Včasný Vývoj Teórie Množín

Obsah:

Včasný Vývoj Teórie Množín
Včasný Vývoj Teórie Množín
Anonim

Vstupná navigácia

  • Obsah vstupu
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Náhľad priateľov PDF
  • Informácie o autorovi a citácii
  • Späť na začiatok

Včasný vývoj teórie množín

Prvýkrát publikované Ut 10. apríla 2007; podstatná revízia Št 18. júna 2020

Teória množín je jedným z najväčších úspechov modernej matematiky. V podstate všetky matematické pojmy, metódy a výsledky pripúšťajú reprezentáciu v rámci axiomatickej teórie množín. Teória množín teda zohrávala pomerne jedinečnú úlohu systematizáciou modernej matematiky a zjednotenou formou priblížila všetky základné otázky týkajúce sa prípustných matematických argumentov - vrátane trnitej otázky existenčných princípov. Tento záznam obsahuje prehľad nastoleného procesu, ktorým vznikla teória množín, pokrývajúci zhruba roky 1850 až 1930.

V roku 1910 Hilbert napísal, že teória množín je

táto matematická disciplína, ktorá dnes zaujíma vynikajúcu úlohu v našej vede, a vyžaruje [ausströmt] jej silný vplyv do všetkých odvetví matematiky. [Hilbert 1910, 466; preklad podľa autora]

To už naznačuje, že na prediskutovanie ranej histórie je potrebné rozlišovať dva aspekty teórie množín: jej úlohu ako základného jazyka a úložiska základných princípov modernej matematiky; a jeho úloha ako samostatného odvetvia matematiky, klasifikovaného (dnes) ako odvetvia matematickej logiky. Zohľadňujú sa tu oba aspekty.

Prvá časť skúma pôvod a vznik množnej teoretickej matematiky okolo roku 1870; potom nasleduje diskusia o období expanzie a konsolidácie teórie do roku 1900. Časť 3 poskytuje pohľad na kritické obdobie v desaťročiach 1897 až 1918 a časť 4 sa zaoberá časom od Zermelo po Gödel (z teórie). (metatheory), s osobitným dôrazom na často prehliadanú, ale rozhodujúcu, opisnú teóriu množín.

  • 1. Vznik
  • 2. Konsolidácia
  • 3. Kritické obdobie
  • 4. Od Zermelo po Gödel
  • Bibliografia

    • Citované práce
    • Ďalšie čítanie
  • Akademické nástroje
  • Ďalšie internetové zdroje
  • Súvisiace záznamy

1. Vznik

Koncept súboru sa javí klamlivo jednoduchý, prinajmenšom pre školeného matematika, a do tej miery, že je ťažké posúdiť a správne oceniť príspevky priekopníkov. To, čo stálo veľa úsilia pri ich produkcii, a trvalo veľa času na prijatie matematickej komunity, sa nám môže zdať skôr samozrejmým alebo dokonca triviálnym. Na začiatku treba poznamenať tri historické mylné predstavy, ktoré sú v literatúre rozšírené:

  1. Nie je to tak, že skutočné nekonečno bolo pred Cantorom všeobecne odmietnuté.
  2. Názory množín teoreticky nevyplývali výlučne z analýzy, ale objavili sa aj v algebre, teórii čísel a geometrii.
  3. V skutočnosti bol nárast teoretických množín pred teoretickým prínosom Cantora.

Všetky tieto body sa objasnia v nasledujúcom texte.

Pojem zbierka je starý ako počítanie a logické predstavy o triedach existujú už prinajmenšom od „porfýrskeho stromu“(3. storočia po Kr.). Preto je ťažké vyriešiť pôvod pojmu súbor. Ale sady nie sú ani zbierky v bežnom slova zmysle, ani "triedy" v tom zmysle, že logika pred polovicou 19. st storočia. Kľúčovým chýbajúcim prvkom je objektivita - množina je matematický objekt, s ktorým sa má pracovať rovnako ako s akýmkoľvek iným objektom (množina (mathbf {N}) je rovnako „vecou“ako číslo 3). Aby sa objasnil tento bod, Russell použil užitočné rozlíšenie medzi triedou-ako-veľa (toto je tradičný nápad) a triedou-ako-jeden (alebo súbor).

Ernst Zermelo, kľúčová postava v našom príbehu, uviedla, že teória bola historicky „vytvorená Cantorom a Dedekindom“[Zermelo 1908, 262]. To naznačuje dobré pragmatické kritérium: človek by mal začať od autorov, ktorí významne ovplyvnili koncepcie Cantor, Dedekind a Zermelo. Toto je zväčša toto kritérium. Napriek tomu, ako každé pravidlo vyžaduje výnimku, prípad Bolzana je dôležitý a poučný, hoci Bolzano nemalo významný vplyv na ďalších spisovateľov.

V 19 th storočia nemecky hovoriacich oblastiach, tam boli niektoré intelektuálne tendencie, ktoré sú propagované prijatie aktuálneho nekonečna (napr obnova Leibniz myšlienky). Napriek Gaussovmu varovaniu, že nekonečno môže byť iba spôsobom rozprávania, Cantorovi predchádzali niektoré menšie postavy a tri hlavné postavy (Bolzano, Riemann, Dedekind), ktoré plne akceptovali skutočnú nekonečnú matematiku. Títo traja autori boli aktívni pri propagácii množinovo-teoretických formulácií matematických myšlienok, pričom Dedekindov príspevok v mnohých klasických spisoch (1871, 1872, 1876/77, 1888) má zásadný význam.

Chronologicky bol Bernard Bolzano prvý, ale nemal takmer žiadny vplyv. Je dobre známa vysoká kvalita jeho logickej práce a základy matematiky. Kniha s názvom Paradoxien des Unendlichen bola posmrtne vydaná v roku 1851. Bolzano tu podrobne tvrdil, že množstvo paradoxov obklopujúcich nekonečno je logicky neškodných a upevňuje silnú obranu skutočného nekonečna. Navrhol zaujímavý argument, ktorý sa pokúsil dokázať existenciu nekonečných množín, čo je v porovnaní s neskorším argumentom Dedekinda (1888). Bolzano síce používal komplikované rozlíšenia rôznych druhov súborov alebo tried, ale jasne si uvedomil možnosť umiestnenia dvoch nekonečných súborov do vzájomnej korešpondencie, ako je to ľahké, napr. S intervalmi ([0, 5]) a ([0, 12]) funkciou (5r = 12x). Avšak,Bolzano odolal záveru, že obidve súpravy sú „rovnaké vzhľadom na množstvo ich častí“[1851, 30–31]. Pravdepodobne boli tradičné myšlienky merania vo svojom spôsobe myslenia príliš silné, a tak mu chýbalo objavenie pojmu kardinálstva (možno však uvažovať o nekanttoriánskych ideách, o ktorých pozri Mancosu 2009).

Prípad Bolzana naznačuje, že oslobodenie od metrických konceptov (ktoré prišli s vývojom teórií projektívnej geometrie a najmä topológie) malo mať rozhodujúcu úlohu pri umožňovaní abstraktného pohľadu teórie množín. Bernhard Riemann navrhol vizionárske predstavy o topológii a o tom, že celú matematiku opiera o pojem množina alebo „mnohoraký“v zmysle triedy (Mannigfaltigkeit), vo svojej slávnej inauguračnej prednáške „O hypotézach, ktoré ležia na základoch geometrie“(1854/1868). Riemannovou charakteristikou bol tiež veľký dôraz na konceptuálnu matematiku, zvlášť viditeľný v jeho prístupe ku komplexnej analýze (ktorá opäť prešla hlboko do topológie). Aby som uviedol, najjednoduchší príklad,Riemann bol nadšeným stúpencom Dirichletovej myšlienky, že funkcia musí byť koncipovaná ako svojvoľná korešpondencia medzi číselnými hodnotami, či už je to reprezentovateľné vzorcom alebo nie; to znamenalo zanechať časy, keď bola funkcia definovaná ako analytický výraz. Prostredníctvom tohto nového štýlu matematiky a prostredníctvom svojej vízie novej úlohy pre súbory a úplného programu rozvoja topológie mal Riemann rozhodujúci vplyv na Dedekind aj Cantor (pozri Ferreirós 1999). Riemann mal zásadný vplyv na Dedekind aj Cantor (pozri Ferreirós 1999). Riemann mal zásadný vplyv na Dedekind aj Cantor (pozri Ferreirós 1999).

V päťročnom období rokov 1868 - 1872 sa v Nemecku vyskytlo množstvo teoretických návrhov, a to natoľko, že sme ich mohli považovať za zrod matematickej teórie množín. Riemannova geometrická prednáška, vydaná v roku 1854, bola publikovaná Dedekindom v roku 1868, spolu s Riemannovým dokumentom o trigonometrických sériách (1854/1868b, ktorý predstavoval Riemannov integrál). Ten bol východiskovým bodom pre hĺbkovú prácu v reálnej analýze, ktorá začala so štúdiom „vážne“diskontinuálnych funkcií. Do tejto oblasti vstúpil mladý Georg Cantor, ktorý ho priviedol k štúdiu bodových zostáv. V roku 1872 Cantor zaviedol operáciu na bodových množinách (pozri nižšie) a čoskoro začal premýšľať o možnosti opakovania tejto operácie do nekonečna a ďalej: bola to prvá ukážka transfinitovej ríše.

Medzitým ďalší významný rozvoj predložil Richard Dedekind v roku 1871. V rámci svojej práce na teórii algebraických čísel Dedekind predstavil v podstate súbor teoretických hľadísk, definujúcich polia a ideály algebraických čísel. Tieto myšlienky boli prezentované vo veľmi vyspelej forme, využívajúc operácie súpravy a mapovania zachovania štruktúry (pozri príslušnú pasáž vo Ferreirós 1999: 92–93; Cantor použil pre operácie operácie Dedekindovu terminológiu okolo roku 1880) [1999: 204]). Vzhľadom na kruh celých čísel v danom poli algebraických čísel definoval Dedekind určité podmnožiny nazývané „ideály“a na týchto množinách pracoval ako nové objekty. Tento postup bol kľúčom k jeho všeobecnému prístupu k danej téme. V iných prácach sa veľmi jasne a presne zaoberal vzťahmi rovnocennosti, množinami oddielov,homomorfizmy a automorfizmy (o histórii vzťahov ekvivalencie pozri Asghari 2018). Preto sa mnoho zvyčajných teoretických postupov matematiky dvadsiateho storočia vracia k svojej práci. O niekoľko rokov neskôr (v roku 1888) publikoval Dedekind prezentáciu základných prvkov teórie množín, pričom operácie s množinami a mapami, ktoré používal od roku 1871, len trochu jasnejšie vyjadril.

Nasledujúci rok vydal Dedekind novinu [1872], v ktorej poskytol axiomatickú analýzu štruktúry množiny reálnych čísel (mathbf {R}). Definoval to ako usporiadané pole, ktoré je tiež úplné (v tom zmysle, že všetky delenia Dedekindov na (mathbf {R}) zodpovedajú prvku v (mathbf {R})); úplnosť v tomto zmysle má za následok archimedovskú axiómu. Cantor tiež poskytoval definíciu (mathbf {R}) v roku 1872, využívajúc Cauchyove sekvencie racionálnych čísel, čo bolo elegantné zjednodušenie definície, ktorú poskytol Carl Weierstrass vo svojich prednáškach. Forma axiómu úplnosti, ktorú Weierstrass preferoval, bol Bolzanov princíp, že postupnosť vnorených uzavretých intervalov v (mathbf {R}) (sekvencia taká, že ([a_ {m + 1}, b_ {m + 1}]) podmnožina [a_ {m}, b_ {m}])) „obsahuje“najmenej jedno skutočné číslo (alebo, ako by sme povedali,má neprázdny priesečník).

Definície reálnych čísel Cantor a Dedekind sa implicitne spoliehali na teóriu množín a pri spätnom pohľade je možné vidieť princíp Power Set. Obidve považovali za dané množinu racionálnych čísel a pre definíciu (mathbf {R}) sa spoliehali na určitú skupinu nekonečných množín racionálnych čísel (buď na úplnosť Cauchyových sekvencií alebo na všetky redukcie Dedekindov)., Aj s týmto sa začala objavovať konštruktivistická kritika teórie množín, keď Leopold Kronecker začal namietať proti takýmto nekonečným procedúram. Súčasne sa začala štúdia topológie (mathbf {R}), najmä v práci Weierstrassovej, Dedekindovej a Cantorovej. Set-teoretický prístup využilo aj niekoľko autorov v oblasti reálnej analýzy a komplexnej analýzy (napr. Hankel, du Bois-Reymond, HJS Smith, U. Dini) a Dedekind v spoločnej práci s Weberom (1882), priekopníkom algebraickej geometrie.

Súbory odvodené od Cantora sú zvlášť zaujímavé (pre súvislosti s touto myšlienkou v reálnej analýze pozri napr. Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999). Cantor vzal za dané „konceptuálnu sféru“reálnych čísel a považoval ľubovoľné podmnožiny (P), ktoré nazval 'bodové množiny'. Skutočné číslo (r) sa nazýva limitný bod (P), keď všetky štvrte (r) obsahujú body (P). Toto sa môže stať, iba ak (P) je nekonečné. Vďaka tejto koncepcii Cantor ďalej definoval odvodenú množinu (P ') z (P) ako množinu všetkých hraničných bodov (P). Všeobecne môže byť (P ') nekonečné a môže mať svoje vlastné limitné body (pozri Cantorov článok v Ewalde [1996, zv. 2, 840 a], najmä s. 848). Takto je možné operáciu opakovať a získať ďalšie odvodené množiny (P ''), (P '' ')… (P ^ {(n)}) … Je ľahké uviesť príklady množiny (P), ktorá vedie k neprázdnym odvodeným množinám (P ^ {(n)}) pre všetky konečné (n). (Pomerne triviálny príklad je (P = / mathbf {Q} _ {[0,1]}), množina racionálnych čísel v jednotkovom intervale; v tomto prípade (P '= [0,1] = P '').) Takto je možné definovať (P ^ {(infty)}) ako priesečník všetkých (P ^ {(n)}) pre konečnú (n). Toto bolo Cantorove prvé stretnutie s transfinitovými iteráciami. Toto bolo Cantorove prvé stretnutie s transfinitovými iteráciami. Toto bolo Cantorove prvé stretnutie s transfinitovými iteráciami.

Potom, koncom roku 1873, prišiel prekvapivý objav, ktorý úplne otvoril oblasť transfinitu. V korešpondencii s Dedekindom (pozri Ewald 1996, zväzok 2) sa Cantor pýtal, či môžu byť nekonečné množiny (mathbf {N}) prirodzených čísel a (mathbf {R}) reálnych čísel. umiestnené v korešpondencii jeden na jedného. V odpovedi Dedekind ponúkol prekvapivý dôkaz, že množina (A) všetkých algebraických čísel je čitateľná (tj existuje vzájomná korešpondencia s (mathbf {N})). O niekoľko dní neskôr Cantor dokázal, že predpoklad, že (mathbf {R}) je počítateľný, vedie k rozporu. Na tento účel použil vyššie spomenutý Bolzano-Weierstrassov princíp úplnosti. Tak ukázal, že v (mathbf {R}) je viac prvkov ako v (mathbf {N}) alebo (mathbf {Q}) alebo (A),v presnom zmysle, že kardinálnosť (mathbf {R}) je prísne väčšia ako kardinalita (mathbf {N}).

2. Konsolidácia

Teória množín sa začala stať nevyhnutnou súčasťou nového „moderného“prístupu k matematike. Tento názor bol však spochybnený a jeho konsolidácia trvala dosť dlho. Dedekindov algebraický štýl začal nájsť stúpencov až v 90. rokoch 20. storočia; David Hilbert bol medzi nimi. Pôda bola lepšie pripravená na moderné teórie reálnych funkcií: v 80. rokoch 20. storočia prispeli talianski, nemeckí, francúzski a britskí matematici. A nové základné názory zaujal Peano a jeho nasledovníci, Frege do istej miery Hilbert v 90. rokoch a neskôr Russell.

Medzitým Cantor strávil roky 1878 až 1885 vydávaním kľúčových diel, ktoré pomohli zmeniť teóriu množín na autonómny odbor matematiky. Napíšme (A / equiv B), aby sme vyjadrili, že tieto dve množiny (A), (B) možno dať do vzájomnej korešpondencie (majú rovnakú kardinálnosť). Po preukázaní, že iracionálne čísla je možné dať do vzájomnej korešpondencie s (mathbf {R}), a prekvapujúco, že tiež (mathbf {R} ^ {n} equiv / mathbf {R }), Cantor v roku 1878 predpokladal, že akákoľvek podmnožina (mathbf {R}) by bola buď denumerovateľná ((equiv / mathbf {N})) alebo (equiv / mathbf {R}), Toto je prvá a najslabšia forma slávenej hypotézy Continuum. V nasledujúcich rokoch Cantor preskúmal svet bodových množín a predstavil niekoľko dôležitých topologických nápadov (napr. Dokonalá súprava, uzavretá súprava, izolovaná súprava),a dospeli k výsledkom, ako je Cantor-Bendixsonova veta.

Bodová množina (P) je uzavretá, ak je jej odvodená množina (P '\ subseteq P), a perfektná iff (P = P'). Cantor-Bendixsonova veta potom uvádza, že množinu uzavretých bodov je možné rozložiť na dve podmnožiny (R) a (S), takže (R) je vyčísliteľný a (S) je dokonalý (skutočne, (s) je (a) th odvodil sada (P), pre spočítateľnej poradovým (a)). Z tohto dôvodu sa hovorí, že uzavreté súpravy majú dokonalú súpravu vlastností. Cantor ďalej dokázal, že perfektné súpravy majú silu kontinua (1884). Obidva výsledky znamenali, že hypotéza Continuum platí pre všetky sady uzavretých bodov. O mnoho rokov neskôr, v roku 1916, Pavel Aleksandrov a Felix Hausdorff dokázali preukázať, že širšia trieda borelských súprav má tiež dokonalú súpravu.

Jeho práca na bodových množinách viedla Cantora v roku 1882 k počatiu transfinitových čísel (pozri Ferreirós 1999: 267 ff). To bol zlom v jeho výskume, pretože od tej doby študoval teóriu abstraktných množín nezávisle od konkrétnejších otázok, ktoré sa týkali bodových množín a ich topológie (do polovice 80. rokov 20. storočia boli tieto otázky v jeho agende významné). Následne sa Cantor sústredil na kardinálne a poradové čísla transfinitu a na typy všeobecného poriadku, nezávisle od topologických vlastností (mathbf {R}).

Transinitálne ordinály boli predstavené ako nové čísla v dôležitom matematicko-filozofickom dokumente z roku 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (všimnite si, že Cantor stále používa Riemannov termín Mannigfaltigkeit alebo „manifold“na označenie množín). Cantor ich definoval pomocou dvoch „generačných princípov“: prvý (1) dáva nástupcovi (a + 1) pre akékoľvek dané číslo (a), zatiaľ čo druhý (2) stanovuje, že existuje číslo / b) ktorá nasleduje bezprostredne po ktorejkoľvek danej sérii čísel bez posledného prvku. Keď teda prídu všetky konečné čísla, (2) prvé transfinitné číslo (omega) (čítané: omega); a za nimi nasledujú (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + / omega = / omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), (omega / cdot n +1), …, (omega ^ {2}), (omega ^ {2} +1), …, (omega ^ { omega }), … a tak ďalej a ďalej. Vždy, keď sa objaví sekvencia bez posledného prvku, je možné pokračovať a, napríklad, prejsť na vyššiu úroveň o (2).

Zavedenie týchto nových čísel sa zdalo ako nečinné špekulácie s väčšinou jeho súčasníkov, ale pre Cantora slúžili dve veľmi dôležité funkcie. Za týmto účelom klasifikoval transfinitné ordinály nasledovne: „prvá číselná trieda“pozostávala z konečných ordinálov, množiny (mathbf {N}) prirodzených čísel; „druhú číselnú triedu“tvoril ω a všetky nasledujúce čísla (vrátane (omega ^ { omega}) a mnoho ďalších), ktoré majú iba vymenovateľnú množinu predchodcov. Táto rozhodujúca podmienka bola navrhnutá problémom preukázania Cantor-Bendixsonovej vety (pozri Ferreirós 1995). Na tomto základe by Cantor mohol zistiť výsledky, že mohutnosť „druhej číselnej triedy“je väčšia ako kardinál z (mathbf {N}); a že neexistuje žiadna stredná mohutnosť. Ak teda píšete (textit {card} (mathbf {N}) = / aleph_ {0}) (čítaj:aleph nula), jeho vety odôvodňovali volanie mohutnosť „druhej triedy čísel“(aleph_ {1}).

Po druhej číselnej triede prichádza „tretia číselná trieda“(všetky transfinitné poradové čísla, ktorých skupina predchodcov má kardinál (aleph_ {1})); mohutnosť tejto novej číselnej triedy môže byť (aleph_ {2}). A tak ďalej. Prvou funkciou transfinitálnych ordinálov bolo teda vytvoriť dobre definovanú stupnicu zvyšujúcich sa transfinitových kardinálov. (Vyššie uvedený zápis alefov bol zavedený Cantorom až v roku 1895.) To umožnilo oveľa presnejšie formulovať problém kontinua; Cantorova domnienka sa stala hypotézou, že (textit {card} (mathbf {R}) = / aleph_ {1}). Okrem toho sa Cantor, spoliehajúc sa na transfinitné ordinály, dokázal dokázať Cantor-Bendixsonovu vetu a výsledky doplnil bodovými sadami, ktoré vypracovával v týchto rozhodujúcich rokoch. Cantor-Bendixsonova veta uvádza:uzavreté množiny (mathbf {R} ^ n) (zovšeobecniteľné na poľské priestory) majú dokonalú množinu vlastností, takže akákoľvek uzavretá množina (S) v (mathbf {R} ^ n) môže byť napísané jedinečne ako disjunktívne spojenie perfektnej množiny (P) a spočítateľnej množiny (R). Okrem toho (P) je (S ^ α) pre a spočítateľné poradové číslo.

Štúdium transfinitových ordinálov nasmerovalo Cantorovu pozornosť na usporiadané množiny a najmä na správne usporiadané množiny. Množina (S) je dobre usporiadaná pomocou vzťahu <iff <je celková objednávka a každá podmnožina (S) má najmenší prvok v <ordordingu. (Reálne čísla nie sú dobre usporiadané v ich obvyklom poradí: vezmite do úvahy otvorený interval. Medzitým je (mathbf {N}) najjednoduchšou nekonečnou dobre usporiadanou množinou.) Cantor tvrdil, že transfinitné ordinály si skutočne zaslúžia názov čísel, pretože vyjadrujú „typ poradia“akejkoľvek dobre usporiadanej množiny. Všimnite si tiež, že Cantor bolo ľahké uviesť, ako zmeniť poradie prirodzených čísel tak, aby zodpovedali typom objednávok (omega + 1), (omega + 2), …, (omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), …, (omega ^ 2), …, (omega ^ { omega}), atď.(Napríklad pri zmene poradia (mathbf {N}) vo forme: 2, 4, 6, …, 5, 15, 25, 35, …, 1, 3, 7, 9, … získame množinu, ktorá má typ objednávky (omega / cdot 3).)

Všimnite si tiež, že hypotéza Continuum, ak je pravdivá, by znamenala, že množina skutočných čísel (mathbf {R}) môže byť skutočne dobre usporiadaná. Cantor sa k tomuto názoru zaviazal tak, že predstavil ďalšiu hypotézu, že každý súbor možno usporiadať ako „zásadný a okamžitý zákon o myslení“. O niekoľko rokov neskôr Hilbert upozornil na hypotézu Continuum aj na problém s usporiadaním ako problém 1 vo svojom slávnom zozname „Mathematische Probleme“(1900). Bol to inteligentný spôsob zdôraznenia dôležitosti teórie množín pre budúcnosť matematiky a plodnosti jej nových metód a problémov.

V rokoch 1895 a 1897 Cantor uverejnil svoje posledné dva články. Išlo o prehľadnú prezentáciu jeho výsledkov o transfinitových číslach (kardinálovi a ordináli) a ich teórii, ako aj o typoch rádov a dobre usporiadaných množinách. Tieto dokumenty však nepriniesli výrazné nové nápady. Cantor mal, žiaľ, pochybnosti o tretej časti, ktorú pripravil, čo by diskutovalo o veľmi dôležitých otázkach týkajúcich sa problému poriadku a paradoxov (pozri nižšie). Prekvapivo Cantor tiež nezahrnul do dokumentov z rokov 1895/97 vetu, ktorú publikoval niekoľko rokov predtým, a ktorá je známa jednoducho ako Cantorova veta: vzhľadom na akýkoľvek súbor (S) existuje ďalší súbor, ktorého kardinálnosť je väčšia (toto je mocnina (mathcal {P} (S)), ako teraz hovoríme, Cantor namiesto toho použil množinu všetkých funkcií formulára (f):(S / rightarrow {0, 1 }), čo je ekvivalentné). V tom istom krátkom článku (1892) Cantor predložil svoj slávny dôkaz, že (mathbf {R}) je nedenovateľný pomocou metódy diagonalizácie, čo je metóda, ktorú potom rozšíril, aby dokázal Cantorovu teóriu. (Súvisiaca argumentácia sa objavila už skôr v práci P. du Bois-Reymonda [1875], pozri okrem iného [Wang 1974, 570] a [Borel 1898], poznámka II.)

Medzitým iní autori skúmali možnosti, ktoré otvára teória množín pre základy matematiky. Najdôležitejší bol Dedekindov príspevok (1888) s hlbokou prezentáciou teórie prírodných čísel. Sformuloval niektoré základné princípy teórie množín (a mapovaní); dal axiómy pre systém prirodzených čísel; preukázalo, že matematická indukcia je presvedčivá a rekurzívne definície sú bezchybné; vyvinul základnú teóriu aritmetiky; predstavil konečných kardinálov; a preukázal, že jeho axiomový systém je kategorický. Jeho systém mal štyri axiómy. Vzhľadom na funkciu φ definovanú v (S), množinu (N / subseteq S) a rozlišujúci prvok (1 / v N) sú tieto:

(begin {align} tag {α} & / phi (N) podmnožina N \\ / tag {β} & N = / phi_ {o} {1 } / \ tag {γ} & 1 / not / in / phi (N) / \ tag {δ} & / textrm {the function} phi / textrm {is injective.} end {align})

Podmienka (β) je rozhodujúca, pretože zabezpečuje minimálnosť pre množinu prirodzených čísel, ktoré zodpovedajú za platnosť dôkazov matematickou indukciou. (N = / phi_ {o} {1 }) sa číta: (N) je reťazec singletónu {1} pod funkciou φ, to znamená minimálne zatváranie {1} pod funkciou φ. Spravidla sa berie do úvahy reťazec množiny (A) podľa ľubovoľného mapovania γ, označeného (gamma_ {o} (A)); Dedekind vo svojej brožúre vyvinul zaujímavú teóriu takýchto reťazcov, ktorá mu umožnila dokázať Cantor-Bernsteinovu vetu. Teória bola neskôr zovšeobecnená Zermelom a aplikovaná Skolemom, Kuratowskim atď.

V nasledujúcich rokoch dal Giuseppe Peano povrchnejšie (ale aj slávnejšie) zaobchádzanie s prirodzenými číslami pomocou nového symbolického jazyka logiky a Gottlob Frege rozpracoval svoje vlastné myšlienky, ktoré sa však stali obeťou paradoxov. Dôležitou knihou inšpirovanou stanoveným teoretickým štýlom myslenia bola Hilbertova Grundlagen der Geometrie (1899), ktorá „matematiku axiómov“urobila jeden krok za Dedekindom prostredníctvom rozsiahleho štúdia geometrických systémov motivovaných otázkami týkajúcimi sa nezávislosti jeho axiómov. Hilbertova kniha objasnila novú axiomatickú metodológiu, ktorá sa formovala v súvislosti s novými metódami teórie množín, a skombinoval ju s axiomatickými trendmi pochádzajúcimi z projektívnej geometrie.

Napriek tomu, ako sme už povedali, bola dosť kritika set-teoretických, nekonečných metód. Už v roku 1870 začal Kronecker vyjadrovať kritické poznámky konštruktivistov, ktorí sa o mnoho rokov neskôr ozývajú významnými mysliteľmi ako Brouwer alebo Wittgenstein. Kroneckerova kritická orientácia poukázala na spôsob zrieknutia sa systému reálnych čísel a klasickej analýzy v prospech nejakej prísnejšej formy analýzy - príkladmi z 20. storočia by mohla byť predikatívna analýza (H. Weyl vychádzajúci zo základných pojmov Poincarého, pozri Feferman 1988).) a intuicionálna analýza (Brouwer). Aj Weierstrass mal výhrady (minimálne v roku 1874) proti myšlienke rozlišovať veľkosti nekonečna, a to proti Cantorovým dôkazom. Príklady sú bohaté,a tak počas 19. storočia mnoho matematikov vyjadrilo pochybnosti o kľúčových myšlienkach a metódach teórie množín. Prototypom je E. Borel, ktorý sa po predstavení Cantora vo Francúzsku [1898] stal čoraz podozrievavejším z teórie množín (päť listov, ktoré vymieňali on a Baire, Lebesgue, Hadamard v roku 1905, sa stali slávnymi; pozri Ewald [1996], zv. 2]). Existujú však aj prípady Poincarého, Weyla, Skolema atď. Medzi filozofmi je najvýznamnejším príkladom Wittgenstein, ktorý odsúdil teóriu množín za stavbu na „nezmysloch“fiktívneho symbolizmu, naznačujúc „zlé snímky“a tak ďalej. Hadamard sa v roku 1905 preslávil; pozri Ewald [1996, zv. 2]). Existujú však aj prípady Poincarého, Weyla, Skolema atď. Medzi filozofmi je najvýznamnejším príkladom Wittgenstein, ktorý odsúdil teóriu množín za stavbu na „nezmysloch“fiktívneho symbolizmu, naznačujúc „zlé snímky“a tak ďalej. Hadamard sa v roku 1905 preslávil; pozri Ewald [1996, zv. 2]). Existujú však aj prípady Poincarého, Weyla, Skolema atď. Medzi filozofmi je najvýznamnejším príkladom Wittgenstein, ktorý odsúdil teóriu množín za stavbu na „nezmysloch“fiktívneho symbolizmu, naznačujúc „zlé snímky“a tak ďalej.

3. Kritické obdobie

Na konci 19. storočia to bola rozšírená myšlienka, že čistá matematika nie je nič iné ako komplikovaná aritmetika. Preto bolo obvyklé hovoriť o „aritmetizácii“matematiky a o tom, ako priniesla najprísnejšie normy. S Dedekindom a Hilbertom viedlo toto hľadisko k myšlienke uzemniť všetku čistú matematiku v teórii množín. Najťažšími krokmi pri navrhovaní tohto hľadiska bolo stanovenie teórie reálnych čísel a teoretické zníženie prirodzených čísel. Oba problémy boli vyriešené prácou Cantora a Dedekinda. Ale práve keď matematici oslavovali, že sa konečne dosiahla „úplná prísnosť“, objavili sa vážne problémy pre základy teórie množín. Najprv Cantor a potom Russell objavili paradoxy v teórii množín.

Cantor bol privedený k paradoxom zavedením „koncepčnej sféry“transfinitových čísel. Každý transfinitný ordinál je typom poradia množiny jeho predchodcov; napr. ω je typ objednávky ({0, 1, 2, 3, / ldots }) a (omega + 2) je typ objednávky ({0, 1, 2, 3, / ldots, / omega, / omega +1 }). Teda každému počiatočnému segmentu radu ordinálov zodpovedá okamžite väčší ordinál. Teraz by „celá séria“všetkých transfinitných ordinálov vytvorila dobre usporiadanú množinu a zodpovedala by novému poradovému číslu. To je neprijateľné, pretože tento ordinál (o) by musel byť väčší ako všetci členovia "celej série", a najmä (o <o). Toto sa zvyčajne nazýva paradoxom Burali-Forti alebo paradoxom ordinálov (hoci sám Burali-Forti ho nedokázal jasne formulovať,pozri Moore a Garciadiego 1981).

Aj keď je možné, že Cantor mohol tento paradox nájsť už v roku 1883, okamžite po zavedení transfinitálnych ordinálov (argumenty v prospech tejto myšlienky pozri Purkert & Ilgauds 1987 a Tait 2000), dôkazy jasne naznačujú, že to nebolo až do roku 1896. 97, že našiel tento paradoxný argument a uvedomil si jeho dôsledky. Do tejto doby, on bol tiež schopný použiť Cantorovu teóriu, aby dal Cantorov paradox alebo paradox alefov: ak by existoval „súbor všetkých“kardinálových čísel (alefov), Cantorova veta použitá na to by dala nový alef (aleph), napríklad (aleph <\ aleph). Veľký teoretik súboru si veľmi dobre uvedomil, že tieto paradoxy boli fatálnou ranou pre „logické“prístupy k súborom preferovaným Fregeom a Dedekindom. Cantor zdôraznil, že jeho názory boli „v diametrálnom opozícii“voči Dedekindovi, a najmä k jeho „naivnému predpokladu, že všetky dobre definované zbierky alebo systémy sú tiež„ konzistentnými systémami ““(pozri list Hilbertovi z 15. novembra, 1899, Purkert a Ilgauds 1987: 154). (Na rozdiel od toho, čo sa často tvrdilo, Cantorova nejednoznačná definícia množiny uvedená v jeho dokumente z roku 1895 mala byť „diametrálne opačná“voči chápaniu množín logistov - často sa nazýva „naivná“teória množín, ktorá by sa dala presnejšie nazývať dichotomická koncepcia množín na návrh Gödel.)(Na rozdiel od toho, čo sa často tvrdilo, Cantorova nejednoznačná definícia množiny uvedená v jeho dokumente z roku 1895 mala byť „diametrálne opačná“voči chápaniu množín logistov - často sa nazýva „naivná“teória množín, ktorá by sa dala presnejšie nazývať dichotomická koncepcia množín na návrh Gödel.)(Na rozdiel od toho, čo sa často tvrdilo, Cantorova nejednoznačná definícia množiny uvedená v jeho dokumente z roku 1895 mala byť „diametrálne opačná“voči chápaniu množín logistov - často sa nazýva „naivná“teória množín, ktorá by sa dala presnejšie nazývať dichotomická koncepcia množín na návrh Gödel.)

Cantor si myslel, že by mohol vyriešiť problém paradoxov rozlišovaním medzi „konzistentnými multiplicitami“alebo množinami a „nekonzistentnými multiplicitami“. Ale pri absencii explicitných kritérií na rozlíšenie to bola jednoducho verbálna odpoveď na problém. Cantor si bol vedomý nedostatkov vo svojich nových nápadoch a nikdy nezverejnil posledný dokument, ktorý pripravoval, v ktorom plánoval diskutovať o paradoxoch a probléme s usporiadaním (vieme celkom dobre obsah tohto neuverejneného článku, ako Cantor diskutoval). v korešpondencii s Dedekindom a Hilbertom; pozri 1899 listov adresovaných Dedekindovi v Cantor 1932 alebo Ewald 1996: zväzok 2). Cantor predniesol argument, ktorý sa spoliehal na paradox ordinálov „Burali-Forti“a ktorého cieľom bolo dokázať, že každý súbor môže byť správne usporiadaný. Tento argument neskôr objavil britský matematik PEB Jourdain, ale je otvorený kritike, pretože pracuje s „nekonzistentnými multiplicitami“(Cantorov termín vo vyššie uvedených listoch).

Cantorove paradoxy presvedčili Hilberta a Dedekinda, že existujú vážne pochybnosti týkajúce sa základov teórie množín. Hilbert sformuloval vlastný paradox (Peckhaus & Kahle 2002) a diskutoval o probléme s matematikmi vo svojom Göttingenovom kruhu. Ernst Zermelo bol teda vedený k objaveniu paradoxu „súboru“všetkých súborov, ktoré nie sú ich členmi (Rang a Thomas 1981). Samostatne to objavil Bertrand Russell, ktorého k tomu viedla starostlivá štúdia Cantorovej vety, ktorá bola hlboko v konflikte s Russellovou vierou v univerzálny súbor. O niečo neskôr, v júni 1902, oznámil „rozpor“Gottlobovi Fregeovi, ktorý dokončoval svoje vlastné logické základy aritmetiky, známym listom [van Heijenoort 1967, 124]. Fregeova reakcia veľmi jasne poukázala na hlboký dopad tohto rozporu na logistický program. „Môžem vždy hovoriť o triede, o rozšírení pojmu? A ak nie, ako zistím výnimky? “Tvárou v tvár tomuto: „Nevidím, ako by sa mohla aritmetika dať vedeckému základu, ako by sa dali čísla chápať ako logické objekty“(Frege 1903: 253).

Publikácia zväzku II Fregeho Grundgesetzeho (1903) a predovšetkým Russellova tvorba The Principles of Mathematics (1903) prinútila matematickú komunitu plne si uvedomiť existenciu množín-teoretických paradoxov, ich dopadu a významu. Existujú dôkazy, že až doposiaľ ani Hilbert a Zermelo škodu úplne neuznali. Všimnite si, že paradox Russell-Zermelo funguje s veľmi základnými pojmami - negácia a stanovuje koncepcie členstva, ktoré sa všeobecne považovali za čisto logické. „Súbor“(R = {x: x / not / in x }) existuje podľa princípu porozumenia (ktorý umožňuje akejkoľvek otvorenej vete určiť triedu), ale ak áno, (R / in R / textit {iff} R / nie / in R). Je to priamy rozpor so zásadou, ktorú uprednostňujú Frege a Russell.

Zjavne bolo potrebné objasniť základy teórie množín, ale celková situácia z toho nevybavila ľahkú úlohu. Rôzne konkurenčné stanoviská sa značne líšili. Cantor mal metafyzické chápanie teórie množín a hoci mal jeden z najostrejších pohľadov na pole, nemohol ponúknuť presný základ. Bolo mu jasné (ako sa to do istej miery záhadne ukázalo Ernstovi Schröderovi v jeho Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1891), že človek musí odmietnuť myšlienku univerzálneho setu, ktorú uprednostňovali Frege a Dedekind. Frege a Russell založili svoj prístup na princípe porozumenia, ktorý sa ukázal ako protirečivý. Dedekind sa tomuto princípu vyhýbal, ale predpokladal, že Absolútny vesmír je súbor, „vec“v jeho technickom zmysle Gedankending;a tento predpoklad spojil s úplným prijatím svojvoľných podmnožín.

Táto myšlienka pripustiť svojvoľné podmnožiny bola jednou z hlbokých inšpirácií Cantora aj Dedekinda, ale žiadna z nich ich nemodifikovala. (Ich moderné chápanie analýzy tu zohrávalo kľúčovú, ale implicitnú základnú úlohu, pretože pracovali v Dirichletovej-Riemannovej tradícii „svojvoľných“funkcií.) Pokiaľ ide o dnes slávnu iteračnú koncepciu, boli jej niektoré prvky (najmä v Dedekindovej práci)., s jeho iteratívnym vývojom číselného systému a jeho názormi na „systémy“a „veci“), ale mnohí významní autori ho zjavne nezistili. Napríklad Cantor typicky nereferoval proces tvorby množín: mal tendenciu zvažovať množiny homogénnych prvkov, prvkov, ktoré boli považované za „v určitej koncepčnej sfére“(buď čísla alebo body, alebo funkcie,alebo dokonca fyzikálne častice - ale nie zmiešané). Iteratívnu koncepciu prvýkrát navrhol Kurt Gödel v roku [1933], v súvislosti s technickou prácou von Neumanna a Zermela pred niekoľkými rokmi; Gödel bude trvať na myšlienke vo svojej známej správe o Cantorovom probléme s kontinuom. Až po tom, čo bolo vyvinuté a plne systematizované množstvo teórií množín, prišlo až post facto.

Táto rozmanitosť protichodných názorov prispela k celkovému zmätku, ale bolo ich viac. Okrem paradoxov diskutovaných vyššie (ako sme hovorili o set-teoretických paradoxoch), zoznam „logických“paradoxov zahŕňal celý rad ďalších (neskôr nazývaných „sémantické“). Medzi ne patria paradoxy spôsobené Russellom, Richardom, Königom, Berrym, Grellingom atď., Ako aj starodávny klamársky paradox v dôsledku Epimenides. A diagnózy a navrhované riešenia škôd boli nesmierne pestré. Niektorí autori, napríklad Russell, sa domnievali, že je nevyhnutné nájsť nový logický systém, ktorý by mohol vyriešiť všetky paradoxy naraz. To ho viedlo k rozvetvenej teórii typov, ktorá tvorila základ Principia Mathematica (3 zväzky, Whitehead a Russell 1910–1913), jeho spoločnej práce s Alfredom Whiteheadom. Ďalší autori, napríklad Zermelo,veril, že väčšina z týchto paradoxov sa rozpustila, len čo niekto pracoval v obmedzenom axiomatickom systéme. Sústredili sa na „teoretické“paradoxy (ako sme to už uviedli vyššie) a viedli sa k hľadaniu axiomatických systémov teórie množín.

Ešte dôležitejšie je, že otázky, ktoré ponechal otvorený Cantor a zdôraznil Hilbert vo svojom prvom probléme z roku 1900, vyvolali horúcu debatu. Na Medzinárodnom kongrese matematikov v Heidelbergu v roku 1904 Gyula (Julius) König navrhol veľmi podrobný dôkaz, že kardinálnosť kontinua nemôže byť Cantorovými alefmi. Jeho dôkaz bol iba chybný, pretože sa spoliehal na výsledok, ktorý predtým „dokázali“Felix Bernstein, študent Cantora a Hilberta. Trvalo niekoľko mesiacov, kým Felix Hausdorff identifikoval chybu a napravil ju správnym uvedením osobitných podmienok, za ktorých bol Bernsteinov výsledok platný (pozri Hausdorff 2001, zv. 1). Akonáhle sa tak opraví, Königova veta sa stala jedným z mála výsledkov obmedzujúcich možné riešenia problému kontinua, čo znamená napr.že (textit {card} (mathbf {R})) sa nerovná (aleph _ { omega}). Medzitým bol Zermelo schopný predložiť dôkaz, že každý súbor môže byť dobre usporiadaný pomocou Axiom of Choice [1904]. V nasledujúcom roku diskutovali významní matematici v Nemecku, Francúzsku, Taliansku a Anglicku o Axiom of Choice a jeho prijateľnosti.

Axiom of Choice uvádza: Pre každú množinu (A) neprázdnych množín existuje množina, ktorá má presne jeden prvok spoločný s každou množinou v (A). Začalo sa to celé obdobie, počas ktorého sa s Axiomom Choiceom zaobchádzalo ako s pochybnou hypotézou (pozri monumentálnu štúdiu Moore 1982). A to je ironické, pretože zo všetkých obvyklých princípov teórie množín je Axiom of Choice jediný, ktorý výslovne presadzuje existenciu ľubovoľných podskupín. Avšak, keďže táto myšlienka bola dôležitá pri motivovaní Cantora a Dedekinda, a hoci je to zapletené s klasickou analýzou, mnoho ďalších autorov odmietlo nekonečné ľubovoľné podmnožiny. Medzi najvplyvnejšie v nasledujúcom období je potrebné zdôrazniť mená Russella, Hermanna Weyla a samozrejme Brouwera.

Voľba bola dlho kontroverznou axiómou. Na jednej strane má široké využitie v matematike a je skutočne kľúčom k mnohým dôležitým teóriám analýzy (čo sa postupne ukázalo aj pri dielach ako Sierpiński [1918]). Na druhej strane má skôr neintuitívne dôsledky, ako napríklad Banach-Tarski Paradox, ktorý hovorí, že jednotková guľa sa môže rozdeliť na konečne veľa „kúskov“(podmnožiny), ktoré sa potom môžu usporiadať tak, aby vytvorili dve jednotkové gule (pozri Tomkowicz a Wagon [2019]). Námietky voči axiómu vyplývajú zo skutočnosti, že tvrdí, že existujú množiny, ktoré nemožno jednoznačne definovať. Počas dvadsiatych a tridsiatych rokov 20. storočia existovala rituálna prax výslovného zmienenia sa o nej vždy, keď by veta závisela od axiómu. Toto sa zastavilo až po Gödelovom doklade relatívnej konzistencie, diskutovanom nižšie.

Pôsobivá polemika, ktorá obklopovala jeho teóriu o správnom usporiadaní, a najzaujímavejší a najťažší problém, ktorý kladú základy matematiky, viedla Zermela k tomu, aby sa sústredil na axiomatickú teóriu množín. Ako výsledok svojej dôkladnej analýzy publikoval v roku 1908 svoj axiómový systém, ukazujúci, ako blokuje známe paradoxy, a napriek tomu umožnil majstrovský rozvoj teórie kardinálov a ordinálov. Toto je však téma iného záznamu (o živote a práci Zermela, pozri Ebbinghaus [2015]).

4. Od Zermelo po Gödel

V období rokov 1900 - 1930 sa pojem „teória množín“v rubrike stále chápal tak, že zahŕňa témy topológie a teórie funkcií. Hoci Cantor, Dedekind a Zermelo opustili túto fázu, aby sa sústredili na čisto teóriu množín, pre matematikov by to trvalo ešte dlho. Na prvom medzinárodnom kongrese matematikov v roku 1897 tak hlavné prejavy Hadamarda a Hurwitza obhajovali teóriu množín na základe jej dôležitosti pre analýzu. Okolo roku 1900, motivovaný analytickými témami, vykonali dôležitú prácu traja francúzski experti: Borel [1898], Baire [1899] a Lebesgue [1902] [1905]. Ich práca otvorila vývoj deskriptívnej teórie množín rozšírením Cantorových štúdií o definovateľných množinách reálnych čísel (v ktorých preukázal, že hypotéza kontinua platí pre uzavreté množiny). Zaviedli hierarchiu Borelových množín, Baireovu hierarchiu funkcií a koncept libesgueovho opatrenia - kľúčový pojem modernej analýzy.

Deskriptívna teória množín (DST) je štúdium určitých druhov definovateľných množín reálnych čísel, ktoré sa získavajú z jednoduchých druhov (ako sú otvorené množiny a uzavreté množiny) pomocou dobre známych operácií, ako je komplementácia alebo projekcia. Borelské súpravy boli prvou hierarchiou definovateľných sád, ktorá bola predstavená v knihe Émile Borel z roku 1898; získajú sa z otvorených súborov opakovaným použitím operácií spočítateľných spojení a doplnkov. V roku 1905 študoval Lebesgue borelské súbory v epochálnej monografii, ukazujúc, že ich hierarchia má úrovne pre všetky spočítateľné ordinály a analyzuje Baireove funkcie ako náprotivky borelských súborov. Hlavným cieľom deskriptívnej teórie množín je nájsť štruktúrne vlastnosti spoločné pre všetky také definovateľné množiny: napríklad Borelove sady boli preukázané, že majú dokonalú množinu vlastností (ak ich nemožno spočítať,majú perfektnú podmnožinu), a preto spĺňajú hypotézu kontinua (CH). Tento výsledok bol založený v roku 1916 Hausdorffom a Alexandroffom, ktorí pracujú nezávisle. Ďalšími dôležitými „vlastnosťami pravidelnosti“študovanými v DST sú vlastnosť toho, že je Lebesgue merateľný, a takzvaná vlastnosť Baire (líši sa od otvoreného súboru takzvaného chudého súboru alebo súboru prvej kategórie).

V tom čase bolo rozhodujúce aj štúdium analytických súborov, konkrétne súvislých obrazov borelských súborov, alebo ekvivalentne projekcií borelských súborov. Mladý ruský matematik Michail Suslin našiel chybu v Lebesgueovej monografii z roku 1905, keď si uvedomil, že projekcia súboru Borel nie je všeobecne Borel [Suslin 1917]. Dokázal však dokázať, že aj analytické sady vlastnia dokonalú vlastnosť súpravy, a teda overujú CH. V roku 1923 Nikolai Lusin a Wacław Sierpiński študovali spoločné analytické súbory, a to ich viedlo k novej hierarchii projektívnych súborov, ktorá začína analytickými súbormi ((Sigma ^ {1} _ {1})), ich doplnky (analytické, (Pi ^ {1} _ {1}) súbory), projekcie týchto posledných ((Sigma ^ {1} _ {2}) sady), ich doplnky (sady (Pi ^ {1} _ {2})) atď. V priebehu dvadsiatych rokov sa veľa venovalo týmto novým typom súborov, najmä poľskými matematikmi v okolí Sierpińského a ruskou školou Lusinovou a jeho študentmi. Rozhodujúcim výsledkom, ktorý získal Sierpiński, bolo to, že každá súprava (Sigma ^ {1} _ {2}) je zjednotením (aleph_ {1}) súprav Borel (to isté platí pre (Sigma ^ { 1} _ {1})), ale tento druh tradičného výskumu na túto tému by po približne roku 1940 stagnoval (pozri Kanamori [1995]).

Čoskoro Lusin, Sierpiński a ich kolegovia našli v práci extrémne ťažkosti. Lusin mal toľko zúfalstva, že v novinách z roku 1925 dospel k „úplne nečakanému“záveru, že „človek nevie a nikdy nebude vedieť“, či projektívne súbory majú požadované vlastnosti pravidelnosti (citované v Kanamori 1995: 250). Takéto komentáre sú veľmi zaujímavé vzhľadom na neskorší vývoj, ktorý viedol k hypotézam, ktoré riešia všetky relevantné otázky (najmä projektívna determinácia). Zdôrazňujú zložité metodologické a filozofické otázky, ktoré nastoľujú tieto novšie hypotézy, konkrétne problém týkajúci sa druhu dôkazov, ktorý ich podporuje.

Lusin zhrnul súčasný stav vo svojej knihe Leçons sur les ensemble analytiques (Paríž, Gauthier-Villars) z roku 1930, ktorá mala byť pre nasledujúce roky kľúčovým odkazom. Od tejto práce sa stalo obvyklým prezentovať výsledky v DST pre Baireov priestor (^ { omega}) (omega) nekonečných sekvencií prirodzených čísel, ktoré René Baire v skutočnosti zaviedol dokument publikovaný v roku 1909. Baireov priestor je vybavený istou topológiou, vďaka ktorej je homeomorfický pre množinu iracionálnych čísel a odborníci ho považujú za „možno najzákladnejší objekt štúdia teórie množín“vedľa súboru prirodzené čísla [Moschovakis 1994, 135].

Tento prúd práce na DST sa musí počítať medzi najdôležitejšie príspevky teórie množín k analýze a topológii. To, čo sa začalo ako pokus dokázať hypotézu kontinua, však nemohlo dosiahnuť tento cieľ. Čoskoro sa ukázalo pomocou Axiom of Choice, že existujú nelebebgueské merateľné množiny nehnuteľností (Vitali 1905), a tiež nespočetné množiny nehnuteľností bez perfektnej podmnožiny (Bernstein 1908). Tieto výsledky objasnili nemožnosť dosiahnutia cieľa CH sústredením sa na definovateľné a „dobre sa správajúce“súbory reálov.

Pri Gödelovej práci okolo roku 1940 (a tiež pri nútenej práci v 60. rokoch) sa tiež ukázalo, prečo výskum v 20. a 30. rokoch stagnoval: základné nové výsledky nezávislosti ukázali, že vety zavedené Suslinom (ideálny súbor vlastností pre analytické súbory), Sierpinski ((Sigma ^ {1} _ {2}) zostavy ako zväzky (aleph_ {1}) súpravy Borel) a niekoľko ďalších bolo najlepším možným výsledkom na základe axiómového systému ZFC. Z filozofického hľadiska je to dôležité: už skúmanie sveta súprav definovateľných z otvorených (alebo uzavretých) zostáv pomocou doplnku, spočítateľného spojenia a projekcie stačilo na dosiahnutie hraníc systému ZFC. Potreba nových axiómov, ktoré Gödel zdôraznil po druhej svetovej vojne [Gödel 1947].

Vráťme sa teraz k Cantorovmu ďalšiemu hlavnému dedičstvu, k štúdiu transfinitových čísel. V roku 1908 Hausdorff pracoval na nespočetných druhoch objednávok a predstavil hypotézu Generalized Continuum ((2 ^ { aleph_ {a}} = / aleph_ {a + 1})). Bol tiež prvým, ktorý zvažoval možnosť „prehnaného“kardinála, konkrétne slabo neprístupného, tj pravidelného kardinála, ktorý nie je nástupcom (kardinál (alfa)) sa nazýva pravidelný, ak sa rozkladá (alfa)) do súčtu menších kardinálov vyžaduje (alfa) - veľa takýchto čísel). O niekoľko rokov neskôr, začiatkom 1910, študoval Paul Mahlo hierarchie takých veľkých kardinálov, ktoré boli priekopníkmi toho, čo sa malo stať ústrednou oblasťou teórie množín; získal sériu neprístupných kardinálov uplatnením určitej operácie, ktorá zahŕňa predstavu stacionárnej podmnožiny; nazývajú sa kardinálmi Mahla. Štúdium veľkých kardinálov sa však vyvíjalo pomaly. Hausdorffova učebnica Grundzüge der Mengenlehre (1914) medzitým zaviedla dve generácie matematikov do teórie množín a všeobecnej topológie.

Ďalšie zásadné kroky do „veľmi vysokého“nekonečna sa uskutočnili v roku 1930. Pojem silne neprístupných kardinálov potom izolovali Sierpiński & Tarski a Zermelo [1930]. Silný neprístupný je bežný kardinál (alfa) taký, že (2 ^ x) je menší ako (alfa) vždy, keď (x <\ alfa). Kým slabé neprístupné prostriedky zahŕňajú iba uzavretie v rámci následnej operácie, silné neprístupné prostriedky zahŕňajú oveľa silnejšiu predstavu o uzavretí v rámci operácie s použitím súpravy. V tom istom roku Zermelo [1930] v sprievodnej knihe o modeloch ZFC vytvoril spojenie medzi nespočetnými (silne) neprístupnými kardinálmi a určitými „prírodnými“modelmi ZFC (v ktorých práci predpokladal, že je to operácia poweretu), úplne povedané).

V tom istom roku bol Stanislaw Ulam vedený úvahami vychádzajúcimi z analýzy (teórie opatrení) k koncepcii, ktorá sa mala stať ústrednou: merateľnými kardinálmi. Ukázalo sa, že títo kardináli definovaní mierou teoretickej vlastnosti musia byť (silne) neprístupní. O mnoho rokov neskôr sa skutočne ukázalo (Hanf, ktorý pracoval na Tarskiho predchádzajúcej práci), že prvý neprístupný kardinál sa nedá merať, čo ukazuje, že títo noví kardináli boli ešte „prehnanejší“. Ako vidno, poľská škola vedená Sierpińským mala veľmi dôležitú úlohu pri vývoji teórie množín medzi vojnami. Merateľní kardináli sa dostali na osobitný význam koncom 60. rokov, keď sa ukázalo, že existencia merateľného kardinála je v rozpore s Gödelovým axiómom konštruktivity ((V = L) v triednom zápise). Toto opäť potvrdilo Gödelove presvedčenie vyjadrené v tzv. Gödelovom programe pre nové axiómy.

Set-teoretická matematika pokračovala vo svojom vývoji na mocný axiomatický a štrukturálny prístup, ktorý mal ovládať väčšinu z 20. rokov.storočia. Aby sme uviedli iba niekoľko príkladov, Hilbertove rané axiomatické diela (napr. V jeho slávnych archívnych základoch geometrie) boli hlboko teoretické; Ernst Steinitz publikoval v roku 1910 svoj výskum teórie abstraktných polí, pričom nevyhnutne využil Axiom of Choice; a približne v rovnakom čase sa začalo štúdium funkčných priestorov prácou Hilberta, Maurice Frécheta a ďalších. V 20. a 30. rokoch sa prvý špecializovaný matematický časopis Fundamenta Mathematicae venoval teórii množín, ako sa vtedy chápalo (centrálne vrátane topológie a teórie funkcií). V tých desaťročiach prišla na vek štrukturálna algebra, abstraktná topológia sa postupne stala nezávislým odborom štúdia a štúdium teórie množín začalo s jej metatheoretickým obratom.

Odvtedy sa „teória množín“všeobecne spája s odvetvím matematickej logiky, ktorá študuje transfinitné množiny a vychádza z Cantorovho výsledku, že (mathbf {R}) má väčšiu kardinálnosť ako (mathbf {N}), Ale ako ukazuje predchádzajúca diskusia, teória množín bola efektom aj príčinou vzniku modernej matematiky: stopy tohto pôvodu sú nezmazateľne vyrazené na jeho axiomatickej štruktúre.

Bibliografia

Citované práce

  • Alexandroff, Pavel, 1916, „Sur la puissance des ensembleles mesurables B“, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 162: 323 - 325.
  • Asghari, Amir, 2019, „Ekvivalencia: pokus o históriu myšlienky“, Synthese, 196: 4657–4677.
  • Baire, René, 1899, „Sur les fonctions de variable reelles“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie IIIa, zv. 3, s. 1 - 122.
  • –––, 1909, „Sur la représentation des fontions discontinues“, Acta Mathematica, 32: 97–176.
  • Bernstein, Felix, 1908, „Zur Theorie der trigonometrischen Reihen“, Sitzungsberichte der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Math.-Phys. Klasse, 60: 325 - 338.
  • du Bois – Reymond, Paul, 1875, „Ueber asymptotische Werthe, infinitäre Aproximationen a infinitäre Auflösung von Gleichungen“, Mathematische Annalen, 8: 363–414.
  • Bolzano, Bernard, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Leipzig, Reclam; Anglický preklad Londýn, Routledge, 1920.
  • Borel, Émile, 1898, Leçons sur la théorie des fontions, Paris, Gauthier-Villars. 4 th popredn 1950 s radom dodatkov.
  • Cantor, Georg, 1872, „Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen“, Mathematische Annalen, 5: 123–132. V Cantor 1932: 92 - 102.
  • –––, 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig: BG Teubner. V Cantor 1932: 165 - 208. Anglický preklad v Ewalde 1996: vol. 2.
  • –––, 1884, „Über unendliche, línia Punktmannichfaltigkeiten, 6“, Mathematische Annalen, 23: 453–88. Pretlačené v Cantor 1932: 210–244.
  • –––, 1892, „Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 1: 75–78. Pretlačené v Cantor 1932: 278-280. Anglický preklad v Ewalde 1996: vol.2.
  • –––, 1895/97, „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre“, Cantor 1932: 282–351. Anglický preklad v Cantor, Príspevky k založeniu teórie transfinitových čísel, New York: Dover, 1955.
  • –––, 1932, Gesammelte Abhandlungen matematici a filozofi Inhalts, E. Zermelo (ed.), Berlín: Springer. Reprint Hildesheim: Olms, 1966.
  • Dauben, Joseph, 1979, Georg Cantor. Jeho matematika a filozofia nekonečna, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Dedekind, Richard, 1871, „Über die Komposition der binären quadratischen Formen“, dodatok X k GL Dirichlet a R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig: Vieweg. [Neskoršie vydania ako dodatok XI, ktorého štvrté vydanie je vytlačené v New Yorku: Chelsea, 1968.] Čiastočná dotlač v Dedekind 1930/32: zv. 3, 223–261.
  • –––, 1872, Stetigkeit und iracionale Zahlen, Braunschweig: Vieweg. V Dedekind 1930/32: zv. 3, 315 - 334. Anglický preklad v Ewalde 1996: vol. 2.
  • –––, 1876/77, „Sur la théorie des nombres entiers algébriques“, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 1. séria, XI (1876): 278–293; 2 nd séria, I (1877): 17-41, 69-92, 144-164, 207-248. Samostatné vydanie, Paríž: Gauthier-Villars, 1977. Anglický preklad J. Stillwella: Teória algebraických celých čísel, Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
  • –––, 1888, bola sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig: Vieweg. V Dedekind 1930/32: zv. 3. Angličtina v Ewalde 1996: zv. 2.
  • –––, 1930/32. Gesammelte Mathatische Werke, R. Fricke, E. Noether & Ö. Ore (ed.), Braunschweig: Vieweg, 3 vol. Dotlač New York: Chelsea, 1969.
  • Dedekind, R. & Heinrich Weber, 1882, „Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen“, Journal für reine und angew. Mathematik, 92: 181-290; dotlačené v Dedekind 1930/32 (Zväzok 1), s. 238 - 350; Anglický preklad: John Stillwell, Teória algebraických funkcií jednej premennej, Providence: American Mathematical Society a London Mathematical Society, 2012.
  • Ebbinghaus, HD, 2015, Ernst Zermelo: Prístup k jeho životu a práci, druhé vydanie, Berlín: Springer Verlag.
  • Ewald, William B., 1996, od Kant do Hilbert: Zdrojová kniha o základoch matematiky, 2 zväzky, Oxford: Oxford University Press.
  • Feferman, Solomon, 1988, „Weyl obhájený: Das Kontinuum o 70 rokov neskôr“, pretlačený vo svetle logiky, Oxford: Oxford University Press, 1998, kap. 13.
  • Ferreirós, José, 1995, „Čo vo mne prežilo roky“: Cantorove objavenie nekonečných čísel “, Historia Mathematica, 22: 33–42.
  • –––, 1999, Labyrint myslenia. História teórie množín a jej úloha v modernej matematike, Bazilej: Birkhäuser.
  • Frege, Gottlob, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, zv. 2, Jena: Pohle. Reprint Hildesheim: Olms, 1966.
  • Gödel, Kurt, 1933, „Súčasná situácia v základoch matematiky“, v S. Feferman et al. (eds), Collected Works, roč. 3, Oxford University Press, s. 45–53.
  • –––, 1947, „Čo je Cantorov problém s kontinuom?“, American Mathematical Monthly, 54. dotlač. S. Feferman a kol. (eds), Collected Works, roč. 2, Oxford University Press, str. 176 až 187.
  • Hallett, Michael, 1984, cantoriánska teória množín a obmedzenie veľkosti, Oxford: Clarendon.
  • Hausdorff, Felix, 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig: Viet. Reprinted New York: AMS Chelsea Publishing, 1949. Reprintovaná ako zväzok II Hausdorff 2001–. Tretie vydanie (1937) bolo preložené do angličtiny, 1957, Teória množín, New York: AMS Chelsea Publishing. online skenovanie Hausdorff 1914.
  • –––, 1916, „Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen“, Mathematische Annalen, 77 (3): 430–437. V Hausdorff [2001-], zv. 3. doi: 10 1007 / BF01475871
  • –––, 2001–, Gesammelte Werke, 9 zväzkov, E. Brieskorn, W. Purkert, U. Felgner, E. Scholz a kol. (eds.), Berlin: Springer.
  • van Heijenoort, Jean, 1967, Z Frege do Gödel: Zdrojová kniha v matematickej logike, 1879 - 1931, Cambridge, MA: Harvard University Press. Opakovaná tlač ako brožovaná kniha, 2000.
  • Kanamori, Akihiro, 1995, „Výskyt deskriptívnej teórie množín“, Synthese, 251: 241–262.,
  • –––, 1996, „Matematický vývoj teórie množín od Cantora po Cohena“, Bulletin of Symbolic Logic, 2: 1-71.
  • Lavine, Shaughan, 1994, Porozumenie nekonečnu, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Lebesgue, Henri, 1902, „Intégrale, longueur, aire“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 7 (1): 231–359.
  • –––, 1905, „Sur les fonctions representéntables analytiquement“, Journal de Mathématiques, (séria 6e), 1: 139–216.
  • Lusin, Nikolai, 1925, „Sur les ensembleles projectifs de M. Lebesgue“, Comptes Rendus Acad. Scie. Paris, 180: 1572-74.
  • –––, 1930, Leçons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications, s predslovom Lebesgue a notou Sierpinského v Paríži: Gauthier-Villars.
  • Mancosu, Paolo, 2009, „Meranie veľkosti nekonečných zbierok prírodných čísel: Bola Cantorova teória nekonečného čísla nevyhnutná?“, Prehľad symbolickej logiky, 2 (04): 612 - 646.
  • Moore, Gregory H., 1982, Zermelo's Axiom of Choice. Jeho pôvod, vývoj a vplyv, Berlín: Springer.
  • Moore, Gregory H. & A. Garciadiego, 1981, „Paradox Buraliho-Fortiho: Prehodnotenie jeho pôvodu“, Historia Mathematica, 8: 319–50.
  • Moschovakis, Yiannis N., 1994, Set Theory Notes, New York: Springer.
  • Peckhaus, Volker a R. Kahle, 2002, „Hilbert's Paradox“, Historia Mathematica, 29 (2): 157–175.
  • Purkert, Walter a HJ Ilgauds, 1987, Georg Cantor 1845 - 1918, Bazilej: Birkhäuser.
  • Rang, Bernhard & W. Thomas, 1981, „Zermelo's Discovery 'Russell Paradox' ', Historia Mathematica, 8: 15–22.
  • Riemann, Bernhard, 1854/1868a, „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“(Habilitationsvotrag), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 133–152. V Riemann 1892: 272 - 287. Anglický preklad Clifforda, dotlač v Ewalde 1996: zv. 2.
  • –––, 1854 / 1868b, „Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe“, (Habilitationsschrift), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 87–132. V Riemann 1892: 227 - 265.
  • –––, 1892, Gesammelte Mathatische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber a R. Dedekind (ed.), Leipzig, Teubner. Dotlač (spolu s Nachträge), M. Noether a W. Wirtinger (ed.), New York: Dover, 1953.
  • Russell, Bertrand, 1903, Principles of Mathematics, Cambridge, University Press. Opakovaná tlač 2. vydania. (1937): London: Allen & Unwin, 1948.
  • Sierpiński, Waclav, 1918, „L'axiome de M. Zermelo et son rôle dans la théorie des ensembleles et l'analyse“, Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie (Cl. Sci. Math. A), 99–152; dotlačené v Sierpiński, Oeuvres choisies, S. Hartman a kol. (eds.), Zväzok 2, Warszawa: Editions scientifiques de Pologne, 1974.
  • Sierpiński, Waclav a Alfred Tarski, 1930, „Sur une propriété caractéristique des nombres nepřístupné“, Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300.
  • Steinitz, Ernst, 1910, „Algebraische Theorie der Körper“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309.
  • Suslin, Michail Ya., 1917, „Sur une définition des ensembleles merables B sans nombres transfinis“, Comptes Rendues Acad. Sci. Paris, 164: 88–91.
  • Tomkowicz, G., a Wagon, S., 2019, The Banach-Tarski Paradox, druhé vydanie, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Vitali, G., 1905, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna: Gamberini e Parmeggiani.
  • Whitehead, Alfred N. a Bertrand Russell, 1910 - 1913, Principia Mathematica, 3 zväzky, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Tait, William W., 2000, „Cantorov Grundlagen a paradoxy teórie množín“, medzi logikou a intuíciou: Eseje na počesť Charlesa Parsonsa, G. Sher a R. Tieszen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, s. 269-290. Znovu vytlačený v knihe The Provenience of Pure Reason, Oxford: Oxford University Press, 2005, s. 252–275.
  • Wang, Hao, 1974, „Pojem súbor“, v Od matematiky po filozofiu, Londýn, Routledge; dotlač v P. Benacerraf a H. Putnam, filozofia matematiky: vybrané čítania, Cambridge Univ. Press, 1983, 530 - 570.
  • Zermelo, Ernst, 1904, „Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann“, Mathematische Annalen, 59: 514–516; v Zermelo [2010], zv. 1, 80 - 119. Anglický preklad vo van Heijenoort 1967 („Dôkaz, že každý súbor môže byť dobre usporiadaný“).
  • –––, 1908, „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre“, Mathematische Annalen, 65: 261–281;; v Zermelo [2010], zv. 1, 160 - 229. Anglický preklad vo van Heijenoort 1967 („Vyšetrovanie v základoch teórie množín I“).
  • –––, 2010 - 2011, Collected Works / Gesammelte Werke, roč. I a II, H.-D. Ebbinghaus a kol. (eds.), Springer: Berlín,

Ďalšie čítanie

  • Cavaillès, Jean, 1962, Philosophie mathématique, Paríž: Hermann.
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter, 2007, Ernst Zermelo: Prístup k svojmu životu ako dielo, New York: Springer.
  • Fraenkel, Abraham, 1928, Einleitung in die Mengenlehre, 3. vydanie. Berlín: Springer.
  • Grattan-Guinness, Ivor (ed.), 1980, Od počtu k teórii množín, 1630 - 1910, Londýn: Duckworth.
  • Kanamori, Akihiro, 2004, „Teória Zermela a množiny“, Bulletin of Symbolic Logic, 10 (4): 487–553.
  • –––, 2007, „Gödel a teória množín“, Bulletin of Symbolic Logic, 13 (2): 153–188.
  • –––, 2008, „Cohenova a množinová teória“, Bulletin of Symbolic Logic, 14 (3): 351–378.
  • –––, 2009, „Bernaysova a množinová teória“, Bulletin of Symbolic Logic, 15 (1): 43–60.
  • Maddy, Penelope, 1988, „Veriť axiómom“, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511; 53 (3): 736 - 764.
  • Wagon, Stan, 1993, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge: Cambridge University Press.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Ako citovať tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
ikona
ikona
Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona phil papiere
ikona phil papiere
Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

  • História teórie množín, JJ O'Connor a EF Robertson, v archíve MacTutor History of Mathematics. Všimnite si, že ich rekonštrukcia je v niektorých bodoch v konflikte s tým, ktoré je tu uvedené.
  • Godel's Program (PowerPoint), zaujímavá prednáška Johna R. Steel (matematika, UC / Berkeley).
  • Domovská stránka pre Axiom of Choice, ktorú spravuje Eric Schechter (matematika, Vanderbiltova univerzita).

Odporúčaná: