanke, Miroslav, 2013, „Implikovaná analýza významov kurikula“, História a filozofia logiky, 34 (4): 367–380. doi: 10,1080 / 01445340.2013.812832
• Hilbert, David a Paul Bernays, 1939, Grundlagen der Mathematik, zväzok II, Berlín: Springer.
• Humberstone, Lloyd, 2006, „Variácie na tému kari“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 47 (1): 101–131. doi: 10,1305 / ndjfl / 1143468315
• Kripke, Saul A., 1975, „Náčrt teórie pravdy“, Journal of Philosophy, 72 (19): 690–716. doi: 10,2307 / 2024634
• Mares, Edwin a Francesco Paoli, 2014, „Logické následky a paradoxy“, Journal of Philosophical Logic, 43 (2–3): 439–469. doi: 10,1007 / s10992-013-9268-4
• Meadows, Toby, 2014, „Fixné body pre vzťahy s následkami“, Logique & Analyze, 57 (227): 333–357.
• Murzi, Julien, 2014, „Nevýraznosť platnosti“, analýza, 74 (1): 65–81. doi: 10,1093 / analytička / ant096
• Murzi, Julien a Lorenzo Rossi, pripravovaná kniha „Naivná validita“, Synthese, prvýkrát online 27. septembra 2017. doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
• Murzi, Julien a Lionel Shapiro, 2015, „Platnosť a ochrana pravdy“, v Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández a Kentaro Fujimoto (eds), Unifying the Philosophy of Truth, Dordrecht: Springer. doi: 10,1007 / 978-94-017-9673-6_22
• Myhill, John, 1975, „Úrovne implikácie“, v Anderson, Marcus a Martin 1975: 179–185.
• Nicolai, Carlo a Lorenzo Rossi, pripravujú sa „Zásady objektovo-lingvistických dôsledkov: od logických po irreflexívne“, Vestník filozofickej logiky, prvý online 20. júna 2017. doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
• Nolan, Daniel, 2016, „Podmienené a kari“, filozofické štúdie, 173 (10): 2629–2649. doi: 10,1007 / s11098-016-0666-7
• Pleitz, Martin, 2015, „Curryho paradox a schéma uzavretia“, v Pavel Arazim a Michal Dančák (eds), Ročenka logiky 2014, Londýn: College Publications.
• Priest, Graham, 1994, „Structure of Paradoxes of Self-Reference“, Mind, 103 (409): 25–34. doi: 10,1093 / mysle / 103.409.25
• –––, 2000, „O princípe jednotného riešenia: odpoveď na Smith“, Mind, 109 (433): 123–126. doi: 10,1093 / mysle / 109.433.123
• –––, 2002, Za hranicami myslenia, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199254057.001.0001
• –––, 2006, In Contradiction, Oxford: Oxford University Press. Rozšírené vydanie (prvýkrát uverejnené v roku 1987). doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199263301.001.0001
• –––, 2008, Úvod do neklasickej logiky: Odkedy je, druhé vydanie, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511801174
• ––– 2015, „Fúzia a zmätok“, Topoi, 34 (1): 55–61. doi: 10.1007 / s11245-013-9175-x
• Quine, WVO, 1953, „pán Strawson o logickej teórii “, Mind, 62 (248): 433–451. doi: 10,1093 / mysle / LXII.248.433
• Čítajte, Stephen, 2001, „Seba referencia a revidovaná platnosť“, v Mikko Yrjönsuuri (ed.), Medieval Formal Logic, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 183–196. doi: 10,1007 / 978-94-015-9713-5_7
• Restall, Greg, 1993, „Ako byť skutočne bez kontrakcie“, Studia Logica, 52 (3): 381–91. doi: 10,1007 / BF01057653
• –––, 1994, O logike bez kontrakcie, dizertačná práca, University of Queensland. [Restall 1994 je k dispozícii online]
• –––, 2005, „Viaceré závery“, v Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva a Dag Westerståhl (eds), Logic, Methodology and Philosophy of Science: Zborník z 12. medzinárodného kongresu, Londýn: College Publications, pp. 189-205. [Obnoviť 2005 je k dispozícii online]
• Ripley, David, 2013, „Paradoxy a poruchy rezu“, Australasian Journal of Philosophy, 91: 139–164. doi: 10,1080 / 00048402.2011.630010
• –––, 2015a „Porovnávanie subštrukturálnych teórií pravdy“, Ergo, 2 (13): 299–328. doi: 10,3998 / ergo.12405314.0002.013
• ––– 2015b „Kontrakcia a uzavretie“, myšlienka, 4 (2): 131–138. doi: 10,1002 / tht3.166
• Rogerson, Susan, 2007, „Prírodná dedukcia a Curryho paradox“, Journal of Philosophical Logic, 36 (2): 155–179. doi: 10,1007 / s10992-006-9032-0
• Rogerson, Susan a Greg Restall, 2004, „Trasy k maličkosti“, Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 421–436. doi: 10,1023 / B: LOGI.0000036853.44128.8f
• Rosenblatt, Lucas, 2017, „Naivná validita, internalizácia a subštrukturálne prístupy k paradoxu“, Ergo, 4 (4): 93–120. doi: 10,3998 / ergo.12405314.0004.004
• Seldin, Jonathan P., 2006, „The Logic of Curry and Church“, v Dov M. Gabbay a John Woods (eds), Handbook of History of Logic, Zväzok 5: Logika od Russella po cirkev, Amsterdam: Elsevier, pp 819 - 873.
• Shapiro, Lionel, 2011, „Deflovanie logických dôsledkov“, Filozofická štvrť, 61 (243): 320–42. doi: 10,1111 / j.1467-9213.2010.678.x
• ––– 2013, „Posilnenie kari posilnené“, myšlienka, 2: 100–107. doi: 10,1002 / tht3.80
• ––– 2015, „Naivná štruktúra, kontrakcia a paradox“, Topoi, 34 (1): 75–87. doi: 10.1007 / s11245-014-9235-x
• Simmons, Keith, 1993, Universality and Liar: Esej o pravde a diagonálnom argumente, Cambridge: Cambridge University Press.
• Slaney, John, 1989, „RWX in Not Curry Paraconsistent“, Graham Priest, Richard Routley a Jean Norman (eds), Paraconsistent Logic: Eseje o nekonzistentnosti, Mníchov: Filozofia, s. 472–480.
• –––, 1990, „A General Logic“, Australasian Journal of Philosophy, 68 (1): 74–88. doi: 10,1080 / 00048409012340183
• Smith, Nicholas JJ, 2000, „Princíp jednotného riešenia (paradoxy seba referencie)“, Mind, 109 (433): 117–122. doi: 10,1093 / mysle / 109.433.117
• Tajer, Diego a Federico Pailos, 2017, „Platnosť v rámci Dialetheist“, Logique & Analyze, 60 (238): 191–202.
• van Benthem, Johan, 1978, “Four Paradoxes”, Journal of Philosophical Logic, 7 (1): 49–72. doi: 10,1007 / BF00245920
• Wansing, Heinrich a Graham Priest, 2015, „Vonkajšie meny“, Journal of Philosophical Logic, 44 (4): 453–471. doi: 10,1007 / s10992-014-9336-4
• Weber, Zach, 2014, „Naivná validita“, Filozofická štvrť, 64 (254): 99–114. doi: 10,1093 / PQ / pqt016
• Weber, Zach, David Ripley, Graham Priest, Dominic Hyde a Mark Colyvan, 2014, “Tolerating Gluts”, Mind, 123 (491): 813–828. doi: 10,1093 / mysle / fzu057
• Weir, Alan, 2015, „Robustná netransparentná logika“, Topoi, 34 (1): 99–107. doi: 10,1007 / s11245-013-9176-9
• White, Richard B., 1979, „Konzistentnosť axióma porozumenia v nekonečne hodnotnej predikátovej logike Łukasiewicza“, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 509–534. doi: 10,1007 / BF00258447
• Whittle, Bruno, 2004, „Dialetheizmus, logické následky a hierarchia“, analýza, 64: 318–26. doi: 10,1093 / analytička / 64.4.318
• Zardini, Elia, 2011, „Pravda bez kontrakcie“, Prehľad symbolickej logiky, 4 (4): 498–535. doi: 10,1017 / S1755020311000177
• ––– 2013, „Naive Modus Ponens“, Journal of Philosophical Logic, 42 (4): 575–593. doi: 10,1007 / s10992-012-9239-1
• ––– 2014, „Naivná pravda a naivné logické vlastnosti“, Prehľad symbolickej logiky, 7 (2): 351–384. doi: 10,1017 / S1755020314000045
• ––– 2015, „Zisk jeden pre dvoch alebo zlý obchod dodávateľa“. Na ceste k zjednotenému riešeniu sémantických paradoxov “, v Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández a Kentaro Fujimoto (ed.), Zjednotenie filozofie pravdy, Dordrecht: Springer. doi: 10,1007 / 978-94-017-9673-6_23

Akademické nástroje

	Ako citovať tento záznam.
	Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
	Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

[Obráťte sa na autora s návrhmi.]