Logika A Pravdepodobnosť

Obsah:

Logika A Pravdepodobnosť
Logika A Pravdepodobnosť

Video: Logika A Pravdepodobnosť

Video: Logika A Pravdepodobnosť
Video: ЭТИ ЗАГАДКИ ПРОКАЧАЮТ ТВОЙ МОЗГ! САМЫЙ ТОЧНЫЙ ТЕСТ НА ЛОГИКУ 2024, Marec
Anonim

Vstupná navigácia

  • Obsah vstupu
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Náhľad priateľov PDF
  • Informácie o autorovi a citácii
  • Späť na začiatok

Logika a pravdepodobnosť

Prvýkrát publikované 7. marca 2013; podstatná revízia Ut 26. marca 2019

Logická a pravdepodobnostná teória sú dva hlavné nástroje formálneho štúdia uvažovania a boli úspešne aplikované v oblastiach tak rozmanitých ako filozofia, umelá inteligencia, kognitívna veda a matematika. Tento príspevok sa zaoberá hlavnými návrhmi na kombináciu logiky a teórie pravdepodobnosti a pokúša sa klasifikovať rôzne prístupy v tejto rýchlo sa rozvíjajúcej oblasti.

  • 1. Kombinácia logickej a pravdepodobnostnej teórie
  • 2. Propozičná logika pravdepodobnosti

    • 2.1 Pravdepodobná sémantika
    • 2.2 Adamsova pravdepodobnostná logika
    • 2.3 Ďalšie zovšeobecnenia
  • 3. Operátori základnej pravdepodobnosti

    • 3.1 Kvalitatívne vyjadrenia neistoty
    • 3.2 Súčty a produkty pravdepodobnostných podmienok
  • 4. Logika pravdepodobnosti prepravy

    • 4.1 Základné modely konečnej modálnej pravdepodobnosti
    • 4.2 Indexovanie a interpretácie
    • 4.3 Pravdepodobnosť
    • 4.4 Kombinácia kvantitatívnej a kvalitatívnej neistoty
    • 4.5 Dynamika
  • 5. Pravdepodobnostná logika prvého poriadku

    • 5.1 Príklad logiky pravdepodobnosti prvého poriadku

      • 5.1.1 Kvantifikácia na viac ako jednu premennú
      • 5.1.2 Podmienená pravdepodobnosť
      • 5.1.3 Pravdepodobnosť ako podmienky
    • 5.2 Pravdepodobná logika pravdepodobnosti prvého rádu na svete
    • 5.3 Metalogické
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Ďalšie internetové zdroje
  • Súvisiace záznamy

1. Kombinácia logickej a pravdepodobnostnej teórie

Už samotná myšlienka kombinovania logiky a pravdepodobnosti môže vyzerať na prvý pohľad čudne (Hájek 2001). Logika sa koniec koncov týka úplne istých pravd a záverov, zatiaľ čo teória pravdepodobnosti sa zaoberá neurčitosťami. Logika ďalej ponúka kvalitatívny (štrukturálny) pohľad na inferenciu (deduktívna platnosť argumentu je založená na formálnej štruktúre argumentu), zatiaľ čo pravdepodobnosti sú kvantitatívne (numerické) povahy. Ako však ukážeme v ďalšej časti, existujú prirodzené zmysly, v ktorých teória pravdepodobnosti predpokladá a rozširuje klasickú logiku. Okrem toho, historicky povedané, niekoľko významných teoretikov, ako De Morgan (1847), Boole (1854), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Carnap (1950), Jeffrey (1992) a Howson (2003, 2007,2009) zdôraznili úzke súvislosti medzi logikou a pravdepodobnosťou, alebo dokonca považovali svoju prácu o pravdepodobnosti za súčasť samotnej logiky.

Integráciou komplementárnych perspektív kvalitatívnej logiky a numerickej pravdepodobnostnej teórie je pravdepodobnostná logika schopná ponúknuť vysoko expresívne účty dedukcie. Preto by nemalo byť žiadnym prekvapením, že boli použité vo všetkých oblastiach, ktoré študujú mechanizmy uvažovania, ako sú filozofia, umelá inteligencia, kognitívna veda a matematika. Nevýhodou tejto medzidisciplinárnej popularity je skutočnosť, že pojmy ako „pravdepodobnostná logika“používajú rôzni vedci rôznymi spôsobmi, ktoré nie sú rovnocenné. Preto predtým, ako prejdeme k skutočnej diskusii o rôznych prístupoch, najskôr si vysvetlíme predmet tohto záznamu.

Najdôležitejším rozdielom je rozdiel medzi pravdepodobnosťou a indukčnou logikou. Tvrdí sa, že argument je (odpočítateľne) platný iba vtedy, ak je nemožné, aby všetky priestory (A) boli všetky pravdivé, zatiaľ čo jeho záver je nepravdivý. Inými slovami, deduktívna platnosť sa rovná zachovaniu pravdy: v platnom argumente pravda priestorov zaručuje pravdu záveru. V niektorých argumentoch však pravda priestorov úplne nezaručuje pravdivosť záveru, ale stále ju robí veľmi pravdepodobnou. Typickým príkladom je argument s priestormi „Prvá labuť, ktorú som videl, bola biela“, …, „1 000. labuť, ktorú som uvidel, bola biela“, a záver „Všetky labute sú biele“. Takéto argumenty sa skúmajú v induktívnej logike, ktorá vo veľkej miere využíva pravdepodobnostné pojmy,a preto ich niektorí autori považujú za súvisiaci s logikou pravdepodobnosti. Diskutuje sa o presnom vzťahu medzi induktívnou a pravdepodobnostnou logikou, čo je zhrnuté v úvode Kyburga (1994). Dominantné postavenie (obhajované okrem iného Adamsom a Levinom (1975)), ktoré je tu tiež prijaté, spočíva v tom, že pravdepodobnostná logika patrí výlučne k deduktívnej logike, a preto by sa nemala zaoberať induktívnym zdôvodnením. Väčšina prác na induktívnej logike stále spadá pod prístup „zachovania pravdepodobnosti“, a preto je úzko spojená so systémami uvedenými v časti 2. Viac informácií o induktívnej logike môže čitateľ konzultovať s Jaynesom (2003), Fitelsonom (2006), Romeijn. (2011) a položky týkajúce sa problému indukčnej a indukčnej logiky tejto encyklopédie. Diskutuje sa o presnom vzťahu medzi induktívnou a pravdepodobnostnou logikou, čo je zhrnuté v úvode Kyburga (1994). Dominantné postavenie (obhajované okrem iného Adamsom a Levinom (1975)), ktoré je tu tiež prijaté, spočíva v tom, že pravdepodobnostná logika patrí výlučne k deduktívnej logike, a preto by sa nemala zaoberať induktívnym zdôvodnením. Väčšina prác na induktívnej logike stále spadá pod prístup „zachovania pravdepodobnosti“, a preto je úzko spojená so systémami uvedenými v časti 2. Viac informácií o induktívnej logike môže čitateľ konzultovať s Jaynesom (2003), Fitelsonom (2006), Romeijn. (2011) a položky týkajúce sa problému indukčnej a indukčnej logiky tejto encyklopédie. Diskutuje sa o presnom vzťahu medzi induktívnou a pravdepodobnostnou logikou, čo je zhrnuté v úvode Kyburga (1994). Dominantné postavenie (obhajované okrem iného Adamsom a Levinom (1975)), ktoré je tu tiež prijaté, spočíva v tom, že pravdepodobnostná logika patrí výlučne k deduktívnej logike, a preto by sa nemala zaoberať induktívnym zdôvodnením. Väčšina prác na induktívnej logike stále spadá pod prístup „zachovania pravdepodobnosti“, a preto je úzko spojená so systémami uvedenými v časti 2. Viac informácií o induktívnej logike môže čitateľ konzultovať s Jaynesom (2003), Fitelsonom (2006), Romeijn. (2011) a položky týkajúce sa problému indukčnej a indukčnej logiky tejto encyklopédie. Dominantné postavenie (obhajované okrem iného Adamsom a Levinom (1975)), ktoré je tu tiež prijaté, spočíva v tom, že pravdepodobnostná logika patrí výlučne k deduktívnej logike, a preto by sa nemala zaoberať induktívnym zdôvodnením. Väčšina prác na induktívnej logike stále spadá pod prístup „zachovania pravdepodobnosti“, a preto je úzko spojená so systémami uvedenými v časti 2. Viac informácií o induktívnej logike môže čitateľ konzultovať s Jaynesom (2003), Fitelsonom (2006), Romeijn. (2011) a položky týkajúce sa problému indukčnej a indukčnej logiky tejto encyklopédie. Dominantné postavenie (obhajované okrem iného Adamsom a Levinom (1975)), ktoré je tu tiež prijaté, spočíva v tom, že pravdepodobnostná logika patrí výlučne k deduktívnej logike, a preto by sa nemala zaoberať induktívnym zdôvodnením. Väčšina prác na induktívnej logike stále spadá pod prístup „zachovania pravdepodobnosti“, a preto je úzko spojená so systémami uvedenými v časti 2. Viac informácií o induktívnej logike môže čitateľ konzultovať s Jaynesom (2003), Fitelsonom (2006), Romeijn. (2011) a položky týkajúce sa problému indukčnej a indukčnej logiky tejto encyklopédie.väčšina prác na induktívnej logike spadá pod prístup „zachovania pravdepodobnosti“, a preto je úzko spojená so systémami uvedenými v časti 2. Viac informácií o induktívnej logike môže čitateľ konzultovať s Jaynesom (2003), Fitelsonom (2006), Romeijn (2011).) a položky týkajúce sa problému indukčnej a indukčnej logiky tejto encyklopédie.väčšina prác na induktívnej logike spadá pod prístup „zachovania pravdepodobnosti“, a preto je úzko spojená so systémami uvedenými v časti 2. Viac informácií o induktívnej logike môže čitateľ konzultovať s Jaynesom (2003), Fitelsonom (2006), Romeijn (2011).) a položky týkajúce sa problému indukčnej a indukčnej logiky tejto encyklopédie.

Budeme sa tiež vyhýbať filozofickej diskusii o presnej povahe pravdepodobnosti. Formálne systémy, o ktorých sa tu diskutuje, sú kompatibilné so všetkými bežnými interpretáciami pravdepodobnosti, ale samozrejme, v konkrétnych aplikáciách sa určité interpretácie pravdepodobnosti zmestia prirodzenejšie ako iné. Napríklad logika pravdepodobnosti prepravy, o ktorej sa hovorí v oddiele 4, je sama o sebe neutrálna, pokiaľ ide o povahu pravdepodobnosti, ale keď sa používajú na opis správania sa prechodného systému, ich pravdepodobnosti sa zvyčajne interpretujú objektívnym spôsobom, zatiaľ čo modelovanie viacerých - súčasné scenáre sú najprirodzenejšie sprevádzané subjektívnou interpretáciou pravdepodobností (ako stupňa viery agentov). Táto téma je podrobne opísaná v Gillies (2000), Eagle (2010) a v príspevku o interpretácii pravdepodobnosti tejto encyklopédie.

Nedávnym trendom v literatúre bolo zamerať sa menej na integráciu alebo kombináciu logickej a pravdepodobnostnej teórie do jedného zjednoteného rámca, ale skôr vytvoriť mosty medzi oboma disciplínami. Zvyčajne to znamená pokúsiť sa zachytiť kvalitatívne pojmy logiky v kvantitatívnych pojmoch teórie pravdepodobnosti alebo naopak. Nebudeme schopní urobiť spravodlivosť voči širokému spektru prístupov v tejto prosperujúcej oblasti, ale čitatelia, ktorí prejavia záujem, sa môžu obrátiť na Leitgeb (2013, 2014), Lin a Kelly (2012a, 2012b), Douven a Rott (2018) a Harrison- Tréner, Holliday a Icard (2016, 2018). „Súčasnou klasikou“v tejto oblasti je Leitgeb (2017), zatiaľ čo van Benthem (2017) ponúka užitočný prehľad a niekoľko zaujímavých programových poznámok.

Nakoniec, hoci úspech logiky pravdepodobnosti je do značnej miery spôsobený jej rôznymi aplikáciami, nebudeme sa týmito aplikáciami zaoberať podrobne. Nebudeme napríklad hodnotiť použitie pravdepodobnosti ako formálneho vyjadrenia viery vo filozofiu (Bayesovská epistemológia) alebo umelej inteligencie (reprezentácia znalostí) a jej výhody a nevýhody v porovnaní s alternatívnymi zobrazeniami, ako je napríklad všeobecná teória pravdepodobnosti (pre kvantovú teória), (p) - adická pravdepodobnosť a fuzzy logika. Pre viac informácií o týchto témach sa čitateľ môže obrátiť na Gerlu (1994), Vennekens a kol. (2009), Hájek a Hartmann (2010), Hartmann a Sprenger (2010), Ilić-Stepić a kol. (2012) a údaje o formálnom vyjadrení viery, bayesovskej epistemológii, uskutočniteľnom zdôvodnení, kvantovej logike a teórii pravdepodobnosti,a fuzzy logika tejto encyklopédie.

Po zavedení týchto objasnení sme teraz pripravení preskúmať, o čom sa bude diskutovať v tomto článku. Najbežnejšou stratégiou na získanie konkrétneho systému pravdepodobnostnej logiky je začať klasickým (výrokovým / modálnym / atď.) Logickým systémom a „pravdepodobnostným“ho tak či onak pridávať pravdepodobnostnými črtami. Existuje niekoľko spôsobov, ako túto pravdepodobnosť realizovať. Je možné študovať pravdepodobnostnú sémantiku klasických jazykov (ktoré nemajú žiadne explicitné pravdepodobnostné operátory). V takom prípade má pravdepodobný vzťah samotnú následnú väzbu: deduktívna platnosť sa stáva skôr „uchovaním pravdepodobnosti“než „uchovaním pravdy“. Tento smer bude popísaný v časti 2. Alternatívne je možné do syntaxe logiky pridať rôzne druhy pravdepodobnostných operátorov. V časti 3 budeme diskutovať o niektorých počiatočných, skôr základných príkladoch pravdepodobnostných operátorov. Úplná expresivita modálnych pravdepodobnostných operátorov sa preskúma v oddiele 4. Nakoniec sa v oddiele 5 diskutuje o jazykoch s pravdepodobnostnými operátormi prvého poriadku.

2. Propozičná logika pravdepodobnosti

V tejto časti predstavíme prvú rodinu pravdepodobnostnej logiky, ktorá sa používa na skúmanie otázok „uchovania pravdepodobnosti“(alebo duálne „šírenia neistoty“). Tieto systémy nerozširujú jazyk žiadnymi pravdepodobnostnými operátormi, ale skôr sa zaoberajú „klasickým“výrokovým jazykom (mathcal {L}), ktorý má spočítateľnú množinu atómových výrokov, a obvyklou pravou funkčnou (booleovskou) spojky.

Hlavnou myšlienkou je, že priestor platného argumentu môže byť neistý, av takom prípade (deduktívna) platnosť nestanovuje žiadne podmienky pre (ne) istotu záveru. Napríklad argument s priestorom „ak zajtra prší, zmokne“a „zajtra prší“a záver „zamočím“je platný, ale ak je jeho druhý predpoklad neistý, jeho záver bude zvyčajne tiež byť neistý. Logika predpokladanej pravdepodobnosti predstavuje také neistoty ako pravdepodobnosti a skúma, ako „prúdia“z priestorov do záveru; inými slovami, neštudujú uchovávanie pravdy, ale skôr uchovávanie pravdepodobnosti. Nasledujúce tri pododdiely pojednávajú o systémoch, ktoré sa zaoberajú čoraz všeobecnejšou verziou tohto problému.

2.1 Pravdepodobná sémantika

Začneme pripomenutím pojmu pravdepodobnostná funkcia pre výrokový jazyk (mathcal {L}). (V matematike sú pravdepodobnostné funkcie obvykle definované pre (sigma) - algebru podmnožín danej množiny (Omega) a sú potrebné na splnenie spočítateľnej aditívnosti; pozri oddiel 4.3. V logických kontextoch je prirodzenejšie definovať pravdepodobnostné funkcie „bezprostredne“pre objektový jazyk logiky (Williamson 2002). Pretože tento jazyk je konečný - všetky jeho vzorce majú konečnú dĺžku - stačí tiež vyžadovať konečnú aditivitu.) Pravdepodobnostná funkcia (pre (mathcal {L})) je funkcia (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}), ktorá spĺňa nasledujúce obmedzenia:

Non-negativita. (P (phi) geq 0) pre všetkých (phi / in / mathcal {L}.)

Tautológia. Ak (models / phi), potom (P (phi) = 1.)

Konečná aditivita. Ak (models / neg (phi / wedge / psi)), potom (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi).)

V druhom a treťom obmedzení symbol [(models) - označuje (sémantickú) platnosť v klasickej výrokovej logike. Definícia pravdepodobnostných funkcií si preto vyžaduje pojmy z klasickej logiky av tomto zmysle možno predpokladať, že teória pravdepodobnosti predpokladá klasickú logiku (Adams 1998, 22). Dá sa ľahko ukázať, že ak (P) spĺňa tieto obmedzenia, potom (P (phi) in [0,1]) pre všetky vzorce (phi / in / mathcal {L}), a (P (phi) = P (psi)) pre všetky vzorce (phi, / psi / in / mathcal {L}), ktoré sú logicky ekvivalentné (tj také, že (models / phi) leftrightarrow / psi)).

Teraz sa zameriame na pravdepodobnostnú sémantiku, ako je definovaná v Leblanc (1983). Argument s priestorom (Gamma) a záverom (phi) - odteraz označovaný ako ((Gamma, / phi)) - sa považuje za pravdepodobnostne platný, napísaný (Gamma / models_p / phi), iba ak:

pre všetky pravdepodobnostné funkcie (P: / mathcal {L} až / mathbb {R}):

ak (P (gamma) = 1) pre všetky (gamma / in / Gamma), potom tiež (P (phi) = 1).

Pravdepodobnostná sémantika tak nahrádza hodnoty (v: / mathcal {L} až {0,1 }) klasickej výrokovej logiky pravdepodobnostnými funkciami (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}), ktoré berú hodnoty v reálnom jednotkovom intervale ([0,1]). Hodnoty klasickej pravdy true (1) a false (0) je teda možné považovať za koncové body jednotkového intervalu ([0,1]) a podobne za ocenenia (v: / mathcal {L} to {0,1 }) možno považovať za degenerované pravdepodobnostné funkcie (P: / mathcal {L} až [0,1]). V tomto zmysle je klasická logika špeciálnym prípadom pravdepodobnostnej logiky alebo ekvivalentne je pravdepodobnostná logika rozšírením klasickej logiky.

Je možné preukázať, že klasická výroková logika je (silne) spoľahlivá a úplná s ohľadom na pravdepodobnostnú sémantiku:

(Gamma / models_p / phi / text {iba vtedy, ak} Gamma / vdash / phi.)

Niektorí autori interpretujú pravdepodobnosti ako všeobecné hodnoty pravdy (Reichenbach 1949, Leblanc 1983). Podľa tohto pohľadu je logika pravdepodobnosti iba osobitným druhom mnohohodnotnej logiky a pravdepodobnostná platnosť sa scvrkáva na „uchovávanie pravdy“: pravda (tj pravdepodobnosť 1) sa prenáša z priestorov až do konca. Iní logici, ako napríklad Tarski (1936) a Adams (1998, 15), poznamenali, že pravdepodobnosti nemožno vnímať ako všeobecné hodnoty pravdy, pretože pravdepodobnostné funkcie nie sú „extenzívne“; napríklad (P (phi / wedge / psi)) nemožno vyjadriť ako funkciu (P (phi)) a (P (psi)). Viac diskusie na túto tému nájdete v Hailperin (1984).

Ďalšou možnosťou je interpretovať pravdepodobnosť vety ako mieru jej (ne) istoty. Napríklad veta „Jones je v súčasnosti v Španielsku“môže mať akýkoľvek stupeň istoty, pohybujúci sa od 0 (maximálna neistota) do 1 (maximálna istota). (Všimnite si, že 0 je v skutočnosti istota, to znamená istota o nepravdivosti; v tejto položke však sledujeme Adamsovu terminológiu (1998, 31) a interpretujeme 0 ako maximálnu neistotu.) Podľa tejto interpretácie vyplýva z tejto vety nasledujúca veta: silná spoľahlivosť a úplnosť pravdepodobnostnej sémantiky:

Veta 1. Zvážte deduktívne platný argument ((Gamma, / phi)). Ak všetky priestory v (Gamma) majú pravdepodobnosť 1, potom záver (phi) má tiež pravdepodobnosť 1.

Túto vetu je možné vidieť ako prvé veľmi čiastočné objasnenie problému zachovania pravdepodobnosti (alebo šírenia neistoty). Hovorí sa, že ak neexistuje žiadna neistota o objektoch, potom nemôže existovať žiadna neistota o závere. V nasledujúcich dvoch podkapitolách zvážime zaujímavejšie prípady, keď existuje nenulová neistota o priestoroch, a opýtame sa, ako to vedie k záveru.

Nakoniec treba poznamenať, že hoci tento pododdiel diskutoval iba o pravdepodobnostnej sémantike pre klasickú výrokovú logiku, existuje aj pravdepodobnostná sémantika pre celý rad ďalších logík, ako je intuicionálna výroková logika (van Fraassen 1981b, Morgan a Leblanc 1983), modálna logika (Morgan 1982a, 1982b, 1983, Cross 1993), klasická logika prvého poriadku (Leblanc 1979, 1984, van Fraassen 1981b), relevantná logika (van Fraassen 1983) a nemonotonická logika (Pearl 1991). Všetky tieto systémy zdieľajú kľúčovú vlastnosť: sémantika logiky je vo svojej podstate pravdepodobnostná, ale pravdepodobnosti nie sú explicitne vyjadrené v jazyku objektu; sú preto oveľa bližšie k logike výrokovej pravdepodobnosti, o ktorej sa tu diskutuje, ako k systémom prezentovaným v ďalších častiach.

Väčšina z týchto systémov nie je založená na unary pravdepodobnosti (P (phi)), ale skôr na podmienených pravdepodobnostiach (P (phi, / psi)). Podmienená pravdepodobnosť (P (phi, / psi)) sa považuje za primitívnu (namiesto toho, aby bola definovaná ako (P (phi / wedge / psi) / P (psi)), ako sa zvyčajne robí) aby sa predišlo problémom, keď (P (psi) = 0). Goosens (1979) poskytuje prehľad rôznych axiomatizácií teórie pravdepodobnosti z hľadiska takýchto primitívnych predstáv o podmienenej pravdepodobnosti.

2.2 Adamsova pravdepodobnostná logika

V predchádzajúcej podkapitole sme diskutovali o prvom princípe zachovania pravdepodobnosti, ktorý hovorí, že ak všetky priestory majú pravdepodobnosť 1, potom záver má aj pravdepodobnosť 1. Samozrejme, zaujímavejšie prípady nastanú, keď sú priestory menej ako úplne isté. Zvážte platný argument s priestormi (p / vee q) a (p / až q) a záver (q) (symbol '(to)' označuje podmienečne podmienený materiál), Dá sa to ľahko ukázať

[P (q) = P (p / vee q) + P (p / až q) - 1.)

Inými slovami, ak poznáme pravdepodobnosť priestorov argumentu, potom môžeme vypočítať presnú pravdepodobnosť jeho záveru, a tak poskytnúť úplnú odpoveď na otázku zachovania pravdepodobnosti pre tento konkrétny argument (napríklad ak (P (p / vee q) = 6/7) a (P (p / až q) = 5/7), potom (P (q) = 4/7)). Vo všeobecnosti však vzhľadom na pravdepodobnosť priestorov nebude možné vypočítať presnú pravdepodobnosť záveru; skôr to najlepšie, v čo môžeme dúfať, je (tesná) horná a / alebo dolná hranica pravdepodobnosti záveru. Teraz budeme diskutovať o Adamsových (1998) metódach na výpočet týchto hraníc.

Adamsove výsledky možno ľahšie uviesť skôr z hľadiska neistoty ako z istoty (pravdepodobnosť). Vzhľadom na pravdepodobnostnú funkciu (P: / mathcal {L} až [0,1]) je zodpovedajúca funkcia neistoty (U_P) definovaná ako

[U_P: / mathcal {L} to [0,1]: / phi / mapsto U_P (phi): = 1-P (phi).)

Ak je pravdepodobnostná funkcia (P) jasná z kontextu, často jednoducho namiesto (U_P) napíšeme (U). V zostávajúcej časti tohto pododdielu (a aj v nasledujúcom) budeme predpokladať, že všetky argumenty majú iba konečne veľa priestorov (čo nie je výrazné obmedzenie vzhľadom na kompaktnosť klasickej výrokovej logiky). Adamsov prvý hlavný výsledok, ktorý bol pôvodne založený Suppelom (1966), možno teraz konštatovať takto:

Veta 2. Zvážte platný argument ((Gamma, / phi)) a pravdepodobnostnú funkciu (P). Potom neistota záveru (phi) nesmie prekročiť súčet nepresností priestorov (gamma / in / Gamma). formálne:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma).)

Najprv si všimnite, že táto veta zahŕňa vetu 1 ako zvláštny prípad: ak (P (gamma) = 1) pre všetkých (gamma / in / Gamma), potom (U (gamma) = 0) pre všetky (gamma / in / Gamma), takže (U (phi) leq / sum U (gamma) = 0), a teda (P (phi) = 1), Ďalej si uvedomte, že horná hranica neistoty záveru závisí od (| / Gamma |), tj od počtu priestorov. Ak má platný argument malý počet priestorov, z ktorých každý má iba malú neistotu (tj vysokú mieru istoty), potom jeho záver bude mať aj primerane nízku neistotu (tj primerane vysokú istotu). Naopak, ak má platný argument priestor s malými neistotami, potom jeho záver môže byť vysoko neistý, iba ak má argument veľký počet priestorov (slávnym príkladom tohto opačného princípu je Kyburgov (1965) loterijný paradox,o ktorom sa hovorí v zázname o epistemických paradoxoch tejto encyklopédie). Konkrétnejšie povedané, upozorňujeme, že ak má platný argument tri predpoklady, z ktorých každá má neistotu 1/11, potom pridanie predpokladu, ktorý má tiež neistotu 1/11, neovplyvní platnosť argumentu, ale zvýši hornú hranicu neistota záverov od 3/11 do 4/11, čo umožňuje, aby bol záver neistejší, ako tomu bolo pôvodne. Nakoniec je horná hranica, ktorú poskytuje veta 2, optimálna v tom zmysle, že (za správnych podmienok) sa neistota záveru môže zhodovať s jeho hornou hranicou (suma U (gamma)):potom pridanie predpokladu, ktorý má tiež neistotu 1/11, neovplyvní platnosť argumentu, ale zvýši hornú hranicu neistoty záveru z 3/11 na 4/11, čím sa umožní, aby bol záver neistejší, ako bol pôvodne prípad. Nakoniec je horná hranica, ktorú poskytuje veta 2, optimálna v tom zmysle, že (za správnych podmienok) sa neistota záveru môže zhodovať s jeho hornou hranicou (suma U (gamma)):potom pridanie predpokladu, ktorý má tiež neistotu 1/11, neovplyvní platnosť argumentu, ale zvýši hornú hranicu neistoty záveru z 3/11 na 4/11, čo umožní, aby bol záver neistejší, ako bol pôvodne prípad. Nakoniec je horná hranica, ktorú poskytuje Veta 2, optimálna v tom zmysle, že (za správnych podmienok) sa neistota záveru môže zhodovať s jeho hornou hranicou (suma U (gamma)):v tom zmysle, že (za správnych podmienok) sa neistota záveru môže zhodovať s jeho hornou hranicou (súčet U (gamma)):v tom zmysle, že (za správnych podmienok) sa neistota záveru môže zhodovať s jeho hornou hranicou (súčet U (gamma)):

Veta 3. Zvážte platný argument ((Gamma, / phi)) a predpokladajte, že množina predpokladov (Gamma) je konzistentná a že každý predpoklad (gamma / in / Gamma) je relevantný (tj (Gamma - { gamma } not / models / phi)). Potom existuje pravdepodobnostná funkcia (P: / mathcal {L} až [0,1]) taká, že

[U_P (phi) = / suma _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma).)

Horná hranica poskytnutá veta 2 sa môže tiež použiť na definovanie pravdepodobnostného pojmu platnosti. Argument ((Gamma, / phi)) je označený ako Adams-pravdepodobnostne platný, napísaný (Gamma / models_a / phi), iba vtedy, ak

pre všetky pravdepodobnostné funkcie (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}): (U_P (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma)).

Adamsova pravdepodobnostná platnosť má alternatívnu, ekvivalentnú charakterizáciu skôr z hľadiska pravdepodobností ako z neistôt. Táto charakteristika hovorí, že ((Gamma, / phi)) je Adams-pravdepodobnostne platný vtedy a len vtedy, ak pravdepodobnosť záveru sa môže svojvoľne priblížiť k 1, ak sú pravdepodobnosti priestorov dostatočne vysoké. Formálne: (Gamma / models_a / phi) iba vtedy, ak

pre všetky (epsilon> 0) existuje (delta> 0) také, že pre všetky pravdepodobnostné funkcie (P):

ak (P (gamma)> 1- / delta) pre všetky (gamma / in / Gamma), potom (P (phi)> 1- / epsilon).

Je možné preukázať, že klasická výroková logika je (silne) spoľahlivá a úplná vzhľadom na Adamsovu pravdepodobnostnú sémantiku:

(Gamma / models_a / phi / text {iba vtedy, ak} Gamma / vdash / phi.)

Adams (1998, 154) tiež definuje ďalšiu logiku, pre ktorú je jeho pravdepodobnostná sémantika spoľahlivá a úplná. Tento systém však obsahuje funkčné spojivo, ktoré nie je pravdivé (pravdepodobnosť podmienená), a preto nespadá do rozsahu pôsobnosti tejto časti. (Pre viac informácií o pravdepodobnostných interpretáciách podmienených predmetov si čitateľ môže prečítať záznamy o podmienených podmienkach a logiku podmienených predmetov tejto encyklopédie.)

Zvážte nasledujúci príklad. Argument (A) s priestormi (p, q, r, s) a záver (p / wedge (q / vee r)) je platný. Predpokladajme, že (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) a (P (s) = 7/11). Potom to veta 2 hovorí

(begin {align} & U (p / wedge (q / vee r)) leq \& / quad / frac {1} {11} + / frac {2} {11} + / frac {2} { 11} + / frac {4} {11} = / frac {9} {11}. / End {align})

Táto horná hranica neistoty záveru je skôr sklamaním a odhaľuje hlavnú slabinu vety 2. Jedným z dôvodov, prečo je horná hranica tak vysoká, je to, že pri jej výpočte sme vzali do úvahy predpoklad (s), ktorá má pomerne veľkú neistotu ((4/11)). Tento predpoklad je však irelevantný v tom zmysle, že záver už vyplýva z ďalších troch priestorov. Preto môžeme považovať (p / wedge (q / vee r)) nielen za záver platného argumentu (A), ale aj za záver (rovnako platného) argumentu (A '), ktorý má priestory (p, q, r). V druhom prípade Theorem 2 poskytuje hornú hranicu (1/11 + 2/11 + 2/11 = 5/11), ktorá je už oveľa nižšia.

Slabou veta 2 je teda to, že zohľadňuje (neistotu) irelevantných alebo nepodstatných priestorov. Aby sa získala vylepšená verzia tejto vety, je potrebná jemnejšia predstava „podstaty“. V argumente (A) vo vyššie uvedenom príklade je premisa (s) absolútne irelevantná. Podobne je premisa (p) absolútne relevantná v tom zmysle, že bez tohto predpokladu už nie je možné dospieť k záveru (p / klin (q / vee r)). A konečne, podmnožina predpokladov ({q, r }) je „medzi“: spolu (q) a (r) sú relevantné (ak sú obidva priestory vynechané, záver už nie je možné odvodiť)), ale každá z nich môže byť vynechaná (pričom je možné odvodiť záver).

Pojem podstata sa formalizuje takto:

Základný súbor predpokladov. Vzhľadom na platný argument ((Gamma, / phi)) je množina (Gamma '\ subseteq / Gamma) nevyhnutná, ak je to (Gamma - / Gamma' / nie / models / phi).

Stupeň nevyhnutnosti. Vzhľadom na platný argument ((Gamma, / phi)) a predpoklad (gamma / in / Gamma), stupeň esenciality (gamma), napísaný (E (gamma)), je (1 / | S_ / gamma |), kde (| S_ / gamma |) je mohutnosť najmenšieho základného súboru predpokladov, ktorý obsahuje (gamma). Ak (gamma) nepatrí do žiadneho minimálneho základného predpokladu, potom je stupeň esenciality (gama) 0.

Na základe týchto definícií je možné ustanoviť vylepšenú verziu vety 2:

Veta 4. Zvážte platný argument ((Gamma, / phi)). Potom neistota záveru (phi) nesmie prekročiť vážený súčet nepresností priestorov (gamma / in / Gamma), s mierami závažnosti ako váhy. formálne:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma).)

Dôkaz vety Veta 4 je podstatne ťažší ako veta Veta 2: Veta 2 vyžaduje iba základnú teóriu pravdepodobnosti, zatiaľ čo veta 4 je dokázaná pomocou metód z lineárneho programovania (Adams a Levine 1975; Goldman a Tucker 1956). Veta 4 zahŕňa vetu 2 ako osobitný prípad: ak sú všetky priestory relevantné (tj majú stupeň nevyhnutnosti 1), potom veta 4 poskytuje rovnakú hornú hranicu ako veta 2. Ďalej, veta 4 nezohľadňuje irelevantné priestory (tj priestory) so stupňom podstatnosti 0) vypočítať túto hornú hranicu; preto, ak je predpoklad pre platnosť argumentu irelevantný, jeho neistota sa neprenesie do záveru. Nakoniec si všimnite, že keďže (E (gamma) in [0,1]) pre všetkých (gamma / in / Gamma) platí, že

(sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma),)

tj. Veta 4 má vo všeobecnosti pevnejší horný limit ako veta 2. Na ilustráciu toho znova zvážte argument s priestormi (p, q, r, s) a záverom (p / kliny (q / vee r))., Pripomeňme si, že (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) a (P (s) = 7/11). Dá sa vypočítať stupeň podstatnosti priestorov: (E (p) = 1, E (q) = E (r) = 1/2) a (E (s) = 0). Preto teória 4 to dáva

(begin {align} & U (p / wedge (q / vee r)) leq \& / quad / left (1 / times / frac {1} {11} right) + / left (frac { 1} {2} times / frac {2} {11} right) + / left (frac {1} {2} times / frac {2} {11} right) + / left (0 / times) frac {4} {11} right) = / frac {3} {11}, / end {align})

čo je tesnejšia horná hranica pre neistotu (p / kliny (q / vee r)) ako ktorákoľvek z hraníc získaná vyššie pomocou teorémy 2 (viz. (9/11) a (5/11))).

2.3 Ďalšie zovšeobecnenia

Vzhľadom na neistotu (a stupeň zásadnosti) platných argumentov nám Adamsove vety umožňujú vypočítať hornú hranicu pre neistotu záveru. Tieto výsledky sa, samozrejme, dajú vyjadriť skôr ako pravdepodobnosti než neistoty; potom dávajú dolnú hranicu pravdepodobnosti záveru. Napríklad, keď je vyjadrená skôr ako pravdepodobnosť než neistota, vyzerá veta 4 takto:

[P (phi) geq 1 - / suma _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) (1 - P (gamma)).)

Výsledky Adamsa sú obmedzené najmenej dvoma spôsobmi:

  • Poskytujú iba dolnú hranicu pravdepodobnosti záveru (vzhľadom na pravdepodobnosť priestorov). V určitom zmysle je to najdôležitejšia hranica: predstavuje pravdepodobnosť záveru v „najhoršom prípade“, čo môže byť užitočná informácia v praktických aplikáciách. V niektorých aplikáciách by však mohlo byť informatívne mať hornú hranicu pravdepodobnosti záveru. Napríklad, ak niekto vie, že táto pravdepodobnosť má hornú hranicu 0,4, potom by sa človek mohol rozhodnúť zdržať sa určitých činov (ktoré by vykonal, keby táto horná hranica bola (známa je) 0,9).
  • Predpokladajú, že presná pravdepodobnosť priestorov je známa. V praktických aplikáciách však môžu existovať iba čiastočné informácie o pravdepodobnosti premisy (gama): jej presná hodnota nie je známa, ale je známe, že má dolnú hranicu (a) a hornú hranicu (b) (Walley 1991). V takýchto aplikáciách by bolo užitočné mať k dispozícii metódu výpočtu (optimálneho) dolného a horného limitu pravdepodobnosti záveru z hľadiska hornej a dolnej hranice pravdepodobnosti priestorov.

Hailperin (1965, 1984, 1986, 1996) a Nilsson (1986) používajú metódy z lineárneho programovania, aby ukázali, že tieto dve obmedzenia možno prekonať. Ich najdôležitejším výsledkom je:

Veta 5. Zvážte argument ((Gamma, / phi)) s (| / Gamma | = n). Existujú funkcie (L _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) a (U _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) tak, že pre každú pravdepodobnostnú funkciu (P) platí: ak (a_i / leq P (gamma_i) leq b_i) pre (1 / leq i / leq n), potom:

  1. (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n) leq P (phi): / leq) (U _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n)).
  2. Hranice v bode 1 sú optimálne v tom zmysle, že existujú pravdepodobnostné funkcie (P_L) a (P_U) také, že (a_i / leq P_L (gamma_i),) (P_U (gamma_i) leq b_i) pre (1 / leq i / leq n) a (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n) = P_L (phi)) a (P_U (phi) = U _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n)).
  3. Funkcie (L _ { Gamma, / phi}) a (U _ { Gamma, / phi}) sú efektívne určiteľné z booleovskej štruktúry viet v (Gamma / cup { phi }).

Tento výsledok sa dá použiť aj na definovanie ďalšieho pravdepodobnostného pojmu platnosti, ktorý budeme nazývať Hailperinovo-pravdepodobnostné alebo jednoducho h-platnosť. Tento pojem nie je definovaný s ohľadom na vzorce, ale skôr s ohľadom na páry pozostávajúce zo vzorca a podintervalu ([0,1]). Ak (X_i) je interval spojený s predpokladom (gamma_i / in / Gamma) a (Y) je interval spojený so záverom (phi), potom argument ((Gamma), / phi)) sa označuje ako h -valid, písaný (Gamma / models_h / phi), iba vtedy, ak pre všetky pravdepodobnostné funkcie (P):

(text {if} P (gamma_i) in X_i / text {for} 1 / leq i / leq n, / text {then} P (phi) in Y)

V Haenni a kol. (2011) toto je napísané ako

(gamma_1 ^ {X_1}, / dots, / gamma_n ^ {X_n} | \! \! \! / cca / phi ^ Y)

a nazýva sa štandardnou pravdepodobnostnou sémantikou.

Nilssonova práca na pravdepodobnostnej logike (1986, 1993) vyvolala veľa výskumov o pravdepodobnostnom zdôvodnení umelej inteligencie (Hansen a Jaumard 2000; kapitola 2 Haenni et al. 2011). Malo by sa však poznamenať, že hoci veta 5 uvádza, že funkcie (L _ { Gamma, / phi}) a (U _ { Gamma, / phi}) sú efektívne zistiteľné z viet v (Gamma) cup { phi }) je výpočtová zložitosť tohto problému pomerne vysoká (Georgakopoulos a kol. 1988, Kavvadias a Papadimitriou 1990), a preto sa zistenie týchto funkcií v aplikáciách v skutočnom svete rýchlo stáva výpočtovo nemožným. Súčasné prístupy založené na pravdepodobnostných argumentačných systémoch a pravdepodobnostných sieťach sú schopné lepšie zvládnuť tieto výpočtové výzvy. ďalejpravdepodobnostné argumentačné systémy úzko súvisia s Dempster-Shaferovou teóriou (Dempster 1968; Shafer 1976; Haenni a Lehmann 2003). Rozsiahla diskusia o týchto prístupoch však presahuje rámec tohto aktuálneho znenia; pozri nedávny prieskum (Haenni et al. 2011).

3. Operátori základnej pravdepodobnosti

V tejto časti budeme študovať pravdepodobnostnú logiku, ktorá rozširuje výrokový jazyk (mathcal {L}) o dosť základné pravdepodobnostné operátory. Od logiky v Časti 2 sa líšia tým, že logika tu zahŕňa pravdepodobnostné operátory v objektovom jazyku. Oddiel 3.1 sa zaoberá operátormi kvalitatívnej pravdepodobnosti; Oddiel 3.2 sa zaoberá operátormi kvantitatívnej pravdepodobnosti.

3.1 Kvalitatívne vyjadrenia neistoty

Existuje niekoľko aplikácií, v ktorých by kvalitatívne teórie pravdepodobnosti mohli byť užitočné alebo dokonca potrebné. V niektorých situáciách nie sú k dispozícii žiadne frekvencie, ktoré by bolo možné použiť ako odhady pravdepodobností, alebo by bolo prakticky nemožné tieto frekvencie získať. Okrem toho sú ľudia často ochotní porovnať pravdepodobnosti dvoch tvrdení ('(phi) je pravdepodobnejšie ako (psi)')), bez toho, aby boli jednotlivým tvrdeniam priradené explicitné pravdepodobnosti (Szolovits a Pauker 1978, Halpern a Rabin 1987). V takýchto situáciách bude užitočná kvalitatívna logika pravdepodobnosti.

Jednou z prvých kvalitatívnych logík pravdepodobnosti je Hamblinova (1959). Jazyk je rozšírený o unary operátor (Box), ktorý sa má čítať ako 'pravdepodobne'. Preto sa vzorec ako (Box / phi) má čítať ako 'pravdepodobne (phi)'. Tento pojem „pravdepodobný“možno formalizovať ako dostatočne vysokú (numerickú) pravdepodobnosť (tj (P (phi) geq t), pre určitú prahovú hodnotu (1/2 <t / leq 1))), alebo alternatívne z hľadiska hodnovernosti, čo je nemetrická generalizácia pravdepodobnosti. Burgess (1969) tieto systémy ďalej vyvíja so zameraním na interpretáciu „vysokej numerickej pravdepodobnosti“. Hamblin aj Burgess zavádzajú do svojich systémov ďalších operátorov (napríklad vyjadrujú metafyzickú nevyhnutnosť a / alebo vedomosti) a študujú interakciu medzi „pravdepodobne“operátorom a týmito ostatnými operátormi dopravy. Avšak,„pravdepodobne“operátor už zobrazuje niektoré zaujímavé vlastnosti (nezávisle od ostatných operátorov). Ak sa interpretuje ako „dostatočne vysoká pravdepodobnosť“, potom nespĺňa zásadu ((Box / phi / wedge / Box / psi) to / Box (phi / wedge / psi)). To znamená, že nejde o normálneho operátora dopravy a nemôže byť poskytnutá Kripkeho (relačná) sémantika. Herzig a Longin (2003) a Arló Costa (2005) poskytujú slabšie systémy sémantiky susedstva pre takýchto „pravdepodobne“operátorov, zatiaľ čo Yalcin (2010) diskutuje o ich správaní z viac lingvisticky orientovaného hľadiska. To znamená, že nejde o normálneho operátora dopravy a nemôže byť poskytnutá Kripkeho (relačná) sémantika. Herzig a Longin (2003) a Arló Costa (2005) poskytujú slabšie systémy sémantiky susedstva pre takýchto „pravdepodobne“operátorov, zatiaľ čo Yalcin (2010) diskutuje o ich správaní z viac lingvisticky orientovaného hľadiska. To znamená, že nejde o normálneho operátora dopravy a nemôže byť poskytnutá Kripkeho (relačná) sémantika. Herzig a Longin (2003) a Arló Costa (2005) poskytujú slabšie systémy sémantiky susedstva pre takýchto „pravdepodobne“operátorov, zatiaľ čo Yalcin (2010) diskutuje o ich správaní z viac lingvisticky orientovaného hľadiska.

Ďalšou cestou sú Segerberg (1971) a Gärdenfors (1975a, 1975b), ktoré stavajú na predchádzajúcich prácach de Finettiho (1937), Kraft, Pratt a Seidenberg (1959) a Scott (1964). Predstavujú binárneho operátora (geq); vzorec (phi / geq / psi) sa má čítať ako '(phi) je minimálne taký pravdepodobný ako (psi)' (formálne: (P (phi) geq P (psi))). Kľúčovou myšlienkou je, že je možné úplne axiomatizovať správanie (geq) bez toho, aby bolo potrebné použiť 'základné' pravdepodobnosti jednotlivých vzorcov. Je potrebné poznamenať, že s porovnateľnou pravdepodobnosťou (binárny operátor) je možné vyjadriť aj niektoré absolútne pravdepodobnostné vlastnosti (unárni operátori). Napríklad (phi / geq / top) vyjadruje, že (phi) má pravdepodobnosť 1 a (phi / geq / neg / phi) vyjadruje, že (phi) má pravdepodobnosť aspoň 1/2. V nedávnej práciDelgrande a Renne (2015) ďalej rozširujú kvalitatívny prístup tým, že argumenty (geq) umožňujú konečnú sekvenciu vzorcov (potenciálne rôznych dĺžok). Vzorec ((phi_1, / dots, / phi_n) geq (psi_1, / dots, / psi_m)) je neformálne čítaný ako 'súčet pravdepodobností (phi_i)' je aspoň tak vysoký ako súčet pravdepodobností (psi_j) 's'. Výsledná logika môže byť úplne axiomatizovaná a je taká výrazná, že dokáže zachytiť aj kvantitatívnu pravdepodobnostnú logiku, ku ktorej sa teraz obraciame.\ psi_m)) je neformálne čítané ako 'súčet pravdepodobností (phi_i)' je aspoň taký vysoký ako súčet pravdepodobností (psi_j) '. Výsledná logika môže byť úplne axiomatizovaná a je taká výrazná, že dokáže zachytiť aj kvantitatívnu pravdepodobnostnú logiku, ku ktorej sa teraz obraciame.\ psi_m)) je neformálne čítané ako 'súčet pravdepodobností (phi_i)' je aspoň taký vysoký ako súčet pravdepodobností (psi_j) '. Výsledná logika môže byť úplne axiomatizovaná a je taká výrazná, že dokáže zachytiť aj kvantitatívnu pravdepodobnostnú logiku, ku ktorej sa teraz obraciame.

3.2 Súčty a produkty pravdepodobnostných podmienok

Propozičná pravdepodobnostná logika je rozšírením výrokovej logiky, ktorá vyjadruje numerické vzťahy medzi pravdepodobnostnými výrazmi (P (varphi)). Jednoduchá výroková logika pravdepodobnosti pridáva k výrokovým logickým vzorcom tvaru (P (varphi) ge q), kde (varphi) je výrokový vzorec a (q) je číslo; taký vzorec tvrdí, že pravdepodobnosť (varphi) je aspoň (q). Sémantika je formalizovaná pomocou modelov pozostávajúcich z pravdepodobnostnej funkcie (mathcal {P}) nad množinou (Omega), ktorej prvky sú každému priradené k atómovým výrokom výrokovej logiky. Teda výroková formulácia je pravdivá v prvku (Omega), ak je pravdivé priradenie pravdy pre tento prvok. Vzorec (P (varphi) ge q) je v modeli pravdivý iba vtedy, ak pravdepodobnosť (mathcal {P}) množiny prvkov (Omega), pre ktorú (varphi) je pravda, je najmenej (q). Pozri kapitolu 3 Ognjanović et al. (2016) pre prehľad takejto výrokovej logiky pravdepodobnosti.

Niektoré výrokové logiky pravdepodobnosti zahŕňajú iné typy vzorcov v objektovom jazyku, ako sú tie, ktoré zahŕňajú súčty a produkty pravdepodobnostných termínov. Odvolanie sa na zapojenie súm možno objasniť podmienkou aditívnosti pravdepodobnostných funkcií (pozri oddiel 2.1), ktorú možno vyjadriť ako (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi)) vždy, keď (neg (phi / wedge / psi)) je tautológia alebo rovnocenne ako (P (phi / wedge / psi) + P (phi / wedge / neg / psi) = P (phi)). Logiky pravdepodobnosti, ktoré explicitne zahŕňajú súhrny pravdepodobností, majú všeobecnejšie tendenciu zahrňovať lineárne kombinácie pojmov pravdepodobnosti, ako napríklad vo Fagin et al. (1990). Tu je výroková logika rozšírená o vzorce vo formáte (a_1P (phi_1) + / cdots + a_n P (phi_n) ge b), kde (n) je kladné celé číslo, ktoré sa môže líšiť od vzorca k vzorec a (a_1, / ldots, a_n),a (b) sú všetky racionálne čísla. Tu je niekoľko príkladov toho, čo možno vyjadriť.

  • (P (phi) le q) od (- P (phi) ge -q),
  • (P (phi) <q) od (neg (P (phi) ge q)),
  • (P (phi) = q) od (P (phi) ge q / wedge P (phi) le q).
  • (P (phi) ge P (psi)) by (P (phi) -P (psi) ge 0)).

Expresívna sila s lineárnymi kombináciami a bez nich: Aj keď lineárne kombinácie poskytujú pohodlný spôsob vyjadrenia početných vzťahov medzi pravdepodobnostnými termínmi, jazyk bez súčtov pravdepodobnostných podmienok je stále veľmi silný. Zvážte jazyk obmedzený na vzorce vo formáte (P (phi) ge q) pre nejaký výrokový vzorec (phi) a racionálny (q). Môžeme to definovať

[P (phi) le q / text {by} P (neg / phi) ge 1-q,)

čo je opodstatnené vzhľadom na to, že pravdepodobnosť doplnku ponuky sa rovná 1 mínus pravdepodobnosť návrhu. Vzorce (P (phi)[P (phi / wedge / psi) = a / wedge P (phi / wedge / neg / psi) = b] až P (phi) = a + b)

uvádza, že ak pravdepodobnosť (phi / wedge / psi) je (a) a pravdepodobnosť (phi / wedge / neg / psi) je (b), potom pravdepodobnosť disjunkcia vzorcov (ktorá je ekvivalentná (phi)) je (a + b). Použitie lineárnych kombinácií nám však umožňuje tvrdiť, že pravdepodobnosti (varphi / wedge / psi) a (varphi / wedge / neg / psi) sú aditívne pomocou vzorca (P (varphi / wedge / psi) + P (varphi / wedge / neg / psi) = P (varphi)), vzorec bez lineárnych kombinácií vyššie to urobí iba vtedy, ak vyberieme správne čísla (a) a (b). Formálne porovnanie expresivity logiky výrokovej pravdepodobnosti s lineárnymi kombináciami a bez nich je uvedené v dokumente Demey and Sack (2015). Zatiaľ čo ktorékoľvek dva modely sa zhodujú na všetkých vzorcoch s lineárnymi kombináciami iba vtedy, ak sa dohodnú na všetkých vzorcoch bez (Lemma 4.1, Demey and Sack (2015)), nie je pravda, že akákoľvek trieda modelov definovateľných jedným vzorcom s lineárnymi kombináciami môže byť definovaná jedným vzorcom bez (Lemma 4.2 of Demey and Sack (2015)). Najmä trieda modelov definovaných vzorcom (P (p) - P (q) ge 0) nemôže byť definovaná žiadnym jediným vzorcom bez sily lineárnych kombinácií.

Pravdepodobnosť patriaca do danej podmnožiny: Ognjanović a Rašković (1999) rozširujú jazyk pravdepodobnostnej logiky pomocou nového typu operátora: (Q_F). Intuitívne vzorec (Q_F / phi) znamená, že pravdepodobnosť (phi) patrí k (F), pre niektorú danú množinu (F / subseteq [0,1]). Tento operátor (Q_F) nie je možné definovať pomocou vzorcov formulára (P (phi) ge a). Ognjanović a Rašković (1999) poskytujú spoľahlivú a úplnú axiomatizáciu tohto typu logického systému. Princípy kľúčového mostíka, ktoré spájajú operátora (Q_F) s štandardnejším operátorom (P), sú axiómy (P (phi) = a / až Q_F / phi) pre všetkých (a / in F), ako aj infinitárne pravidlo, ktoré určuje, že z (P (phi) = a / do / psi) pre všetkých (a / in F) je možné odvodiť (Q_F / phi / to / psi).

Vzorce polynómovej hmotnosti: Logika s vzorcami polynómovej hmotnosti (zahŕňajúca tak vážené súčty, ako aj produkty pravdepodobnostných výrazov), môžu umožňovať vzorce vo forme (P (phi) P (psi) -P (phi / wedge / psi) = 0), to znamená, že pravdepodobnosť (phi) a (psi) je rovná súčinu pravdepodobností (phi) a (psi). Tento vzorec zachytáva, čo to znamená pre štatistiku (phi) a (psi). Takéto logiky boli skúmané vo Fagin et al. (1990), ale väčšinou so zahrnutými logickými prvkami prvého poriadku, a potom opäť v jednoduchšom kontexte (bez kvantifikátorov) v Perović et al. (2008).

Kompaktnosť a úplnosť: Kompaktnosť je vlastnosť logiky, pri ktorej je množina vzorcov uspokojivá, ak je uspokojivá každá konečná podmnožina. Logike prognostickej pravdepodobnosti chýba vlastnosť kompaktnosti, keďže je uspokojivá každá konečná podmnožina ({P (p)> 0 } cup {P (p) leq a \, | \, a> 0 }), ale celá súprava nie je.

Bez kompaktnosti by logika mohla byť slabo úplná (každý platný vzorec je preukázateľný v axiomatickom systéme), ale nie silne úplný (pre každú množinu (Gamma) vzorcov je dokázateľný každý logický dôsledok (Gamma)). z (Gamma) v axiomatickom systéme). Vo Fagin a kol. (1990), bol uvedený systém preukazovania zahŕňajúci lineárne kombinácie a logika sa ukázala ako zdravá a slabo úplná. V Ognjanoviće a Raškovići (1999) je uvedený spoľahlivý a silne kompletný dôkazový systém pre výrokovú logiku pravdepodobnosti bez lineárnych kombinácií. V Heifetz a Mongin (2001)bol uvedený dôkazný systém pre variáciu logiky bez lineárnych kombinácií, ktorý používa systém typov na umožnenie iterácie vzorcov pravdepodobnosti (uvidíme v oddiele 4, ako sa dá takáto iterácia dosiahnuť pomocou možných svetov) a logika sa ukázala ako byť zdravý a slabo úplný. Taktiež poznamenávajú, že žiadny systém konečných dôkazov pre takúto logiku nemôže byť silne úplný. Ognjanović a kol. (2008) prezentujú určitú kvalitatívnu pravdepodobnostnú logiku s pravidlami nekonečných derivácií (ktoré si vyžadujú nekonečne veľa priestorov) a preukazujú silnú úplnosť. Goldblatt (2010) predstavuje silne kompletný dôkazový systém pre súvisiacu kogebraickú logiku. Perović a kol. (2008) poskytujú dôkazový systém a dôkaz silnej úplnosti pre výrokovú logiku pravdepodobnosti s vzorcami polynómovej hmotnosti. A konečne,ďalšia stratégia na dosiahnutie silnej úplnosti spočíva v obmedzení rozsahu pravdepodobnostných funkcií na pevnú konečnú množinu čísel; napríklad Ognjanović a kol. (2008) diskutuje o kvalitatívnej pravdepodobnostnej logike, v ktorej rozsah pravdepodobnostných funkcií nie je úplný reálny jednotkový interval ([0,1]), ale skôr „diskretizovaná“verzia ({0, / frac {1 } {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (pre určité pevné číslo (n / in / mathbb {N}))). Pozri kapitolu 7 Ognjanović et al. (2016) pre prehľad výsledkov úplnosti.ale skôr „diskretizovaná“verzia ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (pre určité pevné číslo (n / in / mathbb {N})). Pozri kapitolu 7 Ognjanović et al. (2016) pre prehľad výsledkov úplnosti.ale skôr „diskretizovaná“verzia ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (pre určité pevné číslo (n / in / mathbb {N})). Pozri kapitolu 7 Ognjanović et al. (2016) pre prehľad výsledkov úplnosti.

4. Logika pravdepodobnosti prepravy

Mnoho pravdepodobnostných logík sa interpretuje cez jediný, ale svojvoľný pravdepodobný priestor. Logika modálnej pravdepodobnosti využíva veľa pravdepodobnostných priestorov, z ktorých každý je spojený s možným svetom alebo stavom. Na to sa dá pozerať ako na malé prispôsobenie relačnej sémantike modálnej logiky: namiesto toho, aby sa spojil s každým možným svetom súbor prístupných svetov, ako sa to robí v modálnej logike, modálna pravdepodobnostná logika spája s každým možným svetom rozdelenie pravdepodobnosti, pravdepodobnostný priestor alebo súbor rozdelení pravdepodobnosti. Jazyk modálnej pravdepodobnostnej logiky umožňuje vloženie pravdepodobností do pravdepodobností, to znamená, že napríklad môže byť dôvodom pravdepodobnosti, že (možno iná) pravdepodobnosť je (1/2). Toto modálne nastavenie zahŕňajúce viacnásobné pravdepodobnosti sa vo všeobecnosti dalo (1) stochastickou interpretáciou,týkajúce sa rôznych pravdepodobností v budúcich štátoch by sa systém mohol zmeniť (Larsen a Skou 1991) a (2) subjektívny výklad týkajúci sa rôznych pravdepodobností, ktoré môžu mať rôzni agenti o situácii alebo pravdepodobnosti druhých (Fagin a Halpern 1988). Obe interpretácie môžu používať presne ten istý formálny rámec.

Logika základných modálnych pravdepodobností pridáva k výrokovým logickým vzorcom tvaru (P (phi) ge q), kde (q) je zvyčajne racionálne číslo a (phi) je akýkoľvek vzorec jazyk, pravdepodobne vzorec pravdepodobnosti. Čítanie takéhoto vzorca je také, že pravdepodobnosť (phi) je aspoň (q). Toto všeobecné čítanie vzorca neodráža žiadny rozdiel medzi modálnou pravdepodobnostnou logikou a ostatnými pravdepodobnostnými logikami s rovnakým vzorcom; kde rozdiel spočíva v schopnosti vložiť pravdepodobnosti do argumentov pravdepodobnostných termínov a do sémantiky. Nasledujúce pododdiely poskytujú prehľad variantov modelovania logiky pravdepodobnosti pre jednotlivé druhy dopravy. V jednom prípade sa jazyk mierne zmení (oddiel 4.2) av iných prípadochlogika sa rozširuje, aby riešila interakcie medzi kvalitatívnou a kvantitatívnou neistotou (oddiel 4.4) alebo dynamikou (oddiel 4.5).

4.1 Základné modely konečnej modálnej pravdepodobnosti

Formálne je základný konečný modálny pravdepodobnostný model n-tica (M = (W, / mathcal {P}, V)), kde (W) je konečná množina možných svetov alebo štátov, (mathcal { P}) je funkcia spájajúca distribúciu (mathcal {P} _w) cez (W) do každého sveta (w / in W) a (V) je 'hodnotiaca funkcia' priradenie atómových výrokov zo súboru (Phi) každému svetu. Distribúcia sa dodatočne rozširuje z jednotlivých svetov do množín svetov: (mathcal {P} _w (S) = / sum_ {s / in S} mathcal {P} _w (s)). Prvé dve zložky základného modálneho pravdepodobnostného modelu sú v skutočnosti rovnaké ako Kripkeho rámec, ktorého vzťah je zdobený číslami (pravdepodobnostnými hodnotami). Takáto štruktúra má rôzne názvy, napríklad riadený graf so značenými hranami v matematike alebo pravdepodobnostný prechodný systém v informatike. Hodnotiaca funkcia,rovnako ako v modeli Kripke nám umožňuje priraďovať vlastnosti svetom.

Sémantika vzorcov je uvedená na pároch ((M, w)), kde (M) je model a (w) je prvkom modelu. Vzorec (P (phi) ge q) platí pri páre ((M, w)), napísaný ((M, w) models P (phi) ge q), iba vtedy, ak (mathcal {P} _w ({w '\ mid (M, w') models / phi }) ge q).

4.2 Indexovanie a interpretácie

Prvá generalizácia, ktorá je najbežnejšia v aplikáciách modálnej pravdepodobnostnej logiky, je umožniť indexovanie distribúcií namiesto dvoch súborov. Prvá sada je množina svetov (základná sada modelu), ale druhá je množina indexov (A), ktorá sa často berie ako skupina akcií, agentov alebo hráčov hra. Formálne, (mathcal {P}) asociuje distribúciu (mathcal {P} _ {a, w}) cez (W) pre každú (w / in W) a (a / v). Pre jazyk, namiesto zahrnutia vzorcov formulára (P (phi) ge q), máme (P_a (phi) ge q) a ((M, w) models P_a (phi) ge q) iba vtedy, ak (mathcal {P} _ {a, w} ({w '\ mid (M, w') models / phi }) ge q).

Príklad: Predpokladajme, že máme indexovú množinu (A = {a, b }) a množinu (Phi = {p, q }) atómových výrokov. Zvážte, kde ((W, / mathcal {P}, V))

  • (W = {w, x, y, z })
  • (mathcal {P} _ {a, w}) a (mathcal {P} _ {a, x}) mapovať (w) na (1/2), (x) na (1/2), (y) na (0) a (z) na (0).

    (mathcal {P} _ {a, y}) a (mathcal {P} _ {a, z}) mapovať (y) na (1/3), (z) do (2/3), (w) do (0) a (x) do (0).

    (mathcal {P} _ {b, w}) a (mathcal {P} _ {b, y}) mapovať (w) na (1/2), (y) do (1/2), (x) do (0) a (z) do (0).

    (mathcal {P} _ {b, x}) a (mathcal {P} _ {b, z}) mapovať (x) na (1/4), (z) na (3/4), (w) na (0) a (y) na (0).

  • (V (p) = {w, x })

    (V (q) = {w, y }).

Tento príklad zobrazujeme pomocou nasledujúcej schémy. Vo vnútri každého kruhu je označenie pravdy každého návrhu listu pre svet, ktorého meno je označené hneď za kruhom. Šípky označujú pravdepodobnosti. Napríklad šípka zo sveta (x) na svet (z) označená znakom ((b, 3/4)) naznačuje, že z (x) je pravdepodobne (z) pod menovka (b) je (3/4). Pravdepodobnosť 0 nie je označená.

Štyri kruhy, každý s možným stavom p, q a šípkami pravdepodobnosti medzi nimi
Štyri kruhy, každý s možným stavom p, q a šípkami pravdepodobnosti medzi nimi

Obrázok

Stochastická interpretácia: Považujte prvky (a) a (b) z (A) za akcie, napríklad stlačením tlačidiel na stroji. V takom prípade stlačenie tlačidla nemá určitý výsledok. Napríklad, ak je stroj v stave (x), existuje pravdepodobnosť (1/2), že zostane v rovnakom stave aj po stlačení (a), ale a (1/4) pravdepodobnosť zostania v rovnakom stave po stlačení (b). To znamená, [(M, x) modely P_a (p / wedge / neg q) = 1/2 / wedge P_b (p / wedge / neg q) = 1/4.)

Významnou črtou modálnej logiky vo všeobecnosti (a to zahŕňa modálnu pravdepodobnostnú logiku) je schopnosť podporovať zdôvodnenie vyššieho poriadku, to znamená zdôvodnenie pravdepodobnosti pravdepodobnosti. Dôležitosť pravdepodobností vyšších rádov je zrejmá z úlohy, ktorú zohrávajú napríklad v Millerovom princípe, ktorý uvádza, že (P_1 (phi / mid P_2 (phi) = b) = b). Tu sú (P_1) a (P_2) pravdepodobnostné funkcie, ktoré môžu mať rôzne interpretácie, napríklad pravdepodobnosť dvoch činiteľov, logickú a štatistickú pravdepodobnosť alebo pravdepodobnosti jedného činiteľa v rôznych časových okamihoch (Miller 1966). Lewis 1980; van Fraassen 1984; Halpern 1991). Pravdepodobnosť vyššej úrovne sa vyskytuje napríklad aj v prípade problému Judy Benjaminovej (van Fraassen 1981a), kde je podmienená pravdepodobnosť informácií. Či už niekto súhlasí s princípmi navrhnutými v literatúre o pravdepodobnosti vyššieho poriadku alebo nie, schopnosť ich zastupovať ich núti skúmať princípy, ktorými sa riadia.

Aby sme konkrétnejšie ilustrovali zdôvodnenie vyššieho poriadku, vrátime sa k nášmu príkladu a uvidíme, že v (x) existuje pravdepodobnosť (1/2), že po stlačení (a) existuje (1) / 2) pravdepodobnosť, že po stlačení (b) sa stane, že (neg p) je pravda, to znamená, [(M, x) modely P_a (P_b (neg p) = 1/2) = 1/2.)

Subjektívna interpretácia: Predpokladajme, že prvky (a) a (b) z (A) sú hráčmi hry. (p) a (neg p) sú stratégie pre hráča (a) a (q) a (neg q) sú stratégie pre hráča (b). V modeli je každý hráč presvedčený o svojej vlastnej stratégii; napríklad v (x) si hráč (a) je istý, že bude hrať (p) a hráč (b) je si istý, že bude hrať (neg q), to je

[(M, x) modely P_a (p) = 1 / wedge P_b (neg q) = 1.)

Hráči sa však náhodne náhodne rozhodnú pre svojich súperov. Napríklad v (x) je pravdepodobnosť, že (b) (a) / \ / \ / \ q / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / {), to znamená

[(M, x) modely P_b (P_a (q) = 1/2) = 1/4.)

4.3 Pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť je všeobecne definovaná ako miera v mierke priestoru. Merací priestor je množina (Omega) (vzorový priestor) spolu s (sigma) - algebrou (tiež nazývanou (sigma) - pole) (mathcal {A}). (Omega), čo je neprázdna množina podmnožín (Omega), takže (A / in / mathcal {A}) naznačuje, že (Omega-A / in / mathcal { A}) a (A_i / in / mathcal {A}) pre všetky prirodzené čísla (i) znamená, že (bigcup_i A_i / in / mathcal {A}). Miera je funkcia (mu) definovaná v (sigma) - algebra (mathcal {A}), takže (mu (A) ge 0) pre každú množinu (A / in / mathcal {A}) a (mu (bigcup_i A_i) = / sum_i / mu (A_i)) kedykoľvek (A_i / cap A_j = / emptyset) pre každé (i, j).

Účinok algebry (sigma) je obmedziť doménu tak, aby nie každá podskupina (Omega) musela mať pravdepodobnosť. To je rozhodujúce pre to, aby sa určité pravdepodobnosti definovali na nespočetne nekonečných množinách; napríklad nie je možné definovať rovnomerné rozdelenie po jednotkových intervaloch vo všetkých podmnožinách intervalu, pričom sa tiež zachovajú podmienky spočítateľné aditívnosti pre pravdepodobnostné miery.

Rovnaký základný jazyk, aký sa použil pre základnú logiku konečnej pravdepodobnosti, sa nemusí meniť, ale sémantika je mierne odlišná: pre každý stav (w / in W) je zložka (mathcal {P} _w) modálny pravdepodobnostný model je nahradený celým pravdepodobnostným priestorom ((Omega_w, / mathcal {A} _w, / mu_w)), takže (Omega_w / subseteq W) a (mathcal {A} _w) je (sigma) - algebra nad (Omega_w). Dôvodom, prečo by sme mohli chcieť, aby sa celý priestor líšil od jedného sveta k druhému, je odrážať neistotu o tom, aký pravdepodobný priestor je ten pravý. Pre sémantiku pravdepodobnostných vzorcov ((M, w) models P (phi) ge q) iba vtedy, ak (mu_w ({w '\ mid (M, w') models / phi }) ge q). Takáto definícia nie je dobre definovaná v prípade, že ({w '\ mid (M, w') models / phi } not / in / mathcal {A} _w). Na modely sa preto často kladú obmedzenia, aby sa zabezpečilo, že tieto súbory sú vždy v (sigma) - algebrách.

4.4 Kombinácia kvantitatívnej a kvalitatívnej neistoty

Hoci pravdepodobnosti odrážajú kvantitatívnu neistotu na jednej úrovni, existuje aj kvalitatívna neistota o pravdepodobnosti. Možno by sme chceli mať kvalitatívnu a kvantitatívnu neistotu, pretože si môžeme byť takí istí v niektorých situáciách, že nechceme prideľovať čísla pravdepodobnostiam ich udalostí, zatiaľ čo v iných situáciách máme zmysel pravdepodobností ich udalostí.; a tieto situácie sa môžu vzájomne ovplyvňovať.

Existuje veľa situácií, keď možno nebudeme chcieť priradiť číselné hodnoty k neistotám. Jedným príkladom je prípad, keď počítač vyberie bit 0 alebo 1 a nevieme nič o tom, ako je tento bit vybraný. Na druhej strane, výsledky vyhodených mincí sa často používajú ako príklady toho, kde by sme jednotlivým výsledkom priradili pravdepodobnosti.

Príkladom toho, ako by tieto mohli interagovať, je prípad, keď výsledok bitu určuje, či sa na vyhodenie mincí použije spravodlivá alebo vážená minca (napríklad hlavy s pravdepodobnosťou (2/3)). Existuje teda kvalitatívna neistota, či akcia vyhodenia mince vedie k pravdepodobnosti (1/2) alebo (2/3).

Jedným zo spôsobov, ako formalizovať interakciu medzi pravdepodobnosťou a kvalitatívnou neistotou, je pridanie ďalšieho vzťahu k modelu a modálnemu operátorovi k jazyku, ako sa to robí v Fagin a Halpern (1988, 1994). Formálne pridáme k základnému modelu konečnej pravdepodobnosti vzťah (R / subseteq W ^ 2). Potom do jazyka pridáme modálneho operátora (Box), takže ((M, w) models / Box / phi) iba vtedy, ak ((M, w ') models / phi) kedykoľvek (w R w ').

Zoberme si nasledujúci príklad:

  • (W = {(0, H), (0, T), (1, H), (1, T) }),
  • (Phi = {h, t }) je množina atómových výrokov,
  • (R = W ^ 2),
  • (P) sa spája s ((0, H)) a ((0, T)) mapovaním distribúcie ((0, H)) a ((0, T)) na (1/2) a spája sa s ((1, H)) a ((1, T)) mapovaním distribúcie ((1, H)) na (2/3) a ((1, T)) na (1/3),
  • (V) mapuje (h) na množinu ({(0, H), (1, H) }) a (t) na množinu ({(0, T)), (1, T) }).

Potom nasledujúci vzorec platí pri ((0, H)): (neg / Box h / wedge (neg / Box P (h) = 1/2) wedge (Diamond P (h) = 1/2)). Toto je možné čítať, pretože nie je známe, že (h) je pravda, a nie je známe, že pravdepodobnosť (h) je (1/2), ale je možné, že pravdepodobnosť (h) je (1/2).

4.5 Dynamika

Diskutovali sme o dvoch názoroch na modálnu pravdepodobnostnú logiku. Jeden je dočasný alebo stochastický, kde rozdelenie pravdepodobnosti spojené s každým štátom určuje pravdepodobnosť prechodu do iných štátov; ďalší sa týka subjektívnych perspektív agentov, ktorí môžu uvažovať o pravdepodobnosti iných agentov. Stochastický systém je dynamický v tom, že predstavuje pravdepodobnosti rôznych prechodov, a to môže byť sprostredkované samotnými modálnymi pravdepodobnostnými modelmi. Ale zo subjektívneho hľadiska sú modálne pravdepodobnostné modely statické: pravdepodobnosti sa týkajú toho, čo je v súčasnosti. Hoci je ich modálna interpretácia statická, pravdepodobnostné usporiadanie sa dá uviesť do dynamického kontextu.

Dynamika v modálnom pravdepodobnostnom prostredí sa vo všeobecnosti zaoberá súčasnými zmenami pravdepodobnosti v potenciálne všetkých možných svetoch. Intuitívne môže byť takáto zmena spôsobená novými informáciami, ktoré vyvolávajú pravdepodobnú revíziu v každom možnom svete. Dynamika subjektívnych pravdepodobností sa často modeluje pomocou podmienených pravdepodobností, ako napríklad v Kooi (2003), Baltag a Smets (2008) a van Benthem et al. (2009). Pravdepodobnosť (E) podmieneného (F), napísaného (P (E / stred F)), je (P (E / cap F) / P (F)). Pri aktualizácii množinou (F) sa rozdelenie pravdepodobnosti (P) nahrádza distribúciou pravdepodobnosti (P '), takže (P' (E) = P (E / stred F)), ak (P (F) neq 0). Pre zvyšok tohto pododdielu dynamiky predpokladajme, že každý relevantný súbor má pozitívnu pravdepodobnosť.

Použitím logiky pravdepodobnosti s lineárnymi kombináciami môžeme skrátiť podmienenú pravdepodobnosť (P (phi / mid / psi) ge q) pomocou (P (phi / wedge / psi) - qP (psi) ge 0). V modálnom nastavení je možné do jazyka pridať operátor ([! / Psi]), takže (M, w / models [! / Psi] phi) iba vtedy, ak (M ', w / models / phi), kde (M ') je model získaný z (M) revidovaním pravdepodobností každého sveta pomocou (psi). Všimnite si, že ([! / Psi] (P (phi) ge q)) sa líši od (P (phi / mid / psi) ge q), tým, že v ([! / Psi]) (P (phi) ge q)), interpretácia pravdepodobnostných výrazov vo vnútri (phi) je ovplyvnená revíziou (psi), zatiaľ čo v (P (phi / mid / psi)) ge q), nie sú, a preto (P (phi / mid / psi) ge q) sa pekne rozvíja do iného pravdepodobnostného vzorca. ([! / Psi] phi) sa však odohráva tiež, ale vo viacerých krokoch:

[! / psi] (P (phi) ge q) leftrightarrow (psi / to P ([! / psi] phi / mid / psi) ge q).)

Ďalšie prehľady logiky pravdepodobnosti a jej dynamiky sa nachádzajú v Demey a Kooi (2014), Demey a Sack (2015) a v prílohe L o pravdepodobnostnej aktualizácii v dynamickej epistemickej logike záznamu o dynamickej epistemickej logike.

5. Pravdepodobnostná logika prvého poriadku

V tejto časti sa budeme venovať logike pravdepodobnosti prvého poriadku. Ako bolo vysvetlené v oddiele 1 tohto záznamu, existuje veľa spôsobov, ako môže mať logika pravdepodobnostné vlastnosti. Modely logiky môžu mať pravdepodobnostné aspekty, pojem dôsledky môže mať pravdepodobnostnú príchuť alebo jazyk logiky môže obsahovať pravdepodobnostné operátory. V tejto časti sa zameriame na tie logické operátory, ktoré majú chuť prvého poriadku. Chuť prvého poriadku je to, čo odlišuje týchto operátorov od pravdepodobných modálnych operátorov z predchádzajúcej časti.

Zoberme si nasledujúci príklad z Bacchusa (1990):

Viac ako 75% všetkých vtákov letí.

Existuje jednoduchá pravdepodobnostná interpretácia tejto vety, konkrétne ak náhodne vyberieme vtáka, potom je pravdepodobnosť, že vybraný vták letí, viac ako 3/4. Pravdepodobní operátori prvého poriadku sú potrební na vyjadrenie týchto tvrdení.

V Halperne (1990) sa diskutuje o ďalšom druhu vety, ako je napríklad nasledujúca veta:

Pravdepodobnosť, že Tweety letí, je väčšia ako (0,9).

Táto veta sa zaoberá pravdepodobnosťou, že môže lietať Tweety (konkrétny vták). Tieto dva typy viet sú adresované dvoma rôznymi typmi sémantiky, kde prvý obsahuje pravdepodobnosti nad doménou, zatiaľ čo druhý zahŕňa pravdepodobnosti nad skupinou možných svetov, ktoré sú oddelené od domény.

5.1 Príklad logiky pravdepodobnosti prvého poriadku

V tejto podkapitole sa bližšie pozrieme na konkrétnu logiku pravdepodobnosti prvého poriadku, ktorej jazyk je čo najjednoduchší, aby sme sa zamerali na pravdepodobnostné kvantifikátory. Jazyk je veľmi podobný jazyku klasickej logiky prvého poriadku, ale skôr ako známy univerzálny a existenciálny kvantifikátor obsahuje jazyk pravdepodobnostný kvantifikátor.

Jazyk je zostavený zo súboru jednotlivých premenných (označených ako (x, y, z, x_1, x_2, / ldots)), sady funkčných symbolov (označených ako (f, g, h, f_1, / ldots)), kde je ku každému symbolu priradená arita (symboly nulových funkcií sa tiež nazývajú jednotlivé konštanty) a množina predikátových písmen (označených ako (R, P_1, / ldots))), kde je aritácia spojená s každý symbol. Jazyk obsahuje dva druhy syntaktických objektov, a to termíny a vzorce. Pojmy sú definované induktívne takto:

  • Každá jednotlivá premenná (x) je termín.
  • Každý funkčný symbol (f) arity (n), za ktorým nasleduje (n) - násobok výrazov ((t_1, / ldots, t_n)), je výraz.

Vzhľadom na túto definíciu pojmov sa vzorce definujú induktívne takto:

  • Každé predikátové písmeno (R) arity (n), za ktorým nasleduje (n) - násobok pojmov ((t_1, / ldots, t_n)), je vzorec.
  • Ak je (phi) vzorec, potom je to aj (neg / phi).
  • Ak sú (phi) a (psi) vzorce, potom je to aj ((phi / wedge / psi)).
  • Ak (phi) je vzorec a (q) je racionálne číslo v intervale ([0,1]), potom je to aj (Px (phi) geq q).

Vzorce formulára (Px (phi) geq q) by sa mali čítať ako: „pravdepodobnosť výberu (x) tak, aby (x) vyhovoval (phi), je aspoň (q) . Vzorec (Px (phi) leq q) je skratka (Px (neg / phi) geq 1-q) a (Px (phi) = q) je skratka (Px (phi) geq q / wedge Px (phi) leq q). Každý voľný výskyt (x) v (phi) je viazaný operátorom.

Tento jazyk je interpretovaný na veľmi jednoduchých modeloch prvého poriadku, ktoré sú trojicami (M = (D, I, P)), kde doménou diskurzu (D) je konečná neprázdna skupina objektov, interpretácia (I) priradí (n) - ary funkciu na (D) s každým (n) - symbolom ary funkcie vyskytujúcim sa v jazyku a (n) - ary vzťah na (D) s každým (n) - ary predikátovým písmenom. (P) je pravdepodobnostná funkcia, ktorá priraďuje pravdepodobnosť (P (d)) každému prvku (d) v (D) tak, že (sum_ {d / in D} P (d) = 1).

Na interpretáciu vzorcov obsahujúcich voľné premenné je tiež potrebné priradenie (g), ktoré každej premennej priradí prvok (D). Interpretácia ((! [T] !] _ {M, g}) pojmu (t) dala model (M = (D, I, P)) a priradenie (g) je definované induktívne takto:

  • ((! [x] !] _ {M, g} = g (x))
  • ((! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, g} = I (f) ((! [t_1] !], / ldots, (! [t_n] !]))

Pravda je definovaná ako vzťah (models) medzi modelmi s priradeniami a vzorcami:

  • (M, g / modely R (t_1, / ldots, t_n)) iff (((! [T_1] !], / Ldots, (! [T_n] !]) In I (R))
  • (M, g / models / neg / phi) iff (M, g / not / models / phi)
  • (M, g / models (phi / wedge / psi)) iff (M, g / models / phi) a (M, g / models / psi)
  • (M, g / modely Px (phi) geq q) iff (sum_ {d: M, g [x / mapsto d] models / phi} P (d) geq q)

Ako príklad uvážte model vázy obsahujúcej deväť guličiek: päť je čiernych a štyri sú biele. Predpokladajme, že (P) priraďuje každému mramoru pravdepodobnosť 1/9, čo zachytáva myšlienku, že je pravdepodobné, že si každý mramor vyberie. Predpokladajme, že jazyk obsahuje nemenný predikát (B), ktorého interpretácia je sada čiernych guličiek. Veta (Px (B (x)) = 5/9) platí v tomto modeli bez ohľadu na priradenie.

Logika, ktorú sme práve predstavili, je príliš jednoduchá na zachytenie mnohých foriem zdôvodnenia pravdepodobnosti. Tu budeme diskutovať o troch rozšíreniach.

5.1.1 Kvantifikácia na viac ako jednu premennú

Najprv by sme chceli uvažovať o prípadoch, keď je z domény vybratých viac ako jeden objekt. Zoberme si napríklad pravdepodobnosť, že si najprv vyberiete čierny mramor, vrátite ho späť a potom z vázy vyberiete biely mramor. Táto pravdepodobnosť je 5/9 (times) 4/9 = 20/81, ale nemôžeme to vyjadriť vo vyššie uvedenom jazyku. Na to potrebujeme jedného operátora, ktorý sa zaoberá viacerými premennými súčasne, napísaným ako (Px_1, / ldots x_n (phi) geq q). Sémantika pre takýchto operátorov bude potom musieť poskytnúť pravdepodobnostné opatrenie na podmnožinách (D ^ n). Najjednoduchší spôsob, ako to dosiahnuť, je jednoducho vziať súčin pravdepodobnostnej funkcie (P) na (D), ktorý možno považovať za rozšírenie (P) na n-tice, kde (P (d_1), / ldots d_n) = P (d_1) times / cdots / times P (d_n)), čo vedie k nasledovnej sémantike:

(M, g / modely Px_1 / ldots x_n (phi) geq q) iff (sum _ {(d_1, / ldots, d_n): M, g [x_1 / mapsto d_1, / ldots, x_n / mapsto d_n] models / phi} P (d_1, / ldots, d_n) geq q)

Tento prístup zvolili Bacchus (1990) a Halpern (1990), čo zodpovedá myšlienke, že výbery sú nezávislé a nahradzujú ich. Pomocou týchto sémantík je možné vyššie uvedený príklad formalizovať ako (Px, y (B (x) wedge / neg B (y)) = 20/81). Existujú aj všeobecnejšie prístupy k rozšíreniu opatrenia v oblasti na n-tice z domény, ako napríklad Hoover (1978) a Keisler (1985).

5.1.2 Podmienená pravdepodobnosť

Keď vezmeme do úvahy počiatočný príklad, že viac ako 75% všetkých vtákov letí, zistíme, že to nemožno primerane zachytiť v modeli, v ktorom doména obsahuje objekty, ktoré nie sú vtákmi. Tieto objekty by nemali záležať na tom, čo chceme vyjadriť, ale kvantifikátory pravdepodobnosti kvantifikujú v celej doméne. Aby sa obmedzila kvantifikácia, je potrebné pridať operátory podmienenej pravdepodobnosti (Px (phi | / psi) geq q) s nasledujúcou sémantikou:

  • (M, g / models Px (phi | / psi) geq q) iff, ak existuje (d / in D) také, že (M, g [x / mapsto d] models / psi) potom

    (frac { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] models / phi / wedge / psi} P (d)} { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] models / psi} P (d)} geq q.)

U týchto operátorov vzorec (Px (F (x) stred B (x))> 3/4) vyjadruje, že viac ako 75% všetkých vtákov letí.

5.1.3 Pravdepodobnosť ako podmienky

Ak niekto chce porovnať pravdepodobnosť rôznych udalostí, napríklad výber čiernej gule a výberu bielej gule, môže byť vhodnejšie považovať pravdepodobnosť za pojmy samé o sebe. To znamená, že výraz (Px (phi)) sa interpretuje ako odkaz na nejaké racionálne číslo. Potom je možné rozšíriť jazyk aritmetickými operáciami, ako sú sčítanie a množenie, a operátormi, ako sú rovnosť a nerovnosti, porovnávať pravdepodobnostné termíny. Dá sa potom povedať, že je čierna guľa dvakrát pravdepodobnejšia ako biela guľa ako (Px (B (x)) = 2 / krát Px (W (x)))). Takéto rozšírenie si vyžaduje, aby jazyk obsahoval dve samostatné triedy výrazov: jednu pre pravdepodobnosti, čísla a výsledky aritmetických operácií za týchto podmienok,a jeden pre oblasť diskurzu, ktorý kvantifikujú pravdepodobní operátori. Takýto jazyk a sémantiku tu nebudeme podrobne uvádzať. Jeden taký systém možno nájsť v Bacchus (1990).

5.2 Pravdepodobná logika pravdepodobnosti prvého rádu na svete

V tejto podsekcii uvažujeme o pravdepodobnostnej logike prvého poriadku s možnou svetovou sémantikou (ktorú skrátime FOPL). Jazyk FOPL je podobný príkladu, ktorý sme uviedli v oddiele 5.1 a ktorý sa týka jazyka Bacchus, okrem toho máme úplné kvantifikátorové vzorce vo formáte ((forall x) phi) pre akýkoľvek vzorec (phi) a namiesto pravdepodobnostných vzorcov vo formáte (Px (phi) ge q) máme pravdepodobnostné vzorce vo forme (P (phi) ge q) (podobné pravdepodobnostným vzorcom v predpokladanej pravdepodobnosti) logika).

Modely FOPL majú tvar (M = (W, D, I, P)), kde (W) je množina možných svetov, (D) je doménou diskurzu, (I) je lokalizovaná interpretačná funkcia mapujúca každú (w / in W) na interpretačnú funkciu (I (w)), ktorá asociuje každú funkciu a predikátový symbol, funkciu alebo predikát vhodnej arity, a (P) je pravdepodobnostná funkcia, ktorá priraďuje pravdepodobnosť (P (w)) každému (w) v (W).

Podobne ako v predchádzajúcom jednoduchom príklade, zahrnujeme funkciu priradenia (g) mapujúcu každú premennú na prvok domény (D). Aby sme interpretovali pojmy, pre každý model (M), svet (w / in W) a funkciu priradenia (g), mapujeme každý výraz (t) na elementy domény takto:

  • ((! [x] !] _ {M, w, g} = g (x))
  • ((! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, w, g} = I (w) (f) ((! [t_1] !], / ldots, [! [t_n] !]))

Pravda je definovaná podľa vzťahu (models) medzi špicatými modelmi (modely s označenými svetmi) s priradeniami a vzorcami takto:

  • (M, w, g / modely R (t_1, / ldots, t_n)) iff (((! [T_1] !], / Ldots, (! [T_n] !]) In I (w) (R))
  • (M, w, g / models / neg / phi) iff (M, w, g / not / models / phi)
  • (M, w, g / models (phi / wedge / psi)) iff (M, w, g / models / phi) a (M, w, g / models / psi)
  • (M, w, g / models (forall x) varphi) iff (M, w, g [x / d] models / varphi) pre všetky (d / in D), kde (g [x / d]) je rovnaké ako (g) s tou výnimkou, že mapuje (x) na (d).
  • (M, w, g / modely P (varphi) ge q) iff (P ({w '\ mid (M, w', g) models / varphi }) ge q),

Ako príklad uvážte model, v ktorom sú dve možné vázy: do obidvoch možných vázy sa umiestnili 4 biele a 4 čierne guličky. Ale potom bol do vázy umiestnený ďalší mramor, zvaný, ale v jednej možnej váze bol biely av druhom čierny. Na konci sú teda dve možné vázy: jedna s 5 čiernymi guličkami a 4 biele guličky a druhá so 4 čiernymi guličkami a 5 bielymi guličkami. Predpokladajme, že (P) priraďuje (1/2) pravdepodobnosť dvom možným vázam. Potom (P (B (mathsf {last})) = 1/2) platí pre toto priradenie premennej, a ak bolo zvolené akékoľvek iné priradenie premennej, vzorec ((existuje x) P (B (x ()) = 1/2) by stále platilo.

5.3 Metalogické

Všeobecne je ťažké poskytnúť systémy dokazovania pre pravdepodobnostnú logiku prvého poriadku, pretože problém platnosti týchto logík je vo všeobecnosti nerozhodnuteľný. Nie je to tak, ako je to v prípade klasickej logiky prvého poriadku, že ak je odvodenie platné, potom je možné to zistiť v konečnom čase (pozri Abadi a Halpern (1994)).

Existuje však veľa výsledkov pre logiku pravdepodobnosti prvého poriadku. Napríklad výsledky štúdie Hoover (1978) a Keisler (1985) študujú. Bacchus (1990) a Halpern (1990) tiež poskytujú úplné axiomatizácie, ako aj kombinácie pravdepodobnostnej logiky prvého poriadku a pravdepodobnostnej logiky prvého rádu na svete. V Ognjanović a Rašković (2000) je uvedená všeobecnejšia verzia možnej logiky pravdepodobnosti prvého rádu na svete, ktorá je uvedená tu.

Bibliografia

  • Abadi, M. and Halpern, JY, 1994, „Rozhodnuteľnosť a expresivita pre logiku pravdepodobnosti prvého poriadku“, informácie a výpočty, 112: 1–36.
  • Adams, EW a Levine, HP, 1975, „O neistotách prenesených z premis do záverov v deduktívnych záveroch“, Synthese, 30: 429–460.
  • Adams, EW, 1998, logika primerov pravdepodobnosti, Stanford, CA: Publikácie CSLI.
  • Arló Costa, H., 2005, „Neadjunktívne odvodenie a klasické modality“, Journal of Philosophical Logic, 34: 581–605.
  • Bacchus, F., 1990, Zastupovanie a zdôvodňovanie pravdepodobnostnými znalosťami, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Baltag, A. a Smets, S., 2008, „Pravdepodobná dynamická revízia viery“, Synthese, 165: 179–202.
  • van Benthem, J., 2017, „Proti všetkým pravdepodobnostiam: keď logika spĺňa pravdepodobnosť“, v ModelEd, TestEd, TrustEd. Eseje určené pre Ed Brinksmu pri príležitosti jeho 60. narodenín, JP Katoen, R. Langerak a A. Rensink (ed.), Cham: Springer, s. 239–253.
  • van Benthem, J., Gerbrandy, J., a Kooi, B., 2009, „Dynamická aktualizácia s pravdepodobnosťou“, Studia Logica, 93: 67–96.
  • Boole, G., 1854, Vyšetrovanie zákonov myslenia, na ktorých sa zakladajú matematické teórie logiky a pravdepodobnosti, Londýn: Walton a Maberly.
  • Burgess, J., 1969, „Pravdepodobná logika“, Journal of Symbolic Logic, 34: 264–274.
  • Carnap, R., 1950, Logické základy pravdepodobnosti, Chicago, IL: University of Chicago Press.
  • Cross, C., 1993, „Od svetov k pravdepodobnostiam: Pravdepodobná sémantika pre modálnu logiku“, Journal of Philosophical Logic, 22: 169–192.
  • Delgrande, J. a Renne, B., 2015, „Logika kvalitatívnej pravdepodobnosti“, v zborníku dvadsiatej štvrtej medzinárodnej konferencie o umelej inteligencii (IJCAI 2015), Q. Yang a M. Wooldridge (ed.), Palo Alto, CA: AAAI Press, s. 2904 - 2910.
  • Demey, L. a Kooi, B., 2014, „Logická a pravdepodobnostná aktualizácia“, v A. Baltag a S. Smets (ed.), Johan van Benthem o logickej a informačnej dynamike, s. 381–404.
  • Demey, L. a Sack, J., 2015, „Epistemická pravdepodobnostná logika“, v Príručke epistemickej logiky. H. van Ditmarsch, J. Halpern, W. van der Hoek a B. Kooi (ed.), London: College Publications, s. 147 - 202.
  • Dempster, A., 1968, „Zovšeobecnenie Bayesovskej inferencie“, Journal of Royal Statistical Society, 30: 205–247.
  • De Morgan, A., 1847, Formal Logic, London: Taylor a Walton.
  • de Finetti, B., 1937, „La Prévision: Ses Lois Logiques, Subjekty zdrojov Ses“, Annales de l'Institut Henri Poincaré, 7: 1–68; preložené ako „Predvídavosť. Jeho logické zákony, jej subjektívne zdroje, “v štúdiách subjektívnej pravdepodobnosti, HE Kyburg, Jr. a HE Smokler (ed.), Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, s. 53–118.
  • Douven, I. a Rott, H., 2018, „Od pravdepodobností po kategorické presvedčenie: Prekračovanie modelov hračiek“, Journal of Logic and Computation, 28: 1099–1124.
  • Eagle, A., 2010, Filozofia pravdepodobnosti: Súčasné čítania, Londýn: Routledge.
  • Fagin, R. a Halpern, JY, 1988, „Zdôvodnenie o vedomostiach a pravdepodobnosti,“v zborníku z 2. konferencie o teoretických aspektoch zdôvodňovania znalostí, MY Vardi (ed.), Pacific Grove, Kalifornia: Morgan Kaufmann, s. 277-293.
  • –––, 1994, „Zdôvodnenie vedomostí a pravdepodobnosti“, Journal of ACM, 41: 340–367.
  • Fagin, R., Halpern, JY a Megiddo, N., 1990, „Logika zdôvodňovania pravdepodobností“, informácie a výpočty, 87: 78–128.
  • Fitelson, B., 2006, „Indukčná logika“, v The Philosophy of Science: Encyclopedia, J. Pfeifer a S. Sarkar (ed.), New York, NY: Routledge, s. 384–394.
  • van Fraassen, B., 1981a, „Problém relatívnych minimalizátorov informácií v pravdepodobnostnej kinematike“, British Journal for Philosophy of Science, 32: 375–379.
  • –––, 1981b, „Pravdepodobná sémantika s objektívom: I. Postuláty a logika,“Journal of Philosophical Logic, 10: 371–391.
  • –––, 1983, „Pánove stávky: relevantná logika a pravdepodobnosť“, filozofické štúdie, 43: 47–61.
  • –––, 1984, „Viera a vôľa“, Journal of Philosophy, 81: 235–256.
  • Gärdenfors, P., 1975a, „Kvalitatívna pravdepodobnosť ako intenzívna logika“, Journal of Philosophical Logic, 4: 171–185.
  • –––, 1975b, „Niektoré základné vety kvalitatívnej pravdepodobnosti“, Studia Logica, 34: 257–264.
  • Georgakopoulos, G., Kavvadias, D., a Papadimitriou, CH, 1988, „Pravdepodobná spokojnosť“, Journal of Complexity, 4: 1–11.
  • Gerla, G., 1994, „Inferencie v logike pravdepodobnosti“, Aritificial Intelligence, 70: 33–52.
  • Gillies, D., 2000, Filozofické teórie pravdepodobnosti, Londýn: Routledge.
  • Goldblatt, R. (2010) „Odpočítavacie systémy pre koalgebry nad merateľnými priestormi.“Journal of Logic and Computation 20 (5): 1069–1100
  • Goldman, AJ a Tucker, AW, 1956, „Teória lineárneho programovania“, v lineárnych nerovnostiach a súvisiacich systémoch. Annals of Mathematics Studies 38, HW Kuhn a AW Tucker (ed.), Princeton: Princeton University Press, s. 53–98.
  • Goosens, WK, 1979, „Alternatívne axiomatizácie teórie elementárnej pravdepodobnosti“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 20: 227-239.
  • Hájek, A., 2001, „Pravdepodobnosť, logika a pravdepodobnostná logika“, v The Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (ed.), Oxford: Blackwell, s. 362–384.
  • Hájek, A. a Hartmann, S., 2010, „Bayesovská epistemológia“, „Companion to Epistemology“, J. Dancy, E. Sosa a M. Steup (ed.), Oxford: Blackwell, s. 93–106.
  • Haenni, R. a Lehmann, N., 2003, „Pravdepodobné argumentačné systémy: nový pohľad na teóriu Dempster-Shafer“, International Journal of Intelligent Systems, 18: 93–106.
  • Haenni, R., Romeijn, J.-W., Wheeler, G., a Williamson, J., 2011, Pravdepodobná logika a pravdepodobnostné siete, Dordrecht: Springer.
  • Hailperin, T., 1965, „Najlepšie možné nerovnosti pre pravdepodobnosť logickej funkcie udalostí“, American Mathematical Monthly, 72: 343–359.
  • –––, 1984, „Pravdepodobná logika“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 25: 198–212.
  • –––, 1986, Booleova logika a pravdepodobnosť, Amsterdam: Severný Holland.
  • –––, 1996, logika pravdepodobnej pravdepodobnosti: pôvod, vývoj, súčasný stav a technické aplikácie, Betlehem, PA: Lehigh University Press.
  • Halpern, JY a Rabin, MO, 1987, „Logika odôvodnenia pravdepodobnosti“, Artificial Intelligence, 32: 379–405.
  • Halpern, JY, 1990, „Analýza logiky pravdepodobnosti prvého poriadku“, Artificial Intelligence, 46: 311–350.
  • –––, 1991, „Vzťah medzi vedomosťami, vierou a istotou“, Matematické a matematické inteligencie, 4: 301–322. Errata sa objavila v Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 26 (1999): 59–61.
  • –––, 2003, Zdôvodnenie neistoty, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Hamblin, CL, 1959, „Modálne 'pravdepodobne' ', Mind, 68: 234-240.
  • Hansen, P. a Jaumard, B., 2000, „Pravdepodobná spokojnosť“, v Príručke systémov riadenia zdôvodniteľných dôvodov a neistoty. Zväzok 5: Algoritmy pre neistotu a zdôvodniteľné odôvodnenie, J. Kohlas a S. Moral (vyd.), Dordrecht: Kluwer, s. 321 - 367.
  • Harrison-Trainor M., Holliday, WH, a Icard, T., 2016, „Poznámka o axiómoch zrušenia pre porovnateľnú pravdepodobnosť“, Teória a rozhodnutie, 80: 159–166.
  • –––, 2018, „Porovnanie pravdepodobnosti“, Mathematical Social Sciences, 91: 62–70.
  • Hartmann, S. a Sprenger J., 2010, „Bayesovská epistemológia“, v publikácii Routledge Companion to Epistemology, S. Bernecker a D. Pritchard (eds.), London: Routledge, s. 609–620.
  • Heifetz, A. a Mongin, P., 2001, „Pravdepodobnostná logika pre typy priestorov“, hry a ekonomické správanie, 35: 31–53.
  • Herzig, A. a Longin, D., 2003, „O modálnej pravdepodobnosti a viere“, v zborníku zo 7. Európskej konferencie o symbolických a kvantitatívnych prístupoch k odôvodneniu s neurčitosťou (ECSQARU 2003), TD Nielsen a NL Zhang (ed.), Lecture Notes in Computer Science 2711, Berlin: Springer, s. 62–73.
  • Hoover, DN, 1978, „Pravdepodobná logika“, Annals of Mathematical Logic, 14: 287–313.
  • Howson, C., 2003, „Pravdepodobnosť a logika“, Journal of Applied Logic, 1: 151–165.
  • ––– 2007, „Logika s číslami“, Synthese, 156: 491–512.
  • ––– 2009, „Možno kombinovať logiku s pravdepodobnosťou? Pravdepodobne “, Journal of Applied Logic, 7: 177–187.
  • Ilić-Stepić, Ognjanović, Z., Ikodinović, N., Perović, A., (2012), „A (p) - adická pravdepodobnostná logika,“matematická logika Štvrťrok 58 (4–5): 63–280.
  • Jaynes, ET, 2003, Teória pravdepodobnosti: Logika vedy, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jeffrey, R., 1992, Pravdepodobnosť a umenie súdu, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jonsson, B., Larsen, K. a Yi, W., 2001 „Pravdepodobné rozšírenie procesných algebier“, v Handbook of Process Algebra, JA Bergstra, A. Ponse a SA Smolka (ed.), Amsterdam: Elsevier, strany 685 - 710.
  • Kavvadias, D. a Papadimitriou, CH, 1990, „Prístup lineárneho programovania k zdôvodňovaniu pravdepodobností“, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 1: 189–205.
  • Keisler, HJ, 1985, "Kvantifikátory pravdepodobnosti", v Model-Theoretic Logics, J. Barwise a S. Feferman (eds.), New York, NY: Springer, s. 509 - 556.
  • Kooi BP, 2003, „Pravdepodobná dynamická epistemická logika“, Journal of Logic, Language and Information, 12: 381–408.
  • Kraft, CH, Pratt, JW a Seidenberg, A., 1959, „Intuitívna pravdepodobnosť na konečných množinách“, Annals of Mathematical Statistics, 30: 408–419.
  • Kyburg, HE, 1965, „Pravdepodobnosť, racionalita a zásada oddelenia“, v zborníku z Medzinárodného kongresu pre logiku, metodológiu a filozofiu vedy z roku 1964, Y. Bar-Hillel (ed.), Amsterdam: Severný Holland, strany 301 - 310.
  • –––, 1994, „Neistota Logika“v Príručke logiky v oblasti umelej inteligencie a logického programovania, DM Gabbay, CJ Hogger a JA Robinson (ed.), Oxford: Oxford University Press, s. 397–438.
  • Larsen, K. a Skou, A., 1991, „Bisimulation with Probabilistic Testing“, Information and Computation, 94: 1-28.
  • Leblanc, H., 1979, „Pravdepodobná sémantika pre logiku prvého poriadku“, Zeitschrift pre matematickú logiku a Grundlagen der Mathematik, 25: 497–509.
  • –––, 1983, „Alternatívy k štandardnej sémantike prvého poriadku“, v Handbook of Philosophical Logic, Zväzok I, D. Gabbay a F. Guenthner (ed.), Dordrecht: Reidel, s. 189–274.
  • Leitgeb, H., 2013, „Zjednodušujúce zjednodušovanie viery na stupne viery“, Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1338–1389.
  • ––– 2014, „Teória stability viery“, Philosophical Review, 123: 131–171.
  • –––, 2017, Stabilita viery. Ako sa racionálna viera spája s pravdepodobnosťou, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, D., 1980, „Subjektívny sprievodca objektívnou pravdepodobnosťou“, v štúdiách indukčnej logiky a pravdepodobnosti. Volume 2, RC Jeffrey (ed.), Berkeley, CA: University of California Press, s. 263 - 293; dotlačené vo filozofických dokumentoch. Zväzok II, Oxford: Oxford University Press, 1987, s. 83 - 113.
  • Lin, H. a Kelly, KT, 2012a, „Geologické riešenie paradoxu lotérie s aplikáciami na podmienečnú logiku,“Synthese, 186: 531–575.
  • –––, 2012b, „Propozičné uvažovanie, ktoré sleduje pravdepodobnostné usudzovanie,“Journal of Philosophical Logic, 41: 957–981.
  • Miller, D., 1966, „Paradox informácií“, British Journal for Philosophy of Science, 17: 59–61.
  • Morgan, C., 1982a, „Pravdepodobná sémantika je pre každé rozšírenie klasickej logiky vety“, Journal of Philosophical Logic, 11: 431–442.
  • –––, 1982b, „Jednoduchá pravdepodobnostná sémantika pre výroky K, T, B, S4 a S5“, Journal of Philosophical Logic, 11: 443–458.
  • –––, 1983, „Pravdepodobná sémantika pre výrokovú modálnu logiku“. v Essays in Epistemology and Semantics, H. Leblanc, R. Gumb a R. Stern (ed.), New York, NY: Haven Publications, s. 97–116.
  • Morgan, C. a Leblanc, H., 1983, „Pravdepodobná sémantika pre intuitívnu logiku“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 161–180.
  • Nilsson, N., 1986, „Pravdepodobná logika“, Artificial Intelligence, 28: 71–87.
  • –––, 1993, „Pravdepodobná logika prepracovaná“, Artificial Intelligence, 59: 39–42.
  • Ognjanović, Z. a Rašković, M., 1999, „Niektoré pravdepodobnostné logiky s novými typmi pravdepodobnostných operátorov,“Journal of Logic and Computation 9 (2): 181–195.
  • Ognjanović, Z. a Rašković, M., 2000, „Niektoré logiky pravdepodobnosti prvého rádu“, Teoretická informatika 247 (1–2): 191–212.
  • Ognjanović, Z., Rašković, M. a Marković, Z., 2016, Logika pravdepodobnosti: Formulácia neurčitosti založená na pravdepodobnosti, Springer International Publishing AG.
  • Ognjanović, Z., Perović, A. a Rašković, M., 2008, „Logika s operátorom kvalitatívnej pravdepodobnosti“, Logic Journal of IGPL 16 (2): 105–120.
  • Paris, JB, 1994, spoločník Neistý rozum, Matematická perspektíva, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Parma, A. a Segala, R., 2007, „Logické charakteristiky bisimulácií pre diskrétne pravdepodobnostné systémy“, v zborníku z 10. medzinárodnej konferencie o základoch softvérovej vedy a výpočtových štruktúr (FOSSACS), H. Seidl (ed.), Poznámky k prednáškam v informatike 4423, Berlín: Springer, s. 287–301.
  • Pearl, J., 1991, „Pravdepodobná sémantika pre nemonotonické uvažovanie“, vo filozofii a AI: Eseje na rozhraní, R. Cummins a J. Pollock (ed.), Cambridge, MA: The MIT Press, s. 157–188.,
  • Perović, A., Ognjanović, Z., Rašković, M., Marković, Z., 2008, „Pravdepodobná logika s polynomiálnymi váhami“. V Hartmann, S., Kern-Isberner, G. (eds.) Zborník z piateho medzinárodného sympózia Základy informačných a znalostných systémov, FoIKS 2008, Pisa, Taliansko, 11. - 15. februára 2008. Prednášky v informatike, roč. 4932, str. 239 až 252. Springer.
  • Ramsey, FP, 1926, „Pravda a pravdepodobnosť“, v Foundations of Mathematics and other Essays, RB Braithwaite (ed.), London: Routledge a Kegan Paul, 1931, s. 156–198; dotlačené v štúdiách subjektívnej pravdepodobnosti, HE Kyburg, Jr. a HE Smokler (ed.), 2. vydanie, Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, s. 23–52; dotlačené v Philosophical Papers, DH Mellor (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 1990, s. 52–94.
  • Reichenbach, H., 1949, Theory of Pravdepodobnosť, Berkeley, CA: University of California California.
  • Romeijn, J.-W., 2011, „Štatistiky ako indukčná logika“, v Príručke pre filozofiu vedy. Vol. 7: Philosophy of Statistics, P. Bandyopadhyay a M. Forster (eds.), Amsterdam: Elsevier, str. 751 - 774.
  • Scott, D., 1964, „Štruktúry merania a lineárne nerovnosti“, Journal of Mathematical Psychology, 1: 233–247.
  • Segerberg, K., 1971, „Kvalitatívna pravdepodobnosť v modálnom prostredí“, v zborníkoch 2. škandinávske logické sympózium, E. Fenstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 341–352.
  • Shafer, G., 1976, Matematická teória dôkazov, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 1966, „Pravdepodobný odvodenie a koncept úplného dôkazu“, v aspektoch indukčnej logiky, J. Hintikka a P. Suppes (ed.), Amsterdam: Elsevier, s. 49–65.
  • Szolovits, P. a Pauker, SG, 1978, „Kategorické a pravdepodobnostné zdôvodnenie lekárskej diagnostiky“, Artificial Intelligence, 11: 115–144.
  • Tarski, A., 1936, „Wahrscheinlichkeitslehre und mehrwertige Logik“, Erkenntnis, 5: 174-175.
  • Vennekens, J., Denecker, M. a Bruynooghe, M., 2009, „CP-logika: Jazyk kauzálnych pravdepodobnostných udalostí a jeho vzťah k logickému programovaniu“, Teória a prax logického programovania, 9: 245–308.
  • Walley, P., 1991, štatistické zdôvodnenie s nepresnými pravdepodobnosťami, Londýn: Chapman a Hall.
  • Williamson, J., 2002, „Pravdepodobná logika“, v Handbook of Logic of Argument and Inference: Turn to the Practical, D. Gabbay, R. Johnson, HJ Ohlbach a J. Woods (ed.), Amsterdam: Elsevier, s. 397 - 424.
  • Yalcin, S., 2010, „Pravdepodobní operátori“, Philosophy Compass, 5: 916–937.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Ako citovať tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
ikona
ikona
Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona phil papiere
ikona phil papiere
Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

[Obráťte sa na autora s návrhmi.]

Odporúčaná: