Hybridná Logika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-08-25 04:39

Vstupná navigácia

• Obsah vstupu
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Náhľad priateľov PDF
• Informácie o autorovi a citácii
• Späť na začiatok

Hybridná logika

Prvýkrát publikované Ut 13. júna 2006; podstatná revízia piatok 24. marca 2017

Hybridná logika je logika, ktorá je výsledkom pridania ďalšej expresívnej sily k bežnej modálnej logike. Najzákladnejšia hybridná logika sa získa pridaním takzvaných nominálov, ktoré sú výrokovými symbolmi nového druhu, pričom každá z nich je pravdivá práve v jednom možnom svete. História hybridnej logiky siaha až do práce Arthura N. Prior v 60. rokoch.

• 1. Motivácie pre hybridnú logiku
• 2. Formálna sémantika
• 3. Preklady
• 4. Arthur N. Prior a hybridná logika
• 5. Vývoj hybridnej logiky od Prior
• 6. Axiómy pre hybridnú logiku
• 7. Analytické metódy preukazovania hybridnej logiky
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Ďalšie internetové zdroje
• Súvisiace záznamy

1. Motivácie pre hybridnú logiku

V štandardnej sémantike Kripkeho pre modálnu logiku je pravda relatívna k bodom v množine. Teda výrokový symbol by mohol mať rôzne hodnoty pravdy relatívne k rôznym bodom. Zvyčajne sa tieto body chápu tak, že predstavujú možné svety, časy, epistemické stavy, stavy v počítači alebo niečo iné. To nám umožňuje formalizovať výroky v prirodzenom jazyku, ktorých pravdivé hodnoty sú napríklad relatívne podobné napríklad výroku

prší

ktorý má jasne rôzne hodnoty pravdy v rôznych časoch. Teraz sú určité výroky v prirodzenom jazyku pravdivé v tom istom čase, možnom svete alebo v niečom inom. Príkladom je vyhlásenie

je päť hodín 15. marca 2006

čo platí v čase piatich hodín 15. marca 2006, ale vo všetkých ostatných prípadoch nepravdivé. Prvý druh výrokov v prirodzenom jazyku je možné formalizovať bežnou modálnou logikou, ale druhý druh nie.

Hlavnou motiváciou pre hybridnú logiku je pridať ďalšiu výraznú silu k bežnej modálnej logike s cieľom formalizovať druhý druh výrokov. Získa sa tak, že k bežnej modálnej logike sa pridá druhý druh výrokových symbolov nazývaných nominály, takže v Kripkeho sémantike je každá nominálna hodnota pravdivá vzhľadom na jeden bod. Výrok druhého jazyka v prirodzenom jazyku (napríklad vzorový výrok s časom päť hodín 15. marca 2006) sa potom formalizuje pomocou nominálneho, nie zvyčajného výrokového symbolu (ktorý by sa použil na formalizáciu vzorového výroku s daždivým počasím), Skutočnosť, že nominál je pravdivý vo vzťahu k presne jednému bodu, naznačuje, že nominál možno považovať za výraz odkazujúci na bod, napríklad ak (mathtt {a}) je nominál, ktorý znamená je päť „hodiny 15. marca 2006“,potom sa tento nominál môže považovať za termín vzťahujúci sa na čas päť hodín 15. marca 2006. Preto v hybridnej logike je výraz špecifickým druhom výrokového symbolu, zatiaľ čo v logike prvého poriadku je to argument predikátu.

Väčšina hybridných logík zahŕňa ďalšie doplnkové stroje ako nominálne hodnoty. Existuje niekoľko možností na pridanie ďalších strojov; tu zvážime, čo sa nazývajú operátori spokojnosti. Motiváciou pre pridanie operátorov spokojnosti je schopnosť formalizovať vyhlásenie pravdivé v konkrétnom čase, možnom svete alebo čomkoľvek inom. Napríklad chceme byť schopní formalizovať, že vyhlásenie „prší“je pravdivé v čase piatej 15. marca 2006, to znamená, že

o piatej hodine 15. marca 2006 prší.

Formalizuje sa to vzorcom (mathtt {@_ a p}), kde nominálny (mathtt {a}) znamená „je päť hodín 15. marca 2006“ako je uvedené vyššie a kde (mathtt {p}) je bežný výrokový symbol, ktorý znamená „prší“. Je to časť (mathtt {@_ a}) vzorca (mathtt {@_ a p}), ktorá sa nazýva operátor spokojnosti. Všeobecne platí, že ak (mathtt {a}) je nominálny a (mathtt { phi}) je ľubovoľný vzorec, potom nový vzorec (mathtt {@_ a / phi}) nazval je možné zostaviť vyhlásenie o spokojnosti. Vyhlásenie o / ~ spokojnosti (mathtt {@_ a / phi}) vyjadruje, že vzorec (mathtt { phi}) je pravdivý vo vzťahu k jednému konkrétnemu bodu, konkrétne k bodu, ku ktorému nominálny (mathtt {a }) odkazuje.

Aby sme to zhrnuli, teraz sme pridali ďalšiu výraznú silu do bežnej modálnej logiky vo forme operátorov nominálov a spokojnosti. Neformálne má nominálny (mathtt {a}) pravdu

(mathtt {a}) platí vzhľadom na bod (w)

iba vtedy, ak

je odkaz na (mathtt {a}) totožný s (w)

a vyhlásenie o spokojnosti (mathtt {@_ a / phi}) má pravdu

(mathtt {@_ a / phi}) je pravdivý vzhľadom na bod (w)

iba vtedy, ak

(mathtt { phi}) je pravdivý vzhľadom na odkaz na (mathtt {a })

Všimnite si, že bod (w) nezáleží na skutočných podmienkach pre (mathtt {@_ a / phi}), pretože operátor spokojnosti (mathtt {@_ a}) pohybuje bodom hodnotenia na odkaz na (mathtt {a}) bez ohľadu na totožnosť (w).

Je pozoruhodné, že nomináli spolu s operátormi spokojnosti nám umožňujú vyjadriť, že dva body sú totožné: Ak nominály (mathtt {a}) a (mathtt {b}) sa vzťahujú na body (w) a (v), potom vzorec (mathtt {@_ a b}) vyjadruje, že (w) a (v) sú totožné. Nasledujúci riadok odôvodnenia ukazuje prečo.

(mathtt {@_ a b}) je pravdivý vzhľadom na bod (w)

iba vtedy, ak

(mathtt {b}) je pravdivý vzhľadom na odkaz na (mathtt {a})

iba vtedy, ak

(mathtt {b}) je pravdivý v porovnaní s (w)

iba vtedy, ak

je odkaz na (mathtt {b}) totožný s (w)

iba vtedy, ak ak

(v) je identické s (w)

Identitný vzťah na množine má dobre známe reflexné vlastnosti, symetriu a transitivitu, čo sa odráža v skutočnosti, že vzorce

(begin {align *} & / mathtt {@_a a} & / mathtt {@_ a b / rightarrow @_b a} & (mathtt {@_ a b / amp @_b c) rightarrow @ _a c} end {zarovnať *})

sú platné vzorce hybridnej logiky. Tiež vzorec

[(mathtt {@_ ab / amp @_a / phi) rightarrow @_b / phi})

je platné. Toto je pravidlo výmeny.

Okrem nominálov a operátorov spokojnosti budeme v nasledujúcich krokoch brať do úvahy aj tzv. Spojivá (mathtt { forall}) a (mathtt { downarrow}), ktoré nám umožňujú vytvárať vzorce (mathtt { forall a / phi}) a (mathtt {{ downarrow} a / phi}). Spojivá viažu nominály k bodom dvoma rôznymi spôsobmi: Spojivo (mathtt { forall}) kvantifikuje nad bodmi analogické štandardnému univerzálnemu kvantifikátoru prvého poriadku, to znamená (mathtt { forall a / phi}) platí v porovnaní s (w) iba vtedy, ak sa na ktorýkoľvek bod, na ktorý odkazuje nominálny (mathtt {a}) vzťahuje, platí, že (mathtt { phi}) je pravdivý vo vzťahu k (w). Spojivo (mathtt { downarrow}) viaže nominálnu hodnotu k hodnotiacemu bodu, to znamená, že (mathtt {{ downarrow} a / phi}) je pravdivé vzhľadom na (w), ak a iba v prípade, že (mathtt { phi}) je pravdivé vzhľadom na (w), keď (mathtt {a}) odkazuje na (w). Ukazuje sa, že spojivo (mathtt { downarrow}) je definovateľné z hľadiska (mathtt { forall}) (ako je uvedené nižšie).

2. Formálna sémantika

Jazyk, ktorý zvažujeme, je jazyk bežnej modálnej logiky zostavený z bežných výrokových symbolov (mathtt {p}, / mathtt {q}, / mathtt {r},), ako aj nominálov (mathtt {a}, / mathtt {b}, / mathtt {c}, …) a rozšírené o operátory spokojnosti a spojivá. Výrokové spojky (mathtt { wedge}) a (mathtt { neg}) považujeme za primitívne; ostatné výrokové spojky sú definované ako obvykle. Podobne berieme modálneho operátora (mathtt { Box}) za primitívny a definujeme modálneho operátora (mathtt { Diamond}) ako (mathtt { neg / Box / neg}), Ako už názov napovedá, spojivá viažu nominály a pojmy voľného a viazaného výskytu nominálov sú definované analogicky s logikou prvého poriadku. Operátori spokojnosti nezaväzujú nominálov, to znamená,voľné nominálne výskyty vo vzorci (mathtt {@_ a / phi}) sú voľné nominálne výskyty v (mathtt { phi}) spolu s výskytom (mathtt {a}). Necháme (mathtt { phi [c / a]}) vzorec (mathtt { phi}), kde nominálny (mathtt {c}) bol nahradený za všetky výskyty zdarma nominálny (mathtt {a}). Ak nominálny (mathtt {a}) sa vyskytuje zadarmo v (mathtt { phi}) v rozsahu (mathtt { forall c}) alebo (mathtt {{ downarrow} c}), potom sa zviazaný nominálny (mathtt {c}) v (mathtt { phi}) premenuje podľa potreby. Ak nominálny (mathtt {a}) sa vyskytuje zadarmo v (mathtt { phi}) v rozsahu (mathtt { forall c}) alebo (mathtt {{ downarrow} c}), potom sa zviazaný nominálny (mathtt {c}) v (mathtt { phi}) premenuje podľa potreby. Ak nominálny (mathtt {a}) sa vyskytuje zadarmo v (mathtt { phi}) v rozsahu (mathtt { forall c}) alebo (mathtt {{ downarrow} c}), potom sa zviazaný nominálny (mathtt {c}) v (mathtt { phi}) premenuje podľa potreby.

Teraz definujeme modely a rámy. Model pre hybridnú logiku je trojitý ((W, R, V)), kde (W) je neprázdna množina, (R) je binárny vzťah na (W) a (V) je funkcia, ktorá každému páru pozostávajúcemu z prvku (W) a bežného výrokového symbolu priradí prvok množiny ({0,1 }). Pár ((W, R)) sa nazýva rámec. Modely a rámce sú teda rovnaké ako v bežnej modálnej logike. Prvky (W) sa nazývajú svety a vzťah (R) sa nazýva vzťah dostupnosti. Model ((W, R, V)) je údajne založený na rámci ((W, R)).

Priradenie modelu (M = (W, R, V)) je funkcia (g), ktorá každému nominálu priradí prvok (W). Priradenie (g ') je (mathtt {a}) - priemer (g), ak (g') súhlasí s (g) na všetkých nomináloch, možno (mathtt) {a}). Vzťah (M, g, w / vDash / phi) je definovaný indukciou, kde (g) je priradenie, (w) je prvkom (W) a (mathtt { phi}) je vzorec.

(M, g, w / vDash / mathtt {p}) iff (V (w, / mathtt {p}) = 1)

(M, g, w / vDash / mathtt {a}) iff (w = g (mathtt {a}))

(M, g, w / vDash / mathtt { phi / wedge / psi}) iff (M, g, w / vDash / mathtt { phi }) a (M, g, w / vDash / mathtt { psi})

(M, g, w / vDash / mathtt { neg / phi}), ak nie (M, g, w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { Box} phi) iff pre ľubovoľný prvok (v) z (W) tak, aby (wRv), je to tak, že (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {@_ a / phi}) iff (M, g, g (mathtt {a}) vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { forall a / phi}) iff for any (mathtt {a}) - varianta (g ') z (g), je to tak, že (M, g', w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {{ downarrow} a / phi}) iff (M, g ', w / vDash / mathtt { phi}) kde (g') je (mathtt {a}) - variant (g) taký, že (g '(mathtt {a}) = w).

Vzorec (mathtt { phi}) sa považuje za pravdivý v (w), ak (M, g, w / vDash / mathtt { phi}); v opačnom prípade sa hovorí, že je nepravdivý v (w). Konvenciou (M, g / vDash / mathtt { phi}) sa rozumie (M, g, w / vDash / mathtt { phi}) pre každý prvok (w) z (W) a (M / vDash / mathtt { phi}) znamená (M, g / vDash / mathtt { phi}) pre každé priradenie (g). Vzorec (mathtt { phi}) je platný v rámci iba vtedy, ak (M / vDash / mathtt { phi}) pre akýkoľvek model (M), ktorý je založený na príslušnom rámci, Vzorec (mathtt { phi}) je platný v triede rámcov (F) iba vtedy, ak (mathtt { phi}) je platný v ktoromkoľvek rámci v (F). Vzorec (mathtt { phi}) je platný iba vtedy, ak (mathtt { phi}) je platný v triede všetkých snímok. Definícia uspokojivosti je ponechaná na čitateľovi.

Všimnite si, že spojivo (mathtt { downarrow}) je definovateľné z hľadiska (mathtt { forall}) ako vzorec (mathtt {{ downarrow} a / phi / leftrightarrow / forall a (a / rightarrow / phi)}) platí v akomkoľvek rámci.

Skutočnosť, že hybridizácia bežnej modálnej logiky skutočne dáva výraznejšiu silu, sa dá vidieť napríklad pri zvážení vzorca (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}). Je ľahké skontrolovať, či je tento vzorec platný v rámci, iba ak je rámec nereflexný. Irreflexivita tak môže byť vyjadrená hybridným logickým vzorcom, ale je dobre známe, že nemôže byť vyjadrená akýmkoľvek vzorcom bežnej modálnej logiky. Irreflexivita môže byť v skutočnosti vyjadrená iba pridaním nominálov k bežnej modálnej logike, konkrétne vzorcom (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}). Ďalšie príklady vlastností, ktoré sú vyjadriteľné v hybridnej logike, ale nie v bežnej modálnej logike, sú asymetria (vyjadrená (mathtt {c / rightarrow / Box / neg / Diamond c})), antisymetria (vyjadrená (mathtt {) c / rightarrow / Box (Diamond c / rightarrow c)})),a univerzálnosť (vyjadrená (mathtt { Diamond c})).

Podrobný prehľad o syntaxi a sémantike hybridnej logiky, ako aj o mnohých ďalších základných definíciách, nájdete v príručke Príručka Areces and ten Cate (2006). Syntax a sémantika uvedené vyššie sa dajú rozšíriť mnohými spôsobmi, najmä je možné pridať stroj prvého rádu (samozrejme, rovnocenný spôsob získania hybridnej logiky prvého rádu je pridanie hybridného logického strojného zariadenia k modálnemu prvému poriadku). logika). Prehľad hybridnej logiky prvého rádu nájdete v Braüneri (2014), podrobnejší účet nájdete v kapitole 6 Braünera (2011a) a podrobnejšie informácie o hybridnej logike prvého rádu v kapitole 7 Braünera (2011a).

3. Preklady

Hybridná logika sa môže previesť do logiky prvého poriadku s rovnosťou a (fragment) logiky prvého poriadku s rovnosťou sa môže preložiť späť do (fragmenty) hybridnej logiky. Uvažovaný jazyk prvého poriadku má 1-predikátový predikátový symbol (mathtt {p ^ *}) zodpovedajúci každému bežnému výrokovému symbolu (mathtt {p}) modálnej logiky, 2-predikátový predikátový symbol (mathtt {R}) a dvojmiestny predikátový symbol (mathtt {=}). Predikátový symbol (mathtt {p ^ *}) sa bude samozrejme interpretovať tak, že relativizuje interpretáciu zodpovedajúceho modálneho výrokového symbolu (mathtt {p}) na svet, predikátový symbol (mathtt {R}) sa bude interpretovať pomocou vzťahu prístupnosti a predikátový symbol (mathtt {=}) sa bude interpretovať pomocou vzťahu identity vo svete. Dovolili sme (mathtt {a}, / mathtt {b},\ mathtt {c}, / ldots) sa pohybuje nad premennými prvého poriadku. Jazyk nemá konštantné ani funkčné symboly. Premenné prvého poriadku identifikujeme s nominálmi hybridnej logiky.

Najprv preložíme hybridnú logiku do logiky prvého poriadku s rovnosťou. Vzhľadom na dve nové premenné prvého poriadku (mathtt {a}) a (mathtt {b}), preklady (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) a (mathrm { ST} _ / mathtt {b}) sú definované vzájomnou rekurziou. Zadáme preklad (mathrm {ST} _ / mathtt {a}).

(begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {p}) & = / mathtt {p ^ * (a)} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt {c}) & = / mathtt {a = c} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { psi}) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {ST} _a (phi) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / phi }) & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { phi}) mathtt {)} / \ mathrm {ST } _ / mathtt {a} (mathtt {@_ c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) (mathtt {c} / / mathtt {a}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) (mathtt {a} / / mathtt {c}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { forall c / phi}) &= / mathtt { forall c} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) end {align *})

Definícia (mathrm {ST} _ / mathtt {b}) sa získa výmenou (mathtt {a}) a (mathtt {b}). Preklad je rozšírením dobre známeho štandardného prekladu z modálnej logiky do logiky prvého poriadku. Ako príklad ukážeme, ako sa hybridný-logický vzorec (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) preloží do vzorca prvého poriadku:

(begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / neg c}) (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { neg c}) mathtt {)} (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt {c}) mathtt {)} (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = c)} (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = a)}. / End {align *})

Výsledný vzorec prvého poriadku je ekvivalentný (mathtt { neg R (a, a)}), čo ukazuje, že (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) skutočne zodpovedá vzťah dostupnosti je nereflexívny, porovnaj vyššie.

Logiku prvého poriadku s rovnosťou možno preložiť späť do hybridnej logiky prekladom HT uvedeným nižšie.

(begin {align *} mathrm {HT} (mathtt {p ^ * (a)}) & = / mathtt {@_ a p} / \ mathrm {HT} (mathtt {R (a, c)}) & = / mathtt {@_ a / Diamond c} / \ mathrm {HT} (mathtt {a = c}) & = / mathtt {@_ a c} / \ mathrm {HT} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {HT} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {HT} (mathtt { psi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {HT} (mathtt { phi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { forall a / phi}) & = / mathtt { forall a} mathrm {HT} (mathtt { phi}) end {align *})

Všimnite si, že je potrebné hybridné logické spojivo (mathtt { forall}). História vyššie uvedených pozorovaní siaha až do práce Arthura N. Prior. K tomu sa vrátime neskôr.

Podobne to, čo sa nazýva ohraničený fragment logiky prvého poriadku, sa dá preložiť do hybridnej logiky, ale tu je potrebné iba spojivo (mathtt { downarrow}), ako je uvedené v článku Areces, Blackburn a Marx. (2001). Ohraničený fragment je fragment logiky prvého poriadku s vlastnosťou, že kvantifikátory sa vyskytujú iba ako vo vzorci (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}), kde sa vyžaduje že premenné (mathtt {a}) a (mathtt {c}) sú rôzne. Preklad z ohraničeného fragmentu do hybridnej logiky bez spojiva (mathtt { forall}) sa dá získať nahradením poslednej vety v preklade HT vyššie výrazom

(mathrm {HT} (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}) = / mathtt {@_ a / Box { downarrow} c} mathrm {HT} (mathtt { phi}).)

V Areces, Blackburn a Marx (2001) je uvedených niekoľko nezávislých sémantických charakteristík ohraničeného fragmentu.

Vyššie uvedené preklady chránia pravdu. Na formálne vyjadrenie tohto stavu sa používa všeobecne známe pozorovanie, že modely a priradenia pre hybridnú logiku možno považovať za modely a priradenia pre logiku prvého poriadku a naopak. Tieto výsledky uchovávania pravdy sa dajú ľahko formulovať a podrobnosti necháme na čitateľa. Hybridná logika so spojivom (mathtt { forall}) má teda rovnakú výrazovú silu ako logika prvého poriadku s rovnosťou a hybridná logika bez spojiva (mathtt { forall}) (ale s spojivo (mathtt { downarrow})) má rovnakú výrazovú silu ako ohraničený fragment logiky prvého poriadku (všimnite si, že preklad (mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) ľubovoľného vzorca (mathtt { phi}) bez spojiva (mathtt { forall}) je v ohraničenom fragmente).

Vyššie uvedené preklady sa môžu rozšíriť na hybridnú logiku prvého poriadku, v takom prípade je príslušnou cieľovou logikou dvojradová logika prvého poriadku s rovnosťou, jeden druh pre svety a jeden druh pre jednotlivcov, pozri kapitolu 6 Braünera (2011a). V prípade intenzívnej hybridnej logiky prvého poriadku sa používajú tri druhy, tretí druh je zameraný na intenzitu, pozri kapitolu 7 Braünera (2011a).

4. Arthur N. Prior a hybridná logika

História hybridnej logiky siaha až do hybridnej napätej logiky Arthura N. Prior, ktorá je hybridizovanou verziou bežnej napätej logiky. Za účelom ďalšieho preskúmania uvedieme formálnu definíciu hybridnej časovej logiky: Jazyk hybridnej časovej logiky je jednoducho jazyk hybridnej logiky definovaný vyššie, s výnimkou toho, že existujú dva modálne operátory, konkrétne (mathtt {G}) a (mathtt {H}) namiesto jediného operátora s modálnymi službami (mathtt { Box}). Dvaja noví operátori dopravy sa nazývajú napätí operátori. Sémantika hybridnej napätej logiky je sémantika hybridnej logiky, porovnaj s. skôr, s doložkou pre (mathtt { Box}) nahradenou doložkami pre napätej operátory (mathtt {G}) a (mathtt {H}).

(M, g, w / vDash / mathtt {G / phi}) iff pre ľubovoľný prvok (v) z (W) tak, že (wRv), je to tak / \ M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {H / phi}) iff pre ľubovoľný prvok (v) z (W) tak, že (vRw), je to tak, že (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

V súčasnosti existujú teda dvaja operátori dopravy, a to jeden, ktorý „pozerá dopredu“pozdĺž vzťahu dostupnosti a druhý, ktorý „pozerá dozadu“. V napätej logike sa prvky množiny (W) nazývajú okamihy alebo okamihy a vzťah (R) sa nazýva skorší vzťah.

Samozrejme je jednoduché modifikovať vyššie uvedené preklady (mathrm {ST} _a) a (mathrm {HT}) tak, aby sa preklady získavali medzi hybridnou napäťovou logikou (vrátane (mathtt { forall) }) spojivo) a logiku prvého poriadku s rovnosťou. Logika prvého poriadku, o ktorej sa uvažuje, je to, čo Prior nazýval skôr-neskoršou logikou prvého poriadku. Na základe prekladov z toho vyplýva, že predošlá logika prvého rádu prvého poriadku v minulosti má rovnakú výrazovú silu ako hybridná napätá logika.

Predstavil teraz hybridnú časovú logiku v súvislosti s tým, čo nazval štyri stupne časovo logickej angažovanosti. Motivácia pre jeho štyri stupne časovo logického zapojenia bola filozofická. Štyri známky boli uvedené v knihe Prior (1968), kapitola XI (tiež kapitola XI v novom vydaní Prior (2003)). Okrem toho pozri Prior (1967), kapitola V.6 a dodatok B.3-4. Pre všeobecnejšiu diskusiu pozri posmrtne vydanú knihu Prior and Fine (1977). Fázy postupujú od toho, čo možno považovať za čistú logiku prvého rádu neskôr, po to, čo možno považovať za čisto napätú logiku; cieľom je byť schopný považovať napätú logiku štvrtej etapy za obsiahnutú v skoršej logike prvej etapy. Inými slovami, cieľom bolo byť schopné previesť logiku prvého rádu skoršieho vzťahu do časovej logiky. S týmto cieľom si spoločnosť Prior predstavila tzv. Okamžité návrhy:

To, čo by som nazval treťou triedou časovo logického zapojenia, spočíva v tom, že s okamžitými premennými (a, b, c) atď. Bude zaobchádzať aj ako s reprezentatívnymi návrhmi. (Pred rokom 2003, s. 124)

V kontexte modálnej logiky nazval Prior také návrhy ako svetové. Toto samozrejme nazývame nominálmi. Predtým tiež predstavil spojivo (mathtt { forall}) a to, čo tu nazývame operátormi spokojnosti (namiesto notifikácie (mathtt {@ použil notáciu (mathtt {T (a, / phi)})). _a / phi}) pre operátorov spokojnosti). V skutočnosti je prioritná časová logika Prior v tretej triede identická s hybridnou časovou logikou definovanou vyššie. Pojivo (mathtt { downarrow}) bolo predstavené omnoho neskôr. Preto Prior získal výraznú silu svojej skoršej logiky prvého poriadku pridaním k obyčajnej napätej logike ďalšiu výraznú silu vo forme nominálov, operátorov spokojnosti a spojiva (mathtt { forall}). Z technického hľadiska teda jasne dosiahol svoj cieľ.

Z filozofického hľadiska sa však debatovalo o tom, či je ontologický import jeho napätej logiky tretieho stupňa rovnaký ako ontologický import logiky prvého rádu a neskoršej logiky. Napríklad, spojivo (mathtt { forall}) niektorí autori považujú za priamu analógiu s kvantifikátorom (mathtt { forall}) prvého poriadku, a preto existuje podozrenie; pozri napríklad článok Sylvan (1996) v zbierke Copeland (1996). Relevantné sú aj ďalšie dokumenty v tejto zbierke. Viď Braüner (2002), kde je rozprava o napjatej logike štvrtého ročníka Prior. Pozri tiež Øhrstrøm a Hasle (1993), Øhrstrøm a Hasle (2006), Müller (2007) a Blackburn (2007). Napokon pozri diskusiu o štyroch stupňoch Prior v kapitole 1 Braünera (2011a).

Vyššie uvedený článok Øhrstrøm a Hasle (2006) poskytuje podrobný opis logickej práce Prior. Pre komplexný popis života a práce Prior pozri knihu Øhrstrøm and Hasle (1995). V príspevku Hasle a Øhrstrøm (2016) je popísaný Priorův metodologický prístup, najmä jeho pohľad na formalizáciu a úlohu symbolickej logiky v koncepčných štúdiách.

5. Vývoj hybridnej logiky od Prior

Prvá úplne dôsledná definícia hybridnej logiky bola uvedená v Bull (1970), ktorý sa objavil v osobitnom čísle časopisu Theoria na pamiatku Prior. Bull predstavuje tretí druh výrokových symbolov, kde sa výrokový symbol považuje za pravdivý presne v jednej vetve („priebeh udalostí“) v časovom modeli vetvenia. Túto myšlienku triedenia výrokových symbolov podľa obmedzení ich interpretácie neskôr ďalej rozpracovalo množstvo autorov, diskusiu nájdete v časti 5 článku Blackburn a Tzakova (1999).

Hybridné logické mašinérie, ktoré pôvodne vynašiel Prior na konci 60. rokov, boli znovu objavené v 80. rokoch Solomonom Passym a Tinkom Tinčevom z Bulharska, pozri Passy a Tinčev (1985), ako aj Passy a Tinčev (1991). Namiesto bežnej modálnej logiky sa táto práca uskutočňovala v spojení s oveľa výraznejšou progresívnou dynamickou logikou.

Hlavným prínosom v 90. rokoch bolo zavedenie spojiva (mathtt { downarrow}). Prvú verziu spojiva na zníženie stropu predstavil Valentin Goranko v prácach Goranko (1994) a Goranko (1996). Verzia tejto správy bola predstavená v Blackburn a Seligman (1995). Odvtedy sa rozsiahle študovala hybridná logika s pojivom (mathtt { downarrow}), pozri napríklad článok Areces, Blackburn a Marx (2001) o teoretických aspektoch tejto logiky. Komplexná štúdia teórie modelov hybridnej logiky je dizertačnou prácou desiatich rokov Cate (2004).

Predmetom rozsiahleho prieskumu bola aj slabšia hybridná logika získaná vynechaním oboch spojív (mathtt { downarrow}) a (mathtt { forall}). Ukazuje sa, že táto logika bez spojiva a jej množstvo variantov je rozhodujúcich. V článku Areces, Blackburn a Marx (1999) je uvedených niekoľko výsledkov komplexnosti pre hybridnú modálnu a napätú logiku v rôznych triedach rámcov, napríklad ľubovoľné, tranzitívne, lineárne a vetvenie. Je pozoruhodné, že problém uspokojivosti hybridnej logiky bez spojiva nad ľubovoľnými rámcami je rozhodujúci v PSPACE, čo je rovnaké ako zložitosť rozhodovania o uspokojivosti v bežnej modálnej logike. Hybridizácia bežnej modálnej logiky tak dáva výraznejšiu silu, ale zložitosť zostáva rovnaká. Určitá práca sa vykonala na simulácii nominálov v rámci modálnej logiky,pozri Kracht a Wolter (1997).

Akýkoľvek obyčajný modálny vzorec vyjadruje monadickú vlastnosť druhého rádu na snímkach a je dobre známe, že pre niektoré modálne vzorce, vrátane toho, čo sa nazýva Sahlqvistické vzorce, je vlastnosť druhého poriadku ekvivalentná s vlastnosťou prvého poriadku. V článku Goranko a Vakarelov (2006) sa uvádza, že to platí aj pre triedu hybridných logických vzorcov vrátane nominálov. Na výpočet ekvivalentov prvého poriadku bežného modálneho vzorca existuje niekoľko algoritmov. Jeden taký algoritmus, SQEMA, je v dokumente Conradie, Goranko a Vakarelov (2006) rozšírený tak, aby zahŕňal hybridné logické vzorce uvažované v Goranko a Vakarelov (2006).

Je pozoruhodné, že hybridná logika prvého rádu ponúka presne tie vlastnosti, ktoré sú potrebné na preukázanie interpolačných teórií: Zatiaľ čo interpolácia zlyhá v mnohých dobre známych modálnych logikách prvého poriadku, ich hybridizované náprotivky majú túto vlastnosť, pozri Areces, Blackburn a Marx (2003), ako aj Blackburn a Marx (2003). Prvý článok poskytuje teoretický model interpolácie, zatiaľ čo druhý dokument poskytuje algoritmus na výpočet interplantov založený na tablete systéme.

Malo by sa tiež spomenúť, že logika podobná hybridnej logike hrá ústrednú úlohu v oblasti opisnej logiky, ktorá je rodinou logiky používanou na reprezentáciu znalostí v umelej inteligencii, pozri článok Blackburn a Tzakova (1998) a Carlos Areces 'PhD diplomová práca (2000).

Ako je opísané v predchádzajúcej časti, Prior zaviedol hybridnú časovú logiku na riešenie konkrétneho problému vo filozofii času, ale v Prior (1968), kapitole XIV (tiež kapitole XIV v novom vydaní Prior (2003)), tiež ukázal táto hybridná časová logika môže nahradiť dvojrozmernú časovú logiku, ktorú zaviedol Hans Kamp v Kamp (1971). Dimenzia je jednoducho počet okamihov, v ktorých sa vzorec vyhodnocuje vzhľadom na, takže pridanie hybridného logického mechanizmu umožňuje nahradiť dve dimenzie jednou. Na túto prácu v poslednej dobe nadviazali viaceré publikácie Blackburn a Jørgensen, prehľad pozri Blackburn a Jørgensen (2016a). Teraz uvádzame stručný náčrt tejto línie práce, prispôsobenej terminológii tejto práce. Príslušná verzia hybridnej logiky má určený nominálny (mathtt {now}) a každý model prichádza spolu s určeným časom (t_0), takže i) akýkoľvek samostatný vzorec sa vyhodnocuje vzhľadom na (t_0) a ii) nominálny (mathtt {now}) sa vzťahuje na (t_0). Formálnejšie prijímame konvenciu, že ((M, t_0), g / vDash / mathtt { phi}) znamená (M, g, t_0 / vDash / mathtt { phi}) a berieme do úvahy iba priradenia (g) kde (g (mathtt {now}) = t_0). Všimnite si, že nominál (mathtt {now}), považovaný za samostatný vzorec, je platný v tejto sémantike, ale to neplatí pre žiadny iný nominál. Tento nový pojem platnosti sa podľa Blackburn a Jørgensena nazýva kontextová platnosť. Papier Blackburn a Jørgensen (2013) poskytuje axiomy systém, ktorý je kompletný wrt. tento pojem kontextovej platnosti. Papier Blackburn a Jørgensen (2012) poskytuje úplný tabukový systém, ale sémantika tohto článku je v súlade s pôvodnou dvojrozmernou sémantikou Kampa. V obidvoch dokumentoch sa uvažuje aj o ďalších indexoch ako (mathtt {včera}), (mathtt {dnes}) a (mathtt {zajtra}).

V článku Blackburn a Jørgensen (2016b) sa používa hybridná časová logika, ktorá kombinuje myšlienky Prior s nápadmi Hansa Reichenbacha o tom, ako reprezentovať časy prirodzeného jazyka. Predtým uprednostňovali dobre známe napäté operátory opísané vyššie, zatiaľ čo Reichenbach uprednostňoval časové odkazy, to znamená odkazy na konkrétne časy, Reichenbach (1947). Ukazuje sa, že tieto dva prístupy možno kombinovať, čo nebola cesta, ktorú podnikol sám Prior - pozri správu uvedenú v rozsudku Blackburn a Jørgensen (2016b),

6. Axiómy pre hybridnú logiku

Niekoľko článkov sa zaoberalo axiómami pre hybridnú logiku, napríklad Gargov a Goranko (1993), Blackburn (1993) a Blackburn a Tzakova (1999). V článku Gargov a Goranko (1993) je uvedený axiómový systém pre hybridnú logiku a je ukázané, že ak je systém rozšírený o súbor dodatočných axiómov, ktoré sú čistými vzorcami (to znamená, vzorcami, v ktorých sú všetky výrokové symboly nominálne), potom je systém rozšírenej axiómy kompletný vzhľadom na triedu rámcov potvrdzujúcich príslušné axiómy. Čisté vzorce zodpovedajú podmienkam prvého poriadku vo vzťahu prístupnosti (porovnaj preklad (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) vyššie), takže axiomové systémy pre novú hybridnú logiku s podmienkami prvého poriadku na prístupnosti Vzťah sa dá získať jednotným spôsobom jednoduchým pridaním axiómov podľa potreby. takže,ak sa ako axióma pridá napríklad vzorec (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}), potom je výsledný systém kompletný s ohľadom na irreflexívne rámce, porovnaj napr. skôr. Pozri diskusiu o týchto pravidlách v oddiele 4 dokumentu Blackburn (2000).

Dôkazový systém v Gargove a Goranku (1993) využíva zložité pravidlo (nazývané COV), kde schéma vzorcov obsahujúcich aktívnu časť pravidla môže byť ľubovoľne veľká; v skutočnosti je aktívna časť zabudovaná do ľubovoľne hlbokých hniezd modálnych operátorov. Blackburn a Tzakova (1999) ukazujú, že operátori spokojnosti sa môžu použiť na formulovanie axiómového systému v štandardnejšom formáte s použitím jednoduchšieho pravidla nazývaného PASTE, takže systém je stále kompletný, keď je rozšírený o čisté axióny.

V článku Blackburn a Ten Cate (2006) sa skúmajú pravoslávne pravidlá kontroly (ktoré sú kontrolnými pravidlami bez vedľajších podmienok) v axiomových systémoch, a ukazuje sa, že ak si človek vyžaduje rozšírenú úplnosť pomocou čistých vzorcov, potom sú nevyhnutné netradičné pravidlá kontroly. v axiómových systémoch pre hybridnú logiku bez spojiva, ale systém axiómu sa môže uvádzať iba s použitím pravoslávnych kontrolných pravidiel pre silnejšiu hybridnú logiku vrátane spojiva (mathtt { downarrow}). Pozri tiež knihu Braüner (2011a) o inom axiómovom systéme pre hybridnú logiku, ako aj o axiómových systémoch pre intuicionálnu hybridnú logiku a hybridizáciu Nelsonovej parakonzistentnej logiky N4 (porovnajte s Costa a Martins (2016), kde sa zvažuje ďalšia parakonzistentná hybridná logika). Prehľad intuicionálnej hybridnej logiky nájdete v Braüneri (2011b).

Príspevok Areces, Blackburn, Huertas a Manzano (2014) sa zaoberá hybridnou logickou verziou modálnej logiky vyššieho poriadku (tj. Modálnej logiky postavenej na jednoduchej teórii typov Cirkvi). Sú uvedené axiomové systémy a úplnosť je dokázaná wrt. Sémantika typu Henkin. Príspevok Blackburn, Huertas, Manzano a Jørgensen (2014) rozširuje tieto výsledky tak, aby zahŕňali spojivo s klesajúcou hlavičkou a poskytuje preklady do a z ohraničeného fragmentu logiky prvého poriadku (pozri vyššie).

7. Analytické metódy preukazovania hybridnej logiky

Tableau, Gentzen a prírodná teória dedukčného štýlu pre hybridnú logickú prácu v porovnaní s bežnou modálnou logikou veľmi dobre. Zvyčajne, keď je uvedený modálny tabuľa, Gentzen alebo prirodzený dedukčný systém, je to pre jednu konkrétnu modálnu logiku a ukázalo sa ako problematické formulovať takéto systémy pre modálnu logiku jednotným spôsobom bez zavedenia metalinguistického aparátu. To možno napraviť hybridizáciou, to znamená, že hybridizácia modálnej logiky umožňuje formuláciu jednotných tabliet, Gentzenových a prirodzených dedukčných systémov pre široké triedy logiky. V článku Blackburn (2000) sa uvádza tabukový systém pre hybridnú logiku, ktorý má túto žiaducu vlastnosť: Analogicky k axiomu systému Blackburn a Tzakova (1999) je úplnosť zachovaná, ak je tabukový systém rozšírený o súbor čistých axiómov, tj,sada čistých vzorcov, ktoré sa môžu pridať do tabuľky počas konštrukcie tabuľky. Tabuľkový systém Blackburn (2000) je základom rozhodovacieho postupu pre fragment hybridnej logiky bez spojív uvedený v Bolander a Braüner (2006). V tejto práci sa pokračovalo aj v článkoch Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Príspevok Cerrito a Cialdea (2010) predstavuje ďalší rozhodovací postup založený na tablete pre hybridnú logiku. Ďalšie rozhodovacie postupy pre hybridnú logiku, ktoré vychádzajú aj z teórie dôkazov, sú uvedené v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy v tomto článku sú založené na formulácii hybridnej logiky vyššieho rádu, ktorá zahŕňa jednoducho napísaný lambda kalkul. Tabuľkový systém Blackburn (2000) je základom rozhodovacieho postupu pre fragment hybridnej logiky bez spojív uvedený v Bolander a Braüner (2006). V tejto práci sa pokračovalo aj v článkoch Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Príspevok Cerrito a Cialdea (2010) predstavuje ďalší rozhodovací postup založený na tablete pre hybridnú logiku. Ďalšie rozhodovacie postupy pre hybridnú logiku, ktoré vychádzajú aj z teórie dôkazov, sú uvedené v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy v tomto článku sú založené na formulácii hybridnej logiky vyššieho rádu, ktorá zahŕňa jednoducho napísaný lambda kalkul. Tabuľkový systém Blackburn (2000) je základom rozhodovacieho postupu pre fragment hybridnej logiky bez spojív uvedený v Bolander a Braüner (2006). V tejto práci sa pokračovalo aj v článkoch Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Príspevok Cerrito a Cialdea (2010) predstavuje ďalší rozhodovací postup založený na tablete pre hybridnú logiku. Ďalšie rozhodovacie postupy pre hybridnú logiku, ktoré vychádzajú aj z teórie dôkazov, sú uvedené v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy v tomto článku sú založené na formulácii hybridnej logiky vyššieho rádu, ktorá zahŕňa jednoducho napísaný lambda kalkul. V tejto práci sa pokračovalo aj v článkoch Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Príspevok Cerrito a Cialdea (2010) predstavuje ďalší rozhodovací postup založený na tablete pre hybridnú logiku. Ďalšie rozhodovacie postupy pre hybridnú logiku, ktoré vychádzajú aj z teórie dôkazov, sú uvedené v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy v tomto článku sú založené na formulácii hybridnej logiky vyššieho rádu, ktorá zahŕňa jednoducho napísaný lambda kalkul. V tejto práci sa pokračovalo aj v článkoch Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Príspevok Cerrito a Cialdea (2010) predstavuje ďalší rozhodovací postup založený na tablete pre hybridnú logiku. Ďalšie rozhodovacie postupy pre hybridnú logiku, ktoré vychádzajú aj z teórie dôkazov, sú uvedené v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy v tomto článku sú založené na formulácii hybridnej logiky vyššieho rádu, ktorá zahŕňa jednoducho napísaný lambda kalkul. Postupy v tomto článku sú založené na formulácii hybridnej logiky vyššieho rádu, ktorá zahŕňa jednoducho napísaný lambda kalkul. Postupy v tomto článku sú založené na formulácii hybridnej logiky vyššieho rádu, ktorá zahŕňa jednoducho napísaný lambda kalkul.

V článku Hansen, Bolander a Braüner (2017) sa uvádza rozhodovací postup založený na tablete pre hybridnú logiku s mnohými hodnotami, to znamená hybridnú logiku, pri ktorej sa dvojhodnotová klasická logická báza zovšeobecnila na mnohohodnotnú logickú bázu zahŕňajúcu priestor s pravdivou hodnotou, ktorý má štruktúru konečnej Heytingovej algebry. Hansen (2010) poskytuje rozhodovací postup založený na tablete pre hybridizovanú verziu dynamickej epistemickej logiky zvanej logika verejného oznamovania. To je tiež hlavné číslo dizertačnej práce Hansen (2011).

Prírodná teória dedukčnej teórie hybridnej logiky bola preskúmaná v knihe Braüner (2011a). Táto kniha tiež obsahuje Gentzenov systém pre hybridnú logiku. Tieto prirodzené dedukčné a Gentzenove systémy môžu byť rozšírené o ďalšie pravidlá dokazovania zodpovedajúce podmienkam prvého poriadku o prístupových vzťahoch vyjadrené tzv. Geometrickými teóriami (to je samozrejme analogické k rozšíreniu tabliet a axiómových systémov o čisté axiómy). Pozri tiež Braüner a de Paiva (2006), v ktorých je uvedený intuitívny hybridný logický systém, ktorý umožňuje prirodzený odpočet (kapitola 8 Braüner (2011a)).

Tableauove systémy pre hybridnú logiku prvého rádu sa nachádzajú v dokumente Blackburn and Marx (2002). Prirodzené dedukčné a axiomové systémy pre hybridnú logiku prvého poriadku sa nachádzajú v kapitole 6 knihy Braüner (2011a) a kapitola 7 knihy sa zaoberá prirodzeným odpočtom pre intenzívnu hybridnú logiku prvého poriadku. Príspevok Barbosa, Martins a Carreteiro (2014) uvádza axiomatizáciu fragmentu hybridnej logiky prvého rádu, ktorá sa nazýva rovnačná hybridná logika prvého poriadku.

Gentzen a prirodzené dedukčné systémy pre logiku podobnú hybridnej logike preskúmal už v 90. rokoch Jerry Seligman, pozri prehľad v publikácii Seligman (2001). Spoločnosť Seligman vyvinula najmä kontrolné systémy, ktoré pracujú s ľubovoľnými vzorcami, nielen vyhláseniami o spokojnosti, pričom posledné uvedené je prípadom väčšiny kontrolných systémov pre hybridnú logiku, kde sa prevádzkovatelia spokojnosti používajú na prístup k informáciám skrytým za spôsobmi. Prírodný odpočetový systém v tomto štýle bol zavedený v Seligmane (1997) a tento systém bol ďalej rozvinutý v kapitole 4 knihy Braüner (2011a). Tabulové systémy v seligmanovom skúšobnom štýle sa zvažovali v Blackburn, Bolander, Braüner a Jørgensen (2017), kde sa podáva dôkaz o úplnosti syntaktického obsahu. Dôkaz sémantického doplňovania systému tabliet je uvedený v Jørgensen, Blackburn, Bolander,Braüner (2016). Zdôvodnenie v týchto systémoch sa nespolieha priamo na globálne kódovania, ktoré operátori spokojnosti umožňujú, a preto sa tieto systémy môžu považovať za viac v súlade s miestnym charakterom štandardnej Kripkeho sémantiky pre modálnu logiku. V skutočnosti tento lokálnejší spôsob uvažovania robí tieto systémy vhodnými na formalizáciu perspektívy uvažovania, ktorá sa odohráva pri určitých psychologických úvahách, pozri Braüner (2014b), ako aj Braüner, Blackburn a Polyanskaya (2016). Tento lokálnejší spôsob uvažovania robí tieto systémy vhodnými na formalizáciu perspektívy uvažovania, ktorá sa odohráva v určitých úlohách psychologického uvažovania, pozri Braüner (2014b), ako aj Braüner, Blackburn a Polyanskaya (2016). Tento lokálnejší spôsob uvažovania robí tieto systémy vhodnými na formalizáciu perspektívy uvažovania, ktorá sa odohráva v určitých úlohách psychologického uvažovania, pozri Braüner (2014b), ako aj Braüner, Blackburn a Polyanskaya (2016).

Uskutočnila sa určitá práca v oblasti kalkulácie rozlíšenia a kontroly modelu, pozri Areces, de Rijke a de Nivelle (2001), ako aj Areces a Gorin (2011) pre kalkuláciu rozlíšenia a pozri ako Franceschet a de Rijke (2006), ako aj Lange (2009) pre výsledky kontroly modelu.

Od polovice 90. rokov sa rozvíja práca na hybridnej logike. Pre ďalšie odkazy odkazujeme čitateľa na publikácie uvedené v bibliografii. Okrem toho si pozrite nižšie uvedené internetové zdroje.

Bibliografia

• Areces, C., 2000. Logic Engineering. Prípad popisu a hybridnej logiky, dizertačná práca, Ústav pre logiku, jazyk a výpočet, Univerzita v Amsterdame.
• Areces, C., Blackburn, P., a Marx, M., 1999. „Výpočtová zložitosť hybridnej časovej logiky“, Logický vestník IGPL, 8: 653–679.
• –––, 2001. „Hybridná logika: charakterizácia, interpolácia a komplexnosť“, Journal of Symbolic Logic, 66: 977–1010.
• –––, 2003. „Oprava interpolačnej vety v kvantifikovanej modálnej logike“, Annals of Pure and Applied Logic, 124: 287–299.
• Areces, C., Blackburn, P., Huertas, A. a Manzano, M., 2014. „Úplnosť v teórii hybridného typu“, Journal of Philosophical Logic, 43: 209–238.
• Areces, C., de Rijke, M. a de Nivelle, H., 2001. „Resolution in Modal, Description and Hybrid Logic“, Journal of Logic and Computation, 11: 717–736.
• Areces, C. a Gorin, D., 2011. „Uznesenie s objednávkou a výberom pre hybridnú logiku“, Journal of Automated Reasoning, 46: 1-42.
• Areces, C. a ten Cate, B., 2006. „Hybrid Logics“, v Blackburn, van Benthem a Wolter (eds.) (2006).
• Barbosa, LS, Martins, MA a Carreteiro, M., 2014. „Axilizácia Hilbertovho štýlu pre ekvivalenčnú hybridnú logiku“, Journal of Logic, Language and Information, 23: 31–52.
• Blackburn, P., 1993. „Nominal Tense Logic“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 14: 56–83.
• –––, 2000. „Internalizácia označenej zrážky“, Journal of Logic and Computation, 10: 137–168.
• –––, 2007. „Arthur Prior and Hybrid Logic“, Synthese, 150: 329–372.
• Blackburn, P., Bolander, T., Braüner, T. a Jørgensen, KF, 2017. „Úplnosť a ukončenie seligmanského tabelárneho systému“, Journal of Logic and Computation, 27: 81–107.
• Blackburn, P., Huertas, A., Manzano, M. a Jørgensen, KF, 2014. „Henkin and Hybrid Logic“, v živote a diele Leon Henkin: Eseje o jeho príspevkoch (Štúdie univerzálnej logiky), s. 279 - 306. Birkhäuser.
• Blackburn, P. a Jørgensen, KF, 2012. „Indexická hybridná časová logika“, v Advances in Modal Logic (Zväzok 9), s. 144–160. Publikácie na vysokej škole.
• ––– 2013. „Kontextová platnosť v hybridnej logike“, Modelovanie pomocou kontextu (poznámky k prednáške v informatike: Zväzok 8177), s. 185–198. Heidelberg: Springer.
• –––, 2016a. "Arthur Prior and 'now'", Synthese, 193: 3665 - 3676.
• ––– 2016b. „Reichenbach, predchádzajúca a hybridná časová logika“, Synthese, 193: 3677–3689.
• Blackburn, P. a Marx, M., 2002. „Tablety pre kvantifikovanú hybridnú logiku“, v automatizovanom zdôvodňovaní analytickými tabelami a súvisiacimi metódami, TABLEAUX (Poznámky k prednáškam v umelej inteligencii: Zväzok 2381), s. 38–52. Heidelberg: Springer.
• –––, 2003. „Konštruktívna interpolácia v hybridnej logike“, Journal of Symbolic Logic, 68: 463–480.
• Blackburn, P. a Seligman, J., 1995. „Hybrid languages“, Journal of Logic, Language and Information, 4: 251–271.
• Blackburn, P. a ten Cate, B., 2006. „Čisté rozšírenia, pravidlá dokazovania a hybridná axiomatika“, Studia Logica, 84: 277–322.
• Blackburn, P. a Tzakova, M., 1998. „Hybridizing concept languages“, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 24: 23–49.
• –––, 1999. „Hybridné jazyky a časová logika“, Logický vestník IGPL, 7: 27–54.
• Blackburn, P., van Benthem, J. a Wolter, F. (eds.), 2006. Handbook of Modal logic, Amsterdam: Elsevier.
• Bolander, T. a Blackburn, P., 2007. „Ukončenie pre hybridné tably“, Journal of Logic and Computation, 17: 517–554.
• –––, 2009. „Ukončenie tabulkových kalkulátorov pre rozšírenie hybridnej logiky K“, v konaní o metódach 5 (Elektronické poznámky v teoretickej informatike: zväzok 231), s. 21–39.
• Bolander, T. a Braüner, T., 2006. „Rozhodovacie postupy založené na table pre hybridnú logiku“, Journal of Logic and Computation, 16: 737–763.
• Braüner, T., 2002. „Modálna logika, Pravda a Master Modalita“, Journal of Philosophical Logic, 31: 359–386.
• –––, 2011a. Hybridná logika a jej teória dôkazov (Applied Logic Series: Zväzok 37), Dordrecht-Heidelberg-Berlin-New York: Springer.
• –––, 2011b. „Intuitionistic Hybrid Logic: Introduction and Survey“, Information and Computation, 209: 1437–1446.
• –––, 2014a. „Hybridná logika prvého poriadku: Úvod a prieskum“, Logic Journal of IGPL, 22: 155–165.
• –––, 2014b. „Hybridná logika pri úlohách smarties a Sally-Anne“, Journal of Logic, Language and Information, 23: 415–439.
• Braüner, T., Blackburn, P. a Polyanskaja, I., 2016. „Úlohy vierovyznania druhého rádu: analýza a formalizácia“, Logika, jazyk, informácie a výpočet: 23. medzinárodný seminár, WoLLIC (poznámky o prednáške) v Computer Science: Zväzok 9803), s. 125 - 144. Heidelberg: Springer.
• Braüner, T. a de Paiva, V., 2006. „Intuitionistic Hybrid Logic“, Journal of Applica Logic, 4: 231–255.
• Bull, R., 1970. „Prístup k napäťovej logike“, Theoria, 36: 282–300.
• Cerrito, S. a Cialdea, M., 2010. „Nominálna substitúcia pri práci s globálnymi a obrátenými modalitami“, v Pokrokoch v modálnej logike (zväzok 8), s. 57–74. Publikácie na vysokej škole.
• Conradie, W., Goranko, V. a Vakarelov, D., 2006. „Algoritmická korešpondencia a úplnosť v modálnej logike II. Polyadické a hybridné rozšírenia algoritmu SQEMA “, Journal of Logic and Computation, 16: 579–612.
• Copeland, J. (ed.), 1996. Logika a realita: Eseje v dedičstve Arthura Prior, Oxford: Clarendon Press.
• Costa, D. a Martins, MA, 2016. Objaví sa „Paraconsistency in Hybrid Logic“, Journal of Logic and Computation. DOI:
• Franceschet, M. a de Rijke, M., 2006. „Kontrola modelu hybridnej logiky (s aplikáciou na semistrukturované údaje)“, Vestník aplikovanej logiky, 4: 279–304.
• Gabbay, D. a Woods, J. (eds.), 2006. Logika a modality v dvadsiatom storočí. Príručka histórie logiky (zväzok 7). Amsterdam: Elsevier.
• Gargov, G. a Goranko, V., 1993. „Modálna logika s menami“, Journal of Philosophical Logic, 22: 607–636.
• Goranko, V., 1994. „Časová logika s referenčnými ukazovateľmi“, v zborníku z 1. medzinárodnej konferencie o časovej logike (prednášky v umelej inteligencii: Zväzok 827), s. 133–148. Berlín: Springer.
• –––, 1996. „Hierarchie modálnej a časovej logiky s referenčnými ukazovateľmi“, Journal of Logic, Language and Information, 5: 1-24.
• Goranko, V. a Vakarelov, D., 2001. „Sahlqvistické vzorce v hybridnej polyadickej modálnej logike“, Journal of Logic and Computation, 11: 737–754.
• Hansen, JU, 2010. „Ukončenie tabuliek pre dynamickú epistemickú logiku“, v zborníku zo 6. workshopu o metódach pre modality (M4M-6 2009) (Elektronické poznámky v teoretickej informatike: Zväzok 262), s. 141–156.
• –––, 2011. Logický súbor nástrojov na modelovanie poznatkov a informácií v systémoch s viacerými agentmi a sociálnej epistemológii, dizertačná práca, Roskilde University.
• Hansen, JU, Bolander, T. a Braüner, T., 2015. Objaví sa „Hybridná logika s mnohými hodnotami“, Journal of Logic and Computation. DOI:
• Hasle, P. a Øhrstrøm, P., 2016. „Priorova paradigma pre štúdium času a jej metodologickú motiváciu“, Synthese, 193: 3401–3416.
• Jørgensen, KF, Blackburn, P., Bolander, B. a Braüner, T., 2016. „Dôkazy o syntetickej úplnosti pre seligmanove tabelárne systémy“, v Advances in Modal Logic (Zväzok 11), s. 302–321. Publikácie na vysokej škole.
• Kaminski, M. a Smolka, G., 2009. „Ukončenie tabelárnych systémov pre hybridnú logiku s rozdielom a konverziou“, Journal of Logic, Language and Information, 18: 437–464.
• Kamp, H., 1971. „Formálne vlastnosti 'now' ', Theoria, 37: 237 - 273.
• Kracht, M. a Wolter, F., 1997. „Výsledky simulácie a prenosu v modálnej logike - prehľad“, Studia Logica, 59: 149–177.
• Lange, M., 2009. „Kontrola modelu pre hybridnú logiku“, Journal of Logic, Language and Information, 18: 465–491.
• Müller, T., 2007. „Prior's Tense-Logical Universalism“, Logique et Analyze, 50: 223–252.
• Øhrstrøm, P. and Hasle, P., 1993. „Znovuobjavenie napäťovej logiky AN Prior“, Erkenntnis, 39: 23–50.
• –––, 1995. Časová logika. Od starovekých ideí po umelú inteligenciu, Dordrecht: Kluwer.
• –––, 2006. „AN Prior's Logic“, v Gabbay a Woods (2006), s. 399–446.
• Passy, S. a Tinchev, T., 1985. „Kvantifikátory v kombinovanej PDL: úplnosť, definovateľnosť, neúplnosť“, v základoch výpočtovej teórie FCT 85 (Poznámky k prednáške v informatike: Zväzok 199), s. 512–519. Berlín: Springer.
• Passy, S. a Tinchev, T., 1991. „Esej v kombinovanej dynamickej logike“, Information and Computation, 93: 263–332.
• Prior, AN, 1967. Minulosť, súčasnosť a budúcnosť, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1968. Papers on Time and Tense, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 2003. Papers on Time and Tense, Oxford: Oxford University Press. Druhé revidované a rozšírené vydanie Prior (1968). Vydali P. Hasle, P. Øhrstrøm, T. Braüner a J. Copeland.
• Prior, AN a Fine, K., 1977. Worlds, Times and Self, London: Duckworth. Na základe rukopisov Prior s predslovom a postscript od K. Fine.
• Reichenbach, H., 1947. Prvky symbolickej logiky, New York: Free Press.
• Seligman, J., 1997. „Logika správneho popisu“, v Advances in Intensiveal Logic (Applied Logic Series: Zväzok 7), s. 107–135. Kluwer.
• Seligman, J., 2001. „Internalizácia: Prípad hybridnej logiky“, Journal of Logic and Computation, 11: 671–689.
• Sylvan, R., 1996. „Other Withered Stumps of Time“, v Copeland (1996), s. 111 - 130.
• ten Cate, B., 2004. Teória modelov rozšírených modálnych jazykov, dizertačná práca, Ústav logiky, jazykov a výpočtov, Amsterdamská univerzita.

Akademické nástroje

	Ako citovať tento záznam.
	Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
	Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje