Logika Pre Analýzu Sily V Normálnych Formových Hrách

Obsah:

Logika Pre Analýzu Sily V Normálnych Formových Hrách
Logika Pre Analýzu Sily V Normálnych Formových Hrách

Video: Logika Pre Analýzu Sily V Normálnych Formových Hrách

Video: Logika Pre Analýzu Sily V Normálnych Formových Hrách
Video: HTML5 CSS3 2022 | Вынос Мозга 01 2024, Marec
Anonim

Vstupná navigácia

  • Obsah vstupu
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Náhľad priateľov PDF
  • Informácie o autorovi a citácii
  • Späť na začiatok

Logika pre analýzu sily v normálnych formových hrách

Prvýkrát zverejnené 14. júna 2017; podstatná revízia ut 1. augusta 2017

Táto položka pojednáva o použití matematických jazykov na vyjadrenie a analýzu formálnych vlastností moci v normálnych formových hrách. Matematické jazyky, o ktorých sa hovorí v tejto položke, sa budú označovať ako logika a budú sa klasifikovať podľa ich schopnosti vyjadriť koncepty súvisiace s hrami.

Materiál v tejto položke bude obmedzený na logickú analýzu stratégií a preferencií (skupín) jednotlivcov v normálnych formových hrách. Nepokrýva použitie teórie hier na štúdium logických jazykov ani úlohu epistemických konceptov v strategických rozhodnutiach. Nevzťahuje sa ani na aspekty postupného rozhodovania, typické pre strategické úvahy v rozsiahlych hrách. Ich zoznam nájdete v súvisiacich položkách logika a hry, epistemické základy teórie hier (pozri tiež van Benthem, Pacuit, & Roy 2011 a van Benthem 2014).

  • 1. Logika pod normálnymi formovými hrami
  • 2. Základné zložky

    • 2.1 Predvoľby
    • 2.2 Možnosti
  • 3. Analýza sily

    • 3.1 Kooperatívne hry a ich logika
    • 3.2 Strategické hry a ich logika

      • 3.2.1 Logika nemonotonických akcií
      • 3.2.2 Logické hry
  • 4. Závery: K správnej úrovni analýzy
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Ďalšie internetové zdroje
  • Súvisiace záznamy

1. Logika pod normálnymi formovými hrami

(Normálna forma) hra je matematický opis vzťahu medzi súborom jedincov (alebo skupinám osôb) a skupinou možných výsledkov. Jednotlivci si nezávisle a súčasne vyberú podskupinu výsledkov, pričom konečný výsledok sa vyberie z kombinácie každej voľby. Nezávisle znamená, že výber jednotlivcov sa navzájom neovplyvňuje. Súčasne to znamená, že výber každého jednotlivca sa nevedie o výbere ostatných hráčov. Predpokladá sa, že každý jednotlivec má prednosť pred súborom výsledkov, tj má radšej niektoré výsledky viac ako iné a zvyčajne sa predpokladá, že pozná potenciálne možnosti a preferencie iných jednotlivcov a podľa toho prispôsobuje svoje rozhodnutia.

Hry sa používajú na modelovanie najrôznejších situácií, od správania zvierat až po medzinárodné riešenie konfliktov (Osborne & Rubinstein 1994). Užitočnou aplikáciou na účely tohto záznamu je kolektívne rozhodovanie, ktorého príklad bude v celom texte pracovným príkladom.

Príklad 1: (Rímska zmluva)

Rímska zmluva (1958 - 1973) založila Európske hospodárske spoločenstvo. Podľa článku 148 zmluvy sa na prijatie aktov Rady (jednej z hlavných legislatívnych inštitúcií) vyžaduje:

  • - 12 hlasov (ak akt bol navrhnutý Komisiou), alebo -
  • 12 hlasov najmenej 4 členských štátov (ak akt nebol navrhnutý Komisiou).

Uvedené hodnoty sa týkajú krajín EÚ-6, zakladajúcich členských štátov. Zmluva pridelila hlasy takto:

  • 4 hlasy: Francúzsko, Nemecko, Taliansko;
  • 2 hlasy: Belgicko, Holandsko;
  • 1 hlas: Luxembursko.

Tento scenár možno opísať ako hru.

Existuje šesť hráčov, krajiny:

Francúzsko, Nemecko, Taliansko, Belgicko, Holandsko a Luxembursko.

V tom čase hlasujú o jednej otázke. Problémy môžu byť binárne, napr. Prijatie systému ochrany hraníc alebo viachodnotové, napr. Koľko miliónov by sa malo vynaložiť na prijatie systému ochrany hraníc.

Krajiny môžu mať preferencie pred výsledkom hlasovania alebo dokonca pred konkrétnymi hlasmi iných krajín a zvyčajne hlasujú bez toho, aby vedeli, ako hlasovali ostatné krajiny.

Tieto hry sú často také, že žiadny účastník nie je sám schopný rozhodnúť o konečnom výsledku, ale v niektorých prípadoch môžu spolupracovať a dohodnúť sa na spoločnej stratégii.

V závislosti na preferenciách hráčov, znalostiach a schopnostiach budú niektoré výsledky pravdepodobne vybrané. Aby sme pochopili, ktoré z nich, teória hier navrhla koncepcie riešenia, formálne funguje od sady hier po sadu výsledkov v každej z týchto hier, ktoré opisujú racionalitu hráčov z matematického hľadiska. Koncepty riešení, ako uvidíme neskôr, sa dajú stručne vyjadriť jednoduchou a dobre vedenou logikou.

Ďalej popisujeme hry ako matematické štruktúry, zdôrazňujúc rôzne kľúčové zložky (napr. Možnosť formovania koalícií, možnosť rozhodovať sa v čase atď.) A najvhodnejšie jazyky na ich vyjadrenie.

2. Základné zložky

Hry formálne pozostávajú z konečnej sady hráčov (N = {1,2, / ldots, n }) a možno z nekonečnej sady výsledkov (W = {w_1, w_2, / ldots, w_k, / ldots }).

Príklad 2:Vo vyššie uvedenom príklade je skupina hráčov {Francúzsko, Nemecko, Taliansko, Belgicko, Holandsko, Luxembursko}. Ak vezmeme do úvahy prijatie schémy ochrany hraníc, existujú dva výsledky: áno a nie, tj (W = { mbox {áno, nie} }). Ak namiesto toho zvážime problém miliónov vynaložených na schému ochrany hraníc, existuje potenciálne nekonečný výsledný priestor, tj (W = { textrm {0M}, / textrm {1M}, / textrm {2M}, / ldots }). Je možné dosiahnuť ešte lepšie výsledky, napríklad špecifikovať spôsob, akým hráči hlasovali. V tomto prípade by sa výsledok, v ktorom Francúzsko hlasuje áno, ostatné hlasovali nie, a výsledok nie, bol odlišný od výsledku, v ktorom Taliansko hlasuje áno, ostatné hlasujú nie, a výsledok nie, hoci výsledok hlasovanie je rovnaké. Dôležité je zdôrazniť, že každý súbor výsledkov prichádza s úrovňou opisu toho, čo sa deje v základnej interakcii. Neexistuje apriorná alebo nesprávna úroveň popisu, výber závisí od vlastností hry, o ktorú má záujem.

Na vrchole hráčov a výsledkov hry prichádzajú s dvoma ďalšími vzťahmi:

  • vzťah preferencie, označil (succeq), ktorý opisuje jednu z hráčskych po výsledkoch;
  • akčné vzťah, označil (E), ktorý opisuje výsledky, ktoré hráči alebo skupiny hráčov, sú schopní ukladať, alebo naopak vylúčiť;

Dôležitým vzťahom v hrách sú vedomosti, ktoré formálne opisujú, čo hráči vedia o hre a ich protivníkoch. Tento vzťah je niekedy explicitne daný, inokedy implicitný. Tento príspevok nebude vzťah explicitný, ale skôr ho zahrnie do formalizácie racionality hráčov.

Ako preferenčné, tak aj akčné vzťahy zhromažďujú rodiny individuálnych vzťahov, po jednom na hráča. Napríklad preferenčný vzťah sa člení na rodinu ({ succeq_i } _ {i / in N}), ktorá opisuje preferencie pred výsledkami pre každého jednotlivca, zatiaľ čo akčný vzťah zhromažďuje rodinu ({E_C } _ {C / subseteq N}), kde každý popisuje, čo môže konkrétna skupina hráčov dosiahnuť.

Celkovo možno hru považovať za matematickú štruktúru

[(mathcal {N}, W, / succeq, E))

kde (mathcal {N}) je množina hráčov, zvyčajne konečná, (W) množina výsledkov, (succeq) preferenčný vzťah a (E) akčný vzťah.

Táto matematická štruktúra je známa aj ako relačná štruktúra (Blackburn, Rijke a Venema 2001), čo je množina teoretického ekvivalentu tzv. Modálnej logiky (Blackburn et al. 2001), čo je vhodný matematický jazyk. vyjadriť matematické vlastnosti vzťahov. Vzťahová štruktúra bude odteraz označovaná (F), čo predstavuje rámec.

Poslednou zložkou, ktorú potrebujeme, aby sme prepojili relačné štruktúry a modálnu logiku, je špecifikácia súboru atómových výrokov atómov, ktoré vyjadrujú relevantné vlastnosti výsledkov, ktoré nás zaujímajú. Tento súbor sa zvyčajne považuje za spočítateľný [1] a je spojená s výsledkami pomocou funkcie oceňovania, tj funkcie formulára

[V: W / do 2 ^ / texttt {Atoms})

priradenie ku každému výsledku množinu výrokových atómov, ktoré sú v tomto výsledku pravdivé.

N-tica ((F, V)) bude označovaná ako model, ktorý bude označený (M).

Vzťahy v hernej štruktúre, ktoré sú relatívne k jednotlivým hráčom (a skupinám), budú formálne opísané v súvislosti s hlavnými modálnymi logikami používanými na vyjadrenie ich vlastností na rôznych úrovniach opisu a granularity.

Nasledujúci odsek zbiera základné technické pojmy potrebné na interpretáciu modálnych jazykov použitých v tejto položke. Čitateľ, ktorý je už oboznámený s modálnou logikou, ju môže preskočiť. Pre podrobnejší prieskum je možné nahliadnuť do súvisiaceho záznamu o modálnej logike (Garson 2014). Známe klasické učebnice sú Modálna logika: Úvod (Chellas 1980), ktorá sa zameriava na neštandardnú modálnu logiku, a Modálna logika (Blackburn et al. 2001), ktorá sa namiesto toho zameriava na viac matematické spracovanie normálnej modálnej logiky. [2]

Modálne logiky: pozadia pojmy: modálne logiky je rozšírenie jazyka výrokovej logiky sadou modálnych operátorov (Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots), ktoré sú definované na spočítateľnej množiny atomárnych výrokov (texttt {Atoms} = {p_1, p_2, / ldots }), nad ktorým sa indukčne vytvára množina dobre formovaných vzorcov (matematické spracovanie logiky a indukcie pozri napríklad Dalen 1980). Každý dobre tvarovaný vzorec (varphi) modálneho jazyka (mathcal {L}), odteraz jednoducho nazývaný vzorec, sa zostavuje pomocou nasledujúcej gramatiky:

(varphi:: = p / mid / lnot / varphi / mid / varphi / wedge / varphi / mid / Box_i / varphi)

kde (Box_i / in { Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots }) a (p / in / texttt {Atoms}).

Model tohto jazyka je štruktúra (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots), V)), pozostávajúca zo súboru svetov alebo stavov alebo výsledkov (W); dostupnosť vzťah (R_i) pre každý modálne operátor (Box_i), definovanej prostredníctvom tzv okolia funkcií (Chellas 1980), tj, funkcia (R_i: W / až 2 ^ {2 ^ {W}}); a hodnotiaca funkcia (V: / texttt {Atoms} to 2 ^ {W}), ktorá priraďuje ku každej atómovej ponuke podskupinu (W), s myšlienkou, že každá atómová ponuka je priradená k množine svetov, v ktorých je tento návrh pravdivý.

Všeobecne sa multimodálny jazyk s modalitami (Box_1), …, (Box_n), … označí (mathcal {L} ^ {f (Box_1), / ldots, f (Box_n), / ldots}), kde funkcia (f) priraďuje ku každej modalite intuitívnu skratku. Nech (Delta) je modálny jazyk pozostávajúci z modalít (Box_1), …, (Box_n), … a nech (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots)), V)) byť vzorom tohto jazyka. Vzťah spokojnosti vzorca (varphi / in / Delta) vzhľadom na pár ((M, w)), kde (w / in W), je definovaný podľa nasledujúcich pravdivých podmienok:

(begin {align *} M, w & / models p & mbox {if and only if} & w / in V (p) / M, w & / models / neg / varphi & / mbox {if and only if } & M, w / not / models / varphi \\ M, w & / models / varphi / land / psi & / mbox {if a only if} & M, w / models / varphi / mbox {and} M, w / models / psi \\ M, wy & / models / Box_i / varphi & / mbox {if and only if} & / varphi ^ M / in R_i (w) / \ end {align *})

kde (varphi ^ {M} = {w / in W / mid M, w / models / varphi }) sa nazýva sada pravdy alebo rozšírenie (varphi).

Vzorec (varphi) modálneho jazyka (Delta): platí v stave (w) modelu (M) vždy, keď (M, w / models / varphi); je platný v modeli (M), označil (models_ {M} varphi), a to len v prípade, (M, w / modelov / varphi) pre každý (w / vo W), kde (W) je doménou (M); je platný v triede modelov (mathcal {M}), označený (models _ { mathcal {M}} varphi), iba ak je platný v každom (M / in / mathcal {M}); je platný v ráme ({F}), označil (models _ {{F}} varphi), práve vtedy, keď pre každé ocenenie (V), musíme to (models _ {(F, V)} varphi); je platný v triede snímok (mathcal {F}), označený (models _ { mathcal {F}} varphi), iba ak je platný v každom (F / in / mathcal {F}).

Sada vzorcov (Delta), ktoré sú platné v triede modelov (mathcal {M}), sa označuje (Delta _ { mathcal {M}}) (pre snímky je označenie (Delta _ { mathcal {F}})). Pre množinu vzorcov (Sigma) píšeme (M, w / models / Sigma), aby sme povedali, že (M, w / models / sigma) pre všetkých (sigma / in / Sigma). Hovoríme, že množina vzorcov (Sigma) sémanticky znamená vzorec (varphi) v triede modelov (mathcal {M}), označený (Sigma / models _ { mathcal {M }} varphi), ak pre každé (M / in / mathcal {M}) máme, / \ / \ models_ {M} Sigma) znamená (models_ {M} varphi).

Modálne pravidlo

(frac { varphi_1, / ldots, / varphi_n} { psi})

je zvuk v triede modelov (mathcal {M}), ak (varphi_1, / ldots, / varphi_n / models _ { mathcal {M}} psi).

Po Chellasovi (1980) pripomeňme, že modálna logika (Delta) sa nazýva klasická, ak je uzavretá podľa pravidla ekvivalencie, tj pre každý (Box) v jazyku (Delta). máme:

(frac { varphi / leftrightarrow / psi} { Box / varphi / leftrightarrow / Box / psi})

Hovorí sa tomu, že je monotónny, ak je klasický, a navyše je uzavretý na základe pravidla monotónnosti, tj pre každý (Box) v jazyku (Delta) máme:

(frac { varphi / rightarrow / psi} { Box / varphi / rightarrow / Box / psi})

Nazýva sa normálne, ak je monotónne, je uzavreté podľa pravidla zovšeobecnenia a obsahuje axiom (K), tj pre každý (Box) vo vzorcoch (Delta), ktoré máme

(frac { varphi} { Box / varphi})

a (Delta) obsahuje (Box (varphi / to / psi) to (Box / varphi / to / Box / psi)).

Normálnu modálnu logiku možno interpretovať v štruktúrach tvaru (M = ((W, R'_1, / ldots, R'_n, / ldots), V)), kde každý (R'_i) je hlavný filter [3] alebo prípadne má tvar (R'_i: W / až 2 ^ {W}).

2.1 Predvoľby

Spomeňte na relačnú štruktúru ((mathcal {N}, W, / succeq, E)) a zvážte vzťah (succeq). Tento vzťah kompaktne predstavuje rodinu ({ succeq_i } _ {i / in N}) individuálnych preferenčných vzťahov, z ktorých každý je indexovaný s hráčom.

Formálne je preferencia pre hráča (i) vzťah

(succeq_i / subseteq W / times W)

Myšlienka je, že ak dva výstupy (w) a (w ') sú také, že ((w, w') in / succeq_i), potom hráč (i) zvažuje výsledok (w) aspoň tak dobrý ako výsledok (w '). Skutočnosť, že ((w, w ') in / succeq_i) bude skrátená (w / succeq_i w'). Jeho inverzia je vzťah (preceq_i), ktorý platí pre ((w, w ')) vždy, keď (w' / succeq_i w). Jeho prísnym náprotivkom je vzťah (succ_i), ktorý platí pre ((w, w ')), kedykoľvek (w / succeq_i w'), a nie je to tak, že (w '\ succeq_i w). Navyše (w / sim_i w ') označuje skutočnosť, že (w / succeq_i w') a (w '\ succeq_i w), čo znamená, že (i) je ľahostajné medzi (w) a (w ').

Príklad 3:Vráťme sa k nášmu hlavnému príkladu. Zvyčajne majú krajiny pred výsledkom rozhodnutia preferencie, napr. Taliansko si myslí, že by sme mali na tento program minúť 5 až 10 miliónov eur, Nemecko si myslí, že by sme mali minúť medzi 1 a 2, Belgicko medzi 4 a 5, Luxembursko, Holandsko a Francúzsko. presne 5. To napríklad znamená, že preferenčný vzťah Talianska je taký, že (w / succ _ { textrm {Taliansko}} w ') kedykoľvek (textrm {5M} leq w / leq / textrm {10M}) a buď / (w '> / textrm {10M}) alebo (0 / leq w' / textrm {10M}) alebo (0 / leq w '<\ textrm {5M}), (w / succ _ { textrm {Italy}} w ') kedykoľvek (textrm {5M} leq w' <w / leq / textrm {10M}), zatiaľ čo (w / sim _ { textrm {Italy}} w '), inak. Nie všetky výsledky hlasovania dosiahnu dohodu. Potom z technických dôvodov definujeme pomocný výsledok (w ^ {d}),interpretovaný ako výsledok nezhody. Ide o to, že toto je výsledok hlasovania, ktorý nedosahuje konsenzus. Predpokladáme, že akákoľvek dohoda je pre ktoréhokoľvek hráča prísne lepšia ako nezhoda, tj (w / succ _ {{i}} w ') vždy, keď (w' = w ^ {*}) a (w / neq w ^ {*}), pre každý (i / in N).

Vlastnosti týchto vzťahov je možné vyjadriť pomocou modálnej logiky. Za týmto účelom predstavujeme modálne operátory (Diamond ^ { preceq} _i), (Diamond ^ { prec} _i) a (Diamond ^ { sim} _i) pre každý zo zodpovedajúcich vzťahy.

Interpretácia pre (R / in { preceq, / prec, / sim }) je nasledovná:

[M, w / models / Diamond ^ {R} _i / varphi / enskip / mbox {ak a iba ak} enskip M, w ^ { prime} models / varphi, / mbox {pre niektorých} w ^ { prime} mbox {with} w R_i w ^ { prime})

Tieto vzťahy často prichádzajú s ďalšími vlastnosťami. Napríklad (preceq_i) sa zvyčajne považuje za nasledujúce:

  • reflexivita, tj (forall w / in W, i / in N,) máme toto: (w / preceq_i w);
  • transitivita, tj (forall w_1, w_2, w_3 / in W, i / in N,) máme to: ((w_1 / preceq_i w_2) a (w_2 / preceq_i w_3)) znamená, že (w_1 / preceq_i w_3).
  • pripojenie, tj (forall w_1, w_2 / in W, i / in N,) máme toto: buď / (w_1 / preceq_1 w_2) alebo (w_2 / preceq_i w_1).

Tieto prvé dve vlastnosti môžu byť charakterizované v normálnom modálne logiky s jedným modálne operátorom na hráča, prostredníctvom nasledujúcich axiómy a validities.

Návrh 1

(begin {align *} models_F / varphi & / rightarrow / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {if and only if} & / preceq_i / mbox {is reflexive} / \ models_F / Diamond ^ { preceq} _i / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / rightarrow / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {iba vtedy, ak} & / preceq_i / mbox {je tranzitívny} end {zarovnať *})

To však nie je prípad spojenia, pretože modálne jazyky, ako je tento, môžu hovoriť iba o miestnych vlastnostiach vzťahov (Blackburn et al. 2001).

Aby sme to dosiahli, musíme zaviesť osobitný typ operátora: univerzálnu (alebo globálnu) modalitu (Goranko & Passy 1992). Táto modalita vyjadruje vlastnosti všetkých stavov v doméne (W) modelu (M) a interpretuje sa nasledovne.

[M, w / models A / varphi / enskip / mbox {iba vtedy, ak} enskip M, w ^ { prime} models / varphi, / mbox {for all} w ^ { prime} in W)

Vzorec (neg A / neg / varphi) bude skrátený (E / varphi). Symbol (E) je existenciálny duál (A) a znamená to, že určitý vzorec má v modeli určitý stav. S globálnou modalitou skutočne pridávame expresivitu (spolu s ďalšími nákladmi a ďalšími ziskami, ako je uvedené v Goranko & Passy 1992), preto môžeme vyjadriť platnosť v modeli vyjadrením pravdy vo svete, svedkom skutočnosti, že (M, w / models A / varphi) platí iba vtedy, ak to robí (models_M / varphi).

Pripomeňme, že vzťah (R) je trichotomický vtedy a len vtedy, ak pre všetky (x, y / in W) je to buď prípad (xRy, yRx) alebo (y = x). Na získanie nasledujúcej korešpondencie rámca môžeme použiť kombináciu preferencií a globálnych spôsobov.

Návrh 2 Nech (F) bude rámcom. Máme to:

(models_F (varphi / wedge / Box ^ { preceq} _i / psi) to A (psi / vee / varphi / vee / Diamond ^ { preceq} _i / varphi)) iba vtedy, ak (preceq_i) je trichotómny

Alternatívny a možno aj intuitívnejší vzorec, ktorý sa môže použiť namiesto toho, pre (p, q) sú atómové výroky:

[E p / land E q / až E (p / land q) lor E (p / land / Diamond ^ { preceq} _i q) lor E (q / land / Diamond ^ { preceq} _i p))

Trichotómia, transitivita a reflexivita (preceq_i) sú ekvivalentné tomu, že vzťah je slabým lineárnym poradím, a preto sú spojené.

Vzťah (prec_i), tj vzťah prísnej preferencie, možno definovať ako (preceq_i). Ale (prec_i) spĺňa túto vlastnosť:

irreflexivita tj. (forall w / in W, i / in N,) máme toto: nie je to tak, že (w / prec_i w)

Irreflexivita nie je v základnej modálnej logike definovateľná (Blackburn et al. 2001). Ak sú však atómové výroky dostatočne silné na to, aby rozoznali každý výsledok oddelene, stane sa irreflexivita definovateľná. Napríklad nech (w_k) je premenná na identifikáciu sveta (w_k). [4] Máme nasledujúce.

Návrh 3

(models_F w_k / to / neg / Diamond ^ / prec_i w_k / enskip / mbox {if and only if} enskip / prec_i / mbox {is irreflexive})

Nakoniec ľahostajný vzťah (sim) spĺňa vlastnosti reflexivity, transitivity a symetrie. Zatiaľ čo reflexivita a transitivita sú definované analogicky s predchádzajúcimi spôsobmi, symetria je definovaná nasledovne.

symetria, tj (forall w_1, w_2 / in W, i / in N,) máme toto: (w_1 / sim_i w_2) znamená, že (w_2 / sim_i w_1)

Zatiaľ čo axiómy pre prvé dva sú podobné tým, ktoré sú pre (preceq_i), symetria je charakterizovaná nasledovne

Návrh 4

(models_F (psi / to / Box ^ { sim} _i / Diamond ^ { sim} _i / psi) enskip / mbox {iba vtedy, ak} enskip / sim_i / mbox {je symetrický})

Tri vyššie uvedené vlastnosti spolu hovoria, že každý (sim_i) je matematicky ekvivalentný vzťah, tj taký vzťah, že

(bigcup_ {w / in W} {[w] mid w '\ in [w] mbox {when} w / sim_i w' })

je oddiel (W). Každý prvok tohto oddielu je triedou ľahostajnosti pre hráča (i), tj množinou výsledkov, ktorým je ľahostajný.

Logika vzťahov ekvivalencie, napríklad (sim_i), je známa aj ako systém ({ bf S5}).

Predvoľby a obslužné programy Z dôvodu ich rozšíreného použitia v teórii hier sú dôležitou triedou preferenčných vzťahov vzťahy, ktoré zodpovedajú číselným hodnotám alebo úžitkovým funkciám.

Úžitková funkcia je funkcia

[u_i: W / rightarrow / mathbb {R})

mapovanie výstupov na reálne čísla, ktoré vyjadrujú, nakoľko hráč hodnotí určitý stav.

Úžitkové funkcie prirodzene navodzujú preferenčné vzťahy v nasledujúcom zmysle.

Definícia 5 Nech (u) je užitočná funkcia. Hovoríme, že (succeq ^ * _ i) zodpovedá (u), ak platí nasledujúce:

[w / succeq ^ * _ i w '\ enskip / textrm {if and only if} enskip u_i (w) geq u_i (w'))

Všimnite si, ako každé slabé lineárne poradie v konečnom súbore výsledkov zodpovedá určitej funkcii užitočnosti.

Podrobnejšie analýzy o úlohe preferencií vo filozofii a teórii rozhodovania odkazujeme na súvisiace záznamy o preferenciách (Hansson & Grune-Yanoff 2011) a teórii rozhodovania (Steele & Stefansson 2015).

2.2 Možnosti

Hra je tiež opis toho, čo hráči môžu dosiahnuť, samostatne alebo v rámci koalícií. Aby sme to formalizovali, používame funkcie efektívnosti, abstraktný model moci zavedený na štúdium hlasovacích stratégií vo výboroch (Moulin & Peleg 1982).

Funkcia účinnosti (Moulin a Peleg 1982) je funkciou

[E: 2 ^ {N} až 2 ^ {2 ^ {W}})

priradenie každej skupiny hráčov k množine výstupov.

Ide o to, že kedykoľvek je to tak, že (X / in E (C)), potom koalícia (C) je schopná rozhodnúť, že výsledok hry leží vo vnútri súboru (X), a preto môže vylúčiť, aby sa nakoniec vybrali výsledky (W / setminus X). Inými slovami, (X) je v koaličnej moci (C).

Funkcie efektívnosti sú uzavreté v rámci supersetov, to znamená, že (X / in E (C)) a (X / subseteq Y / subseteq W) znamenajú, že (Y / in E (C)). Inými slovami, ak (X) je v koaličnej moci (C), potom je každá z (X) supersetov. Z toho vyplýva, že ak efektívna funkcia určitej koalície nie je prázdna, vždy obsahuje súbor všetkých výsledkov.

Pre (mathcal {X} subseteq {2 ^ {W}}) označujeme (mathcal {X} ^ {+}) jeho uzavretie supersetov.

Príklad 4: Vráťte sa k hlavnému príkladu a zvážte silu každej jednotlivej krajiny. Z dôvodu pravidiel hry žiadna krajina nie je sama osebe schopná vylúčiť akýkoľvek výsledok.

Využívajúc funkcie efektívnosti: pre každý (i / in N) máme toto (E ({i }) = {W }).

Platí to však aj pre koalície, ktoré nie sú dostatočne veľké. Napríklad, zoberte všetky koalície najmenej dvoch krajín, ktoré sa môžu vytvoriť medzi Holandskom, Belgickom a Luxemburskom.

(begin {align *} E ({ mbox {Luxembourg, Belgium} }) & = \\ E ({ mbox {Luxembourg, Holandsko} }) & = \\ E ({ mbox {Belgicko, Holandsko} }) & = \\ E ({ mbox {Luxembursko, Belgicko, Holandsko} }) & = {W }. / end {zarovnať *})

Pretože ich celková váha predstavuje najviac 5 hlasov, nemôžu ako také samy vyriešiť alebo vylúčiť akúkoľvek možnú dohodu. V skutočnosti pre akty navrhované Komisiou má každá koalícia (C), ktorej hlasovacia váha nie je najmenej 12, rovnakú funkčnosť (E (C) = {W }).

V prípade ostatných koalícií je situácia iná. Zoberme si napríklad koalíciu uskutočnenú Francúzskom, Nemeckom a Talianskom, ktoré majú spoločne hlasujúcu váhu 12. Pre nich máme toto:

[E ({ textrm {Francúzsko, Nemecko, Taliansko} }) = { {w } mid w / in W } ^ {+})

To znamená, že traja členovia môžu sami rozhodnúť o výsledku hlasovania. To platí pre každú koalíciu s hlasovacím právom 12 a viac.

A čo akty, ktoré nenavrhla Komisia? Pre nich použijeme inú funkciu efektivity, ktorú označíme (E ^ {*}).

V takom prípade musí víťazná koalícia pozostávať najmenej zo štyroch členov.

Takže (E ^ {*} ({ mbox {Francúzsko, Nemecko, Taliansko} }) = {W }), zatiaľ čo (E ^ {*} ({) Francúzsko, Nemecko, Belgicko, Holandsko (}) = { {w } mid w / in W } ^ {+}).

Vo všeobecnosti platí, že (E (C) = E ^ {*} (C)), kedykoľvek (| C | / geq 4). Kvôli vlastnostiam hlasovacej hry máme tiež, že (E (C) = E ^ {*} (C)), kedykoľvek (| C | / leq 2). Rozdiel sú spôsobené koalíciami veľkosti 3: s (E ^ {*}) nemôžu nikdy dosiahnuť viac ako ({W }), zatiaľ čo s (E) môžu dosiahnuť ({ {w } mid w / in W } ^ {+}), ak je ich hlasovacia právomoc najmenej 12. Všimnite si, že Luxembursko je irelevantné, pokiaľ ide o účty navrhnuté Komisiou, tj (E (C) = E (C / cup / textrm {Luxembursko})). Toto sa netýka ostatných účtov, ako sme už uviedli.

Vlastnosti efektívnych funkcií možno vyjadriť v modálnej logike. Na tento účel je dôležité si uvedomiť, že každá funkcia efektívnosti zodpovedá (neobvyklému) vzťahu v relačnej štruktúre. To, čo funkcie efektivity robia, je vyvolať špeciálny druh susedskej štruktúry, ktorú nazývame koaličným modelom.

Definícia 6 [Koaličné modely] Koaličný model je trojitý ((W, E, V)), kde:

  • (W) je neprázdna množina štátov;
  • (E: W / longrightarrow (2 ^ {N} longrightarrow 2 ^ {2 ^ W})) je funkcia dynamickej efektívnosti;
  • (V: W / longrightarrow 2 ^ { texttt {Atoms}}) je funkcia oceňovania.

Ako si čitateľ všimne, funkcie dynamickej efektívnosti umožňujú každému štátu mať rôzne koalície moci medzi koalíciami. Toto je prísne zmysel irelevantné pre zaobchádzanie so silou pri normálnych hrách (oddiel 3), kde je možné rovnako považovať funkcie efektívnosti spojené s výsledkami za rovnocenné všade v modeli, ale model je dostatočne všeobecný na to, aby sa s ním zaobchádzalo extenzívne a opakovane. interakcie, kde je sekvenčná štruktúra interakcie explicitne definovaná. Zvyčajne budeme skratku (E (w) (C)) označovať ako (E_w (C)) alebo dokonca (E (C)), ak bude z kontextu zrejmé.

Jazykom, o ktorom sa hovorí o koaličných modeloch, je Coalition Logic (Pauly 2001), neobvyklá modálna logika na vyjadrenie výberu skupín hráčov. Koaličná logika je rozšírenie výrokovej logiky s (| 2 ^ {N} |) modalitami formy ([C]), takže modálny operátor indexoval každú koalíciu.

Spokojnosť vzorcov formulára ([C] varphi) vzhľadom na pár (M, w) je definovaná takto:

[M, w / models [C] varphi / enskip / textrm {iba vtedy, ak} enskip / varphi ^ M / in E_w (C))

kde, (varphi ^ M = {w / in W / mid M, w / models / varphi }).

Intuitívne (varphi ^ M / v E_w (C)) znamená, že koalícia (C) je schopná dosiahnuť vlastníctvo (varphi).

Pretože uzavretie pod supersetom alebo výsledná monotónnosť sa považuje za vlastnosť všetkých funkcií účinnosti, pravidlo monotonicity platí v koaličnej logike, ktorá je preto monotónnou modálnou logikou (Hansen 2003).

Pravidlo monotónnosti má túto formu pre každú (C / subseteq N):

(frac { varphi / to / psi} {[C] varphi / to [C] psi})

Intuitívne, ak (C) je schopný dosiahnuť (varphi) a my máme, že (varphi) implikuje (psi), potom (C) je tiež schopný dosiahnuť (psi).

Matematické vlastnosti moci Okrem monotónnosti výsledku sa môžu mnohé ďalšie vlastnosti považovať za potrebné na modelovanie koaličnej sily v hrách. Napríklad funkcia efektivity má vlastnosť:

  • živosť, tj (emptyset / not / in E (C)), pre každý (C / subseteq N);
  • bezpečnosť, tj (W / in E (C)), pre každý (C / subseteq N);
  • pravidelnosť, tj (X / in E (C)) znamená, že (overline {X} not / in E (overline {C})) pre každý (C / subseteq N, X / subseteq W);
  • N -maximalita, tj (overline {X} in E (emptyset)) znamená, že ({X} in E (N)) a (X / subseteq W);
  • nadradenosť, tj (X / in E (C)) a (Y / in E (D)) znamená, že (X / cap Y / in E (C / cup D)) pre každú (C), (D / subseteq N), (C / cap D = / emptyset), (X, Y / subseteq W);
  • koaličná monotónnosť, tj (X / in E (C)) znamená, že (X / in E (D)), pre každú (C / subseteq D / subseteq N), (X / subseteq W);
  • opodstatnenosť, tj (X / in E (N)) znamená, že ({x } in E (N)), pre niektorých (x / in X), pre každý (X / subseteq W).

Efektívna funkcia sa nazýva hrateľná (Pauly 2001), ak má živosť, bezpečnosť, N-maximalitu a superadditivitu. Hovorí sa tomu, že je skutočne hrateľný (Goranko, Jamroga a Turrini 2013), ak je hrateľný a opodstatnený. Všimnite si, že ak je (W) konečný, môže byť funkčná funkcia hrateľná iba vtedy, ak je skutočne hrateľná (Goranko et al. 2013).

Skutočná hrateľnosť je základnou vlastnosťou efektívnych funkcií a spája jednorazové koaličné hry s jednorazovými strategickými hrami, ako bude zrejmé neskôr.

Príklad 5: Funkcie efektivity nášho pracovného príkladu sú skutočne hrateľné.

V susedských štruktúrach sú vzťahy medzi množinami teoretickými a logickými vlastnosťami často okamžité a štandardné výsledky korešpondencie medzi triedou rámcov a susedskými funkciami (Chellas 1980) sa môžu automaticky použiť pre koaličnú logiku.

Koaličná logika je v skutočnosti dosť výrazná na to, aby charakterizovala všetky doteraz spomenuté obmedzenia.

Návrh 7 Nech (F = (W, E)) je koaličným rámcom a (C, C ^ { prime}, C '') sú koalície tak, že (C / cap C '= / emptyset) a (C / subseteq C ''). Platia nasledujúce výsledky:

  • (models_F [C] varphi / to / neg (overline {C}] neg / varphi) iba vtedy, ak je (E) pravidelné;
  • (models_F [C] top) iba vtedy, ak má (E) bezpečnosť;
  • (models_F [C] varphi / to [C ''] varphi) iba vtedy, ak (E) je koaličná monotónnosť;
  • (models_F / neg [C] bot) iba vtedy, ak má (E) živosť;
  • (models_F / neg (emptyset] neg / varphi / to [N] varphi) iba vtedy, ak (E) je N-maximálny;
  • (models_F [C ^ { prime}] varphi / wedge [C] psi / to [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi)) iba vtedy, ak (E) je superaditívny;
  • (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi) iba vtedy, ak je (E) monotónny výsledok.

Ohľadne dôkazov sa obráťte na Pauly 2001.

Výsledky korešpondencie nám umožňujú rozlíšiť rôznymi spôsobmi počet tried snímok. Expresivita modálnych operátorov však výrazne obmedzuje schopnosť jazyka rozlišovať triedy štruktúr. V tomto rozsahu by si mal čitateľ všimnúť, že logika hrateľných a skutočne hrateľných rámcov efektívnosti zdieľa skutočnosť, že (models_F (emptyset] top). Toto tvrdenie, ktorého interpretácia je taká, že pre každé (w / vo W, {W } in E_w (emptyset)) nestačí na formálne rozlíšenie medzi (E_w (emptyset)) v dvoch rôznych triedach efektívnych funkcií.

Nasledujúci výsledok nám hovorí, že Koaličná logika je tiež dosť dobrá na to, aby uvažovala o (alebo, ak uprednostňujete, príliš slabých na rozlíšenie) skutočne hrateľných efektívnych funkcií.

Veta 8 (Goranko a kol. 2013) Nech (mathcal {P}) je triedou hrateľných snímok a (mathcal {P} ^ {*}) triedou skutočne hrateľných snímok. Potom pre každý vzorec koaličnej logiky (varphi)

(models_ / mathcal {P} varphi / textrm {iba vtedy, ak} models _ { mathcal {P} ^ {*}} varphi)

Vyplýva to zo skutočnosti, že logika Playable Coalition Logic má konečnú vlastnosť modelu (Pauly 2001) a v konečných modeloch sú hrateľné funkcie efektivity skutočne hrateľné. [5]

Ako už bolo uvedené vyššie, v tomto zázname sa bude uvádzať iba to, ako sú vedomosti obsiahnuté v herných štruktúrach, ale nebude sa zaoberať štúdiom epistemických predpokladov racionálnej hry. Súvisiace záznamy venované epistemickej logike (Hendricks & Symons 2006), dynamickej epistemickej logike (Baltag & Renne 2016), a najmä teórii epistemických hier (Pacuit & Roy 2015), hlboko skúmajú úlohu znalostí v rozhodovaní. Liečba modálnej logiky hier, ktorá sa namiesto toho zameriava na úlohu informácií, je Hoek & Pauly 2006.

3. Analýza sily

Táto časť sa zameriava na hry, v ktorých jednotlivci alebo skupiny prijímajú svoje výbery nezávisle a súbežne, a ešte raz zdôrazňujeme, ako sa od tejto interakcie v čase vyvíja. Osobitnú pozornosť venuje vzťahu medzi voľbami a preferenciami hráčov, pričom sa zmieňuje o úlohe znalostí, a čo je najdôležitejšie, zaoberá sa tým, ako vyjadriť koncepty riešení v logickom jazyku.

Táto časť najskôr popisuje všeobecné nastavenie kooperatívnych hier, potom sa zaoberá obmedzenejšou a možno známejšou skupinou strategických hier.

3.1 Kooperatívne hry a ich logika

Popis hry uvedený v relačnej štruktúre tvaru ((mathcal {N}, W, / succeq, E)) nestačí na pochopenie toho, aký presný výsledok sa nakoniec vyberie. Na to potrebujeme koncept riešenia, tj mapovanie, ktoré k hre priradí súbor výsledkov tejto hry (Abdou & Keiding 1991).

Pre koaličné hry bolo zavedených niekoľko konceptov riešenia (pozri napríklad Osborne & Rubinstein 1994 a Apt 2009 (Iné internetové zdroje)). Pre súčasné účely budeme diskutovať iba o tom, čo je pravdepodobne najznámejšie: jadro. Jadrom je zbierka stabilných výsledkov, tj výsledkov, pre ktoré neexistuje koalícia, ktorej členovia sú schopní a ochotní sa od nej odchýliť. Možno to vnímať ako súbor výsledkov, proti ktorým neexistuje účinná opozícia (Abdou & Keiding 1991).

Formálne, vzhľadom na relačnú štruktúru (F = (mathcal {N}, W, / succeq, E)), výsledok (w / in W) sa považuje za stabilný, ak neexistuje koalícia (C) a súbor výsledkov (X / subseteq W) tak, aby boli splnené obidve tieto podmienky:

  1. (X / in E (C))
  2. (y / in X) a (i / in C) znamená, že (y / succ_i w)

Inými slovami, výsledok je stabilný, ak neexistuje žiadna skupina jednotlivcov, ktorí by dokázali dosiahnuť alternatívu, ktorú všetci prísne uprednostňujú.

Jadro je zbierka všetkých stabilných výsledkov.

Príklad 6:

Zvážte výsledok 1M, čo je jediný výsledok, ktorý Nemecko považuje za prijateľný. Nemecko, ako už bolo uvedené, má efektívnu funkciu (E ({ textrm {Germany} }) = {W }), takže samy o sebe nemôžu zmeniť svoju preferenciu na výsledok. Spolu s ostatnými krajinami to však dokážu. Predpokladajme, že ich spojencami sú Belgicko, Francúzsko a Holandsko. Je 1M dobrý výsledok? Ak sa pozrieme na preferencie ostatných účastníkov koalície, tj Belgicka, Francúzska, Holandska, sledujeme nasledujúce. Belgicko malo skôr výsledok medzi 4 a 5 miliónmi, Francúzsko a Holandsko presne 5 miliónov. Tieto krajiny by sa mohli spojiť a zvoliť 5 miliónov, čo je pre nich prijateľný výsledok. Efektívnou funkciou ({) Belgicka, Francúzska, Holandska (}) je však (E ({) Belgicko, Francúzsko,Holandsko (}) = {W }), čo znamená, že tieto tri krajiny nie sú dostatočné na to, aby schválili 5-miliónový účet. Koalícia uskutočnená Belgickom, Francúzskom, Talianskom a Holandskom by však bola. Ďalej si všimnite, že 5M je jedným z preferovaných výsledkov Talianska. 5M je v skutočnosti jediný stabilný výsledok hry: neexistuje koalícia, ktorá by bola ochotná a schopná sa od nej odchýliť.

Modálna logika môže byť použitá na reprezentáciu jadra. Zvážte najskôr vzorec

[p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

To hovorí, že ak (p) je pravda, potom členovia nejakej koalície môžu vylepšiť nejaký (p) svet, ktorý sa nezdá byť správnym vzorcom na vyjadrenie stability v logike. Môžeme však dokázať nasledujúce výsledky, ktoré využívajú zhodu medzi vzorcom a konkrétnou triedou rámcov.

Nech (E) je funkcia (výsledná monotónna) efektivity a (succeq_i) slabý lineárny poriadok. potom:

[(F, V '), w / models p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

platí pre (w) pre každý (V '), ak existuje iba (C / subseteq N) a (X / in E_w (C)) tak, že pre všetkých (i / v C), (x / in X) máme to (x / succ_i w).

Takže vzorec platí pre (w) pre každé ocenenie iba vtedy, ak (w) nepatrí do jadra. Je zrejmé, že ak je vzorec pri výsledku a pri určitom ocenení nepravdivý, znamená to, že výsledok patrí k jadru.

Všimnite si, že keďže funkcie účinnosti sú výsledkom monotónne, ak máme, že (X / in E_w (C)) a

[X / subseteq / left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {(F, V ')},)

potom

(left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {(F, V ')} in E_w (C).)

Tiež si všimnite, že výsledok uvedený vyššie umožňuje prípad

(emptyset = / left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {M} in E_w (C),)

čo môže byť kontraintuitívne. Postará sa o to požiadavka (E) na živosť.

Všimnite si tiež, ako sme museli uvaliť univerzálnu kvantifikáciu na súbor ocenení. Bez tejto výslovnej kvantifikácie by vzorec platil iba pre jeden konkrétny model, ktorý by nebol vhodným riešením. Ak sa namiesto toho zaujímame len o to, či existuje nejaký výsledok, ktorý je stabilný alebo naopak, či je jadro prázdne, stačí, ak sa vyššie uvedený vzorec stane axiómom. To by znamenalo, že žiadny výsledok nie je stabilný, tj že jadro je prázdne.

Propozícia 10 Nech je (F) rám. Máme to

(models_F p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

iba vtedy, ak jadro nepatrí žiadny výsledok v (F).

Živosť by sa opäť postarala o triviálny prípad, v ktorom

(left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {(F, V)} = / emptyset.)

Alternatívnym prístupom je identifikovať každý výsledok názvom (alebo nominálnym) v jazyku, tj použiť hybridnú logiku. Potom máme nasledujúce.

Propozícia 11 Nech je (w_k) atómový výrok pravdivý pri výsledku (w_k) a iba pri výsledku (w_k).

[(F, V), w_k / models w_k / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i w_k / right))

iba vtedy, ak (w_k) nepatrí do jadra.

Takže v závislosti na vlastnostiach, ktoré nás zaujímajú, sú na vyjadrenie najvhodnejšie rôzne rozšírenia základnej modálnej logiky kombinované s rôznymi formami platnosti (vo svete verzus model verzus rámec).

3.2 Strategické hry a ich logika

Normálne hry alebo strategické hry sú reprezentáciou toho, čo jednotlivci môžu dosiahnuť skôr než koalície, a aké sú ich preferencie.

Formálne je strategická forma hry n-tica

[(N, W, { Sigma_i } _ {i / in N}, o))

kde N je konečný súbor hráčov, (W) súbor výsledkov, ({ Sigma_i } _ {i / in N}) súbor stratégií, jeden pre každého hráča (i), (o: / prod_ {i / in N} Sigma_i / to W) funkcia výsledku, priraďujúca k výsledku výsledok z viacerých stratégií.

Strategická hra je n-tica ((S, { succeq_i } _ {i / in N})), kde (S) je strategická forma hry a ({ succeq_i } _ { i / in N}) súbor preferenčných vzťahov, jeden pre každého hráča (i).

Príklad 7: Ak si myslíme, že krajiny v našom predchádzajúcom príklade sú jednotlivými hráčmi a ich hlasy ako individuálne stratégie, môžeme modelovať hru Rímska zmluva ako strategickú hru, kde každý jednotlivec môže voliť množstvo peňazí, ktoré venuje ochrane hraníc. a preferencie sú uvedené vyššie.

Funkcia výsledku sa postará o to, aby ku každému hlasu každého hráča bol priradený konečný výsledok kolektívneho rozhodnutia, napr. Výber výsledku hlasovaného skupinou krajín s váhou hlasovania najmenej 12, alebo vyústenie v žiadne rozhodnutie, ak sa nedosiahne konsenzus., Napríklad:

  • Francúzsko hlasovalo 0M
  • Belgicko hlasovalo za 2 milióny
  • Taliansko hlasovalo 10 miliónov
  • Nemecko hlasovalo 0M
  • Holandsko hlasovalo 0 miliónov
  • Luxembursko hlasovalo 0M

Výsledkom tohto kola nie je žiadne rozhodnutie, pretože žiadny výsledok nezhromaždil hlasovaciu váhu najmenej 12.

Predpokladajme však, že druhé kolo je také, že každý s výnimkou Belgicka sa drží svojho hlasu a predpokladá sa, že Belgicko prešlo na hlasovanie 0M. Teraz má 0M agregát 13, čo znamená, že je vybraný ako konečné rozhodnutie.

Pri pohľade na jednotné zaobchádzanie s našim príkladom sa zdá, že existuje vzťah medzi normálnymi formovými hrami a koaličnými hrami. Tento vzťah je možné určiť formálne.

Poďme najprv zvážiť, čo môže skupina hráčov urobiť v normálnej forme hry. Za týmto účelom definujeme funkciu efektivity (alfa), matematický opis koaličných stratégií v hre z hľadiska výstupov, ktoré môžu sily prinútiť.

Definícia 12 ((alpha) - funkcia efektívnosti] Nech je (S) strategická hra. Definujeme funkciu efektívnosti (alfa) (S), (E ^ { alpha} _S (C)):

(E ^ { alpha} _S (C) = {X / \ mid) existuje (sigma_C) také, že pre všetkých (sigma '_ { overline {C}}) máme to (o (sigma_C, / sigma '_ { overline {C}}) in X })

Intuitívne funkcia (alfa) - efektívnosti (S) zbiera pre každú skupinu hráčov súbor výsledkov, ktoré môžu dosiahnuť stanovením ich stratégie bez ohľadu na to, ako hrajú ich oponenti.

Návrh 13 (Goranko a kol. 2013)

Účinnosť strategickej hry (alfa) je skutočne hrateľná.

Nasledujúci výsledok ukazuje vzťah medzi stratégiami a funkciami efektívnosti.

Veta 14 (Goranko a kol. 2013)

Funkcia efektivity je skutočne hrateľná, iba ak je funkciou (alpha) - efektivity niektorej strategickej hry.

Toto je zovšeobecnenie výsledku v Peleg 1998 pre konečné hry, počnúc modelmi strategických hier prvýkrát definovaných v Pauly 2001. V skratke to, čo tieto výsledky naznačujú, je nasledujúce.

Prognóza 15 Nechajte (F) štruktúru relačnej hry. Potom (F) je strategická hra vtedy a len vtedy, ak v (F) platia nasledujúce vzorce pre disjunktné (C, C ^ { prime}):

  • (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi)
  • (models_F [C] top)
  • (models_F / neg [C] bot)
  • (models_F / neg (emptyset] varphi / to [N] varphi)
  • (models_F [C ^ { prime}] varphi / wedge [C] psi / to [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi))

Rovnakým spôsobom ako v prípade kooperatívnych hier sa môžeme pýtať sami seba, či je výsledok stabilný alebo racionálny v strategickej situácii.

Nashova rovnováha a definovateľnosť Hlavným konceptom riešenia pre analýzu strategických hier je Nashova rovnováha. Neformálna rovnováha Nash je súbor stratégií, jeden na jedného hráča, takže žiadny hráč nemá záujem zmeniť svoju stratégiu vzhľadom na to, že ostatní sa držia ich. Formálne je strategický profil (sigma) (čistá stratégia) Nashova rovnováha, ak pre všetkých hráčov (i / in N) a pre všetkých (sigma'_i / in / Sigma_i) máme toto

[o (sigma_i, / sigma _ {- i}) succeq_i o (sigma'_i, / sigma _ {- i}))

Príklad 8: Zvážte nasledujúci hlas

  • Francúzsko hlasovalo za 5 miliónov
  • Belgicko hlasovalo za 5 miliónov
  • Taliansko hlasovalo 10 miliónov
  • Nemecko hlasovalo 1M
  • Holandsko hlasovalo za 5 miliónov
  • Luxemburské hlasovanie 5M

V tejto hre neexistuje zhoda v žiadnom rozpočte. Situácia by mohla vyzerať ako patová situácia, pretože všetci hlasovali podľa svojich preferencií. Výsledkom je však nezhoda, ktorú žiadny hráč nemá pred akoukoľvek dohodou. Jediným spôsobom, ako sa hráči môžu priblížiť k dohode, je to, že Taliansko zmenilo svoj hlas na 5 miliónov. Ak sa tak stane, 5M sa dosiahne ako výsledok.

Všimnite si, že upravená hra, v ktorej Taliansko volí 5M, je Nashova rovnováha.

Zvážte teraz zmenu vyššie uvedenej hry, v ktorej Taliansko a Holandsko volia 10 miliónov, zatiaľ čo ostatní sa hlasujú. Prekvapivo, napriek nezhodám, je to Nashova rovnováha, pretože žiadny hráč sa nemôže súčasne dohodnúť, hoci je ochotný tak urobiť.

Ako vyjadriť Nashove rovnováhy v logike? Spomeňte si na vzorec

[p / do / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

drží v rámci (F) iba vtedy, ak je jadro prázdne a hybridné logické rozšírenie nám môže povedať, či konkrétny výsledok patrí do jadra. Ak je (F) založená na skutočne hrateľnej funkčnej funkcii, už máme normálnu podobu hernej verzie jadra: výsledok je taký, že žiadna koalícia nie je spolu schopná a ochotná odchýliť sa, nezohľadňujúc to, čo robia ostatní. Nashova rovnováha však určuje profil stratégií tak, že žiaden hráč nie je schopný a ochotný sa odtiaľ odchýliť. Inými slovami, vyžaduje to hráčovi najlepšiu reakciu vzhľadom na daný profil.

Formalizmy, ako je koaličná logika, sú príliš slabé na to, aby vyjadrili Nashove rovnováhy. Môžu však vyjadriť skutočnosť, že určité funkcie efektivity umožňujú možnosť Nashovej rovnováhy. Toto je to, čo sa v Hansen & Pauly 2002 nazýva koaličná logika konzistentná s Nashom. Nashova rovnováha v skutočnosti nie je definovateľná v základnej modálnej logike (Benthem a kol. 2011), ale dá sa to urobiť pomocou modality, ktorá pretína preferenčné aj výberové vzťahy (Benthem a kol. 2011).

((F, V), w / models / langle / cca_i / cap / succ_i / rangle / varphi) iba vtedy, ak (w (cca_i / cap / succ_i) w ') naznačuje, že (w' / models / varphi)

Potom je najlepšia reakcia na (i) definovaná ako (langle / cca_i / cap / succ_i / rangle / top), pretože neexistuje iná alternatíva, ktorá by bola súčasne dosiahnuteľná a vhodnejšia ako (i), Alternatívne môže byť riešením hybridná logika, ktorá spomína strategické profily v jazyku, podobne ako v prípade jadra.

3.2.1 Logika nemonotonických akcií

Niektoré logiky využívajú kompaktnejšie zobrazenie tých relačných štruktúr, ktoré zodpovedajú strategickým hrám.

Namiesto použitia efektívnych funkcií je každý hráč (i) asociovaný s ekvivalenčným vzťahom (cca_i / subseteq W / times W), ktorého vyvolaná partícia predstavuje voľby, ktoré môže vykonať. Tieto vzťahy rovnocennosti opisujú presný súbor možností, ktoré môže skupina hráčov vykonať, a pôvodné modely sa v literatúre označujú ako dôsledkové (pozri napríklad Belnap, Perloff a Ming 2001).

Teraz definujte funkciu efektivity (E ^ {*}), pre ktorú platí

[E ^ {*} (i) = {[x] mid x '\ in [x] mbox {every} x / cca_i x' } ^ {+})

Intuitívne (E ^ {*} (i)) zbiera to, čo presne jednotlivci môžu dosiahnuť a všetky svoje supersety.

(E ^ {*}) sa nazýva následník, ak platí, že:

  • (E ^ {*} (C) = { bigcap_ {i / in C} X_i / mid / mbox {pre niektorých} X_i / in E ^ {*} (i) })
  • (emptyset / not / in E ^ {*} (C)) pre každé (C / neq N)
  • (E ^ {*} (N) = { {x } mid x / in W } ^ {+})

Všimnite si, že (E ^ *) je skutočne hrateľná funkcia efektivity.

Posledným majetkom je opodstatnenosť, ako v prípade funkcií svojvoľnej účinnosti. Toto nie je vlastnosť, ktorá sa predpokladá vo všetkých variantoch, napr. Výberové štruktúry v Kooi & Tamminga 2008 a jej dočasný variant STIT (Belnap et al. 2001) to tak nie sú. Ako sa však uvádza v dokumente Turrini 2012 a Tamminga 2013, dobre podložené následné modely zodpovedajú strategickým hrám a efektívna funkcia (E) sa dá efektívne simulovať pomocou vzťahu ekvivalencie (cca_i) pre každého hráča. Intuitívne (E ^ {*} (i)) je množina výstupov, ktoré si môže vybrať (i) bez toho, aby bola schopná ďalej spresňovať.

Na uvažovanie o dôsledkových modeloch používame takzvanú dôsledkovú logiku, tj výrokovú logiku rozšírenú o modality formy ([C] varphi), interpretovanú takto:

(M, w / models [C] varphi) iba vtedy, ak (M, w '\ models / varphi) pre všetky (w'), takže (w (bigcap_ {i / in) C} cca_i) w ')

Následná logistika bola vyvinutá s cieľom uvažovať o akciách a dôsledkoch a má zaujímavé aplikácie v deontickej logike, ako napríklad Kooi & Tamminga 2008; Tamminga 2013; Turrini 2012. Okrem toho sú základom časovej logiky stratégie, ako sú STIT a strategické STIT, o ktorých sa bude diskutovať neskôr. Osobitným prípadom sú logika výrokovej kontroly (Hoek & Wooldridge 2005; Troquard, Hoek a Wooldridge 2009).

3.2.2 Logické hry

V mnohých situáciách majú agenti kontrolu nad určitými výrokovými premennými (Hoek & Wooldridge 2005), napríklad môžu byť zodpovední za tok prevádzky alebo môžu vetovať určitý problém. Premenné sa dajú zdieľať (Gerbrandy 2006), príkladom je hlasovanie, kde hráči zdieľajú kontrolu nad premennou, ktorej realizácia je určená určitou agregačnou funkciou, napr. Väčšinou (Troquard, Hoek a Wooldridge 2011). Tieto logiky výrokovej kontroly určujú, čo majú činitelia výrokov vo svojej funkčnej funkcii. Napríklad, ak agent (i) ovláda (p), potom (p ^ {M}) a (neg p ^ {M}) sú vo svojej funkčnej funkcii. Svojím spôsobom sú tieto modely veľmi špeciálnymi druhmi efektívnej funkcie a to, ktoré riadenie agentov je možné vnímať ako výber alebo stratégiu, ktoré majú k dispozícii.

Logika pre výrokovú kontrolu má podobu typu ( varphi), čo znamená, že hráč (i) má stratégiu „kontroly“, ktorá zabezpečí, že bez ohľadu na to, ako si ostatní agenti vyberú svoju kontrolu stratégie, potom (varphi) nakoniec končí. Majú však aj modality typu ([C] varphi), čo znamená, že hráči v (C) majú na konci spoločnú kontrolnú stratégiu zabezpečujúcu (varphi). Profil stratégie je teda rovnocenný s hodnotiacou funkciou, ktorá priraďuje pravdivú hodnotu každému dostupnému návrhu. Stratégiu hráča (i) je teda možné vnímať ako funkciu čiastočného ocenenia, ktorá priraďuje pravdivú hodnotu iba návrhom kontrolovaným pomocou (i).

Mierne zneužívajúci zápis, hovoríme, že ocenenie (V) vyhovuje vzorcu (varphi), označenému (V / models / varphi), kedykoľvek to robí (varphi) pravdivým pri súčasnom priradení propozície. Inými slovami, výrokové kontrolné hry sa hrajú v jednom jedinom svete a jednotlivé úlohy určujú, aké výroky sú pravdivé. Označujúc (mathcal {V}) množinu všetkých ocenení a (mathcal {V} _i) na čiastkové hodnoty pod kontrolou (i) máme nasledujúce.

((F, V) modelsvarphi) iba vtedy, ak pre všetky (i / in C) existuje (V'_i / in / mathcal {V} _i) tak, že pre všetky (k / in / overline {C}, V '_ {k} in / mathcal {V} _k) máme to ((F, V') models / varphi)

Takže keď ([C] varphi) drží, koalícia (C) môže hrať kontrolnú stratégiu takým spôsobom, že bez ohľadu na to, aká je kontrolná stratégia, ktorú hrajú ich oponenti, výsledný výsledok vyhovuje (varphi).

Logiku na kontrolu výrokov možno rozšíriť na formalizmy založené na cieľoch, takzvané booleovské hry (Harrenstein, van der Hoek, Meyer a Witteveen 2001): výroky sú rozdelené medzi hráčov, pričom každý hráč riadi súbor výrokov, ktoré on alebo ona má je priradený k. Okrem toho je každému hráčovi pridelená aj vzorka výrokovej logiky, ktorá má byť jeho cieľom a ktorého realizácia nemusí závisieť len od toho, čo dokáže.

Booleovské hry boli rozsiahle študované v oblasti multiagentových systémov ako jednoduché a kompaktné modely predstavujúce strategickú interakciu v prostredí založenom na logike (Dunne & Hoek 2004; Dunne & Wooldridge 2012; Dunne, Hoek, Kraus a Wooldridge 2008).).

Vo svojich najbežnejších variantoch ide o rozšírenie logiky s výrokovou kontrolou, pričom každému agentovi je pridelený cieľový vzorec. Cieľový vzorec je uspokojivý vzorec jazyka a dôležitým znakom je, že cieľ každého agenta nemusí byť pod jeho kontrolou.

Napríklad agentovi (i) môže byť priradená iba kontrola výroku (p), ale môže mať cieľ, ktorým je (p / leftrightarrow q). To, či je splnený cieľ (i), závisí nielen od toho, či je (i) nastavenie tvrdenia (p) pravdivé, ale aj od nejakého iného agenta, napríklad (j), stanovenia tvrdenia (q) aby to bola pravda. Agent (j), na druhej strane, môže alebo nemusí mať záujem o (q) nastavenie na true. Napríklad môže chcieť, aby výrok (r) bol pravdivý, a preto je ľahostajné, či sa na konci realizuje (q) alebo (overline {q}). Alebo by mohol mať cieľ, ktorý (overline {q}).

V booleovských hrách môžu byť niektoré ciele realizované spoločne, napríklad agenti môžu všetci chcieť, aby boli pravdivé (p / vee / neg q), alebo by sa mohlo stať, že určité ocenenia nerealizujú ciele všetkých agentov, ale žiadny nešťastný agent nie je schopný zlepšiť svoju vlastnú situáciu zmenou priradenia k výrokovým premenným, ktoré kontroluje. Táto situácia je veľmi jednoduchá forma Nashovej rovnováhy, ktorú možno vyjadriť v booleovských hrách.

Takže pre (gamma_i) je cieľom hráča (i) a (v_i) čiastočné ocenenie, ktoré je pod kontrolou hráča (i), hovoríme, že ocenenie (v) je Nashova rovnováha, ak ju máme pre každú (i) a každú (v'_i).

[(v_i, v _ {- i}) not / models / gamma_i / mbox {naznačuje, že} (v'_i, v _ {- i}) not / models / gamma_i)

Takže ak (v) nespĺňa cieľ (i), nič (i) nemôže splniť.

Analýza Nashovej rovnováhy v booleovskej hre ukazuje úzku zhodu medzi týmito hrami a výrokovou logikou: pomocou redukcie problému uspokojivosti výrokových logických vzorcov sa problém kontroly, či je výsledok (v) rovnováhou Nashov booleovskej rovnováhy hra je co-NP kompletná (Wooldridge, Endriss, Kraus a Lang 2013).

4. Závery: K správnej úrovni analýzy

Pripomeňme si úplne prvý príklad, v ktorom by sa súbor výsledkov hlasovacej hry mohol opísať iba vzhľadom na celkový výsledok hlasovania alebo výslovným opisom toho, čo hlasovala každá z krajín.

Pri popise matematických štruktúr stručnými jazykmi sa často stretávame s otázkou, ktorý z nich je najvhodnejším jazykom. Niektorí dokážu spoločne vyjadriť svoje preferencie, vedomosti a koaličné schopnosti, iní len o dvoch, iní len o jednej. Niektoré jazyky môžu napokon vyjadriť len to, čo jednotlivci a nie koalície môžu dosiahnuť.

Na túto otázku opäť neexistuje správna odpoveď. Všetko záleží na základných charakteristikách, ktoré sa človek snaží modelovať. Na vyjadrenie Nashovej rovnováhy v koordinačnej hre nie je potrebný formálny formalizmus založený na časovej logike. Naopak, ak chceme vyjadriť spätnú indukciu, potom jazyk, ktorý nedáva explicitnú sekvenčnú štruktúru rozhodovacieho problému, pravdepodobne nie je ten pravý.

Ak sa vrátime k nášmu príkladu, niektoré krajiny môžu mať preferencie pred tým, ako iné krajiny hlasujú, a to by mohlo ovplyvniť ich rozhodovanie, čím by sa zmenili celkové rovnovážné body hry. Ak je to tak, potom je dôležitý bohatší jazyk. V opačnom prípade, ak môžeme túto možnosť bezpečne vylúčiť, zdá sa byť vhodnejšou voľbou výstižnejší jazyk.

Bibliografia

  • Abdou, Joseph a Hans Keiding, 1991, Funkcie efektivity v sociálnej voľbe, (Knižnica teórie a rozhodovania 8), Dordrecht: Springer Netherlands, doi: 10.1007 / 978-94-011-3448-4
  • Baltag, Alexandru a Bryan Renne, 2016, „Dynamic Epistemic Logic“, v Stanfordskej encyklopédii filozofie, (vydanie Winter 2016), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Belnap, Nuel, Michael Perloff a Ming Xu, 2001, Tvár v tvár budúcnosti: Agenti a voľby v našom neurčitom svete, Oxford: Oxford University Press.
  • Benthem, Johan van, 2014, Logic in Games, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Benthem, Johan van, Eric Pacuit a Olivier Roy, 2011, „Smerom k teórii hry: Logický pohľad na hry a interakcie“, Hry, 2 (1): 52–86. doi: 10,3390 / g2010052
  • Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke a Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9781107050884
  • Chellas, Brian, 1980, Modal Logic: Úvod, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Dalen, Dirk van, 1980, Logic and Structure, Berlin: Springer-Verlag. doi: 10,1007 / 978-3-662-02962-6
  • Dunne, Paul E. a Wiebe van der Hoek, 2004, „Zastúpenie a komplexnosť v booleovských hrách“, v José Júlio Alferes a João Alexandre Leite (ed.), Logics in Artificial Intelligence, 9. európska konferencia, JELIA 2004, Lisabon, Portugalsko. 27. - 30. septembra 2004, Proceedings, Berlin, Heidelberg: Springer, 3229: 347–359. doi: 10,1007 / 978-3-540-30227-8_30
  • Dunne, Paul E. a Michael Wooldridge, 2012, „Smerom k sledovateľným booleovským hrám“, vo Wiebe van der Hoek, Lin Padgham, Vincent Conitzer a Michael Winikoff (ed.), Zborník z 11. medzinárodnej konferencie o autonómnych agentoch a multiagentových systémoch, (AAMAS 2012), Valencia, Španielsko, 4. - 8. júna 2012, Richland, SC: Medzinárodná nadácia pre autonómnych agentov a multiagentové systémy, zv. 2, str. 939 - 946.
  • Dunne, Paul E., Wiebe van der Hoek, Sarit Kraus a Michael Wooldridge, 2008, „Družstevné booleovské hry“, v Lin Padgham, David C. Parkes, Jörg P. Müller a Simon Parsons (ed.), Zborník 7. medzinárodná spoločná konferencia o autonómnych agentoch a multiagentových systémoch (AAMAS 2008), Estoril, Portugalsko, 12. - 16. mája 2008, Richland, SC: Medzinárodná nadácia pre autonómnych agentov a multiagentový systém, zv. 2, str. 1015 - 1022.
  • Garson, James, 2014, „Modal Logic“, v Stanfordskej encyklopédii filozofie, (vydanie jar 2016), Edward N. Zalta (ed.), URL = ,
  • Gerbrandy, Jelle, 2006, „Logika predbežnej kontroly“, v Hideyuki Nakashima, Michael P. Wellman, Gerhard Weiss a Peter Stone (ed.), Zborník z 5. medzinárodnej konferencie o autonómnych agentoch a multiagentových systémoch (AAMAS 2006)), Hakodate, Japonsko, 8. - 12. mája 2006, New York: ACM, s. 193 - 200. doi: 10,1145 / 1.160.633,1160664
  • Goranko, Valentin a Salomon Passy, 1992, „Použitie univerzálnej modality: Zisky a otázky“, Journal of Logic and Computation, 2 (1): 5-30. doi: 10,1093 / logcom / 2.1.5
  • Goranko, Valentin, Wojciech Jamroga a Paolo Turrini, 2013, „Strategické hry a skutočne hrateľné funkcie efektívnosti“, autonómni agenti a systémy viacerých agentov, 26 (2): 288–314. doi: 10.1007 / s10458-012-9192-y
  • Hansen, Helle Hvid, 2003, Monotonic Modal Logics, Master Thesis, Universiteit van Amsterdam.
  • Hansen, Helle Hvid a Marc Pauly, 2002, „Axiomatising Nash-Consistent Coalition Logic“, v Sergio Flesca, Sergio Greco, Nicola Leone a Giovambattista Ianni (ed.), Logics in Artificial Intelligence, Berlin: Springer, 2424: 394– 406. doi: 10,1007 / 3-540-45757-7_33
  • Hansen, Helle Hvid, Clemens Kupke a Eric Pacuit, 2009, „Susedské štruktúry: bisimilarita a teória základného modelu“, Logické metódy v informatike, 5 (2): lmcs: 1167. [Hansen, Kupke a Pacuit 2009 sú k dispozícii online]
  • Hansson, Sven Ove a Till Grune-Yanoff, 2011, „Preferencie“, v Stanfordskej encyklopédii filozofie, (vydanie z jesene 2011), Edward N. Zalta (ed.), URL => https://plato.stanford.edu/ archívy / fall2011 / záznamy / preferences />
  • Harrenstein, Paul, Wiebe van der Hoek, John-Jules Meyer a Cees Witteveen, 2001, „Booleovské hry“, v Johan van Benthem (ed.), Zborník z 8. konferencie o teoretických aspektoch racionality a znalostí (Tark ') 01), San Francisco: Morgan Kaufmann, s. 287 - 298.
  • Hendricks, Vincent a John Symons, 2006, „Epistemic Logic“, v Stanfordskej encyklopédii filozofie, (vydanie z jari 2006), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Hodges, Wilfrid, 2013, „Logika a hry“, v Stanfordskej encyklopédii filozofie, (jarné vydanie 2013), Edward N. Zalta (ed.), URL = ,
  • Hoek, Wiebe van der a Marc Pauly, 2006, „Modálna logika pre hry a informácie“, v Patrick Blackburn, Johan van Benthem a Frank Wolter (ed.), Handbook of Modal Logic, s. 1077–1148, Elsevier.
  • Hoek, Wiebe van der a Michael Wooldridge, 2005, „K logike spolupráce a predbežnej kontroly“, Artificial Intelligence, 164 (1–2): 81–119. doi: 10,1016 / j.artint.2005.01.003
  • Kooi, Barteld a Allard Tamminga, 2008, „Morálne konflikty medzi skupinami činiteľov“, Journal of Philosophical Logic, 37 (1): 1–21. doi: 10.1007 / s10992-007-9049-z
  • Kracht, Marcus a Frank Wolter, 1999, „Normálna monomodálna logika môže simulovať všetky ostatné“, Journal of Symbolic Logic, 64 (1): 99–138. doi: 10,2307 / 2586754
  • Moulin, Herve a Bezalel Peleg, 1982, „Jadro efektívnych funkcií a teória implementácie“, Journal of Mathematical Economics, 10 (1): 115–145. doi: 10,1016 / 0304-4068 (82), 90009-X
  • Osborne, Martin a Ariel Rubinstein, 1994, Kurz teórie hier, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Pacuit, Eric a Olivier Roy, 2015, „Epistemické základy teórie hier“, v Stanfordskej encyklopédii filozofie, (jarné vydanie 2015), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Pauly, Marc, 2001, Logic for Social Software, Ph. D. diplomová práca, Amsterdamská univerzita. [Pauly 2001 je k dispozícii online]
  • Peleg, Bezalel, 1998, „Funkcie efektívnosti, herné formy, hry a práva“, Social Choice and Welfare, 15 (1): 67–80. doi: 10,1007 / s003550050092
  • Steele, Katie a Orri Stefansson, 2015, „Teória rozhodovania“, v Stanfordskej encyklopédii filozofie (vydanie Winter 2015), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Tamminga, Allard, 2013, „Deontická logika pre strategické hry“, Erkenntnis, 78 (1): 183–200. doi: 10,1007 / s10670-011-9349-0
  • Troquard, Nicolas, Wiebe van der Hoek a Michael Wooldridge, 2009, „Logika hier a predbežná kontrola“, v Carles Sierra, Cristiano Castelfranchi, Keith S. Decker a Jaime Simão Sichman (eds.), Zborník z 8. ročníka Medzinárodná spoločná konferencia o autonómnych agentoch a multiagentových systémoch (AAMAS 2009), Budapešť, Maďarsko, 10. - 15. mája 2009, Richland, SC: Medzinárodná nadácia pre autonómnych agentov a multiagentové systémy, zv. 2, s. 961 - 968.
  • –––, 2011, „Zdôvodnenie funkcií sociálnej voľby“, Journal of Philosophical Logic, 40 (4): 473–498. doi: 10.1007 / s10992-011-9189-z
  • Turrini, Paolo, 2012, „Dohody ako normy“, v Thomas AÅgotnes, Jan Broersen a Dag Elgesem (ed.), Deontic Logic in Computer Science: 11. medzinárodná konferencia, (DEON 2012), Bergen, Nórsko, 16. - 18. júla, 2012, Berlin: Springer, 7393: 31–45. doi: 10,1007 / 978-3-642-31570-1_3
  • Wooldridge, Michael, Ulle Endriss, Sarit Kraus a Jérôme Lang, 2013, „Incentive Engineering for Boolean Games“, Artificial Intelligence, 195: 418–439. doi: 10,1016 / j.artint.2012.11.003

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Ako citovať tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
ikona
ikona
Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona phil papiere
ikona phil papiere
Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

  • Apt, Krzysztof, 2009, „Kooperatívne hry“, poznámky o kurze, Centrum Wiskunde & Informatica, Amsterdam.
  • Logika v akcii

Odporúčaná: