Definícia

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-08-25 04:39

Vstupná navigácia

Obsah vstupu
Bibliografia
Akademické nástroje
Náhľad priateľov PDF
Informácie o autorovi a citácii
Späť na začiatok

Prvýkrát publikované 10. apríla 2008; podstatná revízia po 20. apríli 2015

Definície zaujímajú filozofov už od staroveku. Platónove prvé dialógy zobrazujú Sokrata, ktorý kladie otázky týkajúce sa definícií (napr. V Euthyphro „Čo je to zbožnosť?“) - otázky, ktoré sa zdajú naraz hlboké a nepolapiteľné. Kľúčovým krokom Anselmovho „ontologického dôkazu“o existencii Boha je definícia „Boha“a to isté platí pre Descartesovu verziu argumentu v jeho Meditácii V. Nedávno definícia Frege-Russellovho čísla a Tarského definícia pravdy mali formatívny vplyv na širokú škálu súčasných filozofických diskusií. Vo všetkých týchto prípadoch - a mnoho ďalších možno citovať - sa nielen diskutovalo o konkrétnych definíciách; diskutovalo sa aj o charaktere a požiadavkách na definície. Niektoré z týchto diskusií sa môžu vyriešiť požadovaným rozlíšením,pre definície nie sú všetky jedného druhu: definície slúžia rôznym funkciám a ich všeobecný charakter sa líši v závislosti od funkcie. Niektoré ďalšie diskusie sa však neriešia tak ľahko, pretože zahŕňajú sporné filozofické myšlienky, ako sú podstata, koncepcia a význam.

1. Niektoré odrody definície
- 1.1 Reálne a nominálne definície
- 1.2 Definície slovníkov
- 1.3 Definície pojmov
- 1.4 Popisné definície
- 1.5 Vysvetľujúce definície
- 1.6 Výrazné definície
- 1.7 Poznámka
2. Logika definícií
- 2.1 Dve kritériá
- 2.2 Základy tradičného účtu
- 2.3 Konzervatívnosť a odstrániteľnosť
- 2.4 Definície v normálnej podobe
- 2.5 Implicitné definície
- 2.6 Princíp začarovaného kruhu
- 2.7 Kruhové definície
Bibliografia
Akademické nástroje
Ďalšie internetové zdroje
Súvisiace záznamy

1. Niektoré odrody definície

Bežný diskurz rozpoznáva niekoľko rôznych druhov vecí ako možných predmetov definície a uznáva niekoľko druhov aktivít ako definovanie veci. Aby sme uviedli niekoľko príkladov, hovoríme o komisii, ktorá definuje hranice medzi dvoma národmi; najvyššieho súdu, ktorý vo svojich rozhodnutiach definuje „osobu“a „občana“; chemika, ktorý objavuje definíciu zlata a lexikografa, výraz „cool“; účastníka diskusie, ktorý definuje sporný bod; a matematika, ktorý určuje definíciu „skupiny“. Tu sú vymedzené rôzne druhy vecí: hranice, právne postavenie, podstata, slovo, téza a abstraktný druh. Rôzne definície navyše nemajú rovnaký cieľ: cieľom hraničnej komisie môže byť dosiahnutie presnosti; Najvyšší súd, spravodlivosť;chemička a lexikograf, presnosť; debatéra, jasnosť; a matematik, plodnosť. Normy, podľa ktorých sa posudzujú definície, sa teda môžu v jednotlivých prípadoch meniť. Rôzne definície možno možno zahrnúť podľa aristotelovského vzorca, že definícia dáva podstatu veci. To však len zdôrazňuje skutočnosť, že „dať podstatu veci“nie je jednotný druh činnosti.

Aj vo filozofii sa často hrá niekoľko rôznych definícií a definície môžu slúžiť rôznym funkciám (napr. Na zvýšenie presnosti a prehľadnosti). Vo filozofii sa však definovali aj definície, ktoré majú plniť veľmi výraznú úlohu: riešenie epistemologických problémov. Napríklad problém predstavuje epistemologický stav matematických právd. Immanuel Kant si myslel, že tieto pravdy sú a priori syntetické, a aby zodpovedal za ich stav, ponúkol teóriu priestoru a času - konkrétne priestoru a času ako formy vonkajšieho a vnútorného zmyslu. Gottlob Frege a Bertrand Russell sa snažili podkopať Kantovu teóriu tvrdením, že aritmetické pravdy sú analytické. Presnejšie, pokúsili sa skonštruovať odvodenie aritmetických princípov z definícií aritmetických konceptov,iba pomocou logických zákonov. Aby bol projekt Frege-Russell úspešný, musia mať použité definície špeciálny charakter. Musia mať koncepčný alebo vysvetľujúci význam; nemôžu byť syntetické. Je to práve táto definícia, ktorá v poslednom storočí vyvolala najväčší záujem a najviac kontroverziu. A to bude práve tento druh definície, ktorý bude naším prvoradým záujmom. Začnime tým, že označíme niektoré predbežné, ale dôležité rozdiely. Začnime tým, že označíme niektoré predbežné, ale dôležité rozdiely. Začnime tým, že označíme niektoré predbežné, ale dôležité rozdiely.

1.1 Reálne a nominálne definície

John Locke vo svojej eseji odlíšil „skutočnú podstatu“od „nominálnej podstaty“. Nominálna podstata je podľa Lockeho „abstraktná myšlienka, ku ktorej je priložené meno (III.vi.2).“Preto nominálna podstata mena „zlato“, Locke povedal: „je to zložitá myšlienka, ktorú slovo zlato znamená, nech je to napríklad žltá, určitej hmotnosti, poddajná, taviteľná a pevná.“Naopak, skutočná podstata zlata je „zloženie necitlivých častí tohto tela, od ktorého závisia tieto vlastnosti [uvedené v nominálnej podstate] a všetky ostatné vlastnosti zlata (III.vi.2).“Hrubým spôsobom, ako rozlíšiť medzi skutočnou a nominálnou definíciou, je podľa Lockeho tvrdenie, že bývalá uvádza skutočnú podstatu, zatiaľ čo druhá uvádza nominálnu podstatu. Chemik sa zameriava na skutočnú definíciu,zatiaľ čo lexikograf sa zameriava na nominálnu definíciu.

Táto charakteristika tohto rozlíšenia je drsná, pretože zoologická definícia „tigra“by sa mala považovať za skutočnú definíciu, aj keď nemusí poskytnúť „konštitúciu necitlivých častí“tigra. Okrem toho by sa význam slova mal brať do úvahy ako nominálna definícia, aj keď nemusí mať podobu Lockeanovej formulácie „abstraktnej myšlienky, ku ktorej je pripojené meno“. Možno by bolo užitočné uviesť rozdiel medzi skutočnými a nominálnymi definíciami: aby sme zistili skutočnú definíciu pojmu (X), musíme preskúmať vec alebo veci označené (X); na objavenie nominálnej definície je potrebné preskúmať význam a použitie (X). Či je hľadanie odpovede na sokratickú otázku „Čo je to cnosť?“je hľadanie skutočnej definície alebo hľadanie nominálnej definície závisí od koncepcie tejto konkrétnej filozofickej činnosti. Keď sa zameriavame na sokratickú otázku, pokúšame sa získať jasnejší pohľad na naše použitie slova „cnosť“, alebo sa pokúšame uviesť ideál, ktorý je do určitej miery nezávislý od týchto použití? Podľa predchádzajúcej koncepcie sa zameriavame na nominálnu definíciu; pod posledným, v skutočnej definícii.zameriavame sa na nominálnu definíciu; pod posledným, v skutočnej definícii.zameriavame sa na nominálnu definíciu; pod posledným, v skutočnej definícii.

Kritickú diskusiu o rôznych činnostiach, ktoré boli zahrnuté do „skutočnej definície“, pozri Robinson 1950. Pre starodávne názory na definície pozri eseje z Karla 2010.

1.2 Definície slovníkov

Nominálne definície - definície, ktoré vysvetľujú význam pojmu - nie sú všetky jedného druhu. Slovník vysvetľuje význam slova v jednom zmysle tejto vety. Cieľom slovníkov je poskytnúť definície, ktoré obsahujú dostatočné informácie na porozumenie pojmu. Faktom je, že o používateľoch jazyka sme nejako pochopili a použili možnú nekonečnosť viet obsahujúcich výraz, keď dostaneme určité malé množstvo informácií o tomto výraze. Presne tak, ako sa to stane, je veľké tajomstvo. Stáva sa to a slovníky využívajú túto skutočnosť. Upozorňujeme, že položky v slovníku nie sú jedinečné. Rôzne slovníky môžu poskytovať rôzne informácie a byť rovnako efektívne pri vysvetľovaní významu pojmov.

Definície, ktoré hľadajú filozofi, sa nenachádzajú v slovníku. Fregeova definícia čísla (1884) a Alfred Tarskiho definícia pravdy (1983, kap. 8) sa neponúkajú ako kandidáti na záznamy v slovníku. Keď epistemológ hľadá definíciu „vedomosti“, nehľadá dobrú slovnú zásobu slova „viem“. Filozofické hľadanie definície možno niekedy plodne charakterizovať ako hľadanie vysvetlenia významu. Tu sa však pojem „vysvetlenie významu“veľmi líši od významu, v ktorom slovník vysvetľuje význam slova.

1.3 Definície pojmov

Definitívna definícia dodáva definovanému pojmu zmysel a nezahŕňa žiadny záväzok, že priradený význam súhlasí s predchádzajúcimi použitiami tohto pojmu (ak existujú). Stipulatívne definície sú epistemologicky zvláštne. Poskytujú súdy s epistemologickými charakteristikami, ktoré sú záhadné inde. Ak niekto dočasne definuje „raimex“ako, povedzme, racionálny, vynaliezavý, prežívajúci bytosť, potom je rozsudok „raimexes racionálny“zaručený, že je nevyhnutný, istý a a priori. Filozofi zistili, že je lákavé vysvetliť záhadné prípady, napr. Aprioricity, odvolaním sa na určujúce definície.

Saul Kripke (1980) upozornil na zvláštny druh dohodnutej definície. Môžeme dočasne zaviesť nové meno (napr. „Jack Rozparovač“) prostredníctvom opisu (napr. „Muž, ktorý zavraždil (X, Y) a (Z)“)). V takomto ustanovení Kripke zdôraznil, že opis slúži iba na opravu odkazu na nové meno; názov nie je synonymom pre opis. Za rozsudok

(1) Jack Rozparovač je muž, ktorý zavraždil (X, Y) a (Z), ak vraždy spáchal jedinečný človek

je podmienený, aj keď rozsudok

Jack Rozparovač je Rozparovač Jack, ak vraždy spáchal jedinečný človek

je nevyhnutné. Názov ako „Jack Rozparovač“, tvrdil Kripke, je rigidný: vyberá toho istého jednotlivca v možných svetoch; opis na druhej strane nie je rigidný. Spoločnosť Kripke použila takéto ustanovenia týkajúce sa stanovenia referenčných hodnôt, aby tvrdila, že príkladom je existencia podmienenej pravdy a priori (1). Definitívne definície, ktoré určujú referencie, sa môžu uvádzať nielen pre mená, ale aj pre výrazy v iných kategóriách, napr. Spoločné mená.

Na obhajobu strohosti pozri Frege 1914, že aspoň v matematike by sa mali počítať iba určujúce definície. ^[1]

1.4 Popisné definície

Opisné definície, rovnako ako vymedzujúce, objasňujú význam, ale ich cieľom je aj to, aby boli primerané existujúcemu použitiu. Keď filozofi ponúkajú definície napr. „Viem“a „slobodne“, nie sú prikázaní: nedostatok zhody s existujúcim použitím je proti nim námietkou.

Je užitočné rozlíšiť tri stupne opisnej primeranosti definície: extenzívna, intencionálna a zmysel. Definícia je extenzívne primeraná, ak neexistujú žiadne skutočné príklady. je primerane primerané, ak neexistujú žiadne možné príklady; a je zmysluplné (alebo analytické), pokiaľ má definovaný pojem správny význam. (Posledný stupeň sám primeranosti rozdelia do rôznych pojmov, pre "zmysel" môže byť vysvetlené v niekoľkými rôznymi spôsobmi.) Definícia "Voda je H ₂ O," napríklad, je intensionally primerané, pretože totožnosť vody a H ₂O je potrebné (za predpokladu Kripkeho-Putnamovho názoru na nepružnosť termínov prírodného druhu); definícia je preto aj primerane rozšírená. To však nie je dostatočné, pretože zmysel pre „vodu“nie je vôbec rovnaký ako pre „H ₂ O“. Definícia „George Washington je prvým prezidentom Spojených štátov“je primeraná iba dočasne, ale nie v ostatných dvoch stupňoch, zatiaľ čo „človek je smiech“nie je primeraná vo všetkých troch stupňoch. Ak sa definície používajú na epistemologické použitie, intenzívna primeranosť je vo všeobecnosti nedostatočná. Takéto definície nemôžu podchytiť racionalitu alebo aprioricitu problematického predmetu.

Pozri Quine 1951 a 1960 pre skepticizmus ohľadom analytických definícií; pozri tiež poznámku o analytickom / syntetickom rozlíšení. Horty 2007 ponúka niekoľko spôsobov myslenia na zmysly definovaných výrazov, najmä v rámci Fregeanskej sémantickej teórie.

1.5 Vysvetľujúce definície

Definícia sa niekedy neposkytuje ani popisne, ani dočasne, ale ako to, čo nazval Rudolf Carnap (1956, § 2), vysvetlením. Účelom tohto vysvetlenia je rešpektovať niektoré ústredné spôsoby použitia pojmu, ale u ostatných je záväzný. Vysvetlenie možno ponúknuť ako absolútne zlepšenie existujúceho nedokonalého konceptu. Alebo to môže byť ponúknuté ako „dobrá vec na myslenie“výrazom v špecifickom kontexte na konkrétny účel. (Uvedená veta je spôsobená Alanom Rossom Andersonom; pozri Belnap 1993, 117).

Jednoduchý príklad vysvetlenia poskytuje definícia usporiadaného páru v teórii množín. Tu je dvojica (langle x, y / rangle) definovaná ako množina ({ {x }, {x, y } }). Pokiaľ ide o vysvetlenie, táto definícia nemá za cieľ zachytiť všetky aspekty predchádzajúcich použití „usporiadaného páru“v matematike (a v bežnom živote); namiesto toho sa zameriava na zachytenie základných použití. Základným faktom nášho používania „usporiadaného páru“je to, že sa riadi zásadou, že páry sú zhodné, ak sú ich príslušné komponenty zhodné:

(langle x, y / rangle = / langle u, v / rangle / text {iff} x = u / amp y = v.)

A je možné overiť, že vyššie uvedená definícia spĺňa zásadu. Definícia má určité dôsledky, ktoré nie sú v súlade s bežnou predstavou. Definícia napríklad znamená, že objekt (x) je členom dvojice (langle x, y / rangle) a táto implikácia nie je súčasťou bežného pojmu. Nesúlad však nie je námietkou proti vysvetleniu. Čo je dôležité pre vysvetlenie, nie je predchádzajúci význam, ale funkcia. Pokiaľ sa tento druh zachová, bývalý môže byť prepustený. To je táto vlastnosť vysvetlenia, ktorá viedla WVO Quina (1960, §53) k tomu, aby vyzdvihol svoje cnosti a potvrdil definíciu „usporiadaného páru“ako filozofického paradigmy.

Pravda funkčná podmienka poskytuje ďalšie znázornenie vysvetlenia. Táto podmienka sa v niektorých podstatných ohľadoch líši od bežných podmienok. Napriek tomu možno podmienečnosť s pravou funkciou uvádzať ako vysvetlenie bežných podmienečných podmienok na určité účely v určitých kontextoch. To, či je návrh primeraný, závisí rozhodujúcim spôsobom od príslušných cieľov a súvislostí. To, že sa tieto dve podmienky líšia v dôležitých, ba dokonca podstatných ohľadoch, automaticky nevylučuje návrh.

1.6 Výrazné definície

Výrazné definície zvyčajne závisia od kontextu a skúseností. Predpokladajme, že v konverzačnom kontexte je jeden pes medzi niekoľkými viditeľnými. Potom je možné zaviesť meno „Freddie“ustanovením „nech je Freddie týmto psom“. Ako ďalší príklad predpokladajme, že sa pozeráte na vetvu kríka a dočasne uvediete názov „Charlie“takto: „nech je Charlie hmyzom v tejto vetve.“Táto definícia môže pripnúť referenta na „Charlie“, aj keď je na vetve veľa hmyzu. Ak vám váš vizuálny zážitok predstavuje iba jeden z týchto druhov hmyzu (povedzme, pretože ostatní sú príliš malí na to, aby boli viditeľní), potom je týmto hmyzom označenie vášho použitia opisu „hmyz na tejto vetve“. Skúsenosti môžeme považovať za predstavenie témy obmedzenej časti sveta. Táto časť môže slúžiť ako bod hodnotenia výrazov v ostenzívnom vymedzení.^[2] V dôsledku toho môže definícia s pomocou skúseností sprostredkovať referenta na definovaný pojem, ak by to bez tejto pomoci neurobil. V tomto príklade popis „hmyz v tejto vetve“neznamená, keď sa hodnotí na celom svete, ale označuje sa, keď sa hodnotí v tej časti, ktorá je prezentovaná vo vašom vizuálnom zážitku. Pozri Gupta 2019, kde je uvedený popis prínosu skúseností k významu zdanlivo definovaného pojmu.

Výrazná definícia môže priniesť podstatné obohatenie jazyka. Výrazné vymedzenie pojmu „Charlie“obohacuje jazyk názvom konkrétneho hmyzu a mohlo by sa stať, že pred obohatením tohto jazyka chýbali zdroje na označenie tohto konkrétneho hmyzu. Na rozdiel od iných známych definícií môžu ostenzívne definície zavádzať pojmy, ktoré nie sú vylúčené. (Zostávajúce definície teda nemusia spĺňať nižšie uvedené kritérium Eliminability; môžu tiež nesplniť aj kritérium konzervatívnosti, ktoré je tiež vysvetlené nižšie.)

Schopnosť výrazných definícií zaviesť v podstate novú slovnú zásobu viedla niektorých mysliteľov, aby ich vnímali ako zdroj všetkých primitívnych pojmov. Russell teda tvrdí, že

všetky nominálne definície, ak sú dostatočne posunuté späť, musia v konečnom dôsledku viesť k pojmom, ktoré majú iba ostenzívne definície, a v prípade empirickej vedy musia empirické pojmy závisieť od pojmov, ktoré sú vo vnímaní dané okázalou definíciou. (s. 242)

V časti „Význam a ostenzívna definícia“CH Whiteley považuje za predpoklad, že ostenzívne definície sú „prostriedky, pomocou ktorých sa muži učia významom väčšiny, ak nie všetkých, tých elementárnych výrazov vo svojom jazyku, v ktorých sú definované ďalšie výrazy. (332) Malo by sa však poznamenať, že nič v logike a sémantike ostenzívnych definícií nezaručuje základný obraz pojmov alebo jazykového vzdelávania. Ludwig Wittgenstein pri svojich filozofických vyšetrovaniach takéto zakladajúce obrázky rozhodne kritizoval. Pozitívne názory Wittgensteina na ostiktívne vymedzenie však ostávajú nepolapiteľné; pre interpretáciu pozri Hacker 1975.

Sú dôležité zostávajúce definície, ale ich chápanie zostáva na základnej úrovni. Zaslúžia si väčšiu pozornosť logistov a filozofov.

1.7 Poznámka

Druhy, do ktorých sme usporiadali definície, sa vzájomne nevylučujú, ani nie sú vyčerpávajúce. Definitívna definícia pojmu môže byť, ak sa tak stane, primerane primeraná jeho predchádzajúcemu použitiu. Slovník môže obsahovať výrazné definície niektorých slov (napr. Farebných slov). Vysvetľujúce môžu byť aj okázalé definície. Napríklad, jeden môže ponúknuť vylepšenie už existujúceho konceptu „jedna noha“, teda „nech je jedna noha súčasnou dĺžkou tyče“. Pri jeho predchádzajúcom použití môže byť pojem „jedna noha“dosť vágny; zdanlivo zavedené vysvetlenie môže byť naopak relatívne presné. Okrem toho, ako uvidíme nižšie, existujú aj iné druhy definícií, ako sú tie, ktoré sa doteraz zvažovali.

2. Logika definícií

Mnoho definícií - dotlačných, opisných a vysvetľujúcich - možno analyzovať do troch prvkov: výraz, ktorý je definovaný ((X)), výraz obsahujúci definovaný výraz ((ldots X / ldots)) a ďalší výraz ((- - - - - -)), ktorý je rovný definícii s týmto výrazom. Takéto definície môžu byť reprezentované takto:

(tag {2} X: / ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

(Vyberáme ostenzívne definície, ktoré si jednoznačne vyžadujú bohatšiu reprezentáciu.) Ak je definovaný pojem z kontextu jasný, môže sa reprezentácia zjednodušiť

(ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

Výraz na ľavej strane '(eqdf)' (tj (ldots X / ldots)) je definíciou definície a výraz na pravej strane je jeho definícia - vychádza sa z toho, že definícia a definitíva patria do tej istej logickej kategórie. Všimnite si rozdiel medzi definovaným termínom a definitívnym záverom: definovaný výraz v tomto príklade je (X); definitívne vyhlásenie je nešpecifikovaný výraz na ľavej strane '(eqdf)', ktorý môže alebo nemusí byť totožný s (X). (Niektorí autori nazývajú definovaný pojem „definiendum“; iní používajú zmätený výraz, niekedy odkazujú na definovaný pojem a niekedy na vlastný definičný záver.) Nie všetky definície nájdené v logickej a filozofickej literatúre spadajú do schémy (2), Čiastočné definície napríklad nespadajú do systému;ďalší príklad poskytuje definícia logických konštánt z hľadiska úvodných a vylučovacích pravidiel, ktorými sa riadia. Napriek tomu sú najdôležitejšie definície, ktoré sú v súlade s bodom (2), a budú sa nás týkať predovšetkým.

Zamerajme sa na určujúce definície a uvažujme o ich logike. Ako uvidíme, niektoré z dôležitých ponaučení obsahujú opisné a vysvetľujúce definície. Pre jednoduchosť zvážme prípad, keď jednotná definícia dočasne zavádza pojem. (Viaceré definície prinášajú notatickú zložitosť, ale nevyvolávajú nové koncepčné problémy.) Predpokladajme teda, že jazyk (L), základný jazyk, sa rozšíri pridaním nového výrazu (X) do rozšíreného jazyka (L ^ {+}), kde (X) je dočasne definovaný definíciou (mathcal {D}) formy (2). Aké logické pravidlá sa riadia (mathcal {D})? Aké požiadavky musí definícia spĺňať?

Predtým, ako sa budeme venovať týmto otázkam, pozrime sa na rozdiel, ktorý nie je vyznačený v logických knihách, ale ktorý je užitočný pri uvažovaní o definíciách. V jednom druhu definície - nazývame to homogénna definícia - definovaný pojem a definícia patria do rovnakej logickej kategórie. Jeden singulárny výraz je teda definovaný prostredníctvom singulárneho termínu; všeobecný pojem prostredníctvom všeobecného termínu; trest prostredníctvom vety; a tak ďalej. Povedzme, že homogénna definícia je pravidelná, ak je jej definícia totožná s definovaným pojmom. Tu je niekoľko príkladov pravidelných homogénnych definícií:

(tag {3} begin {align *} 1: 1 & / eqdf / text {nástupca} 0, \\ / text {man}: / text {man} a / eqdf / text {racional animal}, \\ / text {The True}: / text {The True} & / eqdf / text {všetko je totožné s ním}. / End {align *})

Všimnite si, že „Pravda“, ako je definovaná vyššie, patrí do kategórie vety, nie do kategórie jednotného čísla.

Niekedy sa hovorí, že definície sú iba recepty na skratky. Alfred North Whitehead a Bertrand Russell teda hovoria o definíciách - najmä o tých, ktoré sa používajú v Principia Mathematica - že ide o „prísne vzaté, typografické vymoženosti (1925, 11)“. Toto hľadisko má hodnovernosť iba pre pravidelné homogénne definície, aj keď to nie je skutočne možné. (Z vlastných pripomienok Whiteheada a Russella vyplýva, že ich definície sú viac ako len „typografické vymoženosti“. ^[3]) Myšlienka, že definície sú iba skratkami, nie je vôbec vierohodná pre druhý druh definície, na ktorý sa teraz obrátime., V druhom druhu definície - nazývame to heterogénna definícia - definovaný pojem a definícia patria do rôznych logických kategórií. Napríklad všeobecný pojem (napr. „Človek“) môže byť definovaný pomocou sentimentálneho definície (napr. „(X) je človek“). V ďalšom príklade môže byť jednotný výraz (napr. „1“) definovaný pomocou predikátu (napr. „Je identický s 1“). Heterogénne definície sú oveľa bežnejšie ako homogénne definície. Napríklad v známych jazykoch prvého poriadku je zbytočné definovať, povedzme, jednostranný predikát (G) homogénnou definíciou. Tieto jazyky nemajú zdroje na vytváranie zložených predikátov; preto definície homogénnej definície (G) musia byť atómové. V heterogénnej definícii však môžu byť definície ľahko zložité; napríklad, (tag {4} Gx / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10.)

Ak má jazyk zariadenie na abstrakciu - napr. Na formovanie množín - mohli by sme dať iný druh heterogénnej definície (G):

(tag {5} text {množina} G / text {s} eqdf / text {množina čísel medzi 3 a 10.})

Všimnite si, že heterogénna definícia, ako je (4), nie je iba skratkou. Ak by tomu tak bolo, výraz (x) v nej by nebol skutočnou premennou a definícia by neposkytovala žiadne usmernenie o úlohe (G) v iných kontextoch ako (Gx). Okrem toho, ak by takéto definície boli skratkami, podliehalo by požiadavke, aby bolo konečné znenie kratšie ako stanovené, ale takáto požiadavka neexistuje. Na druhej strane by skutočné požiadavky na definície nemali žiadny zmysel. Nasledujúce ustanovenie nie je legitímnou definíciou:

(tag {6} Gx / eqdf x / gt y / amp x / lt 10.)

Ak sa však bude považovať za obyčajnú skratku, nebude to nič nezákonné.

Niektoré určujúce definície nie sú ničím iným ako iba skratkami (napr. Definície, ktoré riadia vynechanie zátvoriek vo vzorcoch; pozri Church 1956, § 11). Mnohé určujúce definície však nie sú tohto druhu; vnášajú do našej diskusie zmysluplné veci. Definícia (4) teda robí (G) zmysluplný unárny predikát: (G) vyjadruje na základe (4) konkrétny koncept. Na rozdiel od toho, podľa ustanovenia (6), (G) nie je zmysluplným predikátom a nevyjadruje žiaden pojem akéhokoľvek druhu. Aký je však zdroj tohto rozdielu? Prečo je (4) legitímny, ale nie (6)? Všeobecnejšie, kedy je definícia legitímna? Aké požiadavky musia vymedzené osoby spĺňať? A na to príde definitívne vyhlásenie? Musí byť definícia napríklad atómová, ako v bodoch (3) a (4)? Ak nie, aké obmedzenia (ak existujú) existujú v konečnom znení?

2.1 Dve kritériá

Pri každej odpovedi na tieto otázky je reálnou požiadavkou, aby boli splnené dve kritériá. ^[4] Po prvé, určujúca definícia by nám nemala umožniť stanoviť v zásade nové tvrdenia - nazýva to kritérium konzervatívnosti. Nemali by sme byť schopní ustanoviť iba obyčajným ustanovením nové veci, napríklad o mesiaci. Je pravda, že pokiaľ nie je toto kritérium presné, podlieha triviálnym protikladom, keďže zavedenie definície má zásadný vplyv na niektoré skutočnosti. Kritérium však môže byť spresnené a obhájiteľné a čoskoro uvidíme niekoľko spôsobov, ako to dosiahnuť.

Po druhé, definícia by mala opraviť použitie definovaného výrazu (X) - nazýva sa to kritérium použitia. Toto kritérium je prijateľné, pretože je k dispozícii iba definícia - a nič iné -, ktorá nás vedie pri používaní (X). Sú tu však komplikácie. Čo sa počíta ako použitie (X)? Patria sem udalosti spadajúce do rozsahu „povedz“a „viem“? A čo výskyt (X) v kontextoch cenových ponúk a tých, ktoré sú v slovách, napríklad 'Xenophanes'? Posledná otázka by mala dostať, je zrejmé, odpoveď „Nie“. Odpovede na predchádzajúce otázky však nie sú také jasné. Je tu ďalšia komplikácia: aj keď dokážeme nejakým spôsobom oddeliť skutočné výskyty (X), je možné, že niektoré z týchto výskytov sú podľa definície právom ignorované. Napríklad,definícia kvocientu môže nechať niektoré výskyty pojmu nedefinované (napr. ak je delenie 0). Pravoslávnym názorom je definovať nelegitímne definície, ale ortodoxie si tu zaslúži spochybnenie. Nechajme však túto výzvu pri inej príležitosti a pokračujme v obchádzaní komplikácií prostredníctvom idealizácie. Obmedzme sa na pozemné jazyky, ktoré majú jasne určenú logickú štruktúru (napr. Jazyk prvého poriadku) a ktoré neobsahujú žiadne výskyty definovaného pojmu (X). A obmedzme sa na definície, ktoré neobmedzujú legitímne výskyty (X). Kritérium použitia teraz diktuje, že definícia by mala opraviť použitie všetkých výrazov v rozšírenom jazyku, v ktorom sa vyskytuje (X). Pravoslávnym názorom je definovať nelegitímne definície, ale ortodoxie si tu zaslúži spochybnenie. Nechajme však túto výzvu pri inej príležitosti a pokračujme v obchádzaní komplikácií prostredníctvom idealizácie. Obmedzme sa na pozemné jazyky, ktoré majú jasne určenú logickú štruktúru (napr. Jazyk prvého poriadku) a ktoré neobsahujú žiadne výskyty definovaného pojmu (X). A obmedzme sa na definície, ktoré neobmedzujú legitímne výskyty (X). Kritérium použitia teraz diktuje, že definícia by mala opraviť použitie všetkých výrazov v rozšírenom jazyku, v ktorom sa vyskytuje (X). Pravoslávnym názorom je definovať nelegitímne definície, ale ortodoxie si tu zaslúži spochybnenie. Nechajme však túto výzvu pri inej príležitosti a pokračujme v obchádzaní komplikácií prostredníctvom idealizácie. Obmedzme sa na pozemné jazyky, ktoré majú jasne určenú logickú štruktúru (napr. Jazyk prvého poriadku) a ktoré neobsahujú žiadne výskyty definovaného pojmu (X). A obmedzme sa na definície, ktoré neobmedzujú legitímne výskyty (X). Kritérium použitia teraz diktuje, že definícia by mala opraviť použitie všetkých výrazov v rozšírenom jazyku, v ktorom sa vyskytuje (X). Obmedzme sa na pozemné jazyky, ktoré majú jasne určenú logickú štruktúru (napr. Jazyk prvého poriadku) a ktoré neobsahujú žiadne výskyty definovaného pojmu (X). A obmedzme sa na definície, ktoré neobmedzujú legitímne výskyty (X). Kritérium použitia teraz diktuje, že definícia by mala opraviť použitie všetkých výrazov v rozšírenom jazyku, v ktorom sa vyskytuje (X). Obmedzme sa na pozemné jazyky, ktoré majú jasne určenú logickú štruktúru (napr. Jazyk prvého poriadku) a ktoré neobsahujú žiadne výskyty definovaného pojmu (X). A obmedzme sa na definície, ktoré neobmedzujú legitímne výskyty (X). Kritérium použitia teraz diktuje, že definícia by mala opraviť použitie všetkých výrazov v rozšírenom jazyku, v ktorom sa vyskytuje (X). Kritérium použitia teraz diktuje, že definícia by mala opraviť použitie všetkých výrazov v rozšírenom jazyku, v ktorom sa vyskytuje (X). Kritérium použitia teraz diktuje, že definícia by mala opraviť použitie všetkých výrazov v rozšírenom jazyku, v ktorom sa vyskytuje (X).

Variantná formulácia kritéria použitia je takáto: definícia musí určovať význam vymedzenia. Nová formulácia je menej rozhodná a spornejšia, pretože sa spolieha na „význam“, nejednoznačný a teoreticky sporný pojem.

Všimnite si, že tieto dve kritériá upravujú všetky vymedzujúce definície bez ohľadu na to, či sú jednoduché alebo viacnásobné, alebo či majú formu (2) alebo nie.

2.2 Základy tradičného účtu

Tradičný popis definícií je založený na troch nápadoch. Prvou myšlienkou je, že definície sú zovšeobecnené identity; druhý, že sentiment je primárny; a po tretie, zníženie. Prvá myšlienka, že definície sú všeobecné identity, motivuje inferenčné pravidlá tradičného účtu pre definície. Ide o to, že (i) každý výskyt definitívneho stavu môže byť nahradený výskytom definiénov (odstránenie všeobecného deficitu); a naopak, (ii) akýkoľvek výskyt definiens môže byť nahradený výskytom definiendum (Generalized Definiendum Introduction).

Druhá myšlienka - nadradenosť sentimentu - má svoje korene v myšlienke, že základné použitia pojmu sú v tvrdení a argumente: ak pochopíme použitie definovaného pojmu v tvrdení a argumente, potom tento pojem úplne pochopíme. Rozsudok je však primárny v argumentácii a tvrdení. Z tohto dôvodu je na vysvetlenie použitia definovaného pojmu (X), druhá myšlienka, potrebné a postačujúce vysvetliť použitie sentimentálnych položiek, ktoré obsahujú (X). (Pod významnými položkami sa tu rozumejú vety a vety podobné vetám s voľnými premennými, napr. Definícia bodu (4); odteraz sa tieto položky budú nazývať vzorce.) Problémy, ktoré druhá myšlienka nastoľuje, sú samozrejme veľké a dôležité, ale v krátkom prieskume ich nemožno riešiť. Prijmime túto myšlienku jednoducho ako danú.

Tretia myšlienka - redukcia - spočíva v tom, že použitie vzorca (Z) obsahujúceho definovaný pojem sa vysvetľuje redukciou (Z) na vzorec v základnom jazyku. Táto myšlienka, keď sa spája s nadradenosťou sentimentu, vedie k silnej verzii kritéria použitia nazvaného Kritérium odstrániteľnosti: definícia musí zredukovať každý vzorec obsahujúci definovaný pojem na vzorec v základnom jazyku, tj jeden bez definovaný pojem. Eliminovateľnosť je charakteristická téza tradičného účtu a, ako uvidíme nižšie, môže byť spochybnená.

Upozorňujeme, že tradičný účet nevyžaduje zníženie všetkých výrazov rozšíreného jazyka; Vyžaduje sa to iba redukcia receptúr. Napríklad definícia predikátu (G) nemusí poskytnúť žiadny spôsob, ako zredukovať (G) na predikát základného jazyka. Tradičný účet je teda v súlade s myšlienkou, že definičná definícia môže do jazyka pridať nový koncepčný zdroj, pretože nič v základnom jazyku nevyjadruje predikatívny pojem, ktorý (G) vyjadruje v rozšírenom jazyku. To však nepopiera, že v rozšírenom jazyku nie je vyjadrený žiadny nový návrh - aspoň v zmysle pravdy - podmienky.

2.3 Konzervatívnosť a odstrániteľnosť

Pozrime sa teraz, ako je možné spresniť konzervatívnosť a eliminovateľnosť. Najprv zvážte jazyky, ktoré majú presný systém dôkazov známeho druhu. Nech je prízemný jazyk (L) taký. Dôkazový systém (L) môže byť klasický alebo trojhodnotový alebo modálny alebo relevantný alebo iný; a môže alebo nemusí obsahovať niektoré neslogické axiómy. Predpokladáme iba to, že máme k dispozícii pojmy „veta (L)“a „preukázateľne rovnocenné v (L)“, a tiež pojmy „veta (L ^ {+})“a „ preukázateľne rovnocenný v (L ^ {+}) , ktorý vznikne, keď sa kontrolný systém (L) doplní definíciou (mathcal {D}) a logickými pravidlami upravujúcimi definície. Kritérium konzervatívnosti je teraz možné spresniť takto.

Kritérium konzervatívnosti (syntaktická formulácia): Akýkoľvek vzorec (L), ktorý je preukázateľný v (L ^ {+}), je preukázateľný v (L).

To znamená, že akýkoľvek vzorec (L), ktorý je preukázateľný pomocou definície (mathcal {D}), je tiež preukázateľný bez použitia (mathcal {D}): táto definícia nám neumožňuje dokázať nič nové v (L). Kritérium vylúčenia možno spresniť takto:

Kritérium vylúčenia (syntaktická formulácia): Pre každý vzorec (A) z (L ^ {+}) existuje vzorec (L), ktorý je preukázateľne ekvivalentný v (L ^ {+}) do (A).

(Folklór pripisuje poľskému logikovi S. Leśniewskému za formulovanie kritérií konzervatívnosti a eliminovateľnosti, je to však chyba; diskusie a ďalšie referencie nájdete v Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak a Hämäri 2012). ^[5]

Teraz vybavme (L) sémantiku modelu. To znamená, že spájame s triedou interpretácií (L) a sprístupňujeme pojmy "platné v (L) pri interpretácii (M)" (aka: "true v (L)) v (M) ") a" sémanticky ekvivalent v (L) vzhľadom na (M). " Nech sémantiky / \ L {L} {+}) v (L {M}) "a / sémanticky ekvivalentné " (M) ")" (L) sa dopĺňa definíciou definície (mathcal {D}). Kritériá konzervatívnosti a eliminovateľnosti sa teraz dajú spresniť takto:

Kritérium konzervatívnosti (sémantická formulácia): Pre všetky vzorce (A) z (L) a všetky interpretácie (M), ak (A) je platné v (L ^ {+}) v (M) potom (A) je tiež platné v (L) v (M).

Kritérium vylúčenia (sémantická formulácia): Pre akýkoľvek vzorec (A) z (L ^ {+}) existuje vzorec (B) z (L) taký, že vzhľadom na všetky interpretácie (M, B / je sémanticky ekvivalentný v (L ^ {+}) k (A).

Syntaktické a sémantické formulácie týchto dvoch kritérií sú zjavne paralelné. Avšak aj keď predpokladáme, že pre (L) a (L ^ {+}) platia silné vety úplnosti, tieto dve formulácie nie sú rovnocenné. V každom rámci je možné niekoľko rôznych, neekvivalentných formulácií týchto dvoch kritérií, syntaktických a sémantických.

Všimnite si, že splnenie kritérií konzervatívnosti a eliminovateľnosti, či už v sémantickom alebo syntaktickom zložení, nie je absolútnou vlastnosťou definície; spokojnosť je vo vzťahu k základnému jazyku. Rôzne príbuzné jazyky s nimi môžu spájať rôzne systémy dokazovania a rôzne triedy interpretácií. Definícia teda môže spĺňať dve kritériá, keď sa pridá do jedného jazyka, ale nemusí to urobiť, keď sa pridá do iného jazyka. Ďalšie informácie o kritériách pozri Suppes 1957 a Belnap 1993.

2.4 Definície v normálnej podobe

Pre konkrétnosť určme základný jazyk (L) ako klasický jazyk prvého poriadku s identitou. Dôkazový systém (L) môže obsahovať niektoré neslogické axiómy (T); interpretácie (L) sú potom klasickými modelmi (T). Rovnako ako predtým, (L ^ {+}) je rozšírený jazyk, ktorý vznikne, keď sa do (L) pridá definícia (mathcal {D}) z logickej konštanty (X); preto (X) môže byť meno, predikát alebo funkčný symbol. Hovorte dvom definíciám ekvivalentným, ak poskytujú rovnaké vety v rozšírenom jazyku. Potom je možné preukázať, že ak (mathcal {D}) spĺňa kritériá konzervatívnosti a eliminovateľnosti, potom (mathcal {D}) zodpovedá definícii v normálnej podobe, ako je uvedené nižšie. ^[6] Keďže definície v normálnej podobe zodpovedajú požiadavkám konzervatívnosti a eliminovateľnosti, z tradičného účtu vyplýva, že nestratíme nič podstatné, ak požadujeme, aby definície boli v normálnej podobe.

Normálna forma definícií sa môže špecifikovať nasledovne. Definície mien (a, n) - ary predikáty (H) a (n) - ary funkčných symbolov (f) musia mať nasledujúce formy:

(begin {align} tag {7} a = x & / eqdf / psi (x), \\ / tag {8} H (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) & / eqdf / phi \, (x_ {1}, / ldots, x_ {n}), \\ / tag {9} f (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) = y & / eqdf / chi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n}, y), / end {align})

kde premenné (x_ {1}), …, (x_ {n}), (y) sú rôzne a definícia v každom prípade spĺňa podmienky, ktoré možno rozdeliť na všeobecné a konkrétne part. ^[7] Všeobecná podmienka týkajúca sa definiens je v každom prípade rovnaká: nesmie obsahovať definovaný pojem ani voľné premenné iné ako tie, ktoré sú definované v definícii. Všeobecné podmienky zostávajú rovnaké, keď sa tradičný účet definície uplatňuje na neklasickú logiku (napr. Na mnohohodnotnú a modálnu logiku). Špecifické podmienky sú variabilnejšie. V klasickej logike je špecifickou podmienkou v definíciách (psi (x)) z (7) to, že spĺňa podmienku existencie a jedinečnosti: že sa dá dokázať, že niečo vyhovuje (psi (x)) a čo najviac vyhovuje (psi (x)). ^[8]Neexistujú žiadne špecifické podmienky pre (8), ale podmienka pre (9) je rovnaká ako pre (7). Musí existovať požiadavka na existenciu a jedinečnosť: všeobecné uzavretie vzorca

(existuje y \, / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, y) amp / forall u / forall v (chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, u) amp / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])

musí byť preukázateľná. ^[9]

V logike, ktorá umožňuje prázdne mená, by bola špecifická podmienka v definíciách bodu (7) slabšia: podmienka existencie by bola zrušená. Na rozdiel od toho, v modálnej logike, ktorá vyžaduje, aby boli mená nepružné a nepružné, by sa konkrétna podmienka posilnila: nielen sa musí preukázať nevyhnutne existencia a jedinečnosť, musí sa preukázať, že definície sú splnené jedným a rovnaký objekt naprieč možnými svetmi.

Vymedzenia pojmov, ktoré sú v súlade s bodmi 7 až 9, sú heterogénne; Definícia je sentimentálna, ale definovaný termín nie je. Jedným zo zdrojov špecifických podmienok v bodoch (7) a (9) je ich heterogenita. Potrebné sú konkrétne podmienky, aby sa zabezpečilo, že definície, aj keď nie sú logickou kategóriou definovaného pojmu, mu dodávajú správne logické správanie. Podmienky teda zabezpečujú, že logika rozšíreného jazyka je rovnaká ako logika základného jazyka. To je dôvod, prečo sa špecifické podmienky pre bežné formuláre môžu líšiť v závislosti od logiky základného jazyka. Všimnite si, že bez ohľadu na túto logiku nie sú potrebné pravidelné podmienky na pravidelné homogénne definície.

Tradičný účet umožňuje jednoduché logické pravidlá pre definície a tiež jednoduchú sémantiku pre rozšírený jazyk. Predpokladajme, že definícia (mathcal {D}) má rozhodcovské rozhodnutie. (V klasickej logike možno všetky definície ľahko transformovať, aby splnili túto podmienku.) Nech je (mathcal {D})

(tag {10} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) eqdf / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}),)

kde (x_ {1}), …, (x_ {n}) sú všetky premenné zadarmo v (phi) alebo (psi). A nech (phi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) a (psi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) vedú k súčasnému nahradeniu výrazov (t_ {1}), …, (t_ {n}) pre (x_ {1}), …, (x_ {n}) v uvedenom poradí, (phi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n})) a (psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n})); zmena viazaných premenných podľa potreby. Potom pravidlá odvodenia, ktorými sa riadi (mathcal {D}), sú jednoducho tieto:

(begin {align *} frac { phi (t_1, / ldots, t_n)} { psi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Eliminácia definendií} & \\ / frac { psi (t_1, / ldots, t_n)} { phi (t_1, / ldots, t_n)}, / a / textbf {Definiendum Introduction} end {align *})

Sémantika rozšíreného jazyka je tiež jednoduchá. Predpokladajme napríklad, že (mathcal {D}) je definícia názvu (a) a predpokladajme, že ak je uvedený v normálnej podobe, je ekvivalentný s (7). Potom sa každá klasická interpretácia (M) z (L) rozšíri na jedinečnú klasickú interpretáciu (M ^ {+}) rozšíreného jazyka (L ^ {+}). Označenie (a) v (M ^ {+}) je jedinečný objekt, ktorý vyhovuje (psi (x)) v (M); podmienky na (psi (x)) zabezpečujú, že taký objekt existuje. Sémantika definovaných predikátov a funkčných symbolov je podobná. Logika a sémantika definícií v neklasickej logike dostávajú podľa tradičného účtu paralelné zaobchádzanie.

Všimnite si, že inferenčná sila pridávania definície (10) do jazyka je rovnaká ako sila pridávania ako axióma, univerzálne uzavretie

(tag {11} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) leftrightarrow / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}).)

Táto podobnosť v logickom správaní (10) a (11) by však nemala zakrývať veľké rozdiely medzi dvojsmernou ('(leftrightarrow)') a definičnou ekvivalenciou ('(eqdf)'). Prvý je sentimentálny spojovací, ale druhý je transkategorický: na obidvoch stranách '(eqdf)' sa môžu vyskytnúť nielen vzorce, ale aj predikáty, názvy a položky iných logických kategórií. Okrem toho sa dvojväzbová cesta môže opakovať - napr. (((Phi / leftrightarrow / psi) leftrightarrow / chi)) - ale nie definičnú ekvivalenciu. Nakoniec je možné pojem zaviesť prostredníctvom dohodnutej definície do základného jazyka, ktorého logické zdroje sú obmedzené, napríklad na klasickú spojitosť a disjunkciu. Je to úplne uskutočniteľné, hoci dvojsmerný jazyk nie je v jazyku vyjadriteľný. V takých prípadoch,inferenčná úloha definičnej definície sa neodráža žiadnym vzorcom rozšíreného jazyka.

Na tradičný účet definícií by sa nemalo pozerať tak, že vyžaduje, aby definície boli v normálnej podobe. Jediné požiadavky, ktoré ukladá, sú: i) definícia obsahuje definovaný pojem; ii) že definitívne znenie a definitívne položky patria do tej istej logickej kategórie; a (iii) táto definícia spĺňa konzervatívnosť a eliminovateľnosť. Pokiaľ sú tieto požiadavky splnené, neexistujú žiadne ďalšie obmedzenia. Definícia, rovnako ako definiens, môže byť komplexná; a definiens, rovnako ako definiendum, môže obsahovať definovaný pojem. Napríklad formálne nie je nič zlé, ak definícia funkčného výrazu „počet“má ako svoje konečné znenie vzorec „počet (F) s je počet (G) s '. Úlohou normálnych formulárov je iba poskytnúť jednoduchý spôsob, ako zabezpečiť, aby definície vyhovovali konzervatívnosti a eliminovateľnosti; neposkytujú jediný legitímny formát na dočasné zavedenie termínu. Preto dôvodom, prečo (4) nie je (6), nie je legitímna definícia, že (4) je v normálnej podobe a (6) nie.

(begin {align *} tag {4} Gx & / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10. \\ / tag {6} Gx & / eqdf x / gt y / amp x / lt 10. / end {align *})

Dôvod je ten, že (4) tieto dve kritériá rešpektuje, ale (6) ich nedodržiava. (Predpokladá sa, že základný jazyk obsahuje obyčajnú aritmetiku; podľa tohto predpokladu druhá definícia znamená protirečenie.) Nasledujúce dve definície tiež nie sú v normálnej podobe:

(begin {align *} tag {12} Gx & / eqdf (x / gt 3 / amp x / lt 10) amp y = y. \\ / tag {13} Gx a / eqdf [x = 0 / amp (G0 / vee G1)] vee [x = 1 / amp ({ sim} G0 / amp { sim} G1)]. / End {align *})

Podľa tradičného účtu by sa však mali obe považovať za legitímne, pretože spĺňajú kritériá konzervatívnosti a eliminovateľnosti. Z toho vyplýva, že tieto dve definície možno uviesť v normálnej podobe. Definícia (12) je jednoznačne ekvivalentná k (4) a definícia (13) je ekvivalentná k (14):

(tag {14} Gx / eqdf x = 0.)

Všimnite si, že definície (13) nie sú logicky ekvivalentné žiadnemu vzorcu bez (G). Definícia má však normálnu podobu.

Podobne je tradičný účet dokonale kompatibilný s rekurzívnymi (tzv. Induktívnymi) definíciami, ako sú tie, ktoré sa nachádzajú v logike a matematike. Napríklad v Peano aritmetike možno exponentíciu definovať pomocou nasledujúcich rovníc:

(tag {15} begin {align *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. / End {align *})

Tu prvá rovnica nazývaná základná klauzula definuje hodnotu funkcie, keď exponent je 0. A druhá klauzula nazývaná rekurzívna klauzula používa hodnotu funkcie, keď exponent je (n) na definovanie hodnota, ak exponent je (n + 1). Podľa tradičného vysvetlenia je to úplne legitímne, pretože veta peano aritmetiky stanovuje, že vyššie uvedená definícia je rovnocenná definícii v normálnej podobe. ^[10] Rekurzívne definície sú kruhové vo svojom formáte a je to práve táto okružnosť, ktorá ich robí viditeľnými. Cirkularita je však úplne na povrchu, ako ukazuje existencia normálnych foriem. Pozri diskusiu o kruhových definíciách nižšie.

2.5 Implicitné definície

Horeuvedené hľadisko umožňuje, aby tradičný účet vniesol do svojich záhybov myšlienky, ktoré by sa na prvý pohľad mohli zdať v rozpore s ním. Niekedy sa navrhuje, aby sa výraz (X) mohol zaviesť axiomaticky, to znamená stanovením určitých viet rozšíreného jazyka (L ^ {+}) ako axiómov. Axiomy sú potom implicitne definované (X). Táto myšlienka sa ľahko prispôsobí tradičnému účtu. Nech teória je množina viet rozšíreného jazyka (L ^ {+}). Potom, ak povieme, že teória (T ^ *) je implicitná (dohodnutá) definícia X, znamená to, že (X) sa riadi definíciou

(phi / eqdf / text {The True},)

kde (phi) je spojenie členov (T ^ *). (Ak je (T ^ *) nekonečné, bude potrebné pre každú vetu (psi) v (T ^ *) ustanoviť vyššie uvedený formulár.) ^[11] Táto definícia je legitímna podľa tradičný účet, pokiaľ spĺňa kritériá konzervatívnosti a eliminovateľnosti. Ak splní tieto kritériá, zavolajte (T ^ *) ako prípustné (pre definíciu X). Tradičný účet teda vyhovuje myšlienke, že teórie môžu dočasne zaviesť nové pojmy, ale vyžaduje to silný dopyt: teórie musia byť prijateľné. ^[12]

Pre konkrétnosť zvážte špeciálny prípad klasických jazykov prvého poriadku. Nech je prízemný jazyk (L) jeden taký a jeho interpretácia je vzorom niektorých viet (T). Povedzme, že interpretácia (M ^ {+}) z (L ^ {+}) je rozšírením interpretácie (M) z (L) iff (M) a (M ^ {+}) majú rovnakú doménu a priradia rovnaké sémantické hodnoty k logickým konštantám v (L). Ďalej to povedzme

(T ^ *) je implicitná sémantická definícia X iff, pre každú interpretáciu (M) z (L) existuje jedinečný model (M ^ {+}) z (T ^ *) tak, že (M ^ {+}) je rozšírenie (M).

Potom je nasledujúci nárok okamžitý:

Ak je prípustný (T ^ *), potom (T ^ *) je implicitná sémantická definícia (X).

To znamená, že prípustná teória určuje sémantickú hodnotu definovaného pojmu pri každej interpretácii základného jazyka. Toto pozorovanie poskytuje jednu prirodzenú metódu preukazovania, že teória nie je prípustná:

Padoaho metóda. Aby sa preukázalo, že (T ^ *) nie je prípustný, stačí skonštruovať dva modely (T ^ *), ktoré sú rozšírením jedného a toho istého výkladu základného jazyka (L). (Padoa 1900)

Tu je jednoduchá a filozoficky užitočná aplikácia Padoovej metódy. Predpokladajme, že dôkazovým systémom (L) je Peano aritmetika a že (L) sa rozširuje pridaním unárneho predikátu (Tr) (pre „Gödel číslo skutočnej vety (L)“). Nech (mathbf {H}) je teória pozostávajúca zo všetkých viet („Tarskiho dvojväzkové“) tejto formy:

[Tr (y) leftrightarrow / psi,)

kde (psi) je veta (L) a (s) je kanonický názov pre Gödelovo číslo (psi). Metóda Padoa znamená, že (mathbf {H}) nie je prípustný na definovanie (Tr). Pre (mathbf {H}) neopravuje interpretáciu (Tr) vo všetkých interpretáciách (L). Konkrétne to nerobí v štandardnom modeli, pretože (mathbf {H}) nekladie žiadne obmedzenia na správanie (Tr) na čísla, ktoré nie sú Gödelovými číslami viet. (Ak kódovanie poskytne každému prirodzenému číslu Gödelovo číslo vety, potom neštandardný model Peano Aritmetiky poskytne požadovaný príklad: má nekonečne veľa rozšírení, ktoré sú modelmi (mathbf {H}).) A Variant tohto argumentu ukazuje, že Tarskiho teória pravdy, ako je formulovaná v (L ^ {+}), nie je prípustná na definovanie (Tr).

A čo opačná metóda Padoa? Predpokladajme, že môžeme ukázať, že pri každej interpretácii základného jazyka, teória (T ^ *) fixuje jedinečnú sémantickú hodnotu pre definovaný pojem. Môžeme konštatovať, že (T ^ *) je prípustné? Táto otázka dostáva zápornú odpoveď na niektoré sémantické systémy a kladnú odpoveď na ostatné. (Naproti tomu Padoaho metóda funguje, pokiaľ sémantický systém nie je veľmi vynaliezaný.) Konverzia zlyhá napríklad pre klasické jazyky druhého poriadku, ale platí pre jazyky prvého poriadku:

Bethova teória definovateľnosti. Ak (T ^ *) je implicitná sémantická definícia (X) v jazyku prvého rádu, potom je prípustný (T ^ *).

Všimnite si, že veta platí, aj keď (T ^ *) je nekonečná množina. Dôkaz vety je uvedený v publikácii Boolos, Burgess a Jeffrey 2002; pozri tiež Beth 1953.

Myšlienka implicitnej definície teda nie je v rozpore s tradičným účtom. Tam, kde vznikne konflikt, je vo filozofických aplikáciách myšlienky. Zlyhanie prísnych redukcionistických programov koncom devätnásteho a začiatku dvadsiateho storočia viedlo filozofov k tomu, aby preskúmali voľnejšie druhy redukcionizmu. Napríklad Fregeova definícia čísla sa ukázala ako nekonzistentná, a teda neschopná udržať logistickú tézu, že princípy aritmetiky sú analytické. Ukazuje sa však, že princípy aritmetiky je možné odvodiť bez Fregeovej definície. Všetko, čo je potrebné, je jedným z dôsledkov, a to Humeov princíp:

Humeov princíp. Počet (F) s = počet (G) s, ak medzi (F) a (G) s existuje vzájomná korešpondencia.

Ak pridáme Humeov princíp do logiky druhého poriadku, potom môžeme analyticky odvodiť (druhého poriadku) Peano aritmetiku. (Podstata argumentu sa nachádza už vo Frege 1884.) Ústrednou tézou neo-Fregeanizmu je, že Humeov princíp je implicitnou definíciou funkčného výrazu „počet“(pozri Hale a Wright 2001). Ak je možné túto tézu obhájiť, môže sa udržať logicizmus o aritmetike, zatiaľ čo sa Fregeova explicitná (a nekonzistentná) definícia definuje. Neo-Fregeanova téza je však v rozpore s tradičným popisom definícií, pretože Humeov princíp porušuje konzervativitu aj eliminovateľnosť. Tento princíp umožňuje dokázať, pre ľubovoľné (n), že existujú aspoň (n) objekty.(Súvisiaca aplikácia má za cieľ udržať analytickosť geometrie prostredníctvom myšlienky, že axiómy geometrie sú implicitnými definíciami geometrických konceptov, ako sú „bod“a „čiara“. Aj tu existuje konflikt s tradičným účtom z dôvodu konzervatívnosti. a Eliminovateľnosť je porušená.)

Ďalší príklad: Program redukcionizmu pre teoretické koncepty (napr. Koncepty fyziky) mal za cieľ vyriešiť epistemologické problémy, ktoré tieto pojmy predstavujú. Cieľom programu bolo znížiť teoretické vety na (triedy) observačných viet. Zníženia sa však ukázali ako ťažké, ak nie nemožné, udržať. Vznikol tak návrh, že možno nerešpektujúcu zložku teórie považovať za implicitnú definíciu teoretických pojmov, bez akejkoľvek požiadavky na redukciu. Presná charakterizácia nepozorovacej zložky sa môže líšiť v závislosti od konkrétneho epistemologického problému. Musí však dôjsť k porušeniu jedného alebo oboch z týchto dvoch kritérií, konzervatívnosti a eliminovateľnosti. ^[13]

Posledný príklad: Podľa Tarskiho vety vieme, že žiadna teória nemôže byť prijateľnou definíciou predikátu pravdy, (Tr), pre jazyk Peano Aritmetic, ktorý je uvedený vyššie. Avšak možno ešte stále môžeme považovať teóriu (mathbf {H}) za implicitnú definíciu (Tr). (Paul Horwich predložil úzko súvisiaci návrh na bežné chápanie pravdy.) Aj tu je tlak vyvíjaný na hranice stanovené tradičným účtom. (mathbf {H}) spĺňa kritérium konzervatívnosti, ale nie kritérium eliminovateľnosti.

Aby sme mohli posúdiť výzvu, ktorú tieto filozofické aplikácie predstavujú pre tradičný účet, musíme vyriešiť problémy, ktoré sú v súčasnej filozofickej diskusii. Niektoré z týchto problémov sú nasledujúce. (i) Je zrejmé, že niektoré porušenia konzervatívnosti sú nelegitímne: nemožno to dokázať ustanovením, že napríklad ortuť je väčšia ako Venuša. Ak si teda filozofická aplikácia vyžaduje, aby boli niektoré porušenia konzervatívnosti legitímne, potrebujeme uviesť rozdiel medzi týmito dvoma druhmi: legitímnymi porušeniami konzervatívnosti a nezákonnými. A musíme pochopiť, čo robí jedného legitímnym, ale nie druhým. ii) Podobný problém vyvstáva v prípade možnosti vylúčenia. Zdá sa, že žiadna stará teória nemôže byť implicitnou definíciou pojmu (X).(Teória by mohla obsahovať iba tautológie.) Ak áno, potom znova potrebujeme vymedzenie teórií, ktoré môžu slúžiť na implicitné vymedzenie pojmu od tých, ktoré nemôžu. A potrebujeme odôvodnenie tohto rozlíšenia. iii) Filozofické aplikácie sa zásadne opierajú o myšlienku, že implicitná definícia určuje význam definovaného pojmu. Potrebujeme preto vysvetliť, čo tento význam znamená a ako ho implicitná definícia opravuje. Podľa tradičného vysvetlenia možno vzorce obsahujúce definovaný pojem chápať tak, že získavajú svoj význam zo vzorcov základného jazyka. (S ohľadom na nadradenosť sentimentu to určuje význam definovaného pojmu.) Tento krok však nie je k dispozícii na základe liberalizovanej koncepcie implicitnej definície. Ako tedamali by sme uvažovať o význame receptúry pri predpokladanom odklone od tradičného účtu? (iv) Aj keď sa predchádzajúce tri otázky uspokojivo riešia, pretrváva závažná obava. Predpokladajme, že pripúšťame, že teória (T) fyziky môže dočasne definovať svoje teoretické pojmy a že tieto výrazy vybavuje konkrétnymi význammi. Otázkou zostáva, či takto dotované významy sú totožné alebo dosť podobné významom, ktoré majú teoretické pojmy v ich skutočnom použití vo fyzike. Na túto otázku je potrebné odpovedať pozitívne, ak implicitné definície majú slúžiť ich filozofickej funkcii. Cieľom vyvolania implicitných definícií je zodpovedať za racionalitu alebo aprioricitu alebo analytickosť našich bežných rozsudkov,nejde o nijaké mimoriadne rozsudky, ktoré sú nejako priradené bežným znakom.

Pre ďalšiu diskusiu o týchto otázkach pozri Horwich 1998, najmä kapitola 6; Hale a Wright 2001, najmä kapitola 5; a tam citované diela.

2.6 Princíp začarovaného kruhu

Ďalšia odchýlka od tradičnej teórie sa začína myšlienkou, že teória nie je príliš striktná, ale že je príliš liberálna, že umožňuje nelegitímne definície. Tradičná teória teda umožňuje nasledujúce definície „klamára“a triedy prírodných čísel (mathbf {N}):

(16) (z) je klamár (eqdf), všetky tvrdenia uvádzané (z) sú nepravdivé;
(17) (z) patrí do (mathbf {N}) (eqdf) (z) patrí do každej indukčnej triedy, kde trieda je induktívna, ak obsahuje 0 a je uzavretá pod následná prevádzka.

Russell argumentoval, že takéto definície zahŕňajú jemný druh začarovaného kruhu. Definície prvej definície sa odvolávajú na Russellovu myšlienku, že všetky návrhy sú úplné, ale ak je to legitímne, bude mať za následok návrhy, ktoré sa dajú definovať iba odkazom na túto totalitu. Podobne sa druhá definícia pokúša definovať triedu (mathbf {N}) odkazom na všetky triedy, ktoré zahŕňajú definovanú triedu (mathbf {N}). Russell tvrdil, že takéto definície sú nezákonné. A uložil nasledujúce požiadavky nazývané „princíp začarovaného kruhu“- do definícií a konceptov. (Henri Poincaré tiež navrhol podobný nápad.)

Princíp začarovaného kruhu. „Čokoľvek sa týka celej zbierky, nesmie byť jednou zo zbierky (Russell 1908, 63).“

Ďalšia formulácia, ktorú Russell dal na princíp, je táto:

Princíp začarovaného kruhu (variantná formulácia). "Keby za predpokladu, že určitá zbierka mala celkom, mala by členov len definovateľnú z hľadiska tohto súčtu, potom uvedená zbierka nebude mať celkom (Russell, 1908, 63)."

V priloženej poznámke pod čiarou Russell vysvetlil: „Keď hovorím, že zbierka nemá celkom, myslím tým, že vyhlásenia o všetkých jej členoch sú nezmysly.“

Russellovou hlavnou motiváciou pre princíp Vicious-Circle boli logické a sémantické paradoxy. Pojmy ako „pravda“, „tvrdenie“a „trieda“vytvárajú za určitých nepriaznivých podmienok paradoxné závery. Tvrdenie „Cheney je klamár“, keď sa „klamár“chápe ako v (16), vedie k paradoxným záverom, ak Cheney tvrdil, že je klamár, a všetky ostatné tvrdenia, ktoré uplatňuje, sú v skutočnosti nepravdivé., Russell vzal zásadu Vicious-Circle, aby naznačil, že ak „Cheney je klamár“, vyjadruje tvrdenie, nemôže to spadať do rozsahu kvantifikátora v definíciách bodu (16). Vo všeobecnejšej rovine Russell tvrdil, že kvantifikácia vo všetkých tvrdeniach a vo všetkých triedach porušuje zásadu začarovaného kruhu, a preto je nezákonná. ďalejtvrdil, že výrazy ako „true“a „false“nevyjadrujú jedinečný koncept - v Russellovej terminológii, jedinečnú „výrokovú funkciu“, ale jednu z hierarchie výrokových funkcií rôznych rádov. Poučenie, ktoré Russell vyvodil z paradoxov, je tak, že doména zmysluplného je obmedzenejšia, ako by sa mohlo zdať, že tradičný zoznam pojmov a definícií je potrebné sprísniť, aby sa vylúčili záľuby (16) a (17).že je potrebné sprísniť tradičný opis pojmov a definícií, aby sa vylúčili záujmy (16) a (17).že je potrebné sprísniť tradičný opis pojmov a definícií, aby sa vylúčili záujmy (16) a (17).

Pri aplikácii na bežné, neformálne definície zásada Vicious-Circle princíp nestanovuje jasnú metódu vymedzenia zmysluplného od nezmyselného. Definícia (16) sa považuje za nelegitímnu, pretože kvantifikátor sa vo svojich definíciách pohybuje v rozmedzí všetkých návrhov. Hovorí sa nám, že je to zakázané, pretože ak by to bolo povolené, celý rad návrhov by „členov obsahoval iba z hľadiska súčtu“. Pokiaľ však nevieme viac o povahe návrhov a dostupných prostriedkoch na ich vymedzenie, nie je možné určiť, či (16) porušuje zásadu. Môže sa stať, že návrh, ako je „Cheney je klamár“- alebo uviesť menej sporný príklad,„Buď je Cheney klamárom alebo nie je“- možno definovať, že sa nebude odvolávať na všetky návrhy. Ak sú napríklad návrhy súborom možných svetov, zdá sa, že takáto definícia je uskutočniteľná.

Princíp Vicious-Circle však slúži ako účinná motivácia pre konkrétny popis legitímnych konceptov a definícií, a to tých, ktoré sú obsiahnuté v Russellovej Ramifikovanej teórii typu. Myšlienka je taká, že človek začína nejakými bezproblémovými prostriedkami, ktoré nevyžadujú kvantifikáciu návrhov, konceptov a podobne. Tieto zdroje umožňujú definovať napríklad rôzne unárne koncepty, ktoré sú zabezpečené splnením princípu bludného kruhu. Kvantifikácia nad týmito pojmami teda musí byť legitímna a môže sa pridať do jazyka. To isté platí pre návrhy a pre koncepty patriace do iných typov: pre každý typ je možné pridať kvantifikátor, ktorý je v rozsahu nad položkami (tohto typu), ktoré sú definované pomocou pôvodných bezproblémových zdrojov. Nové kvantifikačné zdroje umožňujú definovať ďalšie položky každého typu; tieto tiež rešpektujú zásadu a do jazyka sa môžu oprávnene pridať aj kvantifikátory v rámci rozšírených celkov. Nové zdroje umožňujú definíciu ďalších položiek. A tento proces sa opakuje. Výsledkom je, že máme hierarchiu návrhov a konceptov rôznych rádov. Každý typ v hierarchii typov sa rozdeľuje na množstvo objednávok. Toto rozvetvenie zabezpečuje, že definície formulované vo výslednom jazyku sú povinní rešpektovať zásadu Vicious-Circle. Koncepty a triedy, ktoré môžu byť definované v rámci tejto schémy, sa považujú za predikatívne (v jednom zmysle tohto slova); ostatní, nevysvetľujúci.kvantifikátory siahajúce po rozšírené súčty sa môžu do jazyka legitímne pridať. Nové zdroje umožňujú definíciu ďalších položiek. A tento proces sa opakuje. Výsledkom je, že máme hierarchiu návrhov a konceptov rôznych rádov. Každý typ v hierarchii typov sa rozdeľuje na množstvo objednávok. Toto rozvetvenie zabezpečuje, že definície formulované vo výslednom jazyku sú povinní rešpektovať zásadu Vicious-Circle. Koncepty a triedy, ktoré môžu byť definované v rámci tejto schémy, sa považujú za predikatívne (v jednom zmysle tohto slova); ostatní, nevysvetľujúci.kvantifikátory siahajúce po rozšírené súčty sa môžu do jazyka legitímne pridať. Nové zdroje umožňujú definíciu ďalších položiek. A tento proces sa opakuje. Výsledkom je, že máme hierarchiu návrhov a konceptov rôznych rádov. Každý typ v hierarchii typov sa rozdeľuje na množstvo objednávok. Toto rozvetvenie zabezpečuje, že definície formulované vo výslednom jazyku sú povinní rešpektovať zásadu Vicious-Circle. Koncepty a triedy, ktoré môžu byť definované v rámci tejto schémy, sa považujú za predikatívne (v jednom zmysle tohto slova); ostatní, nevysvetľujúci. Výsledkom je, že máme hierarchiu návrhov a konceptov rôznych rádov. Každý typ v hierarchii typov sa rozdeľuje na množstvo objednávok. Toto rozvetvenie zabezpečuje, že definície formulované vo výslednom jazyku sú povinní rešpektovať zásadu Vicious-Circle. Koncepty a triedy, ktoré môžu byť definované v rámci tejto schémy, sa považujú za predikatívne (v jednom zmysle tohto slova); ostatní, nevysvetľujúci. Výsledkom je, že máme hierarchiu návrhov a konceptov rôznych rádov. Každý typ v hierarchii typov sa rozdeľuje na množstvo objednávok. Toto rozvetvenie zabezpečuje, že definície formulované vo výslednom jazyku sú povinní rešpektovať zásadu Vicious-Circle. Koncepty a triedy, ktoré môžu byť definované v rámci tejto schémy, sa považujú za predikatívne (v jednom zmysle tohto slova); ostatní, nevysvetľujúci.

Pre ďalšiu diskusiu o princípe bludného kruhu pozri Russell 1908, Whitehead a Russell 1925, Gödel 1944 a Chihara 1973. Formálnu prezentáciu teórie roztriešteného typu pozri v kostole 1976; pre neformálnejšiu prezentáciu pozri Hazen 1983. Pozri tiež záznamy o teórii typov a Principia Mathematica, ktoré obsahujú ďalšie odkazy.

2.7 Kruhové definície

Paradoxy sa dajú použiť aj na motiváciu záveru, ktorý je úplne opačný k Russellovmu záveru. Zvážte nasledujúcu definíciu predikátu na jednom mieste (G):

(tag {18} begin {align *} Gx / eqdf x = / text {Socrates} & / vee (x = / text {Plato} amp Gx) & / vee (x = / text {Aristotle } amp { sim} Gx). / End {align *})

Táto definícia je v podstate kruhová; nie je možné ho redukovať na bežnú formu. Intuitívne však poskytuje zásadné pokyny týkajúce sa použitia (G). Definícia napríklad vyžaduje, aby Sokrates spadal pod (G), a že nič iné ako uvedené tri starodávni filozofi to nerobia. Definícia neovplyvňuje stav iba dvoch objektov, a to Plata a Aristoteles. Ak predpokladáme, že Platón spadá pod (G), z definície vyplýva, že Platón spadá pod (G) (pretože Platón spĺňa vymedzenia), čím sa potvrdzuje náš predpoklad. To isté sa stane, ak predpokladáme opak, a to, že Platón nespadá pod (G); opäť sa potvrdzuje náš predpoklad. S Aristotelesom sa každý pokus o rozhodnutie, či spadne pod (G), dostane do ešte neistejšej situácie:ak predpokladáme, že Aristoteles spadá pod (G), viedli sme k záveru, podľa definície, že nespadá pod (G) (pretože nespĺňa vymedzenia); a naopak, ak predpokladáme, že nespadá pod (G), sme vedení k záveru, že áno. Ale ani na Platóna a Aristotela nie je správanie (G) neznáme: (G) sa tu správa tak, ako sa chová koncept pravdy na Pravdivateľovi („To, čo teraz hovorím, je pravda“) a klamár („To, čo teraz hovorím, nie je pravda“). Všeobecnejšie povedané, existuje silná rovnobežnosť medzi správaním pojmu pravdy a správou pojmov definovaných kruhovými definíciami. Obidva prípady sú zvyčajne dobre definované v celom rade prípadov a v oboch prípadoch vykazujú rôzne nezvyčajné logické správanie. Naozaj,všetky rôzne druhy mätúceho logického správania, ktoré sa vyskytujú s pojmom pravdy, sa nachádzajú aj v pojmoch definovaných kruhovými definíciami. Tento silný paralelizmus naznačuje, že keďže pravda je zjavne legitímnym pojmom, sú to aj pojmy vymedzené kruhovými definíciami, ako sú (18). Paradoxy podľa tohto pohľadu nespochybňujú legitimitu pojmu pravdy. Ukazujú iba to, že logika a sémantika kruhových pojmov sa líšia od logiky a sémantiky koncepcií iných ako kruhovitých. Toto hľadisko je rozvinuté v teórii revízií definícií.nespochybňujú legitimitu pojmu pravdy. Ukazujú iba to, že logika a sémantika kruhových pojmov sa líšia od logiky a sémantiky koncepcií iných ako kruhovitých. Toto hľadisko je rozvinuté v teórii revízií definícií.nespochybňujú legitimitu pojmu pravdy. Ukazujú iba to, že logika a sémantika kruhových pojmov sa líšia od logiky a sémantiky koncepcií iných ako kruhovitých. Toto hľadisko je rozvinuté v teórii revízií definícií.

V tejto teórii cyklická definícia dodáva definovanému pojmu význam, ktorý má hypotetický charakter; sémantická hodnota definovaného pojmu je pravidlo revízie, nie ako v prípade nekruhových definícií, pravidlo aplikácie. Zvážte znovu (18). Ako každá definícia, (18), stanovuje interpretáciu definície (ak), interpretácie iných ako logických konštánt v definíciách. Problém s (18) je v tom, že definovaný výraz (G) sa vyskytuje v definiens. Predpokladajme však, že ľubovoľne priraďujeme (G) interpretáciu - povedzme, že necháme byť množinou (U) všetkých objektov vo vesmíre diskurzu (tj predpokladáme, že (U) je množina predmety, ktoré vyhovujú (G)). Potom je ľahké vidieť, že definícia je pravdou práve Sokrata a Platóna. Definícia teda určuje, že podľa našej hypotézyinterpretácia (G) by mala byť množina ({ text {Socrates}, / text {Plato} }). Podobný výpočet sa dá vykonať pre akúkoľvek hypotézu o interpretácii (G). Napríklad, ak je hypotéza ({ text {Xenocrates} }), výsledkom definície bude výsledok ({ text {Socrates}, / text {Aristotle} }). Stručne povedané, aj keď (18) neurčuje ostro, ktoré objekty spadajú pod (G), poskytuje pravidlo alebo funkciu, ktorá pri hypotetickej interpretácii ako vstupu poskytuje ďalší ako výstup. Základnou myšlienkou teórie revízií je vidieť toto pravidlo ako pravidlo revízie: interpretácia výstupu je lepšia ako vstupná (alebo je aspoň taká dobrá; táto kvalifikácia sa bude považovať za prečítanú). Sémantická hodnota, ktorú definícia poskytuje definovanému pojmu, nie je rozšírením - vymedzením vesmíru diskurzu na objekty, ktoré spadajú pod definovaný pojem, a tých, ktoré tak neurobia. Sémantická hodnota je pravidlo revízie.

Pravidlo revízie vysvetľuje správanie, ako bežné, tak aj mimoriadne, kruhového konceptu. Nech je (delta) pravidlo revízie dané definíciou a (V) je ľubovoľná hypotetická interpretácia definovaného pojmu. Opakovanou aplikáciou pravidla (delta) sa môžeme pokúsiť zlepšiť našu hypotézu (V). Výsledná postupnosť, [V, / delta (V), / delta (delta (V)), / delta (delta (delta (V)))), / ldots,)

je postupnosť revízií pre (delta). Celkom revíznych postupností pre (delta) pre všetky možné počiatočné hypotézy je proces revízie vygenerovaný (delta). Napríklad pravidlo revízie pre (18) generuje proces revízie, ktorý okrem iného pozostáva z nasledujúcich revíznych postupností:

[U, { text {Sokrates}, / text {Plato} }, { text {Sokrates}, / text {Plato}, / text {Aristotle} }, { text {Sokrates}, / text {Plato} }, / ldots) (text {Xenocrates} }, { text {Socrates}, / text {Aristotle} }, { text {Sokrates} }, { text {Socrates}, / text {Aristotle} }, / ldots)

V tomto procese sledujte správanie našich štyroch starovekých filozofov. Po niekoľkých počiatočných fázach revízie Socrates vždy spadá do revidovaných interpretácií a Xenokráty vždy spadajú mimo. (V tomto konkrétnom príklade je správanie oboch pevne stanovené po počiatočnej fáze; v iných prípadoch môže trvať mnoho etáp revízie, kým sa nevyrieši stav objektu.) Proces revízie vedie ku kategorickým verdiktom oboch filozofov.: Sokrates kategoricky spadá pod (G) a Xenocrates kategoricky spadá mimo (G). Objekty, pri ktorých proces neprináša kategorický verdikt, sa považujú za patologické (vzhľadom na pravidlo revízie, definíciu alebo definovaný koncept). V našom príklade sú Platón a Aristoteles patologické vo vzťahu k (18). Stav Aristoteles nie je stabilný v žiadnej revíznej postupnosti. Je to, akoby sa o ňom nemohol rozhodovať proces revízie. Niekedy sa Aristotelesovi hovorí, že spadá pod (G), a potom sa proces obráti a vyhlási, že nespadá pod (G), a potom sa proces obráti znova. Keď sa objekt správa vo všetkých revíznych postupoch týmto spôsobom, hovorí sa o paradoxnosti. Platón je tiež patologický vo vzťahu k (G), ale jeho správanie v procese revízie je odlišné. Platón získa stabilný stav v každej revíznej postupnosti, ale stav, ktorý získa, závisí od počiatočnej hypotézy. Keď sa objekt správa vo všetkých revíznych postupoch týmto spôsobom, hovorí sa o paradoxnosti. Platón je tiež patologický vo vzťahu k (G), ale jeho správanie v procese revízie je odlišné. Platón získa stabilný stav v každej revíznej postupnosti, ale stav, ktorý získa, závisí od počiatočnej hypotézy. Keď sa objekt správa vo všetkých revíznych postupoch týmto spôsobom, hovorí sa o paradoxnosti. Platón je tiež patologický vo vzťahu k (G), ale jeho správanie v procese revízie je odlišné. Platón získa stabilný stav v každej revíznej postupnosti, ale stav, ktorý získa, závisí od počiatočnej hypotézy.

Procesy revízie poskytujú sémantiku pre kruhové definície. ^[14] Možno ich použiť na definovanie sémantických pojmov, ako napríklad „kategorická pravda“a logických pojmov, ako napríklad „platnosť“. Charakteristiky logických pojmov, ktoré získame, rozhodujúco závisia od jedného aspektu revízie: počtu fáz pred tým, ako sa objekty v procese revízie ustália na svojom pravidelnom správaní. Definícia sa považuje za konečnú, ak jej revízny proces si nevyhnutne vyžaduje iba veľmi veľa takýchto etáp. ^[15] Pre konečné definície existuje jednoduchý logický počet, (mathbf {C} _ {0}), ktorý je pre sémantiku revízie spoľahlivý a úplný. ^[16] V prípade konečných definícií sa proces revízie rozširuje na transfinit. ^[17]A tieto definície môžu do jazyka pridať výraznú výrazovú silu. (Po pridaní k aritmetike prvého poriadku tieto definície spôsobia, že sa dajú definovať všetky (Pi ^ {1} _ {2}) sady prirodzených čísel.) Kvôli expresívnej sile je všeobecný pojem platnosti pre nekonečný kruh definície nie sú axiomatizovateľné (Kremer 1993). Prinášame nanajvýš zvukový logický počet, ale nie úplný. Situácia je analogická so situáciou s logikou druhého poriadku.

Pozrime sa na niektoré všeobecné rysy teórie revízií definícií. i) Podľa tejto teórie logika a sémantika nekruhových definícií, tj definícií v normálnej podobe, zostávajú rovnaké ako v tradičnom účte. Pravidlá zavedenia a odstránenia platia neobmedzene a je možné upustiť od revíznych etáp. Odchýlky od tradičného účtu sa vyskytujú iba pri kruhových definíciách. ii) Podľa teórie cirkulárne definície nenarušujú logiku základného jazyka. Na vety, ktoré obsahujú definované pojmy, sa vzťahujú rovnaké logické zákony ako na vety v základnom jazyku. iii) konzervativita je zachovaná. Žiadna definícia, bez ohľadu na to, ako krutá je obežník, v základnom jazyku neznamená nič nové. Dokonca aj úplne paradoxná definícia

[Gx / eqdf { sim} Gx)

rešpektuje požiadavku konzervatívnosti. (iv) Eliminácia sa nedrží. Vety rozšíreného jazyka nie sú vo všeobecnosti redukovateľné na vety v základnom jazyku. Toto zlyhanie má dva zdroje. Po prvé, teória revízií opravuje použitie, v tvrdení a argumentácii, viet rozšíreného jazyka, ale bez obmedzenia viet na vety v základnom jazyku. Teória tak spĺňa kritérium použitia, nie však silnejšie kritérium Eliminability. Po druhé, v tejto teórii môže definícia pridať základný jazyk logickú a expresívnu silu. Pridanie kruhovej definície môže mať za následok definovateľnosť nových súborov. To je ďalší dôvod, prečo vylúčenie zlyhá.

Je možné namietať, že každý koncept musí mať rozšírenie, že musí existovať určitý počet predmetov, ktoré spadajú pod tento koncept. Ak je to správne, potom má predikát zmysel - vyjadruje koncept - iba ak predikát nevyhnutne ohraničuje svet ostro na tie objekty, na ktoré sa vzťahuje a na ktoré sa nevzťahuje. Preto námietka dospela k záveru, že žiadny predikát s v podstate kruhovou definíciou nemôže mať zmysel. Námietka zjavne nie je rozhodujúca, pretože spočíva na predpoklade, ktorý vylučuje mnoho bežných a zjavne zmysluplných predikátov (napr. „Plešatý“). Je to však pozoruhodné, pretože ilustruje, ako všeobecné otázky týkajúce sa významu a konceptov vstupujú do diskusie o požiadavkách na legitímne definície.

Hlavná motivácia pre teóriu revízií je popisná. Tvrdilo sa, že teória nám pomáha lepšie porozumieť našim bežným pojmom, ako je pravda, nevyhnutnosť a racionálna voľba. Tvrdí, že bežné, ako aj mätúce správanie týchto pojmov má korene v kruhovitosti pojmov. Ak je to správne, neexistuje žiadna logická požiadavka na opisné a vysvetľujúce definície, že sú nekruhové.

Pre podrobnejšie spracovanie týchto tém pozri Gupta 1988/89, Gupta a Belnap 1993 a Chapuis a Gupta 1999. Pozri tiež záznam o revíznej teórii pravdy. Pokiaľ ide o kritické diskusie o teórii revízií, pozri články Vann McGee a Donald A. Martin a odpoveď Guptu z Villanueva 1997. Pozri tiež Shapiro 2006.

Bibliografia

Belnap, N., 1993, „On Rigorous Definitions“, Philosophical Studies, 72: 115–146.
Beth, EW, 1953, „O Padonovej metóde v teórii definícií“, Indagationes Mathematicae, 15: 330–339.
Boolos, GS, Burgess, JP, a Jeffrey, RC, 2002, Computability and Logic, štvrté vydanie, Cambridge: Cambridge University Press.
Carnap, R., 1956, Význam a nevyhnutnosť: Štúdium sémantiky a modálnej logiky, rozšírené vydanie, Chicago: University of Chicago Press.
Chapuis, A. a Gupta, A. (ed.), 1999, Circularity, Definition and Truth, New Delhi: Indian Council of Philosophical Research.
Charles, D. (ed.), 2010, Definícia v gréckej filozofii, Oxford: Oxford University Press.
Chihara, CS, 1973, Ontológia a princíp začarovaného kruhu, Ithaca: Cornell University Press.
Church, A., 1956, Úvod do matematickej logiky, Princeton: Princeton University Press.
–––, 1976, „Porovnanie Russellovej rezolúcie sémantických antinómií s rezolúciou Tarského,“Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
Demopoulos, W., 2003, „O racionálnej rekonštrukcii našich teoretických vedomostí“, British Journal for Philosophy of Science, 54: 371–403.
Dudman, VH, 1973, „Frege on Definitions“, Mind, 83: 609 - 610.
Frege, G., 1879, Begriffschrift, z Frege do Gödel: Zdrojová kniha v matematickej logike, 1879 - 1931, editoval J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), s. 1–82.
–––, 1884, základy aritmetiky: Logicko-matematické vyšetrovanie koncepcie čísla, druhé revidované vydanie (1980), Evanston: Northwestern University Press.
–––, 1914, „Logic in Mathematics,“v Gottlob Frege: Posmrtné spisy, redigovali H. Hermes, F. Kambartel a F. Kaulbach, Chicago: University of Chicago Press (1979), s. 203-250.
Gödel, K., 1944, „Russellova matematická logika“, dotlačený v Zbieraných dielach: Zväzok II: Publikácie 1938–1974, New York: Oxford University Press (1990), s. 119–141.
Gupta, A., 1988/89, „Poznámky k definíciám a koncepcii pravdy“, zborník Aristotelian Society, 89: 227–246.
––– 2006, „Konečné kruhové definície“, v dokumente Self-Reference, vydali T. Bolander, VF Hendricks a SA Andersen, Stanford: CSLI Publications, s. 79–93.
–––, 2019, vedomé skúsenosti: Logické vyšetrovanie, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Gupta, A. a Belnap, N., 1993, Teória revízií pravdy, Cambridge, MA: MIT Press.
Hacker, PMS, 1993, „Wittgenstein on Ostensive Definitions“, inquiry, 18: 267–287.
Hale B. a Wright C., 2001, Správna štúdia odôvodnenia: Eseje smerom k neo-fregejskej filozofii matematiky, Oxford: Clarendon Press.
Hazen, A., 1983, „Predikatívna logika“, v Handbook of Philosophical Logics: Zväzok I: Prvky klasickej logiky, editoval D. Gabbay a F. Guenthner, Dordrecht: Reidel, s. 331 - 407.
Hodges, W., 1993, „Tarski's Theory of Definition“, v New Essays on Tarski and Philosophy, vydaný D. Pattersonom, Oxford: Oxford University Press, s. 94 - 132.
Horty, J., 2007, Frege on Definitions: Prípadová štúdia sémantického obsahu, New York: Oxford University Press.
Horwich, P., 1998, Meaning, Oxford: Clarendon Press.
Kremer, P., 1993, „Systémy Gupta-Belnap (mathbf {S} ^ { #}) a (mathbf {S} ^ {*}) nie sú axiomatizovateľné," Notre Dame Journal of of Formal Logic, 34: 583–596.
Kripke, SA, 1980, Naming and Necessity, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Locke, J., 1689, An esay about Human Understanding, editoval PH Nidditch, Oxford: Oxford University Press (1975).
Martinez, M., 2001, „Niektoré uzatváracie vlastnosti konečných definícií“, Studia Logica, 68: 43–68.
Moschovakis, Y., 1974, Elementárna indukcia abstraktných štruktúr, Amsterdam: Severný Holland.
Padoa, A., 1900, „Logický úvod do akejkoľvek deduktívnej teórie“, v knihe From Frege to Gödel: Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, editor J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), 118 až 123.
Quine, WVO, 1951, „Dva dogmy empirizmu“, dotlačený vo svojom dokumente Z logického hľadiska, Cambridge MA: Harvard University Press (1953), s. 20–46.
–––, 1960, Word and Object, Cambridge MA: MIT Press.
Robinson, R., 1950, Definition, Oxford: Clarendon Press.
Russell, B., 1908, „Matematická logika založená na teórii typov“, dotlač v jeho Logike and Knowledge: Essays 1901 - 1950, London: George Allen & Unwin (1956), s. 59–102.
–––, 1948, Ľudské vedomosti: rozsah a limity, New York: Simon a Schuster.
Shapiro, L., 2006, „Dôvody sémantiky revízie a pravidiel“, Philosophical Studies, 129: 477–515.
Suppes, P., 1957, Úvod do logiky, New York: Van Nostrand Reinhold.
Tarski, A., 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers od 1923 do 1938, druhé vydanie, editoval J. Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
Urbaniak, R. a Hämäri, KS, 2012, „Busting mýtus o Leśniewski a definíciách“, History and Philosophy of Logic, 33: 159–189.
Villanueva, E., (ed.), 1997, Truth (Philosophical Issues 8), Atascadero: Ridgeview Publishing Company.
Whitehead, AN, a Russell, B., 1925, Principia Mathematica, zv. 1, druhé vydanie, Cambridge: Cambridge University Press.
Whiteley, CH, 1956, „Význam a ostenzívna definícia“, Mind, 65: 332–335.
Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, New York: Macmillan.

Akademické nástroje

ikona sep muž	Ako citovať tento záznam.
ikona sep muž	Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
ikona	Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona phil papiere	Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.