Kochen-Speckerova Veta

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-08-25 04:39

Vstupná navigácia

• Obsah vstupu
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Náhľad priateľov PDF
• Informácie o autorovi a citácii
• Späť na začiatok

Kochen-Speckerova veta

Prvýkrát publikované po 11. septembri 2000; podstatná revízia St feb 7, 2018

Kochen-Speckerova veta je dôležitou a jemnou témou v základoch kvantovej mechaniky (QM). Veta demonštruje nemožnosť určitého typu interpretácie QM z hľadiska skrytých premenných (HV), ktoré sa prirodzene navrhujú, keď sa začne uvažovať o projekte interpretácie QM. Tu uvádzame teorém / argument a základnú diskusiu, ktorá ho obklopuje na rôzne úrovne. Čitateľ, ktorý hľadá rýchly prehľad, by si mal prečítať nasledujúce oddiely a pododdiely: 1, 2, 3.1, 3.2, 4 a 6. Tí, ktorí prečítali celý záznam, nájdu dôkazy o niektorých netriviálnych nárokoch v doplňujúcich dokumentoch.

• 1. Úvod
• 2. Pozadie KS vety

• 3. Vyhlásenie a dôkaz KS vety

  • 3.1 Vyhlásenie KS vety
  • 3.2 Rýchly argument KS v štyroch dimenziách (Cabello et al.)
  • 3.3 Pôvodný argument KS. Technické predpoklady
  • 3.4 Pôvodný argument KS. Náčrt dôkazu
  • 3.5 Štatistický argument KS v troch dimenziách (Clifton)
• 4. Princíp funkčného zloženia

• 5. Uniknutie argumentu KS

  • 5.1 Žiadna všeobecná hodnota
  • 5.2 Realizácia odmietnutia hodnoty
  • 5.3 Kontextnosť
• 6. Otázka empirického testovania
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Ďalšie internetové zdroje
• Súvisiace záznamy

1. Úvod

QM má zvláštnu vlastnosť, že kvantovo-mechanické stavy vo všeobecnosti znamenajú iba štatistické obmedzenia výsledkov meraní. Je potrebné vyvodiť prirodzený záver, že tieto stavy sú neúplnými opismi kvantových systémov. QM by teda bola neúplná v tom zmysle, že typický opis stavu QM jednotlivého systému by sa mohol doplniť úplnejším opisom z hľadiska teórie HV. V HV popise systému by sa pravdepodobnosti QM interpretovali prirodzene ako epistemické pravdepodobnosti toho druhu, ktoré vznikajú pri bežných štatistických mechanizmoch. Takýto opis HV nemusí byť prakticky užitočný, ale je v pokušení myslieť si, že by to malo byť v zásade možné. Existujú však dve silné vety, podľa ktorých takýto popis podlieha prísnym obmedzeniam: QM,vzhľadom na určité prima facie prijateľné priestory, nemôžu byť doplnené HV teóriou. Známejším z týchto dvoch teorémov je Bellova veta, ktorá tvrdí, že vzhľadom na lokalitu sa model HV nemôže zhodovať so štatistickými predikciami QM. Druhým dôležitým ne-go teorémom proti teóriám HV je teória Kochena a Speckera (KS), v ktorej sa uvádza, že vzhľadom na predpoklad nekontextuality (ktorý sa má v súčasnosti vysvetliť) nemožno určitým súborom pozorovateľov QM neprirodzene priradiť hodnoty vôbec (dokonca ešte predtým) vzniká otázka ich štatistického rozdelenia). Druhým dôležitým ne-go teorémom proti teóriám HV je teória Kochena a Speckera (KS), v ktorej sa uvádza, že vzhľadom na predpoklad nekontextuality (ktorý sa má v súčasnosti vysvetliť) nemožno určitým súborom pozorovateľov QM neprirodzene priradiť hodnoty vôbec (dokonca ešte predtým) vzniká otázka ich štatistického rozdelenia). Druhým dôležitým ne-go teorémom proti teóriám HV je teória Kochena a Speckera (KS), v ktorej sa uvádza, že vzhľadom na predpoklad nekontextuality (ktorý sa má v súčasnosti vysvetliť) nemožno určitým súborom pozorovateľov QM neprirodzene priradiť hodnoty vôbec (dokonca ešte predtým) vzniká otázka ich štatistického rozdelenia).

Predtým, ako uvidíme fungovanie KS vety, musíme objasniť, prečo je to dôležité pre filozofov vedy. Výslovným predpokladom interpretácií HV, ako je uvedené nižšie, je jednoznačnosť hodnoty:

(VD) Všetky pozorovateľné veličiny definované pre systém QM majú vždy určité hodnoty.

(Všimnite si, že pre spoločnosť Bohmian Mechanics, ktorá sa často považuje za HV interpretáciu QM, by sa toto tvrdenie malo kvalifikovať.) ^[1] VD je motivovaný zjavne neškodným predpokladom o experimentálnych výsledkoch, čo sa odráža v zvyku odvolávať sa na kvantové experimenty. ako „merania“, to znamená, že tieto experimenty odhalia hodnoty, ktoré existujú nezávisle od merania. (Všimnite si, že tu nemusíme predpokladať, že hodnoty sú verne odhalené meraním, ale iba to, že existujú!) To naznačuje druhý, zdanlivo neškodný predpoklad, predpoklad nekontextuality:

(NC) Ak má systém QM vlastnosť (hodnota pozorovateľnej hodnoty), robí tak nezávisle od akéhokoľvek kontextu merania, tj nezávisle od toho, ako sa táto hodnota nakoniec zmeria.

Keď sa NC aplikuje na špecifické vlastnosti, ktoré sa dajú merať v rôznych nekompatibilných meraniach, NC hovorí, že tieto vlastnosti sú v týchto rôznych situáciách merania rovnaké.

Teraz predpokladajme, že prijímame zvyčajné spojenie vlastností kvantového systému, to znamená, že nie, pozorovateľné a operátory projekcie na Hilbertovom priestore systému.

(O) Existuje vlastná korešpondencia medzi vlastnosťami kvantového systému a operátormi projekcie na Hilbertovom priestore systému.

KS veta vytvára rozpor medzi VD + NC + O a QM; akceptácia QM nás teda logicky núti vzdať sa VD alebo NC alebo O.

Keby bola realizovateľná teória HV spĺňajúca tieto podmienky, mali by sme prirodzené vysvetlenie štatistického charakteru QM a elegantný spôsob riešenia neslávneho problému merania prenasledujúceho všetkých interpretov QM (pozri položku o kvantovej mechanike a časť o problém merania v zázname o filozofických otázkach v kvantovej teórii pre podrobnosti). Veta KS ukazuje, že teória VN najpriamejšieho druhu, ktorá spĺňa tieto podmienky, nie je možnosťou. Programu HV zostávajú iba možnosti, ktoré porušujú jednu alebo viac z týchto podmienok; pozri záznamy o Bohmianovej mechanike a modálnych interpretáciách kvantovej mechaniky.

2. Pozadie KS vety

V nasledujúcom texte predpokladáme určitú znalosť základných pojmov QM, ako sú „stav“, „pozorovateľný“, „hodnota“a ich matematický predstaviteľ „vektor“, „(samoadjektívny) operátor“a „vlastná hodnota“[pozri položku o kvantová mechanika pre podrobnosti]. Zvyčajne identifikujeme pozorovateľov a operátorov na príslušnom Hilbertovom priestore, ktorý ich zastupuje; ak je potrebné rozlišovať operátorov a pozorovateľných, píšeme operátori podčiarknuté a tučným písmom. (Operátor A teda predstavuje pozorovateľnú A.)

Táto časť uvádza niektoré prvky historického a systematického pozadia KS vety. Najdôležitejšie je, že sa musí zvážiť argument von Neumanna (1932), veta Gleason (1957) a kritická diskusia o obidvoch plus neskoršia argumentácia Bell (1966). Von Neumann vo svojej slávnej knihe Die Mathatischen Grundlagen der Quantenmechanik z roku 1932 namietal proti možnosti poskytnúť QM podporu HV. Uviedol argument, ktorý sa scvrkáva na toto: Zoberme si matematický fakt, že ak A a B sú samoobslužné operátory, potom akákoľvek ich skutočná lineárna kombinácia (ľubovoľná C = α A + β B)., kde a, ß sú ľubovoľné reálne čísla) je tiež samoľahlým operátorom. QM ďalej diktuje, že:

1. Ak sú A a B (predstavované samo-susediacimi operátormi A a B) pozorovateľné v systéme, potom je v tom istom systéme pozorovateľný C (predstavovaný samoistelným operátorom C definovaným vyššie).
2. Ak sú pre ktorýkoľvek stav QM očakávané hodnoty A a B dané ako <A> a <B>, potom je očakávaná hodnota C daná pomocou <C> = a <A> + ßB.

Teraz zvážte A, B, C, ako je uvedené vyššie, a predpokladajte, že majú určité hodnoty v (A), v (B), v (C). Zvážte „skrytý stav“V, ktorý určuje v (A), v (B), v (C). Potom môžeme odvodiť z V triviálnych „očakávaných hodnôt“, ktoré sú samotnými vlastnosťami: <A> _V = v (A) atď. ^[2] Tieto „očakávané hodnoty“sa, samozrejme, nerovná hodnotám QM: <A> _V ≠ <A> (tieto by sme skutočne považovali za priemery oproti predchádzajúcim pre rôzne skryté stavy V!), Avšak von Neumann vyžaduje, aby <A> _V, rovnako ako <A, zodpovedal (2). To automaticky znamená, že samotné hodnoty musia zodpovedať podmienke rovnobežnej s bodom (2), tj:

v (C) = av (A) + pv (B)

To je však vo všeobecnosti nemožné. Príklad veľmi ľahko ukazuje, ako sa porušuje (3), ale kvôli svojej jednoduchosti tiež ukazuje neprimeranosť argumentu. (Tento príklad nie je spôsobený samotným von Neumannom, ale Bellom. ^[3]) Nech A = σ _x a B = σ _y, potom operátor C = (σ _x + σ _y) / √2 zodpovedá pozorovateľnému zložka sa točí v smere rozdeľovania xay. Teraz majú všetky súčasti odstreďovania (vo vhodných jednotkách) iba možné hodnoty ± 1, preto je HV proponent nútený pripísať ± 1 až A, B, C ako hodnoty, a teda ako „očakávané hodnoty“. Ale (3) teraz zjavne nie je možné splniť, pretože ± 1 ≠ (± 1 + ± 1) / √2.

Príklad ilustruje, prečo je argument von Neumanna neuspokojivý. Nikto nespochybňuje prechod z (2) na (3) za kompatibilné pozorovateľné, tj tie, ktoré sú podľa QM spoločne merateľné v jednom usporiadaní. Vyššie uvedený výber A, B, C je však taký, že ktorékoľvek z nich sú nekompatibilné, tj nie sú spoločne pozorovateľné. Z tohto dôvodu nebudeme chcieť, aby sa splnil akýkoľvek výklad HV (3), ale iba (2). Skryté hodnoty nemusia byť vo všeobecnosti v súlade s bodom (3), iba priemery ich hodnôt v sérii skúšok musia zodpovedať bodu (2). Autorita von Neumannovho argumentu vychádza zo skutočnosti, že požiadavky (1) a (2) pre štáty QM sú dôsledkami formalizmu QM, ale to samo osebe neodôvodňuje rozšírenie týchto požiadaviek na hypotetické skryté štáty. Ak by (3) boli skutočne neobmedzené,to by pekne vysvetľovalo, prečo sú prítomné skryté hodnoty (2). Von Neumann si zjavne myslel, že navrhovateľ HV sa zaväzuje toto vysvetlenie, ale zdá sa to nepravdepodobné obmedzenie.

KS veta napravuje túto chybu, a tak posilňuje prípad proti teóriám VN, pokiaľ predpokladá (3) iba pre skupiny pozorovateľných znakov {A, B, C}, ktoré sú vzájomne kompatibilné. Veta vyžaduje, aby sa zachoval iba predpoklad kompatibilných pozorovateľných údajov (3).

Druhú, nezávislú líniu myslenia vedúcu k KS vete, poskytuje Gleasonova veta (Gleason 1957). Veta uvádza, že na Hilbert priestoru rozmer väčší alebo rovné 3, jediné možné opatrenia pravdepodobnostné sú opatrenia u Stabilizátory (P _α) = Tr (P _α W), kde P _α je operátor projekcia, W je štatistický operátor charakterizujúci skutočný stav systému a Tr je operácia sledovania. ^[4] P _αmožno chápať tak, že predstavuje áno - nie pozorovateľné, tj otázky, či systém QM „žijúci“v takom Hilbertovom priestore má vlastnosť a alebo nie, a každá možná vlastnosť a je jedinečne spojená s vektorom | α> v priestore - Úlohou je teda jednoznačne priradiť pravdepodobnosti všetkým vektorom v priestore. Teraz je QM mierka μ kontinuálna, takže Gleasonova veta v skutočnosti dokazuje, že každé priradenie pravdepodobnosti všetkým možným vlastnostiam v trojrozmernom Hilbertovom priestore musí byť nepretržité, tj musí mapovať všetky vektory v priestore nepretržite do intervalu [0, 1]. Na druhej strane, teória HV (ak sa vyznačuje VD + NC) by naznačovala, že z každej vlastnosti môžeme povedať, či systém má alebo nemá. To poskytuje triviálne pravdepodobnostné funkcie, ktorá mapuje všetky P _alfana 1 alebo 0, a za predpokladu, že sa vyskytnú hodnoty 1 a 0 (čo vyplýva z ľahkého výkladu čísel ako pravdepodobnosti), musí byť táto funkcia jednoznačne nespojitá (porovnaj Redhead 1987: 28).

Dôkaz Gleasonovej vety je notoricky zložitý. Je však pozoruhodné, že tento dôsledok Gleasonovej vety sa dá získať priamejšie prostredníctvom prostriedkov oveľa jednoduchších ako sú tie, ktoré sa používajú v Gleasonovom dôkaze. Bell (1982: 994, 1987: 164) pripisuje JM Jauchovi pozornosť (v roku 1963) tým, že upriamuje pozornosť na Gleasonovu teóriu a poukazuje na to, že to znamená posilnenie von Neumannovho výsledku, pričom požiadavka na aditivitu je iba na dochádzanie k pozorovateľným. Bell potom elementárnym spôsobom dokázal výsledok bez použitia Gleasonovho dôkazu (Bell 1966). Neznámy Bell, Specker už prišiel k tomuto výsledku, spomínal (ale nebol predstavený) v Specker (1960), ako argument ein elementargeometrisches. ^[5]Tento argument bol uvedený v rozsudku Kochen a Specker (1967). Bellov dôkaz a Kochen-Speckerov dôkaz používajú podobné konštrukcie v trojrozmernom Hilbertovom priestore, hoci sa líšia v detailoch. Kochen a Specker pokračujú v explicitnom zostavovaní konečnej sady projekcií, ktoré nemôžu byť priradené hodnotám pod podmienkou, že požiadavka aditívnosti (3) platí, keď sa A a B dochádzajú. Aj keď to Bell neurobí, z konštrukcie Bell sa dá ľahko získať aj konečný súbor pozorovateľov, ktorým nemožno priradiť hodnoty podliehajúce obmedzeniu aditívnosti pre dochádzanie do pozorovateľov (pozri Mermin 1993).

Potom, čo Bell ponúkol svoj variant argumentu proti teóriám HV z Gleasonovej vety, Bell ho kritizuje. Jeho stratégia sa podobá stratégii proti von Neumannovi. Bell poukazuje na to, že jeho argument Gleasonovho typu proti svojvoľnej blízkosti dvoch opačne hodnotených bodov predpokladá netriviálne vzťahy medzi hodnotami nespútaných pozorovateľov, ktoré sú odôvodnené iba na základe predpokladu nekontextuality (NC). Ako analýzu toho, čo sa pokazilo, navrhuje, aby jeho vlastný argument „konkludentne predpokladal, že meranie pozorovateľného musí dať rovnakú hodnotu nezávisle od toho, aké ďalšie merania môžu byť vykonané súčasne“(1966: 9). Na rozdiel od von Neumanna argument Gleasonovho typu odvodzuje obmedzenia týkajúce sa priradenia hodnoty, ako napríklad (3) iba pre súbory kompatibilných pozorovateľných prvkov;ale stále jedna a tá istá pozorovateľná skupina môže byť členom rôznych dochádzacích sád, a je dôležité, aby argumenty, že pozorovateľnému bola pridelená rovnaká hodnota v oboch sádach, tj že priradenie hodnoty nebolo citlivé na kontext.

3. Vyhlásenie a dôkaz KS vety

3.1 Vyhlásenie KS vety

Výslovné vyjadrenie KS vety platí takto:

Nech je H Hilbertovým priestorom stavových vektorov QM rozmeru x ≥ 3. Na H je množina M pozorovateľných prvkov, ktorá obsahuje prvky y tak, že nasledujúce dva predpoklady sú v rozpore:

(KS1) Všetci členovia M majú súčasne hodnoty, tj sú jednoznačne mapované na reálne čísla (určené pre pozorovateľné A, B, C,…, v v (A), v (B), v (C), …), (KS2) Hodnoty všetkých pozorovateľných veličín v bode M zodpovedajú týmto obmedzeniam:

(a) Ak A, B, C sú všetky kompatibilné a C = A + B, potom v (C) = v (A) + v (B);

(b) ak A, B, C sú všetky kompatibilné a C = A · B, potom v (C) = v (A) · v (B).

Predpoklad KS1 vety je samozrejme ekvivalentom VD. Predpoklady KS2 (a) a (b) sa v literatúre označujú ako pravidlo súčtu a pravidlo produktu. (Čitateľ by si mal znovu uvedomiť, že na rozdiel od implicitného predpokladu von Neumanna sa tieto pravidlá netriviálne týkajú iba hodnôt kompatibilných pozorovateľných.) Obidva sú dôsledkami hlbšieho princípu nazývaného princíp funkčného zloženia (FUNC), ktorý je naopak dôsledok (okrem iných predpokladov) NC. Prepojenie medzi NC, FUNC, Pravidlom súčtu a Pravidlom produktu bude výslovne uvedené v časti 4.

KS veta tvrdí, že existuje množina M s určitou vlastnosťou (tj je taká, že KS1 a KS2 sú v rozpore) ^[6]a dôkaz pokračuje explicitným predložením takejto sady pre rôzne voľby xay. V pôvodnom KS dôkaz x = 3 a y = 117. Nedávno boli dôkazy (zahŕňajúce mnoho ďalších) Peres (1991, 1995) pre x = 3 a y = 33, Kernaghan (1994) pre x = 4 a y = 20 a Cabello a kol. (1996) pre x = 4 a y = 18. Dôkaz KS je notoricky zložitý a načrtneme ho iba v časti 3.4. Peresov dôkaz potvrdzuje, že výsledok KS je v plnej sile, s veľkou jednoduchosťou a navyše intuitívne prístupným spôsobom, pretože funguje v troch rozmeroch; odporúčame čitateľa k Peresovi (1995: 197–99). Dôkazy Kernaghan a Cabello a kol. každý vyvoláva rozpor v štyroch dimenziách. Toto sú samozrejme slabšie výsledky,ako KS veta (pretože každý rozpor v 3 dimenziách je tiež rozporom vo vyšších dimenziách, ale nie naopak). Tieto ďalšie dôkazy sú však veľmi jednoduché a poučné. Okrem toho je možné preukázať (Pavičić et al. 2005), že y = 18 je najnižšie číslo, pre ktoré platí veta KS, takže na začiatku uvádzame dôkaz Cabella a jeho spolupracovníkov v oddiele 3.2. Nakoniec v oddiele 3.5 vysvetlíme argument Cliftona (1993), kde x = 3 a y = 8 a ďalší štatistický predpoklad poskytuje ľahký a poučný argument KS. Preto začneme predložením dôkazu o Cabellovi a jeho spolupracovníkoch v oddiele 3.2. Nakoniec v oddiele 3.5 vysvetlíme argument Cliftona (1993), kde x = 3 a y = 8 a ďalší štatistický predpoklad poskytuje ľahký a poučný argument KS. Preto začneme predložením dôkazu o Cabellovi a jeho spolupracovníkoch v oddiele 3.2. Nakoniec v časti 3.5 vysvetlíme argument Cliftona (1993), kde x = 3 a y = 8 a ďalší štatistický predpoklad poskytuje ľahký a poučný argument KS.

3.2 Rýchly argument KS v štyroch dimenziách (Cabello et al.)

Zvlášť jednoduché KS argumentácie prebieha v štvorrozmerného Hilbertova priestore H ₄. Použijeme nasledujúce, čo bude preukázané v nasledujúcej časti:

(1) Z KS2 možno odvodiť tlak na priraďovanie hodnôt prevádzkovateľom projekciu, a to, že pre každú sadu operátorov projekcia P ₁, P ₂, P ₃, P ₄, zodpovedajúce štyri rôzne vlastné hodnoty Q ₁, Q ₂, q ₃, q ₄ pozorovateľného Q na H4 platí:

(VC1 ') v (P ₁) + v (P ₂) + v (P ₃) + v (P ₄) = 1, kde V (P _i) = 1 alebo 0, pre i = 1, 2, 3, 4.

((VC1 ') je variantom (VC1), o ktorom sme sa výslovne presvedčili v nasledujúcej časti.) V skutočnosti to znamená, že každej skupine štyroch ortogonálnych lúčov v H4 je presne jedna priradená číslu 1, ostatným 0.

(2) Aj keď Hilbertov priestor uvedený v teórii musí byť zložitý, na preukázanie nezrovnalostí v nárokoch KS1 a KS2 stačí zvážiť skutočný Hilbertov priestor rovnakej dimenzie, aby bolo možné vyhovieť QM., Takže namiesto H4 považujeme skutočný Hilbertov priestor R4 a preložíme VC1 'na požiadavku: Z každej sady ortogonálnych lúčov v R4 je presne jednej priradené číslo 1 a ostatné 0. Ako je v literatúre obvyklé, prekladáme všetky toto do nasledujúceho problému s vyfarbením: Z každej sady ortogonálnych lúčov v R4 musí byť presne jedna zafarbená biela, ostatné čierne. Toto však nie je možné, ako to okamžite ukazuje nasledujúca tabuľka (Cabello et al. 1996):

0,0, 0,1	0,0, 0,1	1, -1, 1, -1	1, -1, 1, -1	0,0, 1,0	1, -1, -1,1	1,1, -1,1	1,1, -1,1	1,1, 1, -1
0,0, 1,0	0,1, 0,0	1, -1, -1,1	1,1, 1,1,	0,1, 0,0	1,1, 1,1	1,1, 1, -1	-1,1, 1,1	-1,1, 1,1
1,1, 0,0	1,0, 1,0	1,1, 0,0	1,0, -1,0	1,0, 0,1	1,0, 0, -1	1, -1, 0,0	1,0, 1,0	1,0, 0,1
1, -1, 0,0	1,0, -1,0	0,0, 1,1	0,1, 0, -1	1,0, 0, -1	0,1, -1,0	0,0, 1,1	0,1, 0, -1	0,1, -1,0

V tejto tabuľke je 4 x 9 = 36 záznamov. Tieto záznamy sú prevzaté zo súboru 18 lúčov a každý lúč sa objaví dvakrát. Je ľahké overiť, že každý stĺpec v tabuľke predstavuje sadu štyroch ortogonálnych lúčov. Pretože existuje 9 stĺpcov, musíme skončiť s nepárnym počtom záznamov v tabuľke farebne bielymi. Keďže sa však každý lúč objaví dvakrát, keď zafarbíme jednu z nich na bielu, zaväzujeme sa vyfarbiť párny počet bielych záznamov. Z toho vyplýva, že celkový počet farebných záznamov tabuľky musí byť párny, nie nepárny. Preto je zafarbenie týchto 18 lúčov podľa VC1 'nemožné. (Poznamenajme, že prvá časť argumentu - argument pre „nepárne“- používa iba VC1 “, zatiaľ čo druhá - argument pre„ párne “), sa v podstate opiera o NC,za predpokladu, že výskytom toho istého lúča v rôznych stĺpcoch je pridelené rovnaké číslo!)

3.3 Pôvodný argument KS. Technické predpoklady

Pôvodný KS dôkaz pracuje na trojrozmerné komplexu Hilbertova priestoru H ₃. To si vyžaduje dve veci: (1) sady trojíc lúčov, ktoré sú ortogonálne v H ₃; (2) obmedzenie v tom zmysle, že každému ortogonálnemu trojitému má jeden lúč pridelené číslo 1, dvom ďalším 0. Obidve je možné dosiahnuť takto:

Za svoj H ₃ považujeme ľubovoľný operátor Q s tromi rôznymi vlastnými hodnotami q ₁, q ₂, q ₃, ich vlastné vektory | q ₁ >, | q ₂ >, | q ₃ >, a operátormi projekcia P ₁, P ₂, P ₃, vyčnievajúce na lúče rozložené týmito vektormi. Teraz P ₁, P ₂, P ₃ sú samy o sebe pozorovateľné (menovite, P _i je „pozorovateľné áno-nie“zodpovedajúce otázke „Má systém hodnotu q _i pre Q?“). Okrem toho, P ₁, P ₂, P₃ sú vzájomne kompatibilné, takže môžeme uplatniť pravidlo súčtu a pravidlo produktu, a tým odvodzujeme obmedzenia na priradenie hodnôt (dôkaz):

(VC1) v (P ₁) + v (P ₂) + v (P ₃) = 1, kde V (P _i) = 1 alebo 0, pre i = 1, 2, 3.

Ľubovoľné Voľba pozorovateľné Q definuje nové pozorovateľné P ₁, P ₂, P ₃, ktorý, podľa poradia, vyberte lúče v H ₃. Takže, uložiť, že signatúry, P ₁, P ₂, P ₃ majú všetky hodnoty prostriedky priradiť čísel k žiarenia v H ₃ a VC1, najmä znamená, že na ľubovoľný trojnásobný ortogonálnych lúčov, ktoré sú uvedené podľa voľby ľubovoľného Q (stručne: ortogonálny trojnásobok v H ₃), presne jeden z jeho lúčov je priradený 1, ostatné 0. Teraz, keď predstavíme rôzne nekompatibilné pozorovateľné Q, Q ', Q ″, … tieto pozorovateľné vyberú rôzne ortogonálne trojice v H ₃, Predpoklad (1) KS vety (čo je efektívne VD) nám teraz hovorí, že každý z týchto trojíc má tri hodnoty a VC1 nám hovorí, že tieto hodnoty musia byť pre každú trojicu, presne {1, 0, 0}., To, čo KS teraz ukazuje, je, že pre konkrétnu konečnú množinu ortogonálnych trojíc v H _{3 nie} je možné priradiť čísla {1, 0, 0} každému z nich (zhodné s bežnými lúčmi) nemožné. Ďalšie úvahy, že zatiaľ čo výnosy H ₃ je komplexný, to je v skutočnosti natoľko, aby do úvahy skutočný trojrozmerný hilbertov priestor R ₃. Pre možné preukázať, že v prípade, že priradenie hodnoty podľa VC1 je možné na H ₃, potom je možné, na R ₃. Protikladne, v prípade, že úloha je nemožný na výskum ₃, potom to nie je možné na H ₃. Takže môžeme splniť podmienky potrebné získať dôkaz KS začala a zároveň znížiť problém s jedným z R ₃. Teraz, ekvivalent v R ₃ z ľubovoľnej ortogonálne trojnásobný v H ₃, je opäť ľubovoľný trojnásobný ortogonálnych lúčov (krátko: ortogonálne strojnásobiť R ₃). Ak teda KS chce ukázať, že pre konkrétny súbor n ortogonálnych trojíc v H ₃ (kde n je prirodzené číslo), priradenie čísel {1, 0, 0} ku každému z nich je nemožné, je to stačí na to, aby ukázali, že pre konkrétnu sadu n ortogonálnych trojíc v R ₃, priradenie čísel {1, 0, 0} ku každému z nich nie je možné. A presne to robia.

Je potrebné zdôrazniť, že v tomto okamihu neexistuje žiadna priama súvislosť medzi R ₃ a fyzického priestoru. KS by chcel ukázať, že pre ľubovoľný systém QM vyžadujúci reprezentáciu v Hilbertovom priestore najmenej troch rozmerov nie je možné pripísať hodnoty v spojení s podmienkou (KS2) (pravidlo súčtu a pravidlo produktu), a za týmto účelom postačí do úvahy priestor R ₃. Tento priestor R ₃, však nepredstavuje fyzický priestor pre kvantového systému v čase emisie. Najmä kolmosť v R _3, sa nesmie zamieňať s ortogonality vo fyzickom priestore. Toto je zrejmé, ak sa presunieme k príkladu systému QM, ktorý sedí vo fyzickom priestore a zároveň si vyžaduje reprezentáciu QM v H _3., napr. stupeň voľnosti odstreďovania jednozložkového systému spin-1. Vzhľadom k tomu, ľubovoľný smer α vo fyzickom priestore a obsluha S _α predstavuje pozorovateľný z komponenty spinu v smere a, H ₃ je rozložený pomocou charakteristických vektorov S _alfa, a to | S _a = 1, | S _a = 0, | S _α = -1>, ktoré sú vzájomne kolmé v H ₃. Skutočnosť, že tieto tri vektory zodpovedajúce trom možným výsledkom merania v jednom priestorovom smere sú vzájomne ortogonálne, ilustruje rôzne zmysly ortogonality v H3.a vo fyzickom priestore. (Dôvod spočíva, samozrejme, v štruktúre QM, ktorá predstavuje rôzne hodnoty pozorovateľné rôznymi smermi v H _3.)

Samotné KS abstraktne postupujú presne rovnakým spôsobom, ale ilustrujú príkladom, ktorý vytvára priame spojenie s fyzickým priestorom. Je dôležité vidieť toto spojenie, ale tiež musí byť zrejmé, že je vyrobené príkladom KS a nie je vlastné ich matematickému výsledku. KS navrhuje zvážiť jednočasticový systém spin-1 a meranie štvorcových zložiek ortogonálnych smerov rotácie vo fyzickom priestore S _x ², S _y ², S _z ², ktoré sú kompatibilné (zatiaľ čo S _x, S _y, Samotné S _z nie sú). ^[7]Meranie druhej mocniny súčasti točenia určuje iba jej absolútnu hodnotu. Tu odvodzujú mierne odlišné obmedzenia priraďovania hodnôt, opäť pomocou pravidla súčtu a pravidla produktu (dôkaz):

(VC2) v (S _x ²) + v (S _y ²) + v (S _z ²) = 2, kde V (S _alfa ²) = 1 alebo 0, pre a = x, y, z.

Teraz, pretože S _x ², S _y ², S _z ² kompatibilné, je pozorovateľný O tak, že S _x ², S _y ², S _z ² sú všetky funkcie O. SO, výber ľubovoľné také O opravy s _x ², s _y ², s _z ² a, pretože táto môže byť priamo spojený s navzájom kolmých lúče v H ₃, opäť fixuje výber ortogonálne strojnásobiť H ₃. Vzniknutý problém je priradiť čísel {1, 1, 0} až ortogonálne strojnásobiť H ₃uvedené voľbou O, alebo viac priamo, S _x ², S _y ², S _z ². Toto je, samozrejme, zrkadlový obraz nášho predchádzajúceho problému priraďovania čísel {1, 0, 0} takémuto trojnásobku a nemusíme to posudzovať osobitne.

Výber špecifického O, ktorý súčasne vyberie pozorovateľné S _x ², S _y ², S _z ^2, však vyberie tri ortogonálne lúče vo fyzickom priestore, a to stanovením súradnicového systému ± x, ± y, ± z (ktoré definuje, podľa ktorého ortogonálnych lúčov sa majú štvorcové súčasti spinov merať) vo fyzickom priestore. Teraz teda voľbou pozorovateľné O, existuje priama súvislosť smerov v priestore s smeroch H ₃: kolmosť v H ₃ sa robí, zodpovedajú ortogonality vo fyzickom priestore. To isté platí pre R ₃, je-li, s cieľom poskytnúť argument pre H ₃, považujeme R ₃. Ortogonalita v R.₃ teraz zodpovedá ortogonalite vo fyzickom priestore. Je dôležité si všimnúť, že táto korešpondencia nie je potrebná na argumentovanie, aj keď trváme na tom, že čisto matematické fakty by mali byť doplnené fyzickým výkladom - pretože sme tesne predtým videli príklad bez akejkoľvek korešpondencie. Ide iba o to, že môžeme navrhnúť taký príklad, že existuje korešpondencia. Najmä, môže teraz sledovať dôkaz, R _3, a po celú dobu si predstaviť systém sedí vo fyzickom priestore, a to spin-1 častice vracajúci sa tri hodnoty pri meraní troch fyzikálnych veličín, ktorý je spojený priamo s kolmých smeroch vo fyzickom priestore, a to v (S _x ²), v (S _y ²), v (S _z ²) pre ľubovoľné výbery x, y, z. Dôkaz KS potom ukazuje, že je nemožné (samozrejme, vzhľadom na svoje priestory) priradiť hodnotám častíc spin-1 pre všetky tieto ľubovoľné voľby. To znamená, že argument KS ukazuje, že (vzhľadom na priestory) častice spin 1 nemôžu mať všetky vlastnosti naraz, ktoré sa zobrazujú v rôznych usporiadaniach merania.

Je potrebné spomenúť tri ďalšie znaky, ktoré sa v KS argumentoch stali zvyčajnými:

(1) Je zrejmé, že sa dá jednoznačne určiť akýkoľvek lúč v R ₃ cez pôvodu len dávať jeden bod v ňom obsiahnutých. KS teda identifikujú lúče s bodmi na jednotkovej gule E. KS sa nemusia odvolávať na konkrétne súradnice určitého bodu, pretože ich argument je „bez súradníc“. Na ilustráciu však niekedy uvedieme konkrétne body a potom (a) použijeme karteziánske súradnice na kontrolu vzťahov ortogonality a (b) určíme lúče podľa bodov, ktoré neležia na E. (napr. Trojnásobok bodov (0, 0, 1), (4, 1, 0), (1, –4, 0) sa používa na špecifikáciu trojice ortogonálnych lúčov.) Obidve použitia zodpovedajú najnovšej literatúre (pozri napr. Peres (1991) a Clifton (1993))., (2) Prepočty obmedzení (VC1) a (VC2) na priradenie hodnôt do obmedzení na vyfarbenie bodov. Môžeme, operáciami pod (VC1) zafarbiť body biele (pre „1“) a čierne (pre „0“), alebo, operujúce pod (VC2), zafarbiť body biele (pre „0“) a čierne (pre „1“) ). V obidvoch prípadoch sa obmedzenia premietnu do rovnakého problému s vyfarbením.

(3) KS ilustrujú vzťahy ortogonality lúčov pomocou grafov, ktoré sa začali nazývať KS diagramy. V takom diagrame je každý lúč (alebo bod špecifikujúci lúč) reprezentovaný vrcholom. Vrcholy spojené priamou čiarou predstavujú ortogonálne lúče. Problém sfarbenia sa potom premieta do problému sfarbenia vrcholov diagramu bielej alebo čiernej tak, že spojené vrcholy nemôžu byť biele a trojuholníky majú presne jeden biely vrchol.

3.4 Pôvodný argument KS. Náčrt dôkazu

KS postupuje v dvoch krokoch.

(1) V prvom (a rozhodujúcom) kroku ukazujú, že dva lúče s opačnými farbami nemôžu byť svojvoľne blízke. Najprv ukazujú, že diagram Γ ₁ znázornený na obr. 1 (kde zatiaľ ignorujeme farby špecifikované na obrázku), je možné zostaviť, iba ak sú ₀ a ₉ oddelené uhlom 9 s 0 ≤ θ ≤ sin ⁻¹ (1/3) (Dôkaz).

Obrázok 1: Desaťbodový graf KS Γ ₁ s nekonzistentným sfarbením.

Teraz zvážte (pre reductio ad absurdum), že ₀ a ₉ majú rôzne farby. Ľubovoľne zafarbujeme ₀ bielu a ₉ čiernu. Obmedzenia sfarbenia nás potom nútia zafarbiť zvyšnú časť diagramu, ako je to znázornené na obr. 1, ale vyžaduje si to, aby ₅ a ₆ boli ortogonálne a obe biele - čo je zakázané. Dva body bližšie ako sin ⁻¹ (1/3) preto nemôžu mať rôzne farby. Naopak dva body rôznej farby nemôžu byť bližšie ako sin ⁻¹ (1/3).

(2) KS teraz zostavuje ďalší pomerne komplikovaný diagram KS Γ ₂ nasledujúcim spôsobom. Uvažujú o realizácii Γ ₁ pre uhol θ = 18 ° <sin ⁻¹ (1/3). Teraz si medzi sebou vyberú tri ortogonálne body p ₀, q ₀, r ₀ a medziobrázkové kópie Γ ₁ tak, že každá inštancia bodu ₉ jednej kópie Γ ₁ je identifikovaná inštanciou ₀ ďalšej kópie. Týmto spôsobom je päť vzájomne prepojených kópií Γ ₁ rozmiestnených medzi p ₀ a q ₀ a všetkých päť príkladov ₈sú označené r ₀ (tiež päť takých zámkovej kópie sú rozložené medzi q ₀ a r ₀, identifikáciu všetkých kópií ₈ s p ₀ a medzi p ₀ a r ₀, identifikáciu všetkých kópií ₈ s q ₀). To, že Γ ₂ je uskutočniteľný, potvrdzuje priamo samotná stavba. Rozmiestnenie piatich kópií Γ ₁ s uhlami θ = 18 ° medzi inštanciami ₀ spôsobí, že sa medzi nimi uhol 5x18 ° = 90 °, čo je presne to, čo sa vyžaduje. Ďalej putovanie z jednej kópie Γ ₁ do ďalšej medzi, povedzme, p ₀a q ₀ je ekvivalentná k rotácii o 18 ° z kópie okolo osi prechádzajúcej začiatkom a r ₀, čo evidentne šetrí kolmosť medzi bodmi a ₀ a ₉ z kópie a r ₀.

Obrázok 2: 117-bodový KS graf Γ ₂

(od Kochena a Speckera 1967, 69; so súhlasom časopisu Mathematics Journal of Indiana University)

Avšak, aj keď Γ ₂ je constructible nie je dôsledne pravdepodobný. Od prvého kroku vieme, že kópia Γ ₁ s θ = 18 ° vyžaduje, aby body a ₀ a ₉ mali rovnakú farbu. Teraz, pretože ₉ v jednej kópii Γ ₁ je identická s ₀ v nasledujúcej kópii, ₉ v druhej kópii musí mať rovnakú farbu ako ₀ v prvej kópii. Opakovaním tohto argumentu musia mať všetky prípady ₀ rovnakú farbu. Teraz sú p ₀, q ₀, r ₀ označené bodmi a ₀, musia byť buď biele alebo všetky čierne - obidve sú v rozpore s obmedzeniami sfarbenia, aby presne jedna z nich bola biela.

Ak z 15 kópií Γ ₁ použitých pri konštrukcii Γ ₂ odpočítame tie body, ktoré boli navzájom identifikované, skončíme 117 rôznymi bodmi. To, čo KS preukázalo, je, že skupine 117 pozorovateľov typu áno-nie nie je možné konzistentne priradiť hodnoty v súlade s VC1 (alebo rovnocenne s VC2).

Všimnite si, že pri konštrukcii Γ ₁, tj množine 10 bodov tvoriacich 22 vzájomne prepojených trojíc, sa všetky body okrem ₉ objavujú vo viac ako jednej trojici. V Γ _{2 sa} každý bod objavuje vo viacerých trojiciach. Práve tu je pre argument rozhodujúci predpoklad nekontextuality: predpokladáme, že ľubovoľný bod si zachová svoju hodnotu 1 alebo 0 pri prechode z jedného ortogonálneho trojitého na ďalší (tj z jedného maximálneho súboru kompatibilných pozorovateľných do druhého).

3.5 Štatistický argument KS v troch dimenziách (Clifton)

Pripomeňme si prvý krok KS, ktorý preukáže, že dva body s opačnou farbou nemôžu byť svojvoľne blízko. Je to prvý krok, ktorý nesie celú silu argumentu. Bell ho ustanovil iným spôsobom a potom tvrdil, že v nekontextových HV interpretačných bodoch s opačnou farbou musia byť svojvoľne blízke. Je to prvý krok, v ktorom Clifton využíva argument, ktorý kombinuje Bellove a KS nápady.

Obrázok 3: 8-bodový graf KS-Cliftona Γ ₃ s nekonzistentným sfarbením.

Zoberme si KS diagram Γ ₃ zobrazený na obrázku 3, ktorý je samozrejme súčasťou KS Γ ₁, ale ktorý má ďalšie konkrétne priradenie ôsmich bodov, ktoré uspokojujú vzťahy ortogonality (a teda priamo dokazujú, že Γ ₃ je konštruktívny). Z našich predchádzajúcich obmedzení sfarbenia (spojené body nie sú biele a trojuholník má presne jeden biely bod) okamžite vidíme, že Γ ₃ je možné zafarbiť iba v prípade, že najvzdialenejšie body nie sú obidve biele (čo by si vyžadovalo, ako je znázornené na obr. 3, že dva spojené body sú biele - v rozpore s obmedzeniami). Ďalej ľahko vypočítame uhol medzi dvoma najvzdialenejšími bodmi, ktorý má byť cos ⁻¹ (1/3). ^[8]Došli sme k záveru, že ak chce niekto zafarbiť všetkých osem bodov a chce zafarbiť jeden z vonkajších bodov, druhý musí byť čierny. Vzhľadom na to, že môžeme vložiť schéma medzi ľubovoľnými dvoma bodmi v R _3, ktoré sú od seba oddelené presne uhol cos ^-1 (1/3) a preklady náš problém späť z sfarbenie problému do KS napríklad (obmedzenia VC2), ukončíme s obmedzením VC2 ':

(VC2 ') Ak je pre systém spin-1 priradený určitému smeru x otáčania v priestore hodnota 0, potom akýkoľvek iný smer x', ktorý leží od x pod uhlom cos ⁻¹ (1/3), musí byť priradená hodnota 1 alebo v symboloch: Ak v (S _x) = 0, potom v (S _{x '}) = 1.

Tento argument doteraz využíval pôvodné KS podmienky KS1 a KS2. Ďalej predpokladáme, že všetky obmedzenia priradenia hodnôt sa zobrazia v štatistikách merania. Najmä:

(3) Ak prob [v (A) = a] = 1 a v (A) = a znamená v (B) = b, potom prob [v (B) = b] = 1.

Napriek použitiu štatistík sa toto odôvodnenie zásadne líši od argumentácie von Neumanna. Von Neumann tvrdil, že algebraické vzťahy medzi hodnotami by sa mali preniesť do štatistiky nameraných hodnôt, a preto by obmedzenia QM v týchto štatistikách mali mať obmedzenia hodnôt ako ich presné zrkadlové obrazy - čo nám vedie k odvodeniu hodnotových obmedzení zo štatistických obmedzení (pre ľubovoľné hodnoty) observables). Tu naopak, odvodzujeme obmedzenie hodnoty nezávisle od akýchkoľvek štatistických zdôvodnení a potom dospievame k záveru, že toto obmedzenie by sa malo preniesť do štatistík merania. ^[9]

Teraz VC2 'a štatistický stav (3) znamenajú: Ak prob [v (S _x) = 0] = 1, potom prob [v (S _x') = 1] = 1. To je však v rozpore so štatistikami odvodenými z QM pre stav, v ktorom je pravdepodobnosť [v (S _x) = 0] = 1. ^[10] V skutočnosti existuje pravdepodobnosť 1/17, že v (S _{x '} = 0), Pri dlhodobom teste teda 1/17 častíc spin-1 poruší obmedzenie.

Ak prijmeme štatistické zdôvodnenie Cliftona, máme úplne platný argument KS, ktorý vytvára rozpor medzi interpretáciou QM HV a samotnými predikciami QM. Clifton predstavuje tiež o niečo zložitejšiu sadu 13 pozorovateľných výsledkov, ktoré poskytujú v rovnakom duchu štatistický rozpor 1/3.

Cliftonov argument používa 8 (alebo 13) pozorovateľných hodnôt, opravuje hodnotu jedného z nich (S _x) a odvodzuje predikciu HV pri variancii s predikciou QM pre druhú (S _{x '}). Preto, ak sa dá vytvoriť stav, v ktorom má systém QM určite hodnotu v (S _x) = 0, predpovede sa môžu testovať empiricky. Experimentálne vyriešenie tohto stavu však nie je ľahké. Cliftonov argument teda závisí od stavu, ktorý môže byť ťažké vyrobiť alebo izolovať. Nedávno bola nájdená konštrukcia 13 pozorovateľných, ktorá umožňuje nezávislý štátny štatistický argument (Yu a Oh 2012).

4. Princíp funkčného zloženia

Kľúčovými zložkami vety KS sú obmedzenia týkajúce sa priradenia hodnôt, ktoré sú uvedené v (2): pravidlo súčtu a pravidlo produktu. Dajú sa odvodiť od všeobecnejšieho princípu, ktorý sa nazýva Princíp funkčného zloženia (FUNC). ^[11] Princíp sa opiera o matematickú skutočnosť, že pre samoľahlého operátora A pôsobiaceho v Hilbertovom priestore a ľubovoľnú funkciu f: R → R (kde R je množina reálnych čísel), môžeme definovať f (A) a ukazujú, že je to tiež samoľahlý operátor (preto píšeme f (A)). Ak ďalej predpokladáme, že každému samoadjektívnemu operátorovi zodpovedá pozorovateľná QM, potom je možné tento princíp formulovať takto:

FUNC: Nech A je samohybným operátorom spojeným s pozorovateľným A, nech f: R → R je ľubovoľná funkcia tak, že f (A) je ďalší samoľahlý operátor a nech | | φ> je ľubovoľný štát; potom f (A) je jednoznačne spojená s pozorovateľným f (A) tak, že:

v (f (A)) ^| = ^> = f (v (A)) ^{| φ>}

(Vyššie uvedený štátny horný index uvádzame, aby sme umožnili možnú závislosť hodnôt od konkrétneho kvantového stavu, v ktorom je systém pripravený.) Pravidlo súčtu a pravidlo produktu sú priamymi dôsledkami FUNC [Dôkaz]. FUNC sám o sebe nie je odvoditeľný z formalizmu QM, ale jeho štatistická verzia (nazývaná STAT FUNC) je [Dôkaz]:

STAT FUNC: Vzhľadom k tomu, A, f, | defined>, ako je definované vo FUNC, potom pre ľubovoľné reálne číslo b:

prob [v (f (A)) ^{| φ>} = b] = prob [f (v (A)) ^{| φ>} = b]

STAT FUNC však nemožno odvodiť iba z formalizmu QM; Vyplýva to aj z FUNC [Dôkaz]. Možno to považovať za poskytnutie „argumentu hodnovernosti pre FUNC“(Redhead 1987: 132): STAT FUNC je pravdou, ako vec matematiky QM. Ak by FUNC bola pravdivá, mohli by sme odvodiť STAT FUNC, a tak pochopiť časť matematiky QM ako dôsledok FUNC. ^[12]

Ako však môžeme odvodiť FUNC, ak nie z STAT FUNC? Je to priamy dôsledok funkcie STAT FUNC a troch predpokladov (z ktorých dva sú známe od úvodu):

Realizmus hodnoty (VR): Ak existuje operatívne definované reálne číslo α, priradené k samoobslužnému operátorovi A a ak pre daný stav poskytuje štatistický algoritmus QM pre A skutočné číslo β s β = prob (v (A) = a), potom existuje pozorovateľná A s hodnotou a.

Definícia hodnoty (VD): Všetky pozorovateľné veličiny definované pre systém QM majú vždy určité hodnoty.

Nekontextualita (NC): Ak má systém QM vlastnosť (hodnota pozorovateľnej hodnoty), robí tak nezávisle od akéhokoľvek kontextu merania.

VR a NC vyžadujú ďalšie vysvetlenie. Najprv musíme vysvetliť obsah VR. Štatistický algoritmus QM nám hovorí, ako vypočítať pravdepodobnosť z daného stavu, daného pozorovateľného stavu a jeho možnej hodnoty. Tu to chápeme ako obyčajné matematické zariadenie bez akejkoľvek fyzickej interpretácie: Vzhľadom na Hilbertov vesmírny vektor, operátor a jeho vlastné čísla nám algoritmus hovorí, ako vypočítať nové čísla (ktoré majú vlastnosti pravdepodobnosti). Okrem toho „operačne definované“tu jednoducho znamená „vyrobené z čísla, o ktorom vieme, že označuje nehnuteľnosť“. VR teda v skutočnosti hovorí, že ak máme skutočnú vlastnosť value (hodnotu Γ pozorovateľného G) a dokážeme z Γ vytvoriť nové číslo α a nájsť operátora A tak, že α je vlastná hodnota, (splnili sme všetko potrebné na uplatnenie štatistického algoritmu; A) A predstavuje pozorovateľnú A a jej hodnota α je skutočná vlastnosť.

Po druhé, zlyhanie NC sa dá chápať dvoma spôsobmi. Hodnota pozorovateľného môže byť závislá od kontextu, hoci samotný pozorovateľ nie je; alebo hodnota pozorovateľného môže závisieť od kontextu, pretože samotný pozorovateľný je. V obidvoch prípadoch nezávislosť od pozorovateľného kontextu znamená, že existuje korešpondencia s pozorovateľmi a operátormi. Tento dôsledok NC je to, čo budeme v súčasnosti používať pri odvodení FUNC. Skutočne budeme predpokladať, že ak bude mať NC, znamená to, že pozorovateľná - a tým aj jej hodnota - je nezávislá od kontextu merania, tj je nezávislá od spôsobu merania. Najmä nezávislosť od kontextu pozorovateľného znamená, že existuje korešpondencia pozorovateľov a operátorov v pomere 1: 1. Tento dôsledok NC je to, čo budeme v súčasnosti používať pri odvodení FUNC. Naopak, zlyhanie NC sa bude vykladať výlučne ako zlyhanie korešpondencie 1: 1.

Z VR, VD, NC a STAT FUNC môžeme odvodiť FUNC nasledovne. Zvážte svojvoľný stav systému a svojvoľné pozorovateľné Q. Podľa VD má Q hodnotu v (Q) = a. Takto môžeme pre ľubovoľnú funkciu f vytvoriť číslo f (v (Q)) = b. Pre toto číslo pomocou STAT FUNC, prob [f (v (Q)) = b] = prob [v (f (Q)) = b]. Preto sme pomocou transformácie pravdepodobností podľa STAT FUNC vytvorili nový samoadjunkčný operátor f (Q) a spojili ho s dvoma reálnymi číslami b a prob [f (v (Q)) = b]. Takže pomocou VR existuje pozorovateľná hodnota zodpovedajúca f (Q) s hodnotou b, teda f (v (Q)) = v (f (Q)). Podľa NC je táto pozorovateľná jedinečná, a preto nasleduje FUNC.

5. Uniknutie argumentu KS

Predchádzajúca časť objasňuje, ktoré možnosti teoretik HV musí uniknúť argumentu KS: popieranie jedného z troch priestorov, ktoré spolu znamenajú FUNC (teda pravidlo súčet a pravidlo produktu).

5.1 Žiadna všeobecná hodnota

Pripomíname, že VD bol základným predpokladom plnohodnotnej interpretácie HV. Ak sa teda zdá, že na to, aby unikli silnému argumentu proti možnosti interpretácií HV, tieto interpretácie stratili svoj základný predpoklad, zdá sa, že to nedáva zmysel. Niektorí tlmočníci však poukazujú na to, že medzi tvrdením, že hodnoty majú len pozorovatelia, ktorých QM predpisuje ^[13]a konštatujúc, že všetky z nich majú hodnoty, existuje určitá voľnosť, a to navrhnúť, aby skupina pozorovateľov, ktorá sa líši od pozorovania predpísaného v QM (ale vo všeobecnosti viac ako tieto, a samozrejme, všetky), nemá hodnôt. Táto možnosť sa nazýva „definitívna čiastočná hodnota“. Jedným zo spôsobov, ako to dosiahnuť, je vybrať si raz a pre skupinu pozorovateľov, ktorým môžu byť pridelené určité hodnoty bez toho, aby sa spustili KS vety. Najznámejším príkladom je teória pilotnej vlny de Broglie-Bohm, v ktorej poloha a funkcie polohy majú vždy určité hodnoty. Ďalším prístupom je nechať súbor definitívnych pozorovateľností meniť sa v závislosti od štátu; toto je prístup, ktorý prijali rôzne modálne interpretácie. Variantom tohto prístupu je prístup Bub (1997), v ktorom je nejaký pozorovateľný R zvolený tak, aby bol vždy určitý;sada určitých pozorovateľných je potom rozšírená na maximálnu množinu, ktorá sa vyhýba prekážke KS.

Skály a húfy interpretácií rôznych druhov sú nad rámec tohto článku (pozri položku o interpretáciách jednotlivých druhov). Len poznamenávame, že nie je v žiadnom prípade jasné, ako tieto interpretácie dokážu vždy vybrať správny súbor pozorovateľných hodnôt, o ktorých sa predpokladá, že majú hodnoty. „Správna sústava“tu minimálne znamená, že pozorovateľné hodnoty, ktoré vnímame ako majúce hodnoty (tj tie, ktoré zodpovedajú polohe ukazovateľa meracieho prístroja), musia byť vždy zahrnuté a musia vždy reprodukovať štatistiku QM. Uvádzame tiež dva dôležité výsledky, ktoré spochybňujú uskutočniteľnosť modálnych interpretácií: Najprv je možné preukázať, že buď čiastočná definitívna hodnota sa zhroutí do úplnej konečnej hodnoty (tj VD), alebo sa musí upustiť od klasického zdôvodnenia fyzikálnych vlastností (Clifton 1995)., Po druhé,KS vety je možné odvodiť aj pri určitých modálnych interpretáciách (Bacciagaluppi 1995, Clifton 1996).

Nedávno sa tvrdilo, že odmietnutie VD nie je v súlade so samotným QM (konané 2008, 2012a, 2012b). Tento argument sa snaží ukázať, že VD je dôsledkom samotnej teórie (QM → VD). Ak je to skutočne tak, pripomenuli sme, že KS zistí, že QM & VD & NC znamená rozpor - argument pre tvrdenie, že samotná QM naznačuje kontext. Pretože v tomto prípade QM tiež implikuje VD, dostaneme celkovo argument pre tvrdenie, že QM sa musí interpretovať ako kontextové skryté premenné.

5.2 Realizácia odmietnutia hodnoty

Odvodenie FUNC v podstate spočíva vo vytvorení pozorovateľného (tj f (Q)) prostredníctvom operátora (tj f (Q)) z rozdelenia pravdepodobnosti premennej (tj f (v (Q)), ktorej číslo je naopak je konštruovaný z inej premennej (tj v (Q)). Teraz, namiesto toho, aby sme popreli, že v (Q) existuje vo všetkých prípadoch (ako by to mala prvá možnosť (5.1)), môžeme odmietnuť existenciu čísla α a konštrukcia f (Q) automaticky vedie k pozorovateľnému, tj odmietame VR, čo predstavuje odmietnutie toho, že pre každého samo-susediaceho operátora je dobre definovaný pozorovateľný.

Teraz, aby sme mohli sformulovať VR, museli sme dať znížené čítanie štatistického algoritmu, tj, že je to iba matematické zariadenie na výpočet čísel z vektorov, operátorov a čísel. Toto čítanie je veľmi umelé a predpokladá, že minimálny interpretačný aparát potrebný na zistenie fyzického zmyslu niektorých operátorov (ako Q) môže byť pre iných zadržaný (napríklad f (Q)).

Okrem toho sa zdá úplne nepravdepodobné predpokladať, že niektorí operátori - sumy a produkty operátorov, ktorí sú spojení s dobre definovanými pozorovateľnými - sami nie sú spojení s dobre definovanými pozorovateľnými, aj keď matematicky zdedia presné hodnoty zo svojich summitov alebo faktorov. V hrubom príklade by to znamenalo, že požiadať o energiu systému je dobre definovaná otázka, zatiaľ čo požiadať o druhú mocninu energie nie je, aj keď z našej odpovede na prvú otázku a triviálne matematika, máme dobre definovanú odpoveď. Zdá sa, že a priori neexistuje dôvod na zdôvodnenie tohto obmedzenia. Aby bolo zamietnutie VR vôbec možné, je predložený ďalší návrh: Pre argument KS je rozhodujúce, že jeden a ten istý operátor je postavený z rôznych maximálnych, ktoré sú nekompatibilné: f (Q) je identické s g (P), kde PQ - QP ≠ 0. Teraz predpokladáme, že iba konštrukcia f (Q) cez Q, ale nie konštrukcia cez P, vedie k dobre definovanej pozorovateľnej v určitý kontext. ^[14]

Tento krok však automaticky robí niektoré pozorovateľné kontextovo citlivé. Tento spôsob motivácie odmietnutia VR teda predstavuje istý druh kontextualizmu, ktorý by sme mohli dosiahnuť lacnejšie, priamym odmietnutím NC a bez zásahu do štatistického algoritmu. (Táto skutočnosť vysvetľuje, prečo sme v úvode nespomenuli odmietnutie VR ako samostatnú možnosť.).

5.3 Kontextnosť

Nakoniec by sme mohli akceptovať VD a VR, ale popierame, že naša konštrukcia pozorovateľného f (Q) je jednoznačná. Teda hoci f (Q) a g (P)sú matematicky totožné, mohli by sme predpokladať, že zodpovedajú rôznym pozorovateľným, argumentujúc, že skutočné určenie v (f (Q)) musí prebiehať meraním Q, ale určenie v (g (P)) zahŕňa meranie P, ktoré je nekompatibilné s Q. Pretože v (f (Q)) a v (g (P)) sú teda výsledkom rôznych situácií merania, nie je dôvod predpokladať, že v (f (Q)) = v (g (P)). Tento spôsob blokovania dôkazu KS prichádza k pochopeniu f (Q) a g (P) ako rôznych pozorovateľných (kvôli citlivosti na kontext), čo predstavuje odmietnutie NC. V literatúre existujú najmä dva spôsoby, ako tento krok ďalej motivovať. Preto je potrebné diskutovať o dvoch dôležitých značkách kontextu - príčinnej a ontologickej súvislosti.

Argument KS bol predložený pre posadnuté hodnoty systému QM - nezávisle od úvah o meraní. Skutočne, v argumente meranie bolo uvedené iba raz a záporne - v NC. Keďže však teraz uvažujeme o odmietnutí NC, musíme brať do úvahy aj meranie a jeho komplikácie. Na tento účel je vhodné vysvetliť ešte jednu zásadu, ktorá prejavuje náš neškodný realizmus (pozri úvod vyššie), tj zásadu verného merania:

Faithful Measurement (FM): Meranie QM pozorovaného verne dodáva hodnotu, ktorú pozorovateľ mal bezprostredne pred interakciou merania.

FM je tiež všeobecne prijateľným predpokladom prírodných vied. (Všimnite si, že FM znamená VD, preto sme mohli dať KS argument pre možné výsledky merania pomocou FM). Zvážte teraz motiváciu pre navrhovateľa VV odmietnuť NC. Cieľom je samozrejme zachrániť ďalšie predpoklady, najmä VD. Teraz sú VD a NC nezávislé realistické presvedčenie, ale NC a FM nie sú úplne nezávislé. V skutočnosti uvidíme, že odmietnutie NC znamená odmietnutie FM v jednej verzii kontextuality a dôrazne ju navrhuje v druhej. (Toto spresňuje trochu kryptickú poznámku zo začiatku, že nie je zrejmé, ako by mala vyzerať interpretácia podporujúca realistický princíp VD, ale odmietajúca realistický princíp NC. Takáto interpretácia by musela porušiť tretí realistický princíp, tj FM).

Príčinná súvislosť

Vlastnosť (hodnota pozorovateľnej) môže byť kauzálne závislá od kontextu v tom zmysle, že je kauzálne citlivá na to, ako sa meria. Základnou myšlienkou je, že pozorovaná hodnota je výsledkom interakcie systém-prístroj. Meranie systému prostredníctvom interakcie s prístrojom na meranie P by teda mohlo priniesť hodnotu v (g (P)), meranie toho istého systému prostredníctvom interakcie s prístrojom na meranie Q rozdielnej hodnoty v (f (Q)), hoci oboje pozorovateľné sú reprezentované rovnakým operátorom f (Q) = g (P). Rozdiel v hodnotách je vysvetlený ako kontextová závislosť pozorovateľných: Druhé sú závislé od kontextu, pretože rôzne spôsoby ich fyzického uskutočnenia ich kauzálne ovplyvňujú systém rôznymi spôsobmi, a teda menia pozorované hodnoty.

Ak by tlmočník chcel obhajovať príčinnú súvislosť, znamenalo by to upustenie od FM, prinajmenšom pre pozorovateľné objekty typu f (Q) (maximálna pozorovateľná hodnota): Keďže ich hodnoty závisia od prítomnosti určitých meracích usporiadaní, sú tieto opatrenia príčinné potrebné na dosiahnutie hodnôt, takže hodnoty nemôžu byť prítomné pred interakciou systém-prístroj a FM je porušená. Ako výhodu kauzálneho kontextualizmu je možné zdôrazniť nasledujúce. Neznamená to, že sa musí zmeniť ontologický stav príslušných fyzikálnych vlastností, tj neznamená to, že sa stanú vzťahovými. Ak je vlastnosť objektu vyvolaná interakciou s iným, môže to byť aj taká, ktorú má objekt po interakcii. Avšak,myšlienka príčinnej súvislosti je niekedy diskutovaná kriticky, pretože existuje dôvod myslieť si, že môže byť empiricky nedostatočná (pozri Shimony 1984, Stairs 1992).

Ontologická kontext

Vlastnosť (hodnota pozorovateľného) môže byť ontologicky závislá od kontextu v tom zmysle, že na to, aby bola dobre definovaná, je potrebné uviesť špecifikáciu pozorovateľného, z ktorej „pochádza“. Preto, aby sme mohli skonštruovať dobre definovateľnú pozorovateľnú z operátora f (Q) = g (P), musíme vedieť, či sa to fyzicky realizuje prostredníctvom pozorovateľnej P alebo pozorovateľnej Q. Týmto spôsobom sa problém KS vyriešil prvýkrát (ale nebol obhajovaný) van Fraassen (1973). Existuje teda toľko pozorovateľných a druhov fyzikálnych vlastností pre operátora f (Q), ako existuje spôsob, ako skonštruovať f (Q).od maximálnych operátorov. Bez ďalšieho vysvetlenia však táto myšlienka predstavuje iba ad hoc šírenie fyzikálnych veličín. Obhajca ontologického kontextualizmu nám určite dlhuje explicitnejší príbeh o závislosti pozorovateľného f (Q) na pozorovateľnom Q. Majú na pamäti dve možnosti:

(a) Možno si myslieť, že v (f (Q)) jednoducho nie je sebestačné fyzické vlastníctvo, ale také, ktoré ontologicky závisí od prítomnosti iného majetku v (Q). (Pripomeňme, že pri doklade o funkcii FUNC v (f (Q)) je zostrojený z v (Q).) Pretože však pozícia neodmieta otázky o hodnotách f (Q) v situácii merania P ako nelegitímne (pretože nejde o predstavu, že pozorovateľná je dobre definovaná iba v jednom kontexte!) Zdá sa, že to vedie prinajmenšom k novým a naliehavým otázkam. V snahe obhájiť interpretáciu skrytých premenných kontextuistov musí táto pozícia pripustiť, že systém nielenže má v situácii merania Q hodnotu v (Q), ale aj v situácii merania P má hodnota v '(Q), aj keď možno v' (Q) ≠ v (Q). teraz,otázky týkajúce sa hodnôt f (Q) sú v tejto situácii prinajmenšom legitímne. Znamená v '(Q) ďalšie v' (f (Q)) ≠ v (f (Q))? Alebo v '(Q), na rozdiel od v (Q), vôbec nevedie k hodnote f (Q)? Ani jedna z možností sa nezdá byť pravdepodobná, pretože by sme to nemohli, jednoducho prepnutím určitého pripraveného systému medzi situáciou merania P - a Q - buď prepnúť v (f (Q)) do alebo z existencie alebo prepnúť medzi v (f (Q)).) a v '(f (Q))? (b) Možno si myslieť, že na to, aby bolo f (Q) dobre definované, je potrebné skôr jedno usporiadanie merania ako druhé. Táto myšlienka silne pripomína argument Bohra z roku 1935 proti EPR a možno ju skutočne považovať za vhodné rozšírenie názorov Bohra na QM na modernú diskusiu o HV (pozri Held 1998, ch.7). V tejto verzii ontologického kontextualizmu je vlastnosť v (f (Q)), skôr než závislá od prítomnosti inej vlastnosti v (Q), závislá od prítomnosti prístroja na meranie Q. To predstavuje holistické postavenie: Pre niektoré vlastnosti má zmysel hovoriť o nich ako o systéme, iba ak je tento systém súčasťou určitého systému-prístrojového celku. V tomto prípade sa otázka hodnôt f (Q) v situácii merania P stáva nelegitímnou, pretože správne definovaná hodnota f (Q) je spojená so situáciou merania Q. Opäť je však potrebné ďalšie objasnenie. Domnieva sa, že na rozdiel od f (Q) je Q sám v situácii merania P dobre definovaný? Ak to tak nie je, Q môže mať sotva nejakú hodnotu (pretože nie je dobre definovaný, bol dôvodom zamietnutia f (Q) hodnoty),čo znamená, že už neberieme do úvahy interpretáciu HV daného typu a že nie je potrebné blokovať argument KS. Ak áno, čo vysvetľuje, že v situácii merania P zostáva Q dobre definovaný, ale f (Q) tento stav stráca?

Čo sa stane FM v oboch verziách ontologického kontextualizmu? Ak zostaneme agnostickí v otázke, ako by sa dala pozícia urobiť hodnovernou, môžeme zachrániť FM, zatiaľ čo, ak si zvolíme verziu (a) alebo (b), aby bola hodnoverná, stratíme ju. Najprv zvážte agnostické odmietnutie NC. FM hovorí, že každá pozorovateľná QM sa verne meria. Kontextualizmus teraz rozdeľuje operátora, ktorý sa dá skonštruovať z dvoch rôznych nekompletných operátorov, na dva pozorovateľné a ontologický kontextualizmus sa nesnaží poskytnúť príčinnú súvislosť, ktorá by zničila kauzálnu nezávislosť meranej hodnoty od interakcie merania obsiahnutej v FM. Jednoducho predstavujeme jemnejšiu koncepciu pozorovateľných, ale stále môžeme uložiť FM za tieto nové kontextové pozorovateľnosti.

Konkrétne verzie ontologického kontextualizmu sa však pokúšajú motivovať kontextové rysy a zničiť FM. Verzia a) umožňuje zapnúť a vypnúť f (Q) alebo prepínať medzi rôznymi hodnotami pri zmene medzi situáciami merania P - a Q - čo je zjavné porušenie FM. Verzia b) cestovné o nič lepšie. Zavádza ontologickú závislosť od meracieho usporiadania. Ťažko vidieť, čo by to malo byť, ale rovnaká kauzálna závislosť tlačila na vyšší, „ontologický“kľúč. Opäť by sme nemohli jednoducho otočením dozadu a dopredu usporiadať meranie, zmeniť tam a späť, či je f (Q) dobre definovaný, teda prevrátiť v (f (Q)) z existencie?

Nakoniec si všimneme, že oba typy ontologického kontextualizmu, na rozdiel od kauzálnej verzie, znamenajú, že vlastnosti systému, o ktorých sme si mysleli, že sú vlastné, sa stanú vzťahovými v tom zmysle, že systém môže mať tieto vlastnosti iba vtedy, ak má určité ďalšie, alebo ak súvisí s určitým usporiadaním merania.

6. Otázka empirického testovania

Je známe, že porušenie Belliných nerovností, predpísané QM, bolo experimentálne potvrdené. Je niečo podobné pre KS vetu? Mali by sme rozlišovať tri otázky: (1) Je možné realizovať experiment navrhnutý KS ako motiváciu ich vety? (2) Je možné otestovať princípy vedúce k vete: pravidlo súčtu a pravidlo produktu, FUNC alebo NC? (3) Je možné otestovať samotnú vetu?

(1) KS sami opisujú konkrétne experimentálne usporiadanie na meranie S _x ², S _y ², S _z ² na jednozložkovom systéme spin-1 ako funkcie jedného pozorovateľného maxima. Atóm orthohelia v najnižšom tripletovom stave je umiestnený v malom elektrickom poli E kosoštvorcovej symetrie. Tri pozorovateľné dotknuté potom môže byť meraná ako funkcia jedného pozorovateľného, perturbací Hamiltonovské H _y. H _s, podľa geometrie E, má tri rôzne možné hodnoty, ktorých meranie odhalí, ktoré dva z S _x ², S _y ², S _z ²majú hodnotu 1 a ktorá má hodnotu 0 (pozri Kochen a Specker 1967: 72/311). Toto je, samozrejme, návrh na uskutočnenie experimentu, ktorý ilustruje naše vyššie uvedené obmedzenia hodnoty (VC2). Mohli by sme tiež zrealizovať experiment (VC1), tj zmerať súbor dochádzajúcich premietačov premietajúcich sa na vlastné domény jedného maximálneho pozorovateľného? Peres (1995: 200) odpovedá na otázku kladne, diskutuje o takom experimente a odkazuje na Swift a Wright (1980), kde nájdete podrobnosti o technickej realizovateľnosti. Experimentálny návrh spoločnosti Kochen a Specker sa však ďalej nerealizuje, pretože neposkytuje priamy test na NC. Je zrejmé, že meranie H _S meria jeden kolmý iba trojnásobok. HV navrhovateľ môže tiež predpokladať, že skrytý stav sa mení od jedného merania H _S do nasledujúceho (aj keď znovu pripravíme rovnaký stav QM), a tak udržiavame NC.

(2) V spojení s prejavmi FUNC, tj so súhrnom a s pravidlom o produkte, QM prináša obmedzenia ako VC1 alebo VC2, ktoré sú v rozpore s VD. Poskytnutie konkrétnych fyzických príkladov, ktoré by vzhľadom na súčet a pravidlo o produkte mohli vytvoriť inštanciu VC1 alebo VC2, ako bolo uvedené, nestačí. Musíme sa opýtať, či tieto pravidlá môžu byť empiricky podporované. Začiatkom 80. rokov sa o tejto otázke veľa diskutovalo - výslovne o tom, či je pravidlo sumy možné empiricky testovať - a bola dosiahnutá všeobecná zhoda, že tomu tak nie je. ^[15]

Dôvod je nasledujúci. Pripomeňme, že odvodenie FUNC preukázalo jedinečnosť nového pozorovateľného f (Q) iba v jeho poslednom kroku (cez NC). Táto jedinečnosť zaručuje, že jeden operátor predstavuje presne jedného pozorovateľného, aby bolo možné porovnávať pozorovateľné (a tým aj ich hodnoty) v rôznych kontextoch. Toto umožňuje vytvoriť nepriame spojenia medzi rôznymi nezlučiteľnými pozorovateľnými. Bez tohto posledného kroku sa na FUNC musí pozerať ako na držanie vo vzťahu k rôznym kontextom, spojenie je prerušené a FUNC je obmedzené na jednu skupinu pozorovateľných položiek, ktoré sú vzájomne kompatibilné. Potom sa FUNC, pravidlo pre súčet a pravidlo pre produkty stávajú triviálne a empirické testovanie v týchto prípadoch by bolo zbytočné. ^[16]Je to NC, ktorá robí všetku prácu a zaslúži si ju otestovať kontrolou, či je pre nekompatibilné P, Q také, že f (Q) = g (P) je pravda, že v (f (Q)) = v (g (P))). Napriek tomu, že QM a nekontextuálna teória HV si navzájom odporujú, pokiaľ ide o jediný systém, tento rozpor si vyžaduje nekompatibilné pozorovateľnosti, a preto je neskúšateľný (ako sme práve videli z vlastného návrhu Kochena a Speckera). Fyzici však predložili dômyselné návrhy na prekonanie tejto prekážky. Je dobre známe, že zváženie dvojčasticových systémov a produktov spinových komponentov vedie k veľmi jednoduchým dôkazom typu KS (Mermin 1990b). Cabello a Garcìa-Alcaine (1998) ukázali, že QM a teória nekontextuálneho HV pre také systémy vytvárajú rôzne predpovede pre každý jednotlivý prípad. Ich argumentácia nijako neodkazuje na aspekty lokality,ale keďže si to vyžaduje dve častice, mohli by sa tieto aspekty vplížiť. Simon et al. (2000), mapovali Cabello / Garcìa-Alcaine schému na kombináciu pozícií a pozorovateľných spinov pre jednu časticu. Ich experiment sa uskutočnil a potvrdil predpovede QM (Huang a kol. 2003; pozri aj novšie Huang a kol. 2013). Všetci uvedení autori považujú svoje experimentálne návrhy za empirické vyvrátenia NC, ale to bolo spochybnené (Barrett a Kent 2004) z dôvodov uvedených v nasledujúcom odseku.pozri tiež novšie Huang a kol. 2013). Všetci uvedení autori považujú svoje experimentálne návrhy za empirické vyvrátenia NC, ale to bolo spochybnené (Barrett a Kent 2004) z dôvodov uvedených v nasledujúcom odseku.pozri tiež novšie Huang a kol. 2013). Všetci uvedení autori považujú svoje experimentálne návrhy za empirické vyvrátenia NC, ale to bolo spochybnené (Barrett a Kent 2004) z dôvodov uvedených v nasledujúcom odseku.

(3) Veta KS je svojou matematickou podstatou empiricky testovateľná. Mohli by sme sa však, podobne ako v predchádzajúcich odsekoch, pokúsiť zmerať podmnožinu vhodnej sady KS bez farby. Najmä by malo byť možné vytvoriť prípady podľa Cliftonovho príkladu (3.5), kde QM a nekontextová teória HV robia merateľne odlišné predpovede. Zdá sa, že takéto prípady by mohli poskytnúť empirické testy toho, či je príroda kontextová (aj keď nie, či je takáto súvislosť príčinná alebo ontologická). (Pokiaľ ide o poslednú verziu takéhoto prístupu, pozri Tang a Yu 2017.) Od 80. rokov 20. storočia, tvrdilo sa, že takéto testovanie nie je možné. Tvrdilo sa, že KS veta ponecháva dostatok medzier pre teóriu HV v rozpore s QM, ale je schopná reprodukovať empirické predpovede teórie. Pitowsky (1983,1985) tvrdil, že je možné obmedziť pozornosť na podmnožinu smerov v R_3, ktoré sú farbiteľné. Jeho argument sa však opiera o neštandardnú verziu teórie pravdepodobnosti, ktorá sa považuje za fyzicky nepravdepodobnú. Meyer (1999) je využitý matematickou skutočnosť, že množina D _M smerov v R _3, blížiace KS-set ľubovoľne tesne, ale s racionálnymi súradníc KS-pravdepodobný. Meyer tvrdí, že skutočné merania majú obmedzenú presnosť a môže tak nikdy rozlíšiť smer v R _3, a jej aproximácie od D _M. Kent (1999) zovšeobecnil výsledok pre všetky Hilbertove priestory a Clifton a Kent (2000) preukázali, že aj súbor smerov D _CKtak, že každý jeden smer je členom len jedného ortogonálneho trojitého aproximácie ľubovoľného smeru ľubovoľne úzko. V D _CK nie sú vzájomne prepojené trojice, otázka kontextuality nevzniká a D _{CK je} triviálne KS farebný. Clifton a Kent okrem toho výslovne preukázali, že D _CKje dostatočne veľká na to, aby umožnila rozdelenie pravdepodobnosti nad priradením hodnôt ľubovoľne blízko všetkých distribúcií QM. Meyer, Kent a Clifton (MKC) je možné chápať tak, že argumentujú tým, že ani empirický test KS-nezfarebných smerov potvrdzujúcich predpovede QM nemôže dokázať kontextovú povahu prírody. Vzhľadom na konečnú presnosť testu nie je možné vyvrátiť tvrdenie, že sme nevedomky testovali blízkych členov sady farieb KS. Jedna celkom zrejmá námietka proti tomuto typu argumentu je, že pôvodný argument KS pracuje pre posadnuté hodnoty, nie pre namerané hodnoty, takže argument MKC, ktorý sa zaoberá konečnou presnosťou merania, chýba známke. Možno nebudeme schopní testovať pozorovateľné objekty, ktoré sú presne ortogonálne alebo presne podobné v rôznych testoch,ale bola by to podivná interpretácia HV, ktorá tvrdí, že takéto komponenty neexistujú (pozri Cabello 1999 v časti Iné internetové zdroje). Takýto nekontextový návrh HV by samozrejme bol imunný voči argumentu KS, ale bolo by nútené predpokladať, že nie pre každý jeden z mnohých smerov vo fyzickom priestore je pozorovateľný, alebo že nie je veľa smery vo fyzickom priestore. Ani jeden predpoklad sa nezdá byť veľmi atraktívny. Ani jeden predpoklad sa nezdá byť veľmi atraktívny. Ani jeden predpoklad sa nezdá byť veľmi atraktívny.

Argument MKC je navyše neuspokojivý aj pre namerané hodnoty, pretože využíva konečnú presnosť skutočných meraní iba v jednom z vyššie uvedených zmyslov, ale v druhom predpokladá predpoklad nekonečnej presnosti. MKC predpokladá, pri meraných pozorovateľoch, že pri výbere rôznych pravouhlých trojíc existuje konečná presnosť, takže vo všeobecnosti nemôžeme mať presne to isté pozorovateľné dvakrát, ako člen dvoch rôznych trojíc. MKC však stále predpokladá nekonečnú presnosť, tj presnú ortogonalitu, v rámci trojnásobku (inak by obmedzenia týkajúce sa sfarbenia nemohli nájsť vôbec žiadnu aplikáciu). Tvrdí sa, že túto funkciu možno využiť na vyvrátenie argumentu a opätovnú inštaláciu kontextualizmu (pozri Mermin 1999 a Appleby 2000, oba v časti Iné internetové zdroje a Appleby 2005).

A konečne, zdá sa pravdepodobné, sa predpokladá, že pravdepodobnosť meniť plynule ako zmeniť smer v R ₃, takže malé nedokonalosti výber signatúry, ktoré blokujú argument (ale iba pre merané hodnoty!) V jednotlivom prípade bude vymyť v dlhodobom horizonte (pozri Mermin 1999, v časti Iné internetové zdroje). To samo o sebe nepredstavuje argument, pretože vo farebných súboroch pozorovateľov v konštrukciách MKC sa pravdepodobnosť tiež (v istom zmysle) neustále mení. ^[17] Merminovu úvahu však môžeme využiť nasledujúcim spôsobom. Prehodnotte súbor ôsmich smerov Cliftona (na obrázku 3), čo vedie k obmedzeniu sfarbenia najvzdialenejších bodov, čo štatisticky odporuje štatistike QM zlomkom 1/17. Použitím Cliftonovej a Kentovej farebnej sady smerov D_CK nedokážeme odvodiť obmedzenie pre osem bodov, pretože týchto osem bodov nespočíva v D _CK; konkrétne, ako sa pohybujeme, vo farebnej podskupine, z jedného vzájomne ortogonálneho trojitého lúča do nasledujúceho, nikdy sme nikdy nenarazili na presne ten istý lúč, ale len na ten, ktorý ho ľubovoľne priblížil. Predpokladajme súpravu systémov, v ktorej sú pozorovateľné, zodpovedajúce členom _DCKa aproximácia ôsmich smerov na obrázku 3 ľubovoľne úzko, všetky majú hodnoty - v súlade s predpokladom HV. Potom môžeme odvodiť Cliftonovo obmedzenie pre najvzdialenejšie body v nasledujúcom zmysle. Zvážte podmnožinu S '⊂ S systémov, kde akýkoľvek smer približujúci sa bod (1, 1, 1) získa hodnotu 1 (alebo farbu bielu). Aby sa splnili predpovede QM, musia všetky smery S ', ktoré sa približujú (1, 0, -1) a (1, −1, 0), prijímať hodnoty tak, aby pravdepodobnosť hodnoty 0 (alebo čiernej farby) bola extrémne blízka do 1. Analogicky v inej podsúbore S ″ ⊂ S systémov so smermi aproximujúcimi (-1, 1, 1), ktoré majú hodnotu 1 (farba biela), všetky smery sa približujú (1, 0, 1) a (1, 1, 0) musia prijímať hodnoty také, aby pravdepodobnosť hodnoty 0 (čierna farba) bola veľmi blízko 1. Zvážte teraz členov S '∩ S ″. V ktoromkoľvek z nich bude pre každú aproximáciu k (1, 0, -1) s hodnotou 0 (čierna farba) presne ortogonálny bod, ktorý sa približuje (1, 0, 1) a má tiež hodnotu 0 (čierna farba) tak, že existuje tretí ortogonálny bod aproximujúci (0, 1, 0) a majúci hodnotu 1 (farba biela). Podobne pre (0, 0, 1). Ale (0, 1, 0) a (0, 0, 1) sú ortogonálne a pre všetky členy S '∩ S ″ majú smery, ktoré ich aproximujú, hodnotu 1 (farba biela), zatiaľ čo QM predpovedá pravdepodobnosť hodnôt 1 pre hodnoty približných smerov je 0. Aby sa zabezpečilo splnenie tejto predikcie, S '∩ S ″ musí byť extrémne malá podmnožina S, čo znamená, že pravdepodobnosť pre obe (1, 1, 1) a (−1, 1, 1) (body úplne vľavo a úplne vpravo na obrázku 3) musia byť blízko 0 a približne 0 lepšie a lepšie ako S rastie. QM,naopak, predpovedá pravdepodobnosť 1/17. (Pripomeňte tiež, že toto číslo je možné posunúť až o 1/3 výberom súboru 13 smerov!)

Cabello (2002), použitím veľmi podobného zdôvodnenia, ukázal, že modely MKC vedú k predpovedi, ktoré sa preukázateľne líšia od predpokladov QM. V prípade D _CK efektívne využíva vyššie načrtnutú stratégiu: QM poskytuje pravdepodobnosti smerov v sade Clifton-Kent, ktoré ich model musí zodpovedať, aby mohli reprodukovať predpovede QM. Pretože tieto smery sú ľubovoľne blízko k smerom od KS-nezafarbiteľnej množiny (alebo smerov vedúcich k obmedzeniu Cliftona), vedie to k obmedzeniam pre tieto blízke body, ktoré sú merateľne porušené predpokladmi QM. Pre Meyer D _MKabellov prípad je ešte silnejší. Výslovne predstavuje súbor deviatich racionálnych vektorov, ktoré vedú k predpovedi odlišným od QM (pre tri z týchto smerov). Z tohto dôvodu, je argument Meyer účinne vyvrátená (bez použitia požiadavke Mermin v): Aj keď bolo len signatúry zodpovedajúce racionálnej smeroch R ₃ (čo je samo o sebe nepravdepodobný predpoklad) teórie, za predpokladu, že všetky majú noncontextual hodnoty verne odhalila meraním bude merateľne v rozpore s QM. Predpokladajme teraz, že pokyny Cabellu boli testované a predpovede QM spoľahlivo potvrdené, potom by to (modulo spoľahlivosti testov) predstavovalo dôkaz, že príroda je kontextová.

Stručne povedané, zdá sa, že pokiaľ predpokladáme, že existuje nepretržite veľa pozorovateľov QM (zodpovedajúcich kontinuu smerov vo fyzickom priestore), štatistické testy sa stavajú napr. Na Clifton 1993 alebo Cabello / Garcìa-Alcaine 1998. návrh ostáva úplne platný ako empirické potvrdenie QM a prostredníctvom KS vety aj súvislosti. Pretože tieto štatistické porušenia programu HV sa vyskytujú ako protirečenie výsledkov QM, VD, VR a NC na jednej strane a QM a experimentovania na strane druhej, experimentálne údaje nás stále nútia trilémom vzdania sa buď VD alebo VR alebo NC. Ako sme videli, popieranie hodnotového realizmu sa nakoniec stane identickým s určitým druhom kontextualizmu, a preto máme skutočne iba dve možnosti: (1) Vzdať sa VD,buď pre všetky pozorovateľné osoby, ktoré majú zakázané hodnoty v ortodoxnej interpretácii (teda vzdávajú sa HV programu, ako je definované vyššie), alebo pre podmnožinu týchto pozorovateľných (ako modálne interpretácie). (2) Schváliť určitý druh kontextualizmu. Okrem toho sa za súčasného stavu zdá, že výber medzi týmito dvomi možnosťami nie je vecou empirického testovania, ale iba čistým filozofickým argumentom.

Bibliografia

• Appleby, DM, 2005, „Kochen-Speckerova veta“, Štúdium dejín a filozofie modernej fyziky, 36: 1–28.
• Bacciagaluppi, G., 1995, „Kochen-Speckerova veta v modálnej interpretácii“, Medzinárodný žurnál teoretickej fyziky, 34: 1205–15.
• Barrett, J. a Kent, A., 2004, „Nekontextuálnosť, konečné meranie presnosti a Kochen-Speckerova veta“, Štúdium dejín a filozofie modernej fyziky, 35: 151–76. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Bell, JS, 1966, „K problému skrytých premenných v kvantovej mechanike“, Recenzie of Modern Physics, 38: 447–52; dotlačený v jeho (1987) (odkazy na stránku sú na dotlač).
• –––, 1987, Hovorené a nevysloviteľné v kvantovej mechanike, Cambridge: Cambridge University Press
• Bohr, N., 1935, „Je možné považovať kvantový mechanický opis fyzickej reality za úplný?“Physical Review, 48: 696 - 702; dotlač v J. Kalckar (ed.), Niels Bohr. Collected Works (7. diel), Amsterdam: Elsevier, 1996, 292–98.
• Bub, J., 1997. Interpretácia kvantového sveta. Cambridge University Press.
• Cabello, A., 2002, „Meranie konečnej presnosti nezrušuje Kochen-Speckerovu vetu“, Fyzická recenzia, A 65: 05201. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Cabello, A., Estebaranz, J. a Garcìa-Alcaine, G., 1996, „Bell-Kochen-Speckerova veta: Dôkaz s 18 vektormi“, Physics Letters, A 212: 183–87. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Cabello, A. a Garcìa-Alcaine, G., 1998, „Navrhovaný experimentálny test Bell-Kochen-Speckerovej vety“, Physical Review Letters, 80: 1797–9999. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Clifton, RK, 1993, „Jednoduchá cesta k získaniu kontextových a nelokálnych prvkov reality“, American Journal of Physics, 61: 443–47.
• –––, 1995, „Prečo modálne interpretácie kvantovej mechaniky musia upustiť od klasického uvažovania o fyzikálnych vlastnostiach“, Medzinárodný žurnál teoretickej fyziky, 34, 1303–1312.
• –––, 1996, „Vlastnosti modálnej interpretácie kvantovej mechaniky“, British Journal for Philosophy of Science, 47: 371–98.
• Clifton, RK a Kent, A., 2000, „Simulácia kvantovej mechaniky pomocou nekontextových skrytých premenných“, zborník Kráľovskej spoločnosti v Londýne A, 456: 2101–14. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Cooke, RM, Keane, M. a Moran, W., 1985, „Elementary Proof of Gleason's theorem“, Matematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society, 98: 117–28; dotlač v Hughes 1989, 321 - 466.
• Fine, A., 1973, „Pravdepodobnosť a interpretácia kvantovej mechaniky“, British Journal for Philosophy of Science, 24: 1-37.
• –––, 1974, „O úplnosti kvantovej mechaniky“, Synthese, 29: 257–89; dotlačené v P. Suppes (ed.), Logic and Probability in Quantum Mechanics, Dordrecht: Reidel, 1976, 249–81.
• Fine, A. a Teller, P., 1978, „Algebraické obmedzenia skrytých premenných“, základy fyziky, 8: 629–36.
• Gleason, AM, 1957, „Opatrenia v uzavretých podpriestoroch Hilbertovho priestoru“, Journal of Mathematics and Mechanics, 6: 885–93; dotlač v Hooker 1975, 123–34.
• Held, C., 1998, Die Bohr-Einstein-Debatte. Quantenmechanik und physikalische Wirklichkeit, Paderborn: Schöningh.
• –––, 2008, „Axiomatická kvantová mechanika a úplnosť“, základy fyziky, 38: 707–732. [K dispozícii online.]
• –––, 2012a, „Problém kvantovej kompletnosti“, v MR Pahlavani (ed.), Merania v kvantovej mechanike, Rijeka; InTech, 175 - 196. [K dispozícii online.]
• –––, 2012b „Nekompatibilita štandardnej úplnosti a kvantovej mechaniky“, Medzinárodný vestník teoretickej fyziky, 51 (9): 2974–2984. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Hermann, Grete, 1935, „Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik“Abhandlungen der Fries'schen Schule, 6. [Anglický preklad príslušnej sekcie, poslanec MP Seevinck, je k dispozícii online.]
• Hooker, C. (ed.), 1975, Logicko-algebraický prístup k kvantovej mechanike, Dordrecht: Reidel.
• Huang, Y.-F., Li, C.-F., Zhang, Y.-S., Pan, J.-W. a Guo, G.-C., 2003, „Experimental Test of Kochen- Speckerova veta s jednoduchými fotónmi “, Physical Review Letters, 90 (25): 250401-1 - 250401-4. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Huang Y.-F., Li, M., Cao, D.-Y., Zhang, C., Zhang, Y.-S., Liu, B.-H., Li, C.-F. a Guo, G.-C., 2013, „Experimentálny test kvantovej kontextov nezávislej na štáte od nedeliteľného kvantového systému“, Fyzický prehľad A, 87: 052133-1 - 052133-10.
• Hughes, RIG, 1989, Štruktúra a interpretácia kvantovej mechaniky, Cambridge, MA: Harvard University Press.

• Kent, A., 1999, „Nekontextuálne skryté premenné a fyzikálne merania“, Physical Review Letters, 83: 3755–57.

  [Predtlač je k dispozícii online.]

• Kernaghan, M., 1994, „Bell-Kochen-Speckerova veta pre 20 vektorov“, Journal of Physics, A 27: L829–30.
• Kochen, S. a Specker, E., 1967, „Problém skrytých premenných v kvantovej mechanike“, Journal of Mathematics and Mechanics, 17: 59–87; dotlač v Hooker 1975, 293–328 (odkazy na stránky originálu a dotlač).
• Meyer, DA, 1999, „Konečné meranie presnosti ruší Kochen-Speckerovu vetu“, Physical Review Letters, 83: 3751–54. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Mermin, ND, 1990a, „Quantum Mysteries Revisited“, American Journal of Physics, 58: 731–34.
• –––, 1990b, „Jednoduchá zjednotená forma hlavných vetiev bez skrytých premenných“, Listy o fyzických recenziách, 65: 3373–76.
• –––, 1993, „Skryté premenné a dve vety Johna Bell“, Recenzie of Modern Physics, 65: 803–815.
• Pavičić, M., Merlet, J.-P., McKay, B. a McGill, ND, 2005, „Kochen-Specker Vectors“, Journal of Physics, A 38: 1577–92. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Peres, A., 1991, „Dva jednoduché dôkazy Kochen-Speckerovej vety“, Journal of Physics, A 24: L175–8.
• –––, 1995, kvantová teória: koncepty a metódy, Dordrecht: Kluwer.
• Pitowsky, I., 1983, „Deterministický model spinov a štatistík“, Fyzický prehľad, D 27: 2316–26.
• –––, 1985, „Kvantová mechanika a definícia hodnoty“, Philosophy of Science, 52: 154–56.
• Redhead, M., 1987, Inkompleteness, Nonlocality and Realism. Prolegomenón filozofie kvantovej mechaniky, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1995, od fyziky k metafyzike, Cambridge: Cambridge University Press.
• Shimony, A., 1984, „Kontextové skryté teórie premenných a Bellove nerovnosti“, British Journal for Philosophy of Science, 35: 25–45.
• –––, 1993, Hľadanie prírodovedného pohľadu na svet, zväzok II: Prírodné vedy a metafyzika, Cambridge: Cambridge University Press.
• Simon, Christoph, Zukowski, M., Weinfurter, H., Zeilinger, A., 2000, „Realizovateľný experiment„ Kochen-Specker “s jednotlivými časticami“, Physical Review Letters, 85: 1783–86. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Specker, E., 1960, „Die Logik nicht gleichzeitig entscheidbarer Aussagen“, Dialectica, 14: 239–46.
• Stairs, A., 1992, „Definícia hodnoty a kontextový koncept: Vystrihnúť a vložiť pomocou Hilberta Space“, PSA 1992, 1: 91–103.
• Swift, AR a Wright, R., 1980, „Zovšeobecnené Stern-Gerlachove experimenty a pozorovateľnosť ľubovoľných spinových operátorov“, Journal of Mathematical Physics, 21: 77–82.
• Tang, W. a Yu, S., 2017, „Konštrukcia štátom nezávislých dôkazov o kvantitatívnej súvislosti“, Fyzická recenzia A, 96: 062126-1–062126-9.
• van Fraassen, BC, 1973, „Sémantická analýza kvantovej logiky“, v CA Hooker (ed.), Súčasný výskum v základoch a filozofii kvantovej teórie, Dordrecht: Reidel, 80–113.
• von Neumann, J., 1955, Matematické základy kvantovej mechaniky (nemecké vydanie 1932), Princeton: Princeton University Press.
• Yu, S. a Oh, CH, 2012, „Štátne nezávislý dôkaz Kochen-Speckerovej vety s 13 lúčmi“, Physical Review Letters, 108: 030402-1–030402-5.

Akademické nástroje

	Ako citovať tento záznam.
	Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
	Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

• Appleby, DM, 2000, „Súvislosť približných meraní“. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Cabello, A., 1999, „Komentár k„ Nekontextovým skrytým premenným a fyzikálnym meraniam “. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Mermin, ND, 1999, „Kochen-Speckerova veta pre nepresné merania“. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Rajan, D. a Visser, M., 2017, „Kochen-Speckerova veta bola obnovená“. [Predtlač je k dispozícii online.]
• Kochen Speckerova veta o arxiv.org