Finitizmus V Geometrii

Obsah:

Finitizmus V Geometrii
Finitizmus V Geometrii

Video: Finitizmus V Geometrii

Video: Finitizmus V Geometrii
Video: Geometrické symboly 2024, Marec
Anonim

Vstupná navigácia

  • Obsah vstupu
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Náhľad priateľov PDF
  • Informácie o autorovi a citácii
  • Späť na začiatok

Finitizmus v geometrii

Prvýkrát publikované St 3. apríla 2002; podstatná revízia Št 12. september 2019

V našich reprezentáciách sveta, najmä vo fyzike, hrajú (matematické) nekonečnosti rozhodujúcu úlohu. Kontinuum reálnych čísel, (Re), ako reprezentácia času alebo jednorozmerného priestoru, je určite najznámejším príkladom a po rozšírení (n) - násobok karteziánskeho produktu, (Re ^ {n}), pre (n) - rozmerový priestor. Avšak tie isté nekonečna tiež spôsobujú problémy. Človek musí len premýšľať o Zenoových paradoxoch alebo o súčasnom pokračovaní tejto diskusie, konkrétne o diskusii o supertaškoch, aby sa zistili ťažkosti (úplné informácie nájdete v záznamu o supertaškoch v tejto encyklopédii). Preto je veľmi lákavým nápadom preskúmať, či je možné tieto nekonečnosti odstrániť a stále byť schopný robiť fyziku. Prvým krokom k odpovedi na túto otázku je preskúmať, či je možná diskrétna geometria, ktorá dokáže čo najbližšie priblížiť klasickú súvislú geometriu. Napríklad, ak je to tak, môže byť druhá geometria ľahko nahradená diskrétnou verziou v akejkoľvek fyzikálnej teórii, ktorá využíva toto konkrétne matematické pozadie.

Ak sa úloha môže zdať priamočiara, je možné chápať pojem aproximácie najmenej dvoma spôsobmi. Predpokladajme, že (T) je fyzikálna teória založená na klasickej geometrii. Aproximácia k (T) potom môže znamenať dve rôzne veci:

  1. Pre všetky koncepty v (T) vrátane geometrických konceptov sa navrhuje diskrétny analóg (ak taká vec existuje), alebo
  2. Základná teória (T ^ / prime) je formulovaná s použitím možných odlišných konceptov takým spôsobom, že klasické koncepty je možné odvodiť z (T ^ / prime).

V častiach, ktoré nasledujú po prehľade, budú uvedené (niektoré z) rôznych pokusov, ktoré spadajú pod (a) alebo (b). Pred začiatkom tejto cesty je však potrebné spomenúť niekoľko upozornení.

  • 1. Niektoré všeobecné úvahy

    • 1.1 Logici
    • 1.2 Matematici
    • 1.3 Počítačoví vedci
    • 1.4 Fyzici
    • 1.5 Filozofi
  • 2. Diskrétne geometrie ako priame analógy

    • 2.1 Štandardná axiomatizácia pre euklidovskú geometriu
    • 2.2 Fínska škola a prírodná geometria
    • 2.3 Konštruktívny prístup
    • 2.4 Priamy fyzikálny príklad: diskrétna verzia špeciálnej teórie relativity
    • 2.5 Niektoré čiastočné riešenia a problémy, ktoré treba riešiť
  • 3. Diskrétne geometrie ako generátory klasickej geometrie

    • 3.1 Všeobecný rámec
    • 3.2 Prototypový príklad pomocou grafov
    • 3.3 Osobitný prípad: kombinatorická hierarchia
    • 3.4 Môže to byť empirický problém?
  • 4. Čo je potrebné urobiť ďalej?
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Ďalšie internetové zdroje
  • Súvisiace záznamy

1. Niektoré všeobecné úvahy

Najdôležitejšia vec, ktorú je potrebné vziať do úvahy, je vzhľadom na konkrétny návrh na diskrétnu geometriu, aké sú vedecké a / alebo filozofické pozadie autora (autorov) a s tým súvisiace, aké sú ich zámery. Sú to logici, matematici, počítačoví vedci, fyzici alebo filozofi (aby sme vymenovali päť najčastejšie sa vyskytujúcich prípadov)? Chcú vyriešiť iba technický, fyzický alebo filozofický problém? Majú obavy zo základných aspektov alebo je predmetom ich výskumu ďalší rozvoj existujúcich teórií? Na objasnenie týchto otázok je vhodné ísť podrobnejšie pre každý z uvedených piatich typov autorov.

1.1 Logici

Logici sa často zaujímajú o zobrazenie základnej logickej štruktúry teórie, fyzickej alebo matematickej, ao preskúmanie, či existujú alternatívy, zvyčajne zmenou základných logických princípov. Dalo by sa predstaviť geometriu založenú nie na klasickej logike, ale napr. Na intuicionálnej logike, kde princípy ako vylúčená tretia, tj (p) alebo nie - (p), pre akékoľvek vyhlásenie (p)) alebo dvojitá negácia, tj ak nie - (p), potom (p), už neplatí. Cieľom je často nájsť úplnú klasifikáciu všetkých možností. Tento prístup znamená, že logik pracujúci na vývoji diskrétnych modelov nemusí nevyhnutne veriť, že tieto modely sú v istom zmysle správne alebo pravdivé. Pomáhajú len lepšie porozumieť tomu, čo je klasická geometria.

Dokonalým príkladom takéhoto prístupu je práca na priestorovej logike, pozri Aiello et al. (2007) za vynikajúci prehľad. Autori porovnávajú svoj prístup k práci vykonanej v časovej logike (pozri záznam o časovej logike v tejto encyklopédii). Existuje veľa spôsobov, ako modelovať čas: s počiatočným a / alebo konečným bodom, diskrétne alebo spojité, lineárne, cyklické alebo vetvenie, …. Logickou úlohou je vytvoriť jazyk, ktorý umožní človeku „hovoriť“o všetkých týchto štruktúrach a medzi nimi rozlíšiť. V časovej logike taký jazyk používa operátory (Fp) („ja budem prípadom, že (p)“) a (Pp) („to bol prípad, že (p)“)), Jeden príklad: ak je čas v budúcnosti lineárny, túto vlastnosť možno vyjadriť nasledujúcim spôsobom. Predpokladajme, že sú uvedené (Fp) a (Fq), potom sú možné iba tri veci:to bude buď / (F (p / amp q)), tj (p) a (q), alebo (F (p / amp Fq)), tj (p) nastane skôr a potom (q) alebo (F (Fp / amp q)), tj opačne. V jednom vzorci: ((Fp / amp Fq) rightarrow (F (p / amp q)) alebo (F (p / ampqq)) alebo (F (Fp / amp q))). Úplne podobným spôsobom je konštrukcia takého jazyka tým, čo chce priestorová logika dosiahnuť pre geometriu, a teda súvisí s návrhmi, o ktorých budeme diskutovať v oddiele 3.vytvoriť taký jazyk je to, čo chce priestorová logika dosiahnuť pre geometriu, a teda súvisí s návrhmi, o ktorých budeme diskutovať v oddiele 3.vytvoriť taký jazyk je to, čo chce priestorová logika dosiahnuť pre geometriu, a teda súvisí s návrhmi, o ktorých budeme diskutovať v oddiele 3.

1.2 Matematici

Matematik by sa mohol pozerať alebo študovať diskrétny alebo konečný náprotivok existujúcej teórie, aby napríklad videl, aké vety sú v obidvoch prípadoch preukázateľné. To samo o sebe je zaujímavé z hľadiska tzv. Reverznej matematiky. Základnou otázkou je zistiť, čo je nevyhnutne potrebné na preukázanie určitých teorémov? Pozri napríklad Simpson (2005) a Stillwell (2016). Dôkazy, ktoré tiež držia v diskrétnej geometrii, sú teda nezávislé od akýchkoľvek predpokladov o diskrétnosti alebo kontinuite. Dalo by sa však ísť hlbšie do základov matematiky a študovať konečné geometrie zo základovej perspektívy. Jedným takým prístupom je prísny finitizmus (aj keď niekedy sa používajú aj pojmy ultimitizmus alebo ultravintualizmus), ktorý nie je mienený ako podskupina iných základných teórií, ale ako alternatíva ako taká. S mnohými formami konštruktivizmu zdieľa základný názor, že matematické objekty a koncepty musia byť matematikovi prístupné z hľadiska konštrukcií, ktoré je možné vykonať alebo vykonať. Rôzne formy sa navzájom odlišujú v tom, ako sa majú chápať pojmy „poprava“alebo „výkon“. Väčšina konštruktivistov umožňuje potenciálne nekonečné, tj ak sa postup alebo algoritmus (preukázateľne) skončí v určitom okamihu v budúcnosti, výsledok sa akceptuje ako konštruktívny. Pozri Bridges & Richman (1987) pre prehľad a záznam o konštruktívnej matematike. Prísny finitizmus chce ísť ešte o krok ďalej a tvrdí, že výsledok nie je prijatý na dobu neurčitú, pretože všetky výpočtové zdroje sú obmedzené,mohlo by sa veľmi dobre stať, že sa tieto zdroje vyčerpali pred dosiahnutím výsledku. Dodatočná kvalifikácia slúži na rozlíšenie s Hilbertovým finitizmom, ktorý, zhruba povedané, možno považovať za formu finitizmu na metaúrovni (napr. Hoci matematické teórie môžu hovoriť o nekonečných štruktúrach, dôkazy z týchto teórií musia mať stále konečná dĺžka). Ako sa dalo očakávať, striktný finitizmus nie je populárnym pohľadom vo filozofii matematiky. Napriek tomu bolo predložených niekoľko návrhov. História a popis aktuálneho (aj keď teraz trochu) datovaného stavu možno nájsť vo Welti (1987). V časti 2 sa o takýchto návrhoch uvedie viac.možno považovať za formu finitizmu na meta-úrovni (napr. hoci matematické teórie môžu hovoriť o nekonečných štruktúrach, dôkazy v týchto teóriách musia mať konečnú dĺžku). Ako sa dalo očakávať, striktný finitizmus nie je populárnym pohľadom vo filozofii matematiky. Napriek tomu bolo predložených niekoľko návrhov. História a popis aktuálneho (aj keď teraz trochu) datovaného stavu možno nájsť vo Welti (1987). V časti 2 sa o takýchto návrhoch uvedie viac.možno považovať za formu finitizmu na metaúrovni (napr. hoci matematické teórie môžu hovoriť o nekonečných štruktúrach, dôkazy v týchto teóriách musia mať konečnú dĺžku). Ako sa dalo očakávať, striktný finitizmus nie je populárnym pohľadom vo filozofii matematiky. Napriek tomu bolo predložených niekoľko návrhov. História a popis aktuálneho (aj keď teraz trochu) datovaného stavu možno nájsť vo Welti (1987). V časti 2 sa o takýchto návrhoch uvedie viac. História a popis aktuálneho (aj keď teraz trochu) datovaného stavu možno nájsť vo Welti (1987). V časti 2 sa o takýchto návrhoch uvedie viac. História a popis aktuálneho (aj keď teraz trochu) datovaného stavu možno nájsť vo Welti (1987). V časti 2 sa o takýchto návrhoch uvedie viac.

1.3 Počítačoví vedci

V informatike sú predložené teórie a návrhy celkom odlišného charakteru ako logické a matematické, hoci sa navzájom inšpirujú. Problémom, ktorému tu čelíme, je presne nastaviť preklad z klasického geometrického, analogického modelu na model, ktorého doména (obvykle) pozostáva z konečnej sady pixelov alebo buniek, ktoré tvoria (počítačovú) obrazovku. Zjavnou nevýhodou (z hľadiska tejto položky) je to, že takmer všetky tieto modely predpokladajú klasický (nekonečný) model v pozadí, a preto nemajú vlastný základ svojej vlastnej situácie - úplne analogickej numerickej analýze, ktorá sa spolieha o klasickej analýze na preukázanie správnosti postupov. Najväčšia pozornosť sa venuje problému preukazovania zhody medzi originálom a diskrétnym modelom, aby sa zabezpečilo, že získaný obraz je v určitých ohľadoch verný originálu. Jednoduchý matematický príklad sa týka počtu dier v trojrozmernej euklidovskej ploche. Jeden chce mať istotu, že každá diera, ktorá sa objaví na digitálnom obrázku, skutočne zodpovedá diere v pôvodnom matematickom objekte. Ďalšie príklady nájdete v Borwein & Devlin (2009). Avšak, ako už bolo povedané, vykonáva sa nejaká práca, ktorá sa nechce spoliehať na klasické súvislé pozadie, ale namiesto toho hľadá „správne“axiomatizácie a / alebo formalizácie geometrie pixelov. Pozri Kulpa (1979) a novšie Danielsson (2002), kde nájdete niekoľko pekných príkladov.verný originálu. Jednoduchý matematický príklad sa týka počtu dier v trojrozmernej euklidovskej ploche. Jeden chce mať istotu, že každá diera, ktorá sa objaví na digitálnom obrázku, skutočne zodpovedá diere v pôvodnom matematickom objekte. Ďalšie príklady nájdete v Borwein & Devlin (2009). Avšak, ako už bolo povedané, vykonáva sa nejaká práca, ktorá sa nechce spoliehať na klasické súvislé pozadie, ale namiesto toho hľadá „správne“axiomatizácie a / alebo formalizácie geometrie pixelov. Pozri Kulpa (1979) a nedávno Danielsson (2002), kde nájdete niekoľko pekných príkladov.verný originálu. Jednoduchý matematický príklad sa týka počtu dier v trojrozmernej euklidovskej ploche. Jeden chce mať istotu, že každá diera, ktorá sa objaví na digitálnom obrázku, skutočne zodpovedá diere v pôvodnom matematickom objekte. Ďalšie príklady nájdete v Borwein & Devlin (2009). Avšak, ako už bolo povedané, vykonáva sa nejaká práca, ktorá sa nechce spoliehať na klasické súvislé pozadie, ale namiesto toho hľadá „správne“axiomatizácie a / alebo formalizácie geometrie pixelov. Pozri Kulpa (1979) a novšie Danielsson (2002), kde nájdete niekoľko pekných príkladov. Jeden chce mať istotu, že každá diera, ktorá sa objaví na digitálnom obrázku, skutočne zodpovedá diere v pôvodnom matematickom objekte. Ďalšie príklady nájdete v Borwein & Devlin (2009). Avšak, ako už bolo povedané, vykonáva sa nejaká práca, ktorá sa nechce spoliehať na klasické súvislé pozadie, ale namiesto toho hľadá „správne“axiomatizácie a / alebo formalizácie geometrie pixelov. Pozri Kulpa (1979) a novšie Danielsson (2002), kde nájdete niekoľko pekných príkladov. Jeden chce mať istotu, že každá diera, ktorá sa objaví na digitálnom obrázku, skutočne zodpovedá diere v pôvodnom matematickom objekte. Ďalšie príklady nájdete v Borwein & Devlin (2009). Avšak, ako už bolo povedané, vykonáva sa nejaká práca, ktorá sa nechce spoliehať na klasické súvislé pozadie, ale namiesto toho hľadá „správne“axiomatizácie a / alebo formalizácie geometrie pixelov. Pozri Kulpa (1979) a novšie Danielsson (2002), kde nájdete niekoľko pekných príkladov.

Všimnite si tiež, že tieto teórie by sa nemali zamieňať s počítačovými programami, ktoré majú schopnosť uvažovať o geometrických objektoch. Toto je časť výskumnej oblasti automatizovaného uvažovania - pozri Chou et al. (1994) pre pekný úvod - a jeho základné objekty sú dôkazy, nie nevyhnutne matematické objekty, o ktorých sú dôkazy.

1.4 Fyzici

Ako je všeobecne známe, jednou z horúcich tém vo fyzike je hľadanie zjednotenia kvantovej (poľnej) teórie a všeobecnej teórie relativity. Ak bude úspešný, povedie to k slávnej „teórii všetkého“. Ako je rovnako dobre známe, najťažší problém, ktorý treba vyriešiť, je, ako sa vysporiadať s časopriestorom. Kvantová (poľná) teória vyžaduje ako pozadie priestor a čas, zatiaľ čo štruktúra relatívneho času je vo všeobecnosti determinovaná hmotnosťou a prítomnou energiou. Jedným z východísk - a väčšina z časti 3 sa zaoberá takýmito príkladmi - je nájsť „hlbšiu“štruktúru, ktorá je základom oboch teórií a ktorá v istom zmysle vytvára priestor a čas zo základných zásad. Ak by sa takáto teória mala nájsť, bolo by zrejmé, že by sa nielen vytvoril „iba“model, ale v skutočnosti by sa to považovalo za skutočné zobrazenie reality. Väčšina z týchto modelov, špekulatívnych, keďže niektoré z nich môžu byť v súčasnosti, sa javí ako diskrétna, a preto tieto návrhy, v protiklade napríklad s logikmi, tvrdia, že ide o správny popis. Posledný neformálny prehľad nájdete v časti Rovelli (2016), najmä v kapitole 11 „Koniec nekonečna“.

Z historického hľadiska je potrebné dodať, že niektorí fyzici sa pokúsili zistiť, ako môžu jednotlivé diskrétne náprotivky existujúcich klasických fyzikálnych teórií vyzerať. Filozofické základy takéhoto pokusu sú zvyčajne skôr idiosynkratické. V oddiele 2 bude uvedený jeden takýto príklad. Zvyčajne také pokusy nevytvorili zásadný rozruch, rýchlo zmizli v pozadí, napriek tomu obsahujú niektoré zaujímavé a relevantné myšlienky.

1.5 Filozofi

V skôr jednoduchom zmysle zahŕňajú všetky uvedené skutočnosti aj filozofov. Diskusie o logických systémoch, základných matematických teóriách, paradoxoch Zeno, o supertaškoch, o tom, čo je model a reprezentácia, sú zvyčajne témami, ktoré patria do oblasti filozofov. Okrem toho prinášajú argumenty z iných filozofických a / alebo vedeckých oblastí. Predpokladajme, že existujú vynikajúce argumenty z epistemologického alebo ontologického hľadiska, ktoré tvrdia, že svet by sa mal považovať za diskrétny, potom tieto argumenty môžu podporiť hľadanie takéhoto diskrétneho svetonázoru vrátane vypracovania diskrétnej geometrie. Aj keď z matematického hľadiska vyzerá teória dosť neohrabane alebo s ňou ťažko pracovať, aj napriek filozofickým úvahám to tak musí byť. Bez takýchto podporných argumentov by bolo postavenie človeka v takom prípade oveľa slabšie. Nakoniec venujú pozornosť aj historickej stránke. Je dosť zarážajúce, ale nebude to tu prezentované, aby sme videli, že v priebehu našej histórie bolo predložených veľa návrhov, ktoré dokazujú, že priestor, čas a človek by sa mali považovať za konečných a / alebo diskrétnych. Pozri napríklad Sorabji (1983) a Moore (1993), kde nájdete vynikajúce historické prehľady, White (1992) pre vývoj dvadsiateho storočia a Franklin (2017) a Lyons (2017), kde nájdete niektoré nedávne príspevky.vidieť, že v priebehu našej histórie bolo predložených veľa návrhov, ktoré ukazujú, že priestor, čas a človek by sa mali považovať za konečných a / alebo diskrétnych. Pozri napríklad Sorabji (1983) a Moore (1993), kde nájdete vynikajúce historické prehľady, White (1992) pre vývoj dvadsiateho storočia a Franklin (2017) a Lyons (2017), kde nájdete niektoré nedávne príspevky.vidieť, že v priebehu našej histórie bolo predložených veľa návrhov, ktoré ukazujú, že priestor, čas a človek by sa mali považovať za konečných a / alebo diskrétnych. Pozri napríklad Sorabji (1983) a Moore (1993), kde nájdete vynikajúce historické prehľady, White (1992) pre vývoj dvadsiateho storočia a Franklin (2017) a Lyons (2017), kde nájdete niektoré nedávne príspevky.

Ako už bolo povedané, týchto päť skupín je najdôležitejších, takže úplnosť nebola preukázaná a nepreukázala sa ani vzájomná exkluzivita. Tento krátky prehľad mal za cieľ iba vymenovať rôzne zámery, motivácie, účely a metodiky zúčastnených strán.

2. Diskrétne geometrie ako priame analógy

Prvá otázka, ktorú treba vyriešiť, je to, čo bude klasická teória. Pretože väčšina vykonanej práce sa obmedzila na rovinu, táto prezentácia sa obmedzí aj na tento konkrétny prípad (vo väčšine návrhov sa rozšírenie na geometrie vyšších rozmerov považuje za úplne jednoduché). To však nestačí, pretože existujú rôzne cesty, ako postupovať pri prezentácii geometrie roviny. Jednou z možností je vziať akúkoľvek axiomatizáciu (euklidovského) lietadla - napríklad Hilbertovu formuláciu z roku 1899 v jeho Grundlagen der Geometrie - a ukázať, aké zmeny musia mať (a) konečné modely axiomatickej teórie a (b) konečné modely ktoré sa čo najviac približujú klasickým (nekonečným, euklidovským) modelom. Jeden z prvých pokusov sa datuje do konca 40. rokov,začiatkom 50-tych rokov, a preto sa tu bude prezentovať ako príklad (v tom zmysle, že má všetky požadované kladné vlastnosti, ako aj zvláštnosti, ktoré sa zdajú byť spolu s takýmito pokusmi). Konkrétnejšie sa to týka práce Paula Kustaanheima v čiastočnej spolupráci s G. Järnefeltom v období medzi rokmi 1949 a 1957. Ďalej sa bude diskutovať o nedávnom návrhu, ktorý bude úplne odlišný, o Patrickovi Suppesovi ao trochu starší návrh Ludwika Silbersteina, kde je geometria priamo vložená do fyzikálnej teórie, musí byť presná špeciálna teória relativity. Záverečná časť tejto časti sa zaoberá niektorými špecifickými problémami a predbežnými riešeniami.týka sa práce Paula Kustaanheima v čiastočnej spolupráci s G. Järnefeltom v období medzi rokmi 1949 a 1957. Ďalším nedávnym návrhom bude diskutovať o úplne odlišných smeroch Patrick Suppes a o niečo starší návrh Ludwika Silbersteina, ktorého geometria je priamo obsiahnutá vo fyzickej teórii, presná je špeciálna teória relativity. Záverečná časť tejto časti sa zaoberá niektorými špecifickými problémami a predbežnými riešeniami.týka sa práce Paula Kustaanheima v čiastočnej spolupráci s G. Järnefeltom v období medzi rokmi 1949 a 1957. Ďalším nedávnym návrhom bude diskutovať o úplne odlišných smeroch Patrick Suppes a o niečo starší návrh Ludwika Silbersteina, ktorého geometria je priamo obsiahnutá vo fyzickej teórii, presná je špeciálna teória relativity. Záverečná časť tejto časti sa zaoberá niektorými špecifickými problémami a predbežnými riešeniami. Záverečná časť tejto časti sa zaoberá niektorými špecifickými problémami a predbežnými riešeniami. Záverečná časť tejto časti sa zaoberá niektorými špecifickými problémami a predbežnými riešeniami.

2.1 Štandardná axiomatizácia pre euklidovskú geometriu

Ako vyzerá axilizácia Hilbertovho typu? Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je opraviť (formálny) jazyk. Spravidla sa vyberie predikátová logika prvého poriadku s identitou, tj jazyk obsahujúci názvy premenných (a prípadne konštánt), názvy funkcií (ak sú potrebné), názvy predikátov vrátane predikátu identity, logické spojivá a kvantifikátory a množina gramatických pravidiel na vytváranie viet. Obmedzenie na logiku prvého poriadku znamená, že kvantifikovať sa môžu iba premenné. Bez toho, aby sme sa podrobne zaoberali, je potrebné poznamenať, že je možné zvoliť výraznejší jazyk, napr. Čím je povolená aj kvantifikácia nad predikátmi.

Po výbere jazyka je ďalším problémom určiť primitívne výrazy jazyka. V prípade roviny euklidovskej geometrie ide o body a čiary, aj keď niekedy sú čiary definované ako konkrétne súbory bodov. Ďalej je potrebné vybrať základné predikáty. V súčasnosti existuje množstvo rôznych axiomatizácií. Najčastejšie používané predikáty sú: incidenčný vzťah („bod (a) leží na priamke (A)“)), vzťah medzi medzičasom („bod (a) leží medzi bodmi (b)) a (c) "), vzťah ekvidistencie (" vzdialenosť od bodu (a) do (b) je rovnaká ako vzdialenosť od bodu (c) do (d) "), kongruenčný vzťah („časť riadku určená dvoma bodmi (a) a (b) je zhodný s časťou riadku určený dvoma bodmi (c) a (d) "). Upozorňujeme, že nie je potrebné, aby sa všetky vyskytovali pri axiomatizácii. Napríklad, ak riadky nie sú zavedené ako primitívne termíny, potom zvyčajne neexistuje žiadny výskytový vzťah.

Ďalším krokom je zavedenie súboru axiómov na určenie určitých vlastností vyššie uvedených vzťahov. Napríklad, ak axiomatizácia používa vzťah incidencie, potom typickými axiómami pre tento vzťah sú:

  • Cez dva body je možné nakresliť presne jednu priamku.
  • Na každej priamke sú najmenej dva body.
  • Existujú najmenej tri body, ktoré nie sú na rovnakej priamke.

Nakoniec sa hľadá interpretácia alebo model axiomatizácie. To znamená, že hľadáme význam primitívnych pojmov, ako sú body a čiary, funkcií (ak existujú) a predikátov tak, že axiómy sa stanú pravdivými výrokmi vo vzťahu k interpretácii. Aj keď pri vývoji axiomatizácie často myslíme na konkrétny výklad, nevylučuje to možnosť existencie skôr neočakávaných modelov. V istom zmysle sa finitistické modely spoliehajú na túto možnosť, ako ukazuje nasledujúci odsek.

2.2 Fínska škola a prírodná geometria

Paul Kustaanheimo bol členom skupiny matematikov so sídlom v Helsinkách, ktorí sa všetci zaujímali o nejakú formu konečnej geometrie. Najvýznamnejšími členmi boli G. Järnefelt, P. Kustaanheimo a R. Lehti. Pôvod ich inšpirácie je v práci JT Hjelmsleva, ktorý vyvinul takzvanú „prírodnú“geometriu („Die natürliche Geometrie“, pozri jeho knihu z roku 1923), ktorá sa niekedy označuje aj ako „fyzická“geometria. Ich prístup nepoznal žiadne pokračovanie, jednou výnimkou boli Reisler a Smith (1969). Zvláštne však existuje spojenie s Suppesovým prístupom, o ktorom sa bude diskutovať neskôr v tom zmysle, že geometria je primárne vnímaná ako (takmer) experimentálna veda, tj geometer sa zaoberá pravítkami a kompasmi, vytvára ploché povrchy na meranie, a tak ďalej. Samozrejme,Pretože my ľudia dokážeme manipulovať iba s konečnými objektmi konečnými spôsobmi, musí to viesť k diskrétnej geometrii.

Kustaanheimov návrh - tu hrubým spôsobom reprodukujem vynikajúcu prezentáciu jeho návrhu vo Welti (1987: 487–521), ktorá je omnoho prístupnejšia ako pôvodné dielo - je založená na nasledujúcom odôvodnení. Štandardný model klasickej axiomatickej teórie euklidovskej geometrie pozostáva z karteziánskeho súčinu reálnych čísel so sebou samým. Alebo, ako je obvykle formulované, bod v rovine je mapovaný na pár reálnych čísel, ich súradníc. Reálne čísla majú matematickú štruktúru nekonečného poľa. Existujú však aj obmedzené polia. Prečo teda nenahradiť pole nekonečného reálneho čísla konečným poľom, takzvaným Galoisovým poľom?

Najlepší výsledok, ktorý by sa dal dosiahnuť, by bolo, že každé konečné Galoisovo pole spĺňa väčšinu axiómov euklidovskej geometrie. To však nie je tento prípad. Výsledok výskumu Kustaanheima je o niečo zložitejší:

  • Nie všetky konečné polia urobia. Ak voláme (p) počet prvkov v doméne konečného poľa, potom (p) musí spĺňať určité podmienky. To znamená, že potenciálnymi kandidátmi sú iba konečné polia určitej veľkosti, tj špecifická hodnota pre (p).
  • Pokiaľ ide o „dobré“hodnoty (p), úplný model to neurobí. Ako príklad použite priamku. Podľa ich definície v konečnom poli sa ukazuje, že existujú dva druhy priamych čiar: otvorené a uzavreté. Tie druhé porušujú niektoré axiómy, a preto obmedzujete model na tie otvorené. Toto obmedzenie modelu sa nazýva euklidovské „jadro“modelu.

Stručne povedané, nemožno tvrdiť, že by nejaká konečná oblasť dokázala, ale iba niektoré a len jej časť.

Tento prístup vyvoláva niektoré dôležité filozofické otázky:

  • Je zrejmé, že veľkosť modelu je dôležitým prvkom. Má to nejaký význam? Alebo negatívne, čo to znamená, že polia rôznej veľkosti nie sú vhodné ako modely? Predpokladajme, že ako myšlienkový experiment je euklidovská geometria dobrým modelom pre geometrickú štruktúru vesmíru. Má zmysel tvrdiť, že vesmír musí obsahovať presne (p) body (nie (p-1), nie (p + 1))? Zdá sa, že za rohom sa skrýva nový druh pythagoreanizmu.
  • Príklad priamok ukazuje, že existujú „pekné“geometrické objekty (tie, ktoré uspokojujú väčšinu axiómov) a „zlé“geometrické objekty. Ignorovanie zlých je možno matematicky zaujímavá stratégia, ale nevylučuje ich z úplného modelu. Inými slovami, hoci nehrajú žiadnu dôležitú úlohu v „jadre“modelu, sú tam. Čo to má znamenať? Na pokračovanie vyššie uvedeného experimentu je otázkou, čo zodpovedá „zlým“objektom vo vesmíre? Ak nič nezodpovedajú, prečo ich potrebujeme v prvom rade na nájdenie „dobrých“objektov?

Na obranu prístupu Kustaanheima je potrebné povedať, že spojenia medzi nekonečnými a konečnými modelmi sú zvyčajne oveľa zložitejšie, ako sa očakáva. Konečný model nie je iba zmenšenou verziou nekonečného modelu. Veľmi často sa objavuje iná štruktúra. Ako analógiu vezmite (nekonečnú množinu) prirodzených čísel. Zúčastnite sa konečnej časti a vyslovte čísla 1 až (L). V konečnom prípade má zmysel hovoriť o malých a veľkých číslach v porovnaní s (L). Klasicky to nie je možné. Takže človek nájde ďalšiu štruktúru. Metaforicky povedané, čím sa veci stávajú konečnými, objaví sa podrobnejšia alebo „jemnozrnnejšia“štruktúra, ktorá sa vyhladí v prítomnosti nekonečna. Možno je rozdiel medzi „dobrými“a „zlými“geometrickými objektmi takým dodatočným prvkom, ktorý v klasickom euklidovskom modeli zanikne. Pravdepodobne prvočísla tak majú význam. Stále však zostáva otázka: je to nový druh pythagoreanizmu? Viac podrobností o prístupe Kustaanheima sa nachádza v doplnkovom dokumente: Konečné polia ako modely pre euklidovskú rovinnú geometriu.

2.3 Konštruktívny prístup

Originalita Suppesovho prístupu spočíva v tom, že navrhuje sformulovať geometriu ako prax stavieb, porovnateľnú s Hjelmslevovou prácou, ale dosť odlišnou. Konštrukcia sa tu má chápať v elementárnom zmysle výroby výkresov alebo schém, pri použití určitých nástrojov, ako je pravítko a / alebo kompas, a nie v modernom zmysle slova v základnom zmysle, tj konštruktívnym, axiomatickým základom pre geometriu., Z (striktnej) finitistickej perspektívy sú dôležité dva prvky. Po prvé, konštrukcie môžu byť formulované spôsobom bez kvantifikátora; výraz „nakresliť čiaru“neznamená, že musíme hovoriť o celej sade čiar v rovine. „Nakresliť čiaru“bude mať za následok konkrétny konečný objekt, konkrétne zlomok čiary, napr. Na kus papiera. Po druhé, všetky uvažované modely budú konečné, pretože bez ohľadu na to, aké konštrukcie sa vykonávajú, východiskovým bodom bude vždy konečný súbor bodov.

Suppes zvažuje dve základné operácie: operácia (B), ktorá zodpovedá pretrhnutiu priamky (ab) a operácia (D), ktorá zodpovedá zdvojnásobeniu priamky (ab). Krok (C_ {i}) v konštrukcii pozostáva z troch prvkov: prvým prvkom je (nový) bod, ktorý sa má skonštruovať, druhým prvkom je dvojica bodov, ktoré už existujú, a tretím prvkom je buď (B) alebo (D), podľa toho, ktorá operácia je vybraná. Počiatočná pozícia sa skladá z troch zadaných bodov, (a, b) a (c).

Príklad: zvážte konštrukciu (((d, ac, B), (e, bd, D))) pozostávajúcu z dvoch krokov. Prvý krok hovorí, že treba začať s (ac) a skonštruovať stredný bod (d), av druhom kroku vyberieme segment (bd) a zdvojnásobíme ho. Schematické znázornenie objasňuje, čo sa deje:

[Body a, b a c tvoria trojuholník, úsečky ab a bc sú plné čiary, úsečka bc je prerušovaná. Bod d leží uprostred na priamkovom úseku bc. Prerušovaná čiara segmentu bd siaha ďalej do bodu e.]
[Body a, b a c tvoria trojuholník, úsečky ab a bc sú plné čiary, úsečka bc je prerušovaná. Bod d leží uprostred na priamkovom úseku bc. Prerušovaná čiara segmentu bd siaha ďalej do bodu e.]

postava 1

Vychádzajúc z trojice (a, b) a (c) sme zostavili rovnobežník abce.

Samotný zoznam konštrukcií nepostačuje na to, aby sme hovorili o geometrickej teórii, takže je potrebné preukázať, ako sa to skutočne deje v Suppse, že je možné formálne axiomatické spracovanie. Stačí uviesť zoznam potrebných axiómov o operáciách (B) a (D), aby bolo možné dokázať, že číslo nakreslené vo vyššie uvedenom príklade je skutočne rovnobežníkom. Ďalej je dokázaná reprezentačná veta, že bodom sú priradené racionálne súradnice.

Musia sa uviesť dve dôležité poznámky. Najprv je potrebné preukázať, že táto elementárna geometrická teória sa môže rozšíriť až na plnohodnotnú geometrickú teóriu, ktorú možno považovať za pravdepodobnú alternatívu klasickej geometrie. Samotný Suppes sa javí ako celkom sebaistý, keď píše:

moje vlastné presvedčenie je, že človek môže prejsť celú vzdialenosť alebo určite takmer celú vzdialenosť čisto finitistickým spôsobom… (2001: 136)

Po druhé, zameranie na stavby otvára nový spôsob riešenia problému funkcie vzdialenosti. Nepotrebujeme všeobecnú funkciu vzdialenosti, ale v každom jednotlivom prípade musíme byť schopní priradiť súradnice bodom v diagrame a nič viac. Zostáva však zistiť, či je možné základné operácie (B) a (D) rozšíriť bez straty tejto dôležitej vlastnosti.

V časti 2.5 sa vrátim k problému vzdialenosti, aby som predstavil niektoré ďalšie riešenia, ktoré boli predložené. Najprv však celkom odlišný prístup z fyzickej stránky.

2.4 Priamy fyzikálny príklad: diskrétna verzia špeciálnej teórie relativity

V roku 1936 Silberstein navrhuje pomerne priamu diskrétnu teóriu. Jedinou vecou, ktorú používame vo fyzike, sú štítky (x, y, z, t), a ak sú diskrétne, môžu byť vždy označené celými číslami. V krátkej brožúre, ktorá spája päť prednášok na túto tému, sa Silberstein obmedzuje na jeden priestorový a jeden časový parameter. Hoci uznáva problém (1936: 15) vyšších dimenzií, nezaoberá sa ním. Takže problém so vzdialenosťou sa stáva skôr triviálnym, pretože na priamke sa diskrétna funkcia vzdialenosti a euklidovská funkcia vzdialenosti zhodujú. Jeho návrh je elementárny v tom zmysle, že najmenšia vzdialenosť, tj. vzdialenosť medzi dvoma susednými bodmi (x_ {i}) a (x_ {i + 1}) je rovná 1 a podobne pre časovú súradnicu, takže 1 sa stáva maximálnou rýchlosťou, ktorá sa rovná / \ c), takže (c = 1). Analógy derivátov sú definované, diferenciálne rovnice sú nahradené diferenciálnymi rovnicami, analóg z hľadiska konečných rozdielov je odvodený z Taylorovho radu a väčšina klasickej fyziky môže byť napodobnená. Za zmienku stojí, že prednášky zahŕňajú hrubý výpočet veľkosti chronónov, tj najmenšej jednotky času a hodónov, tj najmenšej jednotky (jednorozmerného) priestoru. Predpokladajme, že (a) je počet hodín v jednom centimetri a (b) počet chronónov za sekundu, potom (frac {(1 / a)} {(1 / b)} = / frac {b} {a} = c = 3,10 ^ {10} text {cm / s,} quad / text {alebo} quad b = 3,10 ^ {10} cdot a.) Ak opravíme nižšiu limit pre (a), povedzme (10 ^ {- 8}) cm (to je vlastne Silbersteinov návrh!), potom (b = 3,10 ^ {10} cdot a / geq 3,10 ^ {18}), čo je počet chronónov za sekundu. Ďalej diskrétny časopriestorový rámec aplikuje na špeciálnu relativitu a aj tu sa nachádza analóg. V tomto prístupe je zaujímavá skutočnosť, že sa v klasickom prípade objavujú ďalšie podmienky, ktoré nie sú potrebné. Tu je jeden príklad.

Špeciálna teória relativity sa spolieha na výraz, tu obmedzený na jednu priestorovú dimenziu, tj. (X ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2}). Akákoľvek zmena na nové súradnice (x '), (t') musí teda vyhovovať (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2} = x '^ {2} - c ^ {2} t '^ {2}). Predpokladajme, že píšeme (x = ax '+ bt') a (t = cx '+ dt'), potom inverzné vzťahy budú [x '= / frac {(dx' - bt ')} {(ad - bc)} quad / text {a} quad t '= / frac {(ax' - ct ')} {(ad - bc)}.) Ak však, (x), (x '), (t) a (t') musia byť celé čísla, potom nevyhnutne (ad - bc = 1). Táto posledná podmienka je čistým dôsledkom skutočnosti, že uvažujeme diskrétne a používame celé čísla.

2.5 Niektoré čiastočné riešenia a problémy, ktoré treba riešiť

V tejto časti sa budú diskutovať o troch konkrétnych problémoch, ktoré je potrebné vyriešiť, ak sa má nejaký návrh na diskrétnu geometriu brať vážne: problém funkcie vzdialenosti, problém rozmeru, problém anizotropie a problém identifikácie.

Problém funkcie vzdialenosti. Existuje dosť zničujúci argument, ktorý ukazuje nemožnosť skutočnej funkcie vzdialenosti pre diskrétnu geometriu. Pochádza z roku 1949 a bol prvýkrát formulovaný Hermannom Weylom:

Ak je štvorec tvorený miniatúrnymi dlaždicami, je pozdĺž diagonály toľko dlaždíc, koľko je po stranách; preto by uhlopriečka mala mať rovnakú dĺžku ako strana. (Weyl 1949: 43)

Boli sformulované najmenej tri riešenia tohto problému.

Van Bendegem (1987) tvrdil, že v konečnej geometrii by malo byť základnou skutočnosťou, že čiary a body majú predĺženie. Najmä majú mať riadky konštantnú šírku (nezávislú od orientácie čiary) (N_ {D}). Takže (N_ {D}) predstavuje veľké (konečné) číslo, ktoré zodpovedá počtu štvorce, ktoré tvoria (N_ {D}). Vzhľadom na čiaru je šírka vždy definovaná ako kolmá na túto čiaru. Teraz predpokladajme, že priamka má orientáciu zodpovedajúcu uhlu (alfa) medzi čiarou a osou (x). Potom šírka (N_ {D}) tejto čiary, keď sa premieta na os (x) -, bude (left (frac {N_ {D}} { sin / alfa} right]) kde výraz ([x]) označuje najväčšie celé číslo menšie alebo rovné (x).

[mriežka s dvoma rovnobežnými čiarami smerujúcimi zhora zľava doprava dole, v spodnej časti je vodorovná čiara prechádzajúca oboma čiarami (jej uhol s ľavou rovnobežnou čiarou je označený symbolom alfa). Nad vodorovnou čiarou spája tieto dve rovnobežné čiary a ďalšia čiara (N D / sin (alfa) má šípku smerujúcu k tomuto) prechádza z jej priesečníka s pravou rovnobežnou čiarou k bodu na ľavej paralelnej čiare pod ňou (N D má šípka smerujúca k tomuto úsečkovému segmentu. Uhol medzi prvým úsečkou a ľavou rovnobežnou čiarou je označený symbolom alfa.]
[mriežka s dvoma rovnobežnými čiarami smerujúcimi zhora zľava doprava dole, v spodnej časti je vodorovná čiara prechádzajúca oboma čiarami (jej uhol s ľavou rovnobežnou čiarou je označený symbolom alfa). Nad vodorovnou čiarou spája tieto dve rovnobežné čiary a ďalšia čiara (N D / sin (alfa) má šípku smerujúcu k tomuto) prechádza z jej priesečníka s pravou rovnobežnou čiarou k bodu na ľavej paralelnej čiare pod ňou (N D má šípka smerujúca k tomuto úsečkovému segmentu. Uhol medzi prvým úsečkou a ľavou rovnobežnou čiarou je označený symbolom alfa.]

Obrázok 2

Vzdialenosť (d) medzi dvoma bodmi (p) a (q) je potom definovaná ako počet štvorcov v obdĺžniku tvorenom priamkou od (p) do (q) a šírka (N_ {D}), vydelená (N_ {D}). Myšlienka je taká, že hoci v diskrétnej geometrii musia mať riadky nevyhnutne šírku, nejde o podstatný znak, takže sa dá rozdeliť. Z toho dôvodu:

[d (p, q) = N_ {L} cdot / left (frac {N_ {D}} { sin / alfa} right] (mathrm {div}, N_ {D}).]

(N_ {L}) tu zodpovedá počtu vrstiev rovnobežných s osou (x) medzi (p) a (q) a (n (mathrm {div}, m))) je kvocient rozdelenia (n) podľa (m.)

Ako ilustráciu si pozrite problém Weyl.

[mriežka s dvoma dlhými obdĺžnikmi, jeden orientovaný horný (označený „p“) / spodný (označený „q“) na dlhej osi a druhý orientovaný vľavo (označený „q“) / pravý (označený „r“) na dlhej osi osi; prekrývajú sa na spodnej strane jednej a ľavej strane druhej. Dlhý rovnobežník sa prekrýva na hornej a druhej strane druhej. Dlhé strany oboch obdĺžnikov sú označené N L a krátke strany N D. Horizontálny čiarový segment z jednej strany rovnobežníka na druhú je označený ako „[sqrt (2) N d]“. Uhol priesečníka medzi rovnobežnýmgramom a ľavým / pravým obdĺžnikom je označený ako „alfa = pi / 4.]
[mriežka s dvoma dlhými obdĺžnikmi, jeden orientovaný horný (označený „p“) / spodný (označený „q“) na dlhej osi a druhý orientovaný vľavo (označený „q“) / pravý (označený „r“) na dlhej osi osi; prekrývajú sa na spodnej strane jednej a ľavej strane druhej. Dlhý rovnobežník sa prekrýva na hornej a druhej strane druhej. Dlhé strany oboch obdĺžnikov sú označené N L a krátke strany N D. Horizontálny čiarový segment z jednej strany rovnobežníka na druhú je označený ako „[sqrt (2) N d]“. Uhol priesečníka medzi rovnobežnýmgramom a ľavým / pravým obdĺžnikom je označený ako „alfa = pi / 4.]

Obrázok 3.

Máme pravouhlý trojuholník pqr tak, že pre jednoduchosť sú pravé strany (pq) a (qr) rovnaké a sú zarovnané s osami mriežky. Predpokladajme, že počet štvorcov na pravej strane je (N_ {L}). potom

(begin {align *} d (p, q) & = d (q, r) & = N_ {L} cdot [N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L}, \\ / end {align *})

pretože, samozrejme, ([N_ {D}]) = (N_ {D}). Prepona má však uhol (alfa = / frac { sqrt {2}} {2}). To znamená, (begin {align *} d (p, r) & = N_ {L} cdot / left (frac {N_ {D}} { sin / alpha} right] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot (sqrt {2} cdot N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot (sqrt {2}] _ {n}, / end {align *})

kde ([r] _ {n}) znamená číslo (r) až do (n) desatinných miest. Nie sú potrebné žiadne výpočty, aby sa preukázalo, že (blízka aproximácia) platí Pythagorova veta, tj (d ^ {2} (p, q) + d ^ {2} (q, r) = d ^ {2} (p, r)). Nakoniec existuje jednoduché vysvetlenie, prečo sa vyskytuje problém s Weyl: zodpovedá prípadu obmedzenia (N_ {D} = 1). Keď (N_ {D} = 1), potom ((sqrt {2} cdot N_ {D}] = (sqrt {2}] = 1), teda (d (p, r)) = N_ {L} cdot 1 = N_ {L}) a Pythagorova veta zlyhala.

Aj keď zavedenie šírky (N_ {D}) zjavne problém rieši, je rovnako zrejmé, aké sú jeho nevýhody. Bez klasickej euklidovskej geometrie v pozadí neexistuje skutočný spôsob, ako začať s výstavbou. Neexistuje žiadna definícia priamky z hľadiska samotnej diskrétnej geometrie a predovšetkým sa projektovaná šírka na osi (x) - priamky (L) vypočíta podľa euklidovskej funkcie vzdialenosti, ktorá je nie je výslovne uvedené. Stručne povedané, existuje kombinácia dvoch funkcií vzdialenosti.

Peter Forrest (1995) predstavuje ďalšie riešenie. Začína predstavením rodiny diskrétnych priestorov (E_ {n, m}), kde (n) zodpovedá „klasickej“dimenzii priestoru a (m) je mierkový faktor, ktorý treba chápať ako takto: (m) je parameter, ktorý sa má rozhodnúť, kedy dva body susedia alebo nesedia, čo je základným (a jediným) konceptom jeho geometrie. Takže v prípade (n = 2) sú body označené pármi celých čísel ((i, j)) a dvoma bodmi ((i, j)) a ((i ', j')) susedia, ak sú odlišné, a ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}).

Po určení susedstva je možné ľahko odvodiť funkciu vzdialenosti: vzdialenosť medzi (p) a (q), (d (p, q)) je najmenší počet „odkazov“v reťazec bodov spájajúcich (p) a (q) tak, že každý z nich susedí s predchádzajúcim. Ďalej nie je problém ukázať, že priama čiara prechádzajúca dvoma bodmi je reťazou bodov, ktorá má najkratšiu vzdialenosť.

Ak má parameter (m) malú hodnotu, výsledná funkcia vzdialenosti nie je euklidovská. Presnejšie povedané, ak (m = 1), máme opäť situáciu, ktorú predstavil Weyl. Ale ak povedzme, (m = 10 ^ {30}) (číslo, ktoré navrhol sám Forrest), situácia sa zmení. Potom je možné ukázať, že funkcia vzdialenosti na diskrétnom priestore sa priblíži euklidovskej funkcii vzdialenosti tak blízko, ako sa len dá. Bez uvedenia všetkých detailov je možné preukázať, že euklidovská funkcia vzdialenosti (d_ {E}) a funkcia diskrétnej vzdialenosti (d) súvisia s mierkou, tj (d_ {E} frac { (p, q)} {d (p, q)} = / mbox {konštanta} (m)), kde konštanta je určená hodnotou (m). Opäť nie sú potrebné žiadne výpočty, aby sa preukázalo, že pôvodná funkcia vzdialenosti (d) spĺňa pythagorovskú vetu.

Ak v tomto prístupe hľadáme slabé miesto, potom nevyhnutne musíme skončiť základným pojmom susedstva. Aký je dôvod na vymedzenie susedstva v euklidovských podmienkach? Koniec koncov, podmienka, ako je ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}), vyzerá rovnako ako euklidovský. Možný východiskový bod navrhuje Van Bendegem (1997). Jednou z výhod diskrétneho prístupu - a zdá sa, že to platí vo všeobecnosti pre prísne finitistické návrhy - je to, že definície, ktoré sú klasicky rovnocenné, sa v prísnom konečnom rámci odlišujú. Konkrétnejšie teda kruh možno definovať (aspoň) dvoma spôsobmi:

  1. ako množina bodov (p), ktoré majú pevnú vzdialenosť od pevného bodu,
  2. ako množina bodov (p) tak, že vzhľadom na segment pevnej čiary (ab) je uhol tvorený (apb) pravý uhol.

Z klasického hľadiska sú tieto dve definície rovnocenné. Nie sú však v diskrétnej geometrii. Ak je napr. Funkcia vzdialenosti definovaná ako najnižší počet hodín, ktoré spájajú dva dané body, potom tieto dve definície nie sú ekvivalentné. Na základe definície (a) bude mať kruh tvar štvorca (známa skutočnosť v takzvanej geometrii taxíku), a preto je zbytočné definovať susednosť tak, ako je to uvedené vyššie. Definícia (b) na druhej strane vytvára číslo, ktoré sa môže priblížiť euklidovskému kruhu tak blízko, ako sa mu páči. Týmto spôsobom je Forrestova definícia susedstva prijateľná v rámci diskrétneho rámca, pretože sa neuvádza žiadny odkaz na euklidovskú funkciu vzdialenosti.

Tretie riešenie sa nachádza v rozsudku Crouse a Skufca (2019), ktorý predstavuje zaujímavú syntézu dvoch predchádzajúcich návrhov na vyriešenie problému funkcie dištančných funkcií. Navrhujú určitý druh fyzickej interpretácie, ktorá umožňuje tri veci. Po prvé, umožňuje určiť najnižšie veľkosti pre hodóny a chronóny z hľadiska Planckovej dĺžky a času. Po druhé, navrhuje definíciu vzdialenosti od A do B z hľadiska vzdialenosti prejdenej „testovacím“hodonom (samozrejme v diskrétnych minimálnych krokoch). Tým sa okamžite vyrieši problém anizotropie, pretože nie sú uprednostňované žiadne pokyny. Po tretie, nepredpokladá a priori existenciu mriežky (alebo podobnej štruktúry) ako absolútneho referenčného rámca. Tým sa otvára možnosť preformulovať osobitnú teóriu relativity, čo robia. Hoci Silbersteinov prístup (pozri oddiel 2.4 vyššie) nie je uvedený, je jednoznačne prepojený a možno ho považovať za zlepšenie, pretože fyzický základ je filozoficky lepšie motivovaný.

Ak sa tieto návrhy a návrhy môžu považovať za adekvátne reakcie na problém Weylovej dlaždice, v poslednej dobe sa vo Fritzi (2013) nachádza ďalší vynikajúci príklad neúčinného prístupu (a sprievodnej vety). Začnite abstraktnou formuláciou periodického grafu, tj skupinou vrcholov a sadou hrán. Z praktických dôvodov možno periodicitu považovať za kryštalickú štruktúru. To znamená, že máme základnú konečnú jednotku, ktorá dokáže pokryť celý graf prostredníctvom opakovaných kópií tejto základnej jednotky. Zoberme si ako príklad dvojrozmernú štruktúru. Vrcholy môžu byť označené alebo „vážené“dvoma číslami ((i, j)). Trajektória ((f_ {n}) _ {n / in N}) je postupnosť váh vrcholov, takže vrcholy nesú (f_ {n}) a (f_ {n + 1})) sú spojené hranou. Ďalej definujeme (makroskopickú) rýchlosť takej dráhy, ako je

[u = / lim_ {n / rightarrow / infty} frac {(f_n - f_0)} {n},)

čo znie úplne prijateľné. Príklad: trajektória tak, že (f_ {n} = (n, 0)), začínajúc od (f_ {0} = (0, 0)), bude mať makroskopická rýchlosť 1 ako (f_ {n} - f_ {0} = (n, 0)) a po delení (n) sa ponechá (1, 0). Bez toho, aby šiel do detailov, potom ukazuje, že geometrická štruktúra všetkých (makroskopických) rýchlostí v takomto grafe nemôže zodpovedať štruktúre euklidovského priestoru. Dôvod je pomerne jednoduchý (hoci dôkazy nie sú): v grafe budú vždy vyčlenené „špeciálne“smery a anizotropia zostane zistiteľná aj na makroskopickej úrovni. Preto je vylúčený prechod z diskrétnej úrovne na makroskopickú, spojitú, euklidovskú a izotropnú úroveň. Toto je skutočne zaujímavý výsledok, pretože vrhá tieň na všetky pokusy použiť priamy,často skôr naivný prechod z diskrétnej na súvislú úroveň. Zároveň sa zasadzuje za komplexnejšie prechody z mikroskopických do makroskopických úrovní, napr. Zohľadnením šírky čiary.

Problém dimenzie. Tomuto problému sa nevenovala veľká pozornosť, aj keď je to zásadné. Ak rovina pozostáva z diskrétnej sady prvkov, hodónov alebo atómov, musí mať táto množina rozmer nula. Aby bolo možné určiť rozmer, musí byť táto súprava vybavená topológiou a jediným možným kandidátom je diskrétna topológia. To znamená, že rozmer je nula. Každý z nich si môže jednoducho vynechať pojem dimenzie na základe argumentu, že pojem dimenzia predpokladá koncept kontinuity a topológie, a preto nemá konečný význam. Alebo niekto hľadá analóg, ale nie je vôbec jasné, čo to môže byť. To, čo by sa človek nemal pokúsiť urobiť, je odvodiť pojem dimenzie z usporiadateľského vzťahu. Predpokladajme, že hodiny sú označené celými číslami ((i,j)) v niektorom vhodnom súradnicovom systéme, napríklad (- L / le i), (j / le L), kde (L) je horná hranica. Potom sú možné celkom odlišné vzťahy pri objednávaní. Jednou z možností je definovať ((i, j) lt (k, l)) iba vtedy, ak (i + j / lt k + l). Ďalšou možnosťou je definovať ((i, j) lt (k, l)), ak a iba vtedy, ak buď / (i / lt k) alebo, ak (i = k), potom (j / lt l). Vyžaduje si preto ďalšie argumenty, aby sa tvrdilo, že medzi všetkými možnými vzťahmi objednávok na danom súbore má jeden a jediný osobitný štatút. V oddiele 3 však uvidíme, že pomocou nástrojov teórie grafov sa skutočne dá definovať rozmer.l)) iba vtedy, ak (i + j / lt k + l). Ďalšou možnosťou je definovať ((i, j) lt (k, l)), ak a iba vtedy, ak buď / (i / lt k) alebo, ak (i = k), potom (j / lt l). Vyžaduje si preto ďalšie argumenty, aby sa tvrdilo, že medzi všetkými možnými vzťahmi objednávok na danom súbore má jeden a jediný osobitný štatút. V oddiele 3 však uvidíme, že pomocou nástrojov teórie grafov sa skutočne dá definovať rozmer.l)) iba vtedy, ak (i + j / lt k + l). Ďalšou možnosťou je definovať ((i, j) lt (k, l)), ak a iba vtedy, ak buď / (i / lt k) alebo, ak (i = k), potom (j / lt l). Vyžaduje si preto ďalšie argumenty, aby sa tvrdilo, že medzi všetkými možnými vzťahmi objednávok na danom súbore má jeden a jediný osobitný štatút. V oddiele 3 však uvidíme, že pomocou nástrojov teórie grafov sa skutočne dá definovať rozmer.

Problém izotropie. Ak je rovina vytvorená zo štvorcových hodónov, tak ako v predchádzajúcom odseku, potom sú hodiny usporiadané tak, že každý hodon sa dotýka štyroch ďalších hodónov, tj rovina môže byť modelovaná ako štvorcová mriežka, potom je zrejmé, že existujú preferované smery, v tomto prípade to budú dva preferované smery. Ak sa však namiesto štvorcov považujú šesťuholníky za hodóny, existujú tri uprednostňované smery. Takže bez ohľadu na to, aký je tvar hodónu, budú mať uprednostňované smery a to znamená, že priestor je anizotropný. Všimnite si, že tieto prípady nie sú ničím iným ako osobitnými príkladmi všeobecného prístupu Tobiasa Fritza, diskutovaným vyššie. Avšak pre fyzické aplikácie by sme chceli mať izotropiu (alebo aspoň čo najbližšie).

Sú možné dva prístupy, ktoré nespadajú pod Fritzovu ne-goovú vetu. Hodony majú buď určitý tvar, alebo nie. V prvom prípade bolo navrhnuté, že namiesto pravidelného pravidelného obkladu roviny by sa malo hľadať nepravidelné aperiodické obloženie, ako napríklad obklad Penrose.

[štrk z penovej dlaždice, veľké množstvo niekoľkých rôznych typov rovnobežných gramov, ktoré sa vzájomne spájajú do skupín po 10, aby vytvorili viac 10-stranných obrázkov a skupiny 3, aby vytvorili viacnásobné prekladané 6-stranné obrázky]
[štrk z penovej dlaždice, veľké množstvo niekoľkých rôznych typov rovnobežných gramov, ktoré sa vzájomne spájajú do skupín po 10, aby vytvorili viac 10-stranných obrázkov a skupiny 3, aby vytvorili viacnásobné prekladané 6-stranné obrázky]

Obrázok 4

Aj keď nie sú k dispozícii žiadne prepracované príklady, zdá sa, že je to sľubná línia útoku. V prípade obkladov Penrose je zaujímavé vidieť, že už neexistujú klasicky priame čiary, práve kvôli aperiodicite. V druhom prípade je možným východiskom nejasnosť. Ako Peter Forrest vo svojej (1995) a Crouse a Skufca v ich (2019) obrane, celá myšlienka špecifického znázornenia diskrétneho priestoru, napr. Vytvoreného z malých štvorcov, sa zásadne mýli. Ak má hodon špecifickú podobu, potom sa nedá vyhnúť kladeniu otázok o častiach hodon, ako je jeho hranica, ale to nedáva zmysel, ak sú hodons najmenšími možnými priestorovými entitami. Medziľahlou pozíciou bránenou vo Van Bendegem (1997) je zvážiť sériu diskrétnych geometrií (G_ {i}), každá s hodinou určitej veľkosti, (h_ {i}),tak, že (h_ {i} ne h_ {j}), pre (i / ne j) a okrem toho existujú (M) a (N) také, že (M / lt h_ {i} lt N), pre všetkých (i). Jeden môže potom použiť techniku nadhodnotenia na sériu. To znamená, že príkaz bude mať hodnotu True (False), ak je pravdivý (false) v každej geometrii (G_ {i}). Vo všetkých ostatných prípadoch je nerozhodnuté, tj v niektorých pravdivé a v iných nepravdivé. Teraz, ak (A) je príkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétne číslo), toto bude nerozhodnuté, ak zodpovedá aspoň jednému z (Ahoj}). Takýto prístup však zavádza do diskusie všetky problémy spojené s nejasnosťou, ktorá nemusí byť nevyhnutne povzbudzujúcou situáciou. Aj pre tento problém je možné dať pôvodnú odpoveď v rámci teórie grafov.existujú (M) a (N) také, že (M / lt h_ {i} lt N), pre všetkých (i). Jeden môže potom použiť techniku nadhodnotenia na sériu. To znamená, že príkaz bude mať hodnotu True (False), ak je pravdivý (false) v každej geometrii (G_ {i}). Vo všetkých ostatných prípadoch je nerozhodnuté, tj v niektorých pravdivé a v iných nepravdivé. Teraz, ak (A) je príkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétne číslo), toto bude nerozhodnuté, ak zodpovedá aspoň jednému z (Ahoj}). Takýto prístup však zavádza do diskusie všetky problémy spojené s nejasnosťou, ktorá nemusí byť nevyhnutne povzbudzujúcou situáciou. Aj pre tento problém je možné dať pôvodnú odpoveď v rámci teórie grafov.existujú (M) a (N) také, že (M / lt h_ {i} lt N), pre všetkých (i). Jeden môže potom použiť techniku nadhodnotenia na sériu. To znamená, že príkaz bude mať hodnotu True (False), ak je pravdivý (false) v každej geometrii (G_ {i}). Vo všetkých ostatných prípadoch je nerozhodnuté, tj v niektorých pravdivé a v iných nepravdivé. Teraz, ak (A) je príkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétne číslo), toto bude nerozhodnuté, ak zodpovedá aspoň jednému z (Ahoj}). Takýto prístup však zavádza do diskusie všetky problémy spojené s nejasnosťou, ktorá nemusí byť nevyhnutne povzbudzujúcou situáciou. Aj pre tento problém je možné dať pôvodnú odpoveď v rámci teórie grafov. Jeden môže potom použiť techniku nadhodnotenia na sériu. To znamená, že príkaz bude mať hodnotu True (False), ak je pravdivý (false) v každej geometrii (G_ {i}). Vo všetkých ostatných prípadoch je nerozhodnuté, tj v niektorých pravdivé a v iných nepravdivé. Teraz, ak (A) je príkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétne číslo), toto bude nerozhodnuté, ak zodpovedá aspoň jednému z (Ahoj}). Takýto prístup však zavádza do diskusie všetky problémy spojené s nejasnosťou, ktorá nemusí byť nevyhnutne povzbudzujúcou situáciou. Aj pre tento problém je možné dať pôvodnú odpoveď v rámci teórie grafov. Jeden môže potom použiť techniku nadhodnotenia na sériu. To znamená, že príkaz bude mať hodnotu True (False), ak je pravdivý (false) v každej geometrii (G_ {i}). Vo všetkých ostatných prípadoch je nerozhodnuté, tj v niektorých pravdivé a v iných nepravdivé. Teraz, ak (A) je príkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétne číslo), toto bude nerozhodnuté, ak zodpovedá aspoň jednému z (Ahoj}). Takýto prístup však zavádza do diskusie všetky problémy spojené s nejasnosťou, ktorá nemusí byť nevyhnutne povzbudzujúcou situáciou. Aj pre tento problém je možné dať pôvodnú odpoveď v rámci teórie grafov. Teraz, ak (A) je príkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétne číslo), toto bude nerozhodnuté, ak zodpovedá aspoň jednému z (Ahoj}). Takýto prístup však zavádza do diskusie všetky problémy spojené s nejasnosťou, ktorá nemusí byť nevyhnutne povzbudzujúcou situáciou. Aj pre tento problém je možné dať pôvodnú odpoveď v rámci teórie grafov. Teraz, ak (A) je príkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétne číslo), toto bude nerozhodnuté, ak zodpovedá aspoň jednému z (Ahoj}). Takýto prístup však zavádza do diskusie všetky problémy spojené s nejasnosťou, ktorá nemusí byť nevyhnutne povzbudzujúcou situáciou. Aj pre tento problém je možné dať pôvodnú odpoveď v rámci teórie grafov.

Identifikačný problém. Predpokladajme, že máme plnohodnotnú diskrétnu geometriu a predpokladáme, že klasickú geometriu fyzickej teórie nahradíme diskrétnou verziou. Teraz budeme hovoriť o hodonoch a chrononoch. Vzniká „prirodzená“otázka, čo treba identifikovať s čím? Predstavte si, že v súlade so Silbersteinom sme trochu naivní a bolo by v pokušení identifikovať hodon s Planckovou dĺžkou, (l_ {p} = 10 ^ {- 35} text {m}) a chronón s Planck time, (t_ {p} = 10 ^ {- 43} text {s}). Ak teraz človek akceptuje, že maximálna rýchlosť je jedna hodina na chronón, potom z tejto identifikácie vyplýva, že maximálna rýchlosť je skutočne (c = 3,10 ^ {8} text {m / s}). (Poznámka: tu sa nedeje nič úžasné, pretože v klasickej fyzike je (l_ {p}) definované ako (sqrt { hbar G / c ^ 3},) a (t_ {p}) ako (sqrt { hbar G / c ^ 5},), takže je zrejmé, že (l_ {p} / t_ {p} = c). Teraz položte jednoduchú otázku, aká bude budúca rýchlosť, tesne pod (c)? Odpoveď musí byť: jeden hodon za dva chronóny, ale to znamená rýchlosť (c / 2). Zdá sa, že sme vynechali celý rozsah medzi (c / 2) a (c). Existuje cesta von, ale predpokladá sa, že „trhaný“pohyb sa považuje za možný, esteticky dosť škaredý nápad. Objekt pohybuje dvoma hodonmi v dvoch chronónoch a potom čaká na jeden chronón a potom opakuje rovnaký pohyb. Priemerná rýchlosť je potom (2c / 3). Jedným z možných východísk, ktorý bude stručne uvedený v oddiele 3.2, je zavedenie prvku náhodnosti do štruktúry. Ak chcete oceniť úplnú komplexnosť tejto témy, ktorá presahuje iba numerické vzťahy, pozrite si vynikajúci prehľad a diskusiu o Hagare (2014).

3. Diskrétne geometrie ako generátory klasickej geometrie

3.1 Všeobecný rámec

Ako je uvedené v oddiele 1, budeme diskutovať o návrhoch, ktoré hľadajú teóriu alebo model, ktoré sú základom geometrickej teórie tak, aby z nej bolo možné odvodiť klasické geometrické pojmy. Je zrejmé, že človek musí byť mimoriadne opatrný, pretože stále existuje „nebezpečenstvo“, že nekonečno vstupuje do obrazu niekde neviditeľným alebo nepovšimnutým. Predpokladajme, že uvediem jednoduchý príklad, že je povolená iba množina konečných bodov, ale aj operácia, ktorá generuje medzi akoukoľvek dvojicou bodov tretí bod odlišný od všetkých prítomných bodov a neexistujú žiadne obmedzenia týkajúce sa počtu opakovaní operácie. môžu byť použité, potom tu jednoznačne máme nekonečný počet bodov „v prestrojení“. Nazvať taký model sa diskrétny geometrický model javí ako celkom nevhodný.

Potrebné je tiež veľmi opatrné napr. Tvrdenie, že kvantová mechanika sa zaoberá diskrétnymi hodnotami, zvyčajne vo vzťahu k Heisenbergovým princípom neurčitosti, preto fyzika na základnej úrovni je diskrétna teória. To je však veľmi zavádzajúce. Stačí si prečítať akúkoľvek príručku kvantovej mechaniky, aby ste si všimli, že použitá matematika vyžaduje plné využitie nekonečna. Bez ohľadu na to, či niekto používa Heisenbergov maticový prístup, Hilbertov operátorský formalizmus, Schrödingerovu vlnovú rovnicu alebo nejaký iný formalizmus, matematika zahŕňa integrály, deriváty, nekonečné (konvergentné) súčty, medzery s nekonečnou dimenziou atď. (Pozri záznam o kvantovej mechanike), Nie je tu veľa diskrétnosti. To znamená, že aj pre kvantovú mechaniku je skutočným problémom nájsť diskrétneho partnera. To jasne dokazujú pokusy Gerarda 'Ho Hoofa preformulovať kvantovú mechaniku skutočne diskrétnym spôsobom, pozri' t Hooft (2014). Zaujímavé je, že to ovplyvňuje také otázky, ako je determinizmus verzus neurčitosť.

Z historického hľadiska možno bezpochyby považovať prácu Tullio Regge za prvý pokus o vývoj modelu, z ktorého by bolo možné vyvinúť geometrické koncepty. Pôvodný dokument pochádza z roku 1961, pozri Regge (1961). Konkrétnejšie ide o všeobecnú teóriu relativity (GRT). Aj keď pôvodným zámerom Regge bolo skonštruovať techniky na riešenie rovníc GRT v „ťažkých“prípadoch, tj tam, kde nie je prítomná symetria, nie je aplikovaná teória poruchy. Namiesto prepisovania diferenciálnych rovníc GRT do diferenciálnych rovníc, Regge hľadal techniku, ktorá vedie k celkom iným rovniciam. Bez uvedenia všetkých podrobností je jadrom jeho prístupu „uhol deficitu“. V GRT sa zaoberáme zakrivenými priestormi. Vezmite dvojrozmerný zakrivený povrch. Ak je rovina, môže byť pokrytá trojuholníkmi. Ak je zakrivený, dá sa aproximovať pomocou trojuholníkov, ale s dôležitým rozdielom. Predpokladajme, že trojuholníky sa stretávajú vo vrcholoch, potom sa môžeme pozrieť na jeden konkrétny bod a na všetky trojuholníky, ktoré sa v tomto bode stretávajú. Ak je táto časť povrchu vyrovnaná, niekde bude medzera. K tejto medzere zodpovedá uhol, a to je presne uhol deficitu. Čím väčšie je zakrivenie, tým väčší je uhol deficitu. Rovnaká technika funguje aj pre štvorrozmerný prípad, kde sa namiesto trojuholníkov používajú simplexy. Krása tohto prístupu spočíva v tom, že rovnice GRT sa dajú prepísať z hľadiska uhlov deficitu a dĺžky okrajov simplexov a vyriešiť z hľadiska týchto konceptov. Misner a kol. (1973) obsahuje kapitolu (42:„The Regge Calculus“), ktorý vysvetľuje Reggeho prístup kompaktným a dokonale prístupným spôsobom.

V súčasnosti existuje pomerne veľký počet pokusov. Väčšina z nich sa považuje za vysoko špekulatívnu, pretože skutočne odrážajú súčasný stav v plnom rozvoji. Existuje však zostávajúci súbor prístupov, ktoré sa pomaly začínajú objavovať a ktoré sa javia ako životaschopní kandidáti a zaujímajú sa o finitistický pohľad na geometriu (z hľadiska časopriestoru). Je potrebné poznamenať, že pre dotknutých autorov nie je ich hlavným cieľom toľko formulovať diskrétnu formu geometrie, ale skôr zistiť, či tento alebo tento model bude slúžiť ako spoločný základ pre kvantovú (poľnú) teóriu a GRT, teda pre celá fyzika, takpovediac alebo „teória všetkého“. Naše obavy sú v skutočnosti skromnejšie:hovoria tieto modely niečo o tom, ako môžu byť diskrétne geometrie formulované tak, že vytvárajú klasickú geometriu? Takže aj keby fyzici odmietli taký model na základe dobrých solídnych fyzikálnych dôvodov, stále by to mohlo zaujímať otázku možnosti diskrétnej geometrie.

Huggett & Wuthrich (2013a) predstavuje pekný prehľad súčasnej situácie, pokiaľ ide o zostávajúci súbor. Stojí za zmienku, že tento článok je súčasťou osobitného čísla Huggett & Wuthrich (2013b), ktoré sa týka vzniku priestoročasu v kvantových teóriách gravitácie. Spoločne diskutujú a hodnotia šesť typov návrhov, ale budeme tu uvažovať iba o troch. Zostávajúce tri sú v súčasnosti príliš špekulatívne alebo nevyžadujú diskrétne medzičasy (napríklad teóriu strún a nekomutatívnu geometriu). Tri prístupy relevantné pre našu tému sú:

  • Mrežový priestor: je to blízko Reggeho prístupu v tom zmysle, že súvislý priestor (a čas) je nahradený diskrétnou štruktúrou, v tomto prípade mriežkou. Ak sú tieto mriežky vybavené nejakou formou očividne diskrétnej metriky, spojenia medzi spojitým a diskrétnym priestorom (a časom) sú veľmi blízko. Nasledujúca časť predstavuje takýto návrh (vynecháva fyziku),
  • Metrické mreže: Najznámejším príkladom pod touto hlavičkou sú kauzálne mreže. Spojenia medzi „bodmi“v mriežke sú kauzálne vzťahy, čo si vyžaduje oveľa viac práce, aby sa z nej mohla odvodiť časopriestorová štruktúra. V skutočnosti máme v mnohých prípadoch ne-go teorémy v tom zmysle, že diskrétne mriežky „nemajú správne chované limity kontinua, ktoré sa podobajú relativistickým medzičasom“(s. 278), a teda „ozývajú“už uvedený negatívny výsledok Fritza (2013),
  • Slučková kvantová gravitácia: táto teória je jedným z pokusov, braných vážne, zjednotiť kvantovú (poľnú) teóriu a všeobecnú relativitu. Základné štruktúry sú tzv. Trojrozmerné spinové siete. Ak sa týmto sieťam umožní vývoj v priebehu času, potom sa objaví štvorrozmerná štruktúra, takzvaná spinová pena, ktorá v limite by mala generovať relativistickú časopriestorovú štruktúru. Malo by sa tu uviesť upozornenie: hoci štruktúra spinovej siete je štruktúra grafu so sadou uzlov a sadou hrán, tieto uzly a hrany sú napriek tomu označené fyzicky významnými množstvami, ktoré zahŕňajú súvislé štruktúry, ako sú Lieove skupiny. Tento krátky výňatok z Reisenbergera (1999) je veľmi ilustratívny, bez podrobností o podrobnostiach:

    Okraje spinovej siete vo všeobecnosti nesú netriviálne ireducibilné zobrazenia (irrepsy) rozchodovej skupiny a vrcholy nesú intertwinery. Medzipriestorom pre vrchol môže byť akýkoľvek invariantný tenzor reprezentácie produktu (R) tvorený súčinom štrbín nesených vstupnými hranami a dvojíc škrupín na výstupných hranách. (str. 2047)

Aby bolo možné oceniť, ako rýchlo sa veci vyvíjajú v tejto oblasti výskumu, je potrebné urobiť porovnanie medzi Huggettom a Wüthrichom (2013a) a Meschini et al. (2005), tiež chcel byť prieskumom. Je zaujímavé, že Huggett a Wüthrich opisujú svoj prieskum ako doplnok k druhému. V druhom článku je stručne predstavená práca Manfreda Requardta, ktorá bude slúžiť ako prototyp, pretože nebude predstavovať fyzickú stránku vecí hneď od začiatku. Ak chcete mať chuť sofistikovanejších prístupov, ktoré zahŕňajú fyziku hneď od začiatku, pozri Smolin (2018), kde sa diskutuje aj o kvantovej gravitácii slučiek, ktorá je uvedená priamo vyššie. Aj keď takéto prístupy, základné aj sofistikované prípady, sa v literatúre o priestorovej logike neuvádzajú,Spojenia medzi nimi sú však veľmi hlboké a úzke a určite je potrebné ich ďalej preskúmať.

3.2 Prototypový príklad pomocou grafov

Východiskovým bodom je diskrétny graf (G = / langle N, C / rangle) pozostávajúci z množiny (N) uzlov, (n_ {i}) a množiny (C) spojenia, (c_ {ij}), takže žiadny uzol nie je pripojený k sebe a uzly (n_ {i}) a (n_ {j}) majú maximálne jedno pripojenie. Najviditeľnejšie sa zdá, ako definovať funkciu vzdialenosti a takmer vo všetkých návrhoch je to skutočne nasledovaná stratégia (podobná definíciám navrhnutým v oddiele 2.5):

(D (n_ {i}, n_ {j})) = najmenší počet spojení vedúcich z (n_ {i}) na (n_ {j}).

Je ľahké vidieť, že sú splnené klasické vlastnosti funkcie vzdialenosti:

  • (D (n_i, n_i) = 0,)
  • (D (n_i, n_j) = D (n_j, n_i),)
  • (D (n_i, n_j) + D (n_j, n_k) ge D (n_i, n_k).)

Na prvý pohľad nie je vôbec zrejmé, ako by sa mal postupovať ďalej, ale ak človek číta (n_ {i}) a (c_ {ij}) ako druh vektora, potom je možné lineárne kombinácie kde (f_ {i}) a (g_ {ij}) sú napríklad prirodzené alebo racionálne čísla:

[f = / sum_i f_i n_i / quad / mbox {a} quad g = / sum_ {ik} g_ {ik} c_ {ik}.)

Tieto dva výrazy je možné čítať ako funkcie nad (n_ {i}) a (c_ {ij}). To, čo človek teraz potrebuje, je vzťah medzi uzlami a pripojeniami, preto predstavte špeciálnu funkciu (d):

[d: n_i / rightarrow / sum_k c_ {ik}.)

Je celkom zaujímavé vidieť, čo sa stane, ak lineárne rozšírime funkciu (d), aby sa dala aplikovať na ľubovoľné funkcie (f):

[df = / sum_i f_i / sum_k c_ {ik}.)

Ak teraz stanovíme, že (c_ {ik} = -c_ {ki}) (ako druh vektorovej rovnice s uvedením, že spojenia majú smer), vyššie uvedený výraz možno prepísať nasledovne (vezmite do úvahy, že, pretože nie sú povolené žiadne slučky, (c_ {ii} = 0)):

[df = / frac {1} {2} sum_ {ik} (f_k-f_i) c_ {ik})

Aj keď je to ešte ďaleko, tento výraz (df) už má niektoré pekné vlastnosti, ktoré pripomínajú derivát funkcie (f):

  • Je lineárna: (d (f + g) = df + dg),
  • Ak (f) je konštantná funkcia v tom zmysle, že v každom uzle (f_ {i}) má rovnakú hodnotu, potom je okamžité, že (df) pre (f) konštantu je 0,
  • Ak je (f) také, že na dvoch priamo súvisiacich uzloch (n_ {i}) a (n_ {i + 1}), (f_ {i + 1}) = (f_ {i } + 1), inými slovami, to znamená, že (f (i) = i), potom (df) je 1, kde 1 je funkcia predstavovaná (sum_i n_i). Derivátom funkcie identity je konštantná funkcia 1.

Avšak, ako je ľahké overiť pomocou vyššie uvedených definícií, produktové pravidlo zlyhá, tj (d (f / cdot g)) sa nerovná (df / cdot g + f / cdot dg).

Do určitej miery je teda možné na diskrétnych grafoch zostaviť základnú formu počtu. Na nájdenie „správnych“náprotivkov si vyžaduje nejakú vynaliezavosť a kreatívne myslenie, ale tento jednoduchý príklad ukazuje, že z diskrétneho grafu možno odvodiť dosť veľa štruktúry. V skutočnosti je toho viac. Diskrétne grafy umožňujú pekné riešenie problému s rozmermi, ktoré bolo uvedené v časti 2.5. Toto je hrubý náčrt myšlienky:

Zvážte uzol (n_ {i}), potom (U_ {1}) je množina uzlov (n_ {j}) taká, že (D (n_ {i}, n_ {j})) = 1), tj (U_ {1}) spája najbližších susedov (n_ {i}). Podobne môžeme definovať (U_ {2}) ako množinu uzlov (n_ {k}) tak, že (D (n_ {i}, n_ {k})) je najviac 2. Je vyplýva, že (U_ {n} subseteq U_ {n + 1}), a tak získame vnorenú sériu štvrtí (n_ {i}). Ak človek chápe rozmer ako mieru „rastu“štvrtí, dimenziu možno definovať ako:

(mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln / lvert U_m / rvert} { ln m})

Jednou zo zaujímavých čŕt tejto definície je, že nemusí byť jednotná v celom grafe, pretože vo všetkých závisí od výberu počiatočného uzla (n_ {i}). Ale v prípade, že je graf dostatočne rovnomerný, bude rozmer konštantný. Ďalej, ak vezmeme klasický prípad, napríklad trojrozmerný euklidovský priestor, rozmery sa zhodujú. Predpokladajme, že máme ako podkladový graf pravidelnú mriežku, potom má konkrétny uzol kocku ako množinu najbližších susedov (U_ {1}) pozostávajúcich z (3 ^ {3} = 27) bodov a susedstvo (U_ {m}) bude počítať ((m + 2) ^ {3}) uzly. teda

(mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln (m + 2) ^ 3} { ln m} quad / mbox {alebo} quad / mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} 3 / cdot / frac { ln (m + 2)} { ln m})

Pretože pre (m) dostatočne veľké, (frac { ln (m + 2)} { ln m}) je približne 1, vyplýva z toho, že (mbox {Dim} = 3). To ukazuje, že od diskrétnych grafov sme získali rozšírenie koncepcie dimenzie. Jeden si mohol všimnúť, že tento typ definície je dosť podobný niektorým definíciám použitým na definovanie rozmerov fraktálových obrazov.

Diskrétne grafy navyše umožňujú zvládnuť aj problém anizotropie. Postačuje zaviesť prvok náhodnosti do siete napr. Pomocou priemeru cez pripojenú množinu uzlov, aby sa zabránilo akýmkoľvek privilegovaným smerom. Existujú tu jasne podobnosti so schémou nepravidelných obkladov alebo so zavádzaním nejasností, dôležité je však to, že štatistické a pravdepodobnostné pojmy sú (celkom) dobre pochopené, zatiaľ čo problém obkladania je, ako už bolo uvedené, otvoreným problémom a nejasnosť zostáva notoricky ťažké pochopiť pojem (pozri zápis o nejasnosti v tejto encyklopédii).

3.3 Osobitný prípad: kombinatorická hierarchia

Bolo by chybou veriť, že rôzne vyššie uvedené pokusy nejako tvoria kompletný katalóg, ktorý umožňuje klasifikovať všetky možné prístupy. V tomto odseku taký exotický príklad, napr. stručne je predstavená kombinatorická hierarchia. V tomto prístupe sa nesústredia na samotné rovnice fyziky, ale na fyzikálne konštanty, ktoré sa v nich vyskytujú, ako napríklad rýchlosť svetla (c), Planckova konštanta (h), hmotnosť elektrónu (m_ {e}) atď. Keďže tieto hodnoty sú nevyhnutne konečné, zdá sa užitočné preskúmať, či finitistický prístup dokáže vysvetliť, prečo majú tieto konštanty hodnoty, ktoré majú. Takéto prístupy sa niekedy označujú ako „početné hry“.

Dovoľte mi uviesť veľmi jednoduchý príklad. Vychádzajúc z vesmíru pozostávajúceho z konečného počtu bitov, tj buď 0 alebo 1, je zavedená základná operácia, tj. „Diskriminácia“. Na vyjadrenie tejto operácie je potrebná ďalšia operácia: sčítanie modulo 2: (0 + 0 = 1 + 1 = 0) a (0 + 1 = 1 + 0 = 1). Ak je výsledok 0, prvky súčtu sa nerozlišujú, inak sú. Pozrime sa teraz na množiny, ktoré obsahujú 0 a / alebo 1, a také, že ak sú rozlíšiteľné dva prvky, patrí aj do množiny. Existujú presne 3 ((= 2 ^ {2} -1)) také sady: ({0 }, {1 }) a ({0,1 }). Ak sa tieto 3 prvky teraz berú ako nový základ namiesto 0 a 1, dômyselná konštrukcia ukazuje, že 7 ((= 2 ^ {3} -1)) takéto množiny existujú av ďalšom kroku 127 ((= 2 ^ {7} -1)) sa objaví. Teraz (3 + 7 + 127 = 137) a toto číslo je blízko elektromagnetickej väzbovej konštanty.

Úspech tohto programu bol pomerne skromný, pretože tieto modely sa ľahko nepripojili k existujúcim fyzickým teóriám. Samostatná prezentácia tohto programu sa nachádza v Bastin & Kilmister (1995). S prácou AS Eddingtona existuje veľmi silná podobnosť. Nie je divu, že prezentáciu práce Eddingtona o jeho základnej teórii napísal Kilmister (1994).

3.4 Môže to byť empirický problém?

Doteraz sme skúmali niekoľko teoretických možností diskrétnej geometrie ako náprotivku klasickej geometrie. Vzhľadom na príklady, o ktorých sme diskutovali v predchádzajúcich častiach, sa zdá, že relevantnosť pre fyziku je zrejmá. Aj keď by sme mohli byť v pokušení veriť, že diskrétnosť priestoru a / alebo času je čisto teoretickou záležitosťou, napriek tomu je zaujímavé, či táto záležitosť môže mať aj empirický charakter. Konkrétnejšie, je možné si predstaviť, že by sme nejako mohli navrhnúť experiment tak, že výsledkom bude buď to, že priestor je diskrétny alebo že priestor je nepretržitý? Môže to znieť skutočne pritiahnuté za vlasy, ale záležitosť upútala pozornosť filozofov a skutočne sa navrhol konkrétny experiment, hoci v súčasnosti nie sú bohužiaľ možné uskutočniť tento experiment.

Je celkom zaujímavé vidieť, že už v roku 1961 Paul Feyerabend navrhol takúto možnosť. Nič viac sa však neuvádza

obtiažnosť súčasnej situácie spočíva v tom, že chýbajú jednotlivé alternatívy pre matematiku, ktorá sa v súčasnosti používa vo fyzike. (1961: 160)

Rovnako zaujímavá je skutočnosť, že aj Feyerabend spomína štandardný argument, že absencia pythagorejskej vety je skutočným problémom. Navrhuje to

musíme iba predpokladať, že merania v rôznych smeroch nedoplávajú; a potom si možno môžeme udržať vetu ako rovnicu operátora. (1961: 161)

Aj tu sa, žiaľ, nič viac nehovorí. Peter Forrest (1995) tvrdí, že takýto experiment je možný. Základným dôvodom je to, že klasická matematika používa spojité premenné, zatiaľ čo prísna finitistická matematika používa diskrétne premenné. Preto pre diferenciáciu a integráciu je potrebné nájsť konečné analógy, ktoré sa priblíži klasickému prípadu, ale nikdy sa s ním nezhodujú. Preto budú vždy malé rozdiely a nedá sa vylúčiť, že by sa dali zistiť.

Jedna taká možnosť detekcie sa týka nasledujúceho zvláštneho javu. Zoberte diferenciálnu rovnicu, (df / dx = ax (1 - x)). Je to jednoduché cvičenie na jeho vyriešenie a nájdeme veľmi elegantné kontinuálne riešenie, zatiaľ čo ak vezmeme do diskrétneho prípadu korešpondujúcu diferenciálnu rovnicu, (Delta f / / Delta x = ax (1 - x)), v závislosti od hodnoty parametra (a) vyvoláva správanie funkcie (f) chaotické efekty, ktoré v nepretržitom prípade chýbajú. Pozri Van Bendegem (2000) a Welti (1987: 516 - 518). Výsledok takého experimentu by nebol taký jasný, ako by sme si želali, ale pozorovať chaotické účinky znamená, že priestor je diskrétny, zatiaľ čo pozorovanie žiadnych chaotických efektov znamená, že buď priestor je nepretržitý alebo že hodóny sú oveľa menšie, ako sme si predstavovali. V súčasnosti sa neoznamuje žiaden ďalší pokrok.

V tejto lemme bolo niekoľkokrát naznačené, že rôzni vedci s rôznymi zámermi a cieľmi as rôznym zázemím navrhli alebo navrhli rovnako odlišné predstavy o diskrétnej geometrii ako alternatíve klasickej geometrie. Mnohí autori nemusia predstavovať viac alebo menej úplné teórie, ale skôr sa obmedzujú na návrhy a skúmanie konkrétnych myšlienok. Tieto dokumenty treba vnímať ako zdroje inšpirácie pri hľadaní plnohodnotnej teórie. Niekoľko príkladov: Hahn (1934), Biser (1941), Coish (1959), Ahmavaara (1965a, b), Finkelstein (1969) (toto je prvá z piatich papierových sérií s rovnakým názvom v tom istom časopise), Dadić a Pisk (1979), Finkelstein a Rodriguez (1986), Meessen (1989), Buot (1989). Za obdobie rokov 1925 - 1936Kragh a Carazza (1994) je vynikajúci prehľad, ktorý ukazuje, že veľa fyzikov sa pohrávalo s konečnými nápadmi.

4. Čo je potrebné urobiť ďalej?

Prvá úloha, ktorá sa má vykonať, sa zdá byť priamočiara: zobrať akýkoľvek z predložených návrhov a rozpracovať ich do plnohodnotnej geometrie. Potom bude možné urobiť porovnanie napríklad s Hilbertovou axiomatizáciou, ktorá bola uvedená. Druhá úloha sa zdá skôr zakázaná: pomocou tejto diskrétnej geometrie ukážte, ako robiť fyziku. Vo všeobecnosti je to skutočne obrovský záväzok, ale existujú dve možné cesty. Prvá cesta je ukázať, že tento prístup funguje, povedzme, pre klasickú mechaniku. Ak bude úspešný, určite by sa to považovalo za hlavný argument v prospech diskrétnych návrhov. Ako sa už stalo, vykonala sa už veľmi dôležitá práca, pretože to, čo budeme potrebovať, je plne formalizovaná verzia klasickej mechaniky, nie verzie kníh, ktoré nechávajú mnoho vecí nezmenené,ale to sa môže ukázať ako zásadné pre základnú geometriu. Takéto verzie existujú v súčasnosti, pozri napr. Ax (1978), Andréka et al. (2008), Benda (2008), len pre niekoľko príkladov. Ako sa to stáva, jedna z najstarších verzií zahŕňa Patricka Suppesa, pozri McKinsey, Sugar & Suppes (1953). Podnik sa preto javí ako skutočná možnosť. Druhou cestou je preskúmať základný výskum prebiehajúci pri hľadaní zjednotenia QFT a GRT. Pred niekoľkými rokmi to bolo všetko veľmi špekulatívne, dnes sa objavuje niekoľko vážnych súťažiacich a stojí za to ich sledovať. Ako už bolo povedané, tak na matematickej, ako aj na fyzickej úrovni je ešte potrebné vykonať obrovské množstvo práce. Pravdepodobne najlepším spôsobom, ako charakterizovať súčasnú situáciu, je, že niektoré „známe“námietky proti diskrétnemu alebo finitistickému prístupu v geometrii boli (čiastočne) zodpovedané a že bolo predložených množstvo matematických, fyzikálnych a filozofických návrhov a nápadov, a čiastkové modely boli vyvinuté alebo sa pripravujú. Inými slovami, podmienky sú splnené, takže je zaujímavé pokračovať v tomto výskumnom programe.

Bibliografia

  • Ahmavaara, Yrjo, 1965a, „Štruktúra priestoru a formalizmus relativistickej kvantovej teórie poľa I.“, Journal of Mathematical Physics, 6 (1): 87–93.
  • –––, 1965b, „Štruktúra priestoru a formalizmus relatívnej kvantovej teórie poľa II.“, Journal of Mathematical Physics, 6 (2): 220–227.
  • Aiello, M., I. Pratt-Hartmann a J. van Benthem (ed.), 2007, Handbook of Spatial Logics, New York: Springer.
  • Andréka, H., JX Madarász, I. Németi a G. Seékely, 2008, „Axiomatizovanie relativistickej dynamiky bez postulátov ochrany“, Studia Logica, 89 (2): 163–186.
  • Ax, J., 1978, „Základné základy časopriestoru“, Foundations of Physics, 8: 507–546.
  • Bastin, T. & CW Kilmister, 1995, Combinatorial Physics, Singapore: World Scientific.
  • Benda, T., 2008, „Formálna konštrukcia časoprostoru“, Journal of Philosophical Logic, 37 (5): 441–478.
  • Biser, E., 1941, „Diskrétny reálny priestor“, Journal of Philosophy, 38 (Summer): 518–524
  • Borwein, J. & K. Devlin, 2009, The Computer as Crucible. Úvod do experimentálnej matematiky, Wellesley: AK Peters.
  • Bridges, D. & F. Richman, 1987, Variversity of Constructive Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press (LMS Lecture Notes Series 97).
  • Buot, FA, 1989, „Diskrétny fázový priestorový model pre kvantovú mechaniku“, M. Kafatos (ed.), Bellova teoréma, kvantová teória a koncepcie vesmíru, Dordrecht: Kluwer, s. 159–162.
  • Chou SC, XS Gao a JZ Zhang, 1994, Proofs of Machine v Geometry, Singapore: World Scientific.
  • Coish, HR, 1959, „Elementárne častice v konečnej svetovej geometrii“, Physical Review, 114: 383–388.
  • Crouse, D. & J. Skufca, 2019, „Relativistická dilatácia času a dĺžka dĺžky v diskrétnom časopriestore pomocou modifikovaného vzorca vzdialenosti“, Logique et Analyze, 62 (246): 177–223.
  • Dadić, I. & K. Pisk, 1979, „Dynamics of Discrete-Space Structure“, International Journal of Theoretical Physics, 18 (5): 345–358.
  • Danielsson, N., 2002, Axiomatic Discrete Geometry, London: Imperial College. (Diplomová práca predložená na titul MSc z pokročilých výpočtov).
  • Feyerabend, P., 1961, „Komentáre k Grünbaumovmu 'Zákonu a Dohovoru vo fyzickej teórii' ', v H. Feigl a G. Maxwell (eds.), Aktuálne problémy filozofie vedy, New York: Holt, Rinehart a Winston 155 až 161.
  • Finkelstein, D., 1969, „Space-time code“, Physical Review, 184: 1261 - 1279.
  • Finkelstein, D. & Rodriguez, E., 1986, „Kvantový časový priestor a gravitácia“, v R. Penrose a CJ Isham (ed.), Kvantové koncepty v priestore a čase, Oxford: Oxford University Press, s. 247– 254.
  • Forrest, P., 1995, „Je diskrétny alebo nepretržitý časopriestor?? Empirická otázka“, Synthese, 103: 327–354.
  • Franklin, J., 2017, „Diskrétne a kontinuálne: základná dichotómia v matematike“. Journal of Humanistic Mathematics, 7 (2): 355 - 378.
  • Fritz, T., 2013, „Polymetre rýchlosti periodických grafov a ne-go teorém pre digitálnu fyziku“, Diskrétna matematika 313: 1289–1301.
  • Hagar, A., 2014, Diskrétne alebo Kontinuálne? Hľadanie základnej dĺžky v modernej fyzike, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hahn, H., 1980 [1934], „Existuje nekonečný?“, V B. Mcguinness (ed.), Hans Hahn: Empiricism, Logic, and Mathematics, Dordrecht: Reidel, str. 103 - 131 (pôvodne publikovaný v 1934).
  • Hjelmslev, JT, 1923, Die Natürliche Geometrie, Hamburg: Gremmer & Kröger (faxové vydanie: hardpress.net, 2008).
  • Huggett, N. & C. Wuthrich, 2013a, „Naliehavá koherencia časopriestoru a empirická (ne)“, štúdium dejín a filozofie vedy, časť B: Štúdium dejín a filozofie modernej fyziky, 44 (3): 276–285.
  • ––– (ed.), 2013b, „Zvláštna otázka: Výskyt medzičasu v kvantových teóriách gravitácie“, Štúdium v histórii a filozofii vedy, časť B: Štúdium v histórii a filozofii modernej fyziky, 44 (3): 273 -364.
  • Järnefelt, G., 1951, „Úvahy o konečnej aproximácii s euklidovskou geometriou: fyzikálne a astronomické vyhliadky“, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, séria A, I. Mathematica-Physica, 96: 1-43.
  • Kilmister, CW, 1994, Eddingtonovo hľadanie fundamentálnej teórie: Kľúč k vesmíru, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kragh, H. & B. Carazza, 1994, „Od časových atómov po kvantifikáciu času a vesmíru: Idea diskrétneho času, ca 1925 - 1936“, Štúdium dejín a filozofie vedy, 25 (3): 437– 462.
  • Kulpa, Z., 1979, „O vlastnostiach diskrétnych kruhov, krúžkov a diskov“, počítačová grafika a spracovanie obrazu, 10: 348–365.
  • Kustaanheimo, P., 1951, „Poznámka o konečnej aproximácii euklidovské rovinné geometrie“, Societas Scientiarum Fennica. Commentationes Physico-Mathematicae, 15/19: 1-11.
  • Lyons, BC, 2017, „Uplatniteľnosť dĺžky Planck na Zeno, Kalam a stvorenie ex Nihilo“, Philosophia Christi, 19 (1): 171–180.
  • McKinsey, JCC, AC Sugar, a P. Suppes, 1953, „Axiomatické základy klasickej mechaniky častíc“, Journal of Racional Mechanics and Analysis, 2 (2): 253–272.
  • Meessen, A., 1989, „Je logicky možné zovšeobecniť fyziku pomocou kvantovania času a času?“v P. Weingartner a G. Schurz (ed.), Philosophie der Naturwissenschaften. Akten des 13. Internationalen Wittgensteins Symposium, Vienna: Hölder-Pichler-Tempsky, s. 19–47.
  • Meschini, D., M. Lehto a J. Philonen, 2005, „Geometria, predgeometria a ďalšie“, Štúdium dejín a filozofie modernej fyziky, 36 (3) 435–464.
  • Misner, CW, KS Thorne a JA Wheeler, 1973, Gravitácia, San Francisco: WH Freeman.
  • Moore, AW, 1993, Infinity, Aldershot: Dartmouth.
  • Regge, T., 1961, „Všeobecná relativita bez súradníc“, Nuovo Cimento, 19: 558 - 571.
  • Reisenberger MP, 1999, „O relativistických spinových sieťových vrcholoch“, Journal of Mathematical Physics, 40 (4): 2046–2054.
  • Reisler, DL & NM Smith, 1969, Geometria na konečnom poli, Fort Belvoir, VA: Obranné technické informačné stredisko. (Plný text:
  • Rovelli, C., 2016, realita nie je taká, ako sa zdá. Cesta do Quantum Gravity, New York: Penguin. (Preložil Simon Carnell a Erica Segre, pôvodne uverejnené v roku 2014).
  • Silberstein, L., 1936, Diskrétna medzera. Kurz piatich prednášok v laboratóriu McLennan v Toronte: University of Toronto Press.
  • Simpson, Stephen G. (ed.), 2005, Reverse Mathematics 2001: Poznámky o prednáške v Logic 21, Association for Symbolic Logic.
  • Smolin, L., 2018, „Čo nám chýba pri hľadaní kvantovej gravitácie?“, V J. Kouneiher (ed.), Základy matematiky a fyziky, jedno storočie po Hilbertovi, New York: Springer, s. 287–304.,
  • Smyth, MB & J. Webster, 2007, „Diskrétne priestorové modely“, Aiello, Pratt-Hartmann a van Benthem 2007: 713–798.
  • Sorabji, R., 1983, Time, Creation & Continuum, London: Duckworth.
  • Stillwell, J., 2016, Elements of Mathematics. Z Euclidu po Gödel, Princeton: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 2001, „Finitism in geometry“, Erkenntnis, 54: 133–144.
  • 't Hooft, G., 2014, „vzťah kvantovej mechaniky diskrétnych systémov k štandardnej kánonickej kvantovej mechanike“, základy fyziky, 44: 406–425.
  • Van Bendegem, JP, 1987, „Zenoove paradoxy a argumentácia Weylovej dlaždice“, Philosophy of Science, 54 (2): 295–302.
  • –––, 1997, „Na obranu diskrétneho priestoru a času“, Logique et Analyze, 38 (150–152): 127–150.
  • –––, 2000, „Ako rozprávať spojitý obraz od diskrétnych“, v publikácii François Beets a Eric Gillet (eds.), Logique en Perspective. Mélanges ponúka Paula Gocheta. Brusel: Ousia, s. 501–511.
  • Welti, E., 1987, Die Philosophie des strikten Finitismus. Entwicklungstheoretische und Mathatische Untersuchungen über Unendlichkeitsbegriffe in Ideengeschichte und heutiger Mathematik, Bern: Peter Lang.
  • Weyl, H., 1949, filozofia matematiky a prírodných vied, Princeton: Princeton University Press.
  • White, MJ, 1992, The Continuous and The Diskrétne. Staroveké fyzikálne teórie zo súčasnej perspektívy, Oxford: Clarendon Press.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Ako citovať tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
ikona
ikona
Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona phil papiere
ikona phil papiere
Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

  • Requardt, M., 1995, „Diskrétna matematika a fyzika na Planckovej stupnici“, rukopis dostupný na arXiv.org.
  • Van Bendegem, JP, 2019, „Anotovaná bibliografia prísneho finitizmu“, prebieha pravidelne aktualizovaná bibliografia.