Zenoove Paradoxy

Obsah:

Zenoove Paradoxy
Zenoove Paradoxy

Video: Zenoove Paradoxy

Video: Zenoove Paradoxy
Video: 15 Парадоксов, Которые Невозможно Обьяснить 2024, Marec
Anonim

Vstupná navigácia

  • Obsah vstupu
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Náhľad priateľov PDF
  • Informácie o autorovi a citácii
  • Späť na začiatok

Zenoove paradoxy

Prvýkrát publikované 30. apríla 2002; podstatná revízia po 11. jún 2018

Takmer všetko, čo vieme o Zeno z Elea, sa nachádza na úvodných stránkach Plato's Parmenides. Tam sa dozvieme, že Zeno mal takmer 40 rokov, keď bol Sokrates mladý muž, povedzme 20. Keďže Sokrates sa narodil v roku 469 pred Kristom, môžeme odhadnúť dátum narodenia pre Zeno okolo roku 490 pred naším letopočtom. Okrem toho naozaj vieme len to, že bol blízko Parmenides (Platón hlási klebety, keď boli mladí Zeno), a že napísal knihu paradoxov, ktorá obhajuje filozofiu Parmenides. Je smutné, že táto kniha neprežila a čo vieme o jeho argumentoch, je z druhej ruky, hlavne prostredníctvom Aristotela a jeho komentátorov (tu čerpáme najmä zo Simpliciusa, ktorý, hoci píše tisíc rokov po Zeno, zjavne mal aspoň niektoré zo svojich book). Zrejme existovalo 40 „paradoxov plurality“,snaha ukázať, že ontologický pluralizmus - viera v existenciu mnohých vecí, nie iba jedna - vedie k absurdným záverom; z týchto paradoxov prežijú určite iba dvaja, hoci treti argument možno pripísať Zenovi. Aristoteles hovorí o ďalších štyroch argumentoch proti návrhu (a všeobecne o zmene), ktoré všetky uvádza a pokúša sa vyvrátiť. Okrem toho Aristoteles pripisuje Zenovi ďalšie dva paradoxy. Je smutné, že takmer žiadny z týchto paradoxov nie je citovaný pôvodnými slovami Zeno ich rôznymi komentátormi, ale parafrázou. Aristoteles hovorí o ďalších štyroch argumentoch proti návrhu (a všeobecne o zmene), ktoré všetky uvádza a pokúša sa vyvrátiť. Okrem toho Aristoteles pripisuje Zenovi ďalšie dva paradoxy. Je smutné, že takmer žiadny z týchto paradoxov nie je citovaný pôvodnými slovami Zeno ich rôznymi komentátormi, ale parafrázou. Aristoteles hovorí o ďalších štyroch argumentoch proti návrhu (a všeobecne o zmene), ktoré všetky uvádza a pokúša sa vyvrátiť. Okrem toho Aristoteles pripisuje Zenovi ďalšie dva paradoxy. Je smutné, že takmer žiadny z týchto paradoxov nie je citovaný pôvodnými slovami Zeno ich rôznymi komentátormi, ale parafrázou.

  • 1. Pozadie
  • 2. Paradoxy plurality

    • 2.1 Argument hustoty
    • 2.2 Argument z konečnej veľkosti
    • 2.3. Argument úplnej deliteľnosti
  • 3. Paradoxy pohybu

    • 3.1 Dichotómia
    • 3.2 Achilles a korytnačka
    • 3.3 Šípka
    • 3.4 Štadión
  • 4. Dva ďalšie paradoxy

    • 4.1 Paradox miesta
    • 4.2 Zrno proso
  • 5. Zenoov vplyv na filozofiu
  • Ďalšie čítania
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Ďalšie internetové zdroje
  • Súvisiace záznamy

1. Pozadie

Predtým, ako sa pozrieme na samotné paradoxy, bude užitočné načrtnúť časť ich historického a logického významu. Najskôr sa Zeno snažil obhajovať Parmenides napadnutím svojich kritikov. Parmenides odmietol pluralitu a realitu akejkoľvek zmeny: pre neho všetko bola jedna nedeliteľná, nemenná realita a akékoľvek zjavenia sa naopak boli ilúziami, ktoré sa rozptýlili rozumom a zjavením. Niet divu, že táto filozofia našla mnoho kritikov, ktorí zosmiešňovali tento návrh; koniec koncov to letí tvárou v tvár niektorým z našich najzákladnejších názorov na svet. (Zaujímavé je, že všeobecná relativita - najmä kvantová všeobecná relativita - pravdepodobne predstavuje nový argument, ak je možná novinka pre parmenoidský popieranie zmien: Belot a Earman, 2001.) V reakcii na túto kritiku Zeno urobil niečo, čo sa môže zdať zrejmé,ktorý však mal hlboký vplyv na grécku filozofiu, ktorá sa pociťuje dodnes: pokúsil sa preukázať, že rovnaké absurdity logicky vyplynuli z odmietnutia Parmenidových názorov. Myslíte si, že existuje veľa vecí? Potom musíte dospieť k záveru, že všetko je nekonečne malé a nekonečne veľké! Myslíte si, že tento pohyb je nekonečne deliteľný? Potom to znamená, že sa nič nehne! (To je to, čo je „paradoxom“: demonštrácia, že rozpor alebo absurdný dôsledok vyplývajú zo zjavne odôvodnených predpokladov.)Myslíte si, že tento pohyb je nekonečne deliteľný? Potom to znamená, že sa nič nehne! (To je to, čo je „paradoxom“: demonštrácia, že rozpor alebo absurdný dôsledok vyplývajú zo zjavne odôvodnených predpokladov.)Myslíte si, že tento pohyb je nekonečne deliteľný? Potom to znamená, že sa nič nehne! (To je to, čo je „paradoxom“: demonštrácia, že rozpor alebo absurdný dôsledok vyplývajú zo zjavne odôvodnených predpokladov.)

Keď čítame argumenty, je dôležité mať na pamäti túto metódu. Vždy sa zameriavajú na viac-menej špecifický cieľ: názory niektorých osôb alebo škôl. Musíme mať na pamäti, že argumenty sú „ad hominem“v doslovnom latinskom zmysle, že sú zamerané na „osoby (názory)“, ale nie „ad hominem“v tradičnom technickom zmysle slova, ktoré napádajú (charakter) ľudia, ktorí predkladajú názory, a nie útočia na tieto názory. Pracujú tak, že dočasne predpokladajú „pre argumentáciu“, že tieto tvrdenia sú pravdivé, a potom tvrdia, že ak sú potom nezmyselné následky, potom sa nič nehne, napríklad: ide o argumenty „reductio ad absurdum“(alebo „dialektické“) v zmysle obdobia). Ak je argument logicky platný a záver je skutočne neprijateľný,tvrdenia musia byť napokon falošné. Keď sa pozrieme na Zenoove argumenty, musíme si položiť dve súvisiace otázky: na koho alebo na akú pozíciu Zeno útočí a čo presne sa predpokladá pre argumentáciu? Ak zistíme, že Zeno robí skryté predpoklady nad rámec toho, za čo sa útočná pozícia zaväzuje, potom je možné absurdnému záveru zabrániť odmietnutím jedného zo skrytých predpokladov pri zachovaní pozície. Komentátori prinajmenšom odkedy Aristoteles reagoval na Zeno týmto spôsobom.pri zachovaní polohy. Komentátori prinajmenšom odkedy Aristoteles reagoval na Zeno týmto spôsobom.pri zachovaní polohy. Komentátori prinajmenšom odkedy Aristoteles reagoval na Zeno týmto spôsobom.

Na koho teda zaútočia Zenoove argumenty? Existuje obrovská literatúra diskutujúca o presnom historickom cieli Zena. Ako budeme krátko diskutovať nižšie, niektorí hovoria, že cieľom bola technická doktrína Pytagorejcov, ale väčšina dnes vidí Zena ako protichodné názory na pluralitu a pohyb v bežnom zmysle slova. V tomto duchu sa priblížime k paradoxom a odkážeme čitateľa na literatúru o interpretačnej diskusii.

To znamená, že je to tiež väčšinový názor, že Zenoove paradoxy s určitými kvalifikáciami odhalia niektoré problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť bez úplných zdrojov matematiky, ako boli vypracované v 19. storočí (a možno aj neskôr). To (nevyhnutne) neznamená, že moderná matematika je povinná odpovedať na všetky problémy, ktoré chcel Zeno výslovne uviesť; pravdepodobne Aristoteles a ďalší starci mali odpovede, ktoré by Zeno uspokojili alebo mali uspokojiť. (Nebudeme sa konkrétne zaoberať vplyvom Zena na históriu matematiky.) Avšak s postupujúcim vývojom matematiky a väčším dôrazom na paradoxy z nich vyplynuli nové ťažkosti; tieto ťažkosti si na ich riešenie vyžadujú modernú matematiku. Tieto nové ťažkosti vznikajú čiastočne v reakcii na vývoj v našom chápaní toho, čo matematická prísnosť vyžaduje: riešenia, ktoré by spĺňali Zenoove normy prísnosti, by nevyhovovali našim. Preto posunieme niekoľko paradoxov z ich formulácií na zdravý rozum do ich riešenia v modernej matematike. (Ďalšia kvalifikácia: ponúkneme riešenia v zmysle „štandardnej“matematiky, ale aj iné moderné formulácie sú schopné zvládnuť Zeno a pravdepodobne spôsobmi, ktoré lepšie reprezentujú jeho matematické pojmy.)ale iné moderné formulácie sú tiež schopné zvládnuť Zeno a pravdepodobne spôsobmi, ktoré lepšie reprezentujú jeho matematické pojmy.)ale iné moderné formulácie sú tiež schopné zvládnuť Zeno a pravdepodobne spôsobmi, ktoré lepšie reprezentujú jeho matematické pojmy.)

2. Paradoxy plurality

2.1 Argument hustoty

Ak ich je veľa, musí byť ich toľko, koľko je a ani viac, ani menej. Ale ak je ich toľko, koľko je, boli by obmedzené. Ak ich je veľa, veci sú neobmedzené. Lebo vždy existujú iné medzi vecami, ktoré sú, a opäť iné medzi tými, a tak veci, ktoré sú neobmedzené. (Zjednodušené písmeno a) o Aristotelovej fyzike, 140.29)

Tento prvý argument, uvedený v Zenoho slovách podľa Simpliciusa, sa pokúša dokázať, že na bolesť protirečenia nemôže existovať viac ako jedna vec: ak existuje veľa vecí, potom sú obe „obmedzené“a „neobmedzené“, protirečenie, Na jednej strane hovorí, že každá zbierka musí obsahovať určitý počet vecí, alebo podľa jeho slov „ani viac, ani menej“. Ak však máte určitý počet vecí, usudzuje, že musíte mať konečný počet „obmedzený“; pri vyvodzovaní tohto záveru usudzuje, že mať nekonečne veľa vecí má mať neurčitý počet. Na druhej strane si predstavte akúkoľvek zbierku „mnohých“vecí usporiadaných do vesmíru, ktoré sú usporiadané do jednej dimenzie pre určitosť. Tvrdí, že medzi akýmikoľvek dvoma z nich je tretina; a medzi týmito tromi prvkami ďalšie dva;a ďalšie štyri medzi týmito piatimi; a tak ďalej bez konca. Preto je zbierka tiež „neobmedzená“. Takže náš pôvodný predpoklad plurality vedie k rozporu, a preto je nepravdivý: koniec koncov nie je veľa vecí. Aspoň tak Zeno uvažuje.

Uvažujme o dvoch čiastkových spisoch v opačnom poradí. Najprv sú medzi vecami „vždy iné“? (Prečo je potrebné v modernej terminológii vždy usporiadať predmety „husto“?) Predpokladajme, že sme si predstavili kolekciu 10 zoradených jabĺk; medzi šiestym a ôsmym je skutočne jedno jablko, ale medzi siedmym a ôsmym neexistuje! Čo má na mysli za predpokladu, že Zeno nie je jednoducho zmätený? Texty neuvádzajú, ale sú tu dve možnosti: po prvé, jeden by si mohol myslieť, že pre každú dvojicu fyzických objektov (hovoria dve jablká), aby boli dva odlišné objekty, a nielen jeden („dvojité jablko“), musí existovať tretina medzi nimi, ich fyzické oddelenie, aj keď je to len vzduch. Jeden by si mohol myslieť, že aby boli tieto tri zreteľné, musia existovať dva ďalšie objekty, ktoré ich oddeľujú,a tak ďalej (tento pohľad predpokladá, že ich výroba z rôznych látok nie je dostatočná na to, aby boli odlišné). Zeno sa teda možno hádka proti pluralizmu vzhľadom na určité poňatie fyzickej odlišnosti. Po druhé, možno si tiež uvedomiť, že každé telo má časti, ktoré je možné husto objednať. Samozrejme 1 / 2s, 1 / 4s, 1 / 8s atď. Z jabĺk nie sú husté - také časti môžu susediť - ale môžu existovať dostatočne malé časti, ktoré sa nazývajú „bodovými časťami“- ktoré sú. Ak je medzi akýmikoľvek dvoma bodovými časťami konečná vzdialenosť a ak bodové časti môžu byť ľubovoľne blízko, potom sú husté; tretina leží na polceste ktoréhokoľvek z nich. Obzvlášť sú známe známe geometrické body, a preto sú husté. Zeno teda možno ponúka argument o rozdelení tiel. Tak aj tak,Zenoov predpoklad hustoty vyžaduje ďalšie predpoklady o danej pluralizme a zodpovedajúcim spôsobom zameriava cieľ jeho paradoxu.

Predpokladajme však, že niekto si myslí, že nejaká zbierka (povedzme body v rade) je hustá, teda „neobmedzená“alebo nekonečná. Prvý bod útoku Zena naznačuje, že keďže obsahuje určitý počet prvkov, je tiež „obmedzený“alebo konečný. Môže sa tomuto rozporu vyhnúť? Predpoklad, že akékoľvek konečné číslo je konečné, sa zdá byť intuitívny, ale teraz vieme, vďaka práci Cantora v devätnástom storočí, ako chápať nekonečné čísla spôsobom, ktorý ich robí rovnako konečnými ako konečné čísla. Ústredným prvkom tejto teórie „transfinitových čísel“je presná definícia toho, kedy sú dve nekonečné zbierky rovnakej veľkosti a kedy je jedna väčšia ako druhá. S takouto definíciou v ruke je potom možné objednať nekonečné čísla rovnako, ako sú konečné čísla usporiadané: napríklad existujú rôzne,určitý nekonečný počet zlomkov a geometrických bodov v rade, aj keď sú obidve husté. (Pozri ďalšie čítanie nižšie, kde sú odkazy na úvody k týmto matematickým myšlienkam a ich históriu.) Takže na rozdiel od predpokladu Zeno je zmysluplné porovnávať nekonečné zbierky s ohľadom na počet ich prvkov, aby sme povedali, či majú dve viac ako, alebo menej alebo „toľko ako navzájom“: napríklad existuje viac desatinných čísel ako celých čísel, ale toľko párnych čísel ako celých čísel. Zeno je teda matematicky nezdravé, keď hovorí, že pretože zbierka má určité číslo, musí byť konečná a prvý podragment je klamný. (Aj keď to len ukazuje, že nekonečné zbierky sú matematicky konzistentné, nie to, že by nejaké fyzicky existovali.)))aj keď sú obidve husté. (Pozri ďalšie čítanie nižšie, kde sú odkazy na úvody k týmto matematickým myšlienkam a ich históriu.) Takže na rozdiel od predpokladu Zeno je zmysluplné porovnávať nekonečné zbierky s ohľadom na počet ich prvkov, aby sme povedali, či majú dve viac ako, alebo menej alebo „toľko ako navzájom“: napríklad existuje viac desatinných čísel ako celých čísel, ale toľko párnych čísel ako celých čísel. Zeno je teda matematicky nezdravé, keď hovorí, že pretože zbierka má určité číslo, musí byť konečná a prvý podragment je klamný. (Aj keď to len ukazuje, že nekonečné zbierky sú matematicky konzistentné, nie to, že by nejaké fyzicky existovali.)aj keď sú obidve husté. (Pozri ďalšie čítanie nižšie, kde sú odkazy na úvody k týmto matematickým myšlienkam a ich históriu.) Takže na rozdiel od predpokladu Zeno je zmysluplné porovnávať nekonečné zbierky s ohľadom na počet ich prvkov, aby sme povedali, či majú dve viac ako, alebo menej alebo „toľko ako navzájom“: napríklad existuje viac desatinných čísel ako celých čísel, ale toľko párnych čísel ako celých čísel. Zeno je teda matematicky nezdravé, keď hovorí, že pretože zbierka má určité číslo, musí byť konečná a prvý podragment je klamný. (Aj keď to len ukazuje, že nekonečné zbierky sú matematicky konzistentné, nie to, že by nejaké fyzicky existovali.)a ich história.) Takže, na rozdiel od predpokladu Zeno, je zmysluplné porovnávať nekonečné zbierky s ohľadom na počet ich prvkov, aby sme povedali, či dva majú viac ako alebo menej, alebo „toľko ako“navzájom: existuje ich napríklad viac desatinných čísel ako celých čísel, ale toľko párnych čísel ako celých čísel. Zeno je teda matematicky nezdravé, keď hovorí, že pretože zbierka má určité číslo, musí byť konečná a prvý podragment je klamný. (Aj keď to len ukazuje, že nekonečné zbierky sú matematicky konzistentné, nie to, že by nejaké fyzicky existovali.)a ich história.) Takže, na rozdiel od predpokladu Zeno, je zmysluplné porovnávať nekonečné zbierky s ohľadom na počet ich prvkov, aby sme povedali, či dva majú viac ako alebo menej, alebo „toľko ako“navzájom: existuje ich napríklad viac desatinných čísel ako celých čísel, ale toľko párnych čísel ako celých čísel. Zeno je teda matematicky nezdravé, keď hovorí, že pretože zbierka má určité číslo, musí byť konečná a prvý podragment je klamný. (Aj keď to len ukazuje, že nekonečné zbierky sú matematicky konzistentné, nie to, že by nejaké fyzicky existovali.)napríklad viac desatinných čísel ako celých čísel, ale toľko párnych čísel ako celých čísel. Zeno je teda matematicky nezdravé, keď hovorí, že pretože zbierka má určité číslo, musí byť konečná a prvý podragment je klamný. (Aj keď to len ukazuje, že nekonečné zbierky sú matematicky konzistentné, nie to, že by nejaké fyzicky existovali.)napríklad viac desatinných čísel ako celých čísel, ale toľko párnych čísel ako celých čísel. Zeno je teda matematicky nezdravé, keď hovorí, že pretože zbierka má určité číslo, musí byť konečná a prvý podragment je klamný. (Aj keď to len ukazuje, že nekonečné zbierky sú matematicky konzistentné, nie to, že by nejaké fyzicky existovali.)

2.2 Argument z konečnej veľkosti

… Ak by sa mal pridať k niečomu inému, čo existuje, nezvýšilo by to. Pretože ak to nebolo žiadnej veľkosti a bolo pridané, nemôže sa zväčšovať. A tak okamžite vyplýva, že to, čo sa pridá, nie je nič. Ak je však odpočítaná, druhá vec nie je menšia, ani sa nezvyšuje, keď sa pridáva, jednoznačne to, čo sa pridáva alebo odčítava, nie je nič. (Zjednodušené písmeno a) o Aristotelovej fyzike, 139.9)

Ale ak existuje, každá vec musí mať určitú veľkosť a hrúbku a jej časť musí byť oddelená od ostatných. A rovnaké odôvodnenie platí aj pre časť, ktorá je vpredu. Aj to bude mať veľkosť a časť bude vpredu. Teraz je to isté to povedať raz a stále to hovoriť navždy. Pretože žiadna takáto časť nebude posledná, ani nebude existovať žiadna časť, ktorá nesúvisí s druhou. Preto, ak existuje veľa vecí, musia byť malé aj veľké; také malé, aby nemali veľkosť, ale také veľké, aby boli neobmedzené. (Zjednodušený postup (a) o Aristotelovej fyzike, 141.2)

Ešte raz máme vlastné slová Zeno. Podľa jeho záveru existujú tri časti tohto argumentu, ale iba dve prežijú. Prvý argument, ktorý chýba, má za cieľ ukázať, že ak existuje veľa vecí, nemusia mať vôbec žiadnu veľkosť. Po druhé, Zeno tvrdí, že z toho vyplýva, že vôbec neexistujú; keďže výsledkom spojenia (alebo odstránenia) bezdôvodného predmetu s ničím nie je žiadna zmena, dochádza k záveru, že to, čo bolo pridané (alebo odstránené), nie je doslova nič. Argumentom v tomto bode je samostatné vyvrátenie pluralizmu, ale Zeno naďalej vytvára ďalší problém pre niekoho, kto naďalej nalieha na existenciu plurality. Táto tretia časť argumentu je skôr zle povedaná, zdá sa však, že beží niečo také: predpokladajme, že existuje pluralita, takže existuje nejaký priestorovo rozšírený objekt (koniec koncov,len tvrdil, že nerozšírené veci neexistujú). Keďže je predĺžená, má dve priestorovo odlišné časti (jednu „pred“pred druhou). A časti existujú, takže majú predĺženie, a tak tiež každá má dve priestorovo odlišné časti; a tak ďalej bez konca. Zdá sa teda, že konečná argumentácia je konečná, cieľ, ak je vôbec rozšírený, je nekonečne široký.

Čo by však mohlo ospravedlniť tento posledný krok? Nezdá sa, že pretože objekt má dve časti, musí byť nekonečne veľký! A nevyplýva to ani z iných oblastí, ktoré tu opisuje Zeno; štyri, osem, šestnásť alebo akékoľvek konečné časti tvoria konečný celok. Zeno si je iste vedomý týchto skutočností, a preto si musí pamätať na niečo iné, pravdepodobne na nasledujúce: predpokladá, že ak by sa nekonečná séria divízií, ktoré popisuje, nekonečne opakovala mnohokrát, výsledkom by bola určitá zbierka častí. A všimnite si, že nemusí predpokladať, že ktokoľvek by skutočne mohol vykonať divízie - nie je dosť času a nože nie sú dostatočne ostré - len to, že objekt môže byť geometricky rozložený na také časti (ani nepredpokladá, že tieto časti sú to, čo by sme prirodzene kategorizovali ako odlišné fyzické objekty, ako sú jablká, bunky, molekuly, elektróny alebo tak ďalej, ale iba to, že sú geometrickými časťami týchto objektov). Teraz, ak - ako môže pluralizmus dobre akceptovať - také časti existujú, z druhej časti jeho argumentu vyplýva, že sú rozšírené a, zrejme predpokladá, nekonečná suma konečných častí je nekonečná. Z druhej časti jeho tvrdenia vyplýva, že sú rozšírené a, zrejme predpokladá, že nekonečná suma konečných častí je nekonečná. Z druhej časti jeho tvrdenia vyplýva, že sú rozšírené a, zrejme predpokladá, že nekonečná suma konečných častí je nekonečná.

Tu by sme mali poznamenať, že existujú dva spôsoby, ako si môže predstaviť výsledok nekonečného rozdelenia.

Najprv by sme ho mohli prečítať, keď najprv objekt rozdelí na 1/2 s, potom jeden z 1 / 2s - druhý povedzme - na dva 1 / 4s, potom jeden z 1 / 4s - povedzme druhý znovu - do dvoch 1 / 8s a tak ďalej. V tomto prípade vedie výsledok nekonečného delenia k nekonečnému sledu kusov veľkosti 1/2 celkovej dĺžky, 1/4 dĺžky, 1/8 dĺžky…. A tak je teda celková dĺžka (1/2 + 1/4 + 1/8 +… dĺžky, ktorú Zeno uzatvára, nekonečnú vzdialenosť, takže pluralista sa zaviaže k absurdite, že konečné telá sú „také veľké ako byť neobmedzený “.

V odpovedi na to často upozorňujeme, že Zeno nám nedáva dôvod myslieť si, že suma je skôr nekonečná ako konečná. Mohol mať intuíciu, že každý nekonečný súčet konečných množstiev, pretože rastie nekonečne s každým novým pojmom, musí byť nekonečný, ale jeden by mohol vziať tento príklad napríklad, keď ukazuje, že niektoré nekonečné sumy sú po konečnom dôsledku. Preto na rozdiel od toho, čo si myslel, Zeno nepreukázal, že nasleduje absurdný záver. To, čo nie je vždy ocenené, je to, že pluralizmus nie je mimo háčika tak ľahko, pretože nestačí len povedať, že suma môže byť konečná, musí tiež preukázať, že je konečná - inak si stále nie sme istí ohľadom udržateľnosti. jej pozície. Pre ilustráciu ťažkostí, ktorým čelíme, zvážte nasledujúce:mnoho komentátorov hovorí, akoby bolo zrejmé, že nekonečný súčet frakcií je 1, že nič nie je nekonečné. Ale čo tento súčet: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - / ldots). Je zrejmé, že sa zdá, že suma môže byť prepísaná ((1 - 1) + (1 - 1) + / ldots = 0 + 0 + / ldots = 0). Táto odpoveď sa určite javí ako intuitívna ako súčet zlomkov. Túto sumu však možno prepísať aj (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + / ldots) = 1 - 0) - pretože sme práve ukázali, že výraz v zátvorkách zmizne - (= 1). Spoliehanie sa na intuície o tom, ako vykonávať nekonečné sumy, vedie k záveru, že (1 = 0). Pokiaľ nie je možné dať teóriu nekonečných súm, ktoré dokážu dať uspokojivú odpoveď na akýkoľvek problém, nemožno povedať, že nekonečná suma Zeno je zjavne konečná. Takáto teória nebola Cauchyom úplne rozvinutá až v 19. storočí.(V Cauchyho systéme (1/2 + 1/4 + / ldots = 1), ale (1 - 1 + 1 - / ldots) nie je definované.)

Po druhé, môže to byť tak, že Zeno znamená, že objekt je rozdelený na polovicu, potom sú obe polovice rozdelené na polovicu, potom sú všetky polovice rozdelené na polovicu a tak ďalej. V tomto prípade majú kusy v ktorejkoľvek konkrétnej fáze rovnakú konečnú veľkosť, a tak by sa dalo usúdiť, že výsledkom nekonečného vykonávania postupu by boli kusy rovnakej veľkosti, ktoré, ak existujú - podľa Zeno -, sú väčšie ako nula.; ale nekonečno rovnako rozšírených častí je skutočne nekonečne veľké.

Tomuto smeru myslenia sa však dá odolať. Najprv predpokladajme, že práve opísaný postup úplne rozdeľuje objekt na neprekrývajúce sa časti. (S týmto predpokladom je problém, ktorý uvidíme hneď nižšie.) Znamená to zdvojnásobenie počtu kusov po každom rozdelení, a tak po rozdelení (N) sú (2 ^ N) kúsky. Ukazuje sa však, že pre každé prirodzené alebo nekonečné číslo, (N), (2 ^ N / gt N), a tak počet (predpokladaných) častí získaný nekonečným delením je ešte väčší, Tento výsledok nepredstavuje žiadne bezprostredné ťažkosti, pretože, ako sme už uviedli, nekonečnosti prichádzajú v rôznych veľkostiach. Koľkokrát je všetko rozdelené na dve, sa hovorí, že je „nespočetne nekonečný“: v kolekcii je nespočetné množstvo vecí, ak ich možno označiť číslami 1, 2, 3,… Bez zvyšku na oboch stranách. Počet kusov, ktoré nekonečná divízia vyrába, je „nespočetne nekonečný“, čo znamená, že neexistuje spôsob, ako ich označiť 1, 2, 3,… bez toho, aby niektoré z nich chýbali - v skutočnosti ich nekonečne veľa. Cauchyho definícia nekonečnej sumy sa však vzťahuje iba na nespočetne nekonečnú sériu čísel, a preto sa nevzťahuje na kúsky, ktoré zvažujeme. Mohli by sme však uvažovať len o mnohých z nich, ktorých dĺžky podľa Zeno - pretože tvrdí, že sú všetky rovnaké a nenulové - sa budú rovnať nekonečnej dĺžke; dĺžka všetkých kúskov nemôže byť menšia ako táto. Cauchyho definícia nekonečnej sumy sa vzťahuje iba na nespočetne nekonečnú sériu čísel, a preto sa nevzťahuje na kúsky, ktoré zvažujeme. Mohli by sme však uvažovať len o mnohých z nich, ktorých dĺžky podľa Zeno - pretože tvrdí, že sú všetky rovnaké a nenulové - sa budú rovnať nekonečnej dĺžke; dĺžka všetkých kúskov nemôže byť menšia ako táto. Cauchyho definícia nekonečnej sumy sa vzťahuje iba na nespočetne nekonečnú sériu čísel, a preto sa nevzťahuje na kúsky, ktoré zvažujeme. Mohli by sme však uvažovať len o mnohých z nich, ktorých dĺžky podľa Zeno - pretože tvrdí, že sú všetky rovnaké a nenulové - sa budú rovnať nekonečnej dĺžke; dĺžka všetkých kúskov nemôže byť menšia ako táto.

V tomto okamihu by pluralista, ktorý verí, že Zenoova divízia úplne rozdeľuje objekty na neprekrývajúce sa časti (pozri nasledujúci odsek), mohol odpovedať, že tieto časti v skutočnosti nemajú predĺženie, aj keď existujú. To by blokovalo záver, že konečné objekty sú nekonečné, zdá sa však, že ju tlačí späť na druhý roh argumentu Zeno, pretože ako môžu všetky tieto kúsky s nulovou dĺžkou tvoriť celok s nenulovou veľkosťou? (Všimnite si, že podľa Cauchyho (0 + 0 + 0 + / ldots = 0), ale tento výsledok tu neukázal nič, pretože, ako sme videli, existuje nespočetne veľa kusov na pridanie viac, ako sa pridáva v tejto sume. odloží túto otázku na diskusiu o nasledujúcom paradoxe, ak k nej dôjde výslovne.

Druhým problémom pri interpretácii nekonečného delenia ako opakovaného delenia všetkých častí je to, že nerozdeľuje objekt na odlišné časti, ak sú objekty zložené prirodzeným spôsobom. Aby sme to videli, spýtajme sa, aké časti získava toto rozdelenie na 1 / 2s, 1 / 4s, 1 / 8s, …. Keďže rozdelenie sa opakuje bez konca, neexistuje žiadna posledná časť, ktorú môžeme dať ako odpoveď, a preto musíme o otázke uvažovať iným spôsobom. Ak predpokladáme, že objekt môže byť reprezentovaný čiarovým segmentom s jednotkovou dĺžkou, potom divízia vytvorí kolekcie segmentov, pričom prvá je buď prvá alebo druhá polovica celého segmentu, druhá je prvý alebo druhý štvrťrok alebo tretí alebo štvrtý štvrťrok a vo všeobecnosti je segment vytvorený divíziami (N) buď prvou alebo druhou polovicou predchádzajúceho segmentu. Napríklad pri písaní segmentu s koncovými bodmi (a) a (b) ako ([a, b]), niektoré z týchto kolekcií (technicky známe ako „reťazce“, pretože prvky kolekcie sú zoradené podľa veľkosť) by začala ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], / ldoty }). (Keď sme predtým tvrdili, že Zenoova divízia vyrobila nespočetne veľa predmetov, mali by sme povedať viac opatrne to, že produkuje nespočetne veľa podobných reťazcov.)Mali by sme povedať viac opatrne to, že vytvára nespočetne veľa podobných reťazcov.)Mali by sme povedať viac opatrne to, že vytvára nespočetne veľa podobných reťazcov.)

Otázka, ktoré časti divízia vyberie, je potom otázkou, ktorá časť ktorejkoľvek danej reťaze vyberie; Je prirodzené povedať, že reťaz vyberie časť linky, ktorá je obsiahnutá v každom z jej prvkov. Uvažujme napríklad reťazec ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], / ldots }), inými slovami reťazec, ktorý začína ľavou polovicou čiary a pre ktorú je každý ďalší prvok pravou polovicou predchádzajúceho. Polovica cesty je v každom zo segmentov v tomto reťazci; je to pravý koncový bod každého z nich. Žiadny iný bod však nie je vo všetkých jeho prvkoch: očividne žiadny bod za polovicou cesty nie je; a vyberte si akýkoľvek bod (p) pred na polceste, ak urobíte dostatočné polovice [0,1 / 2] dosť krát, ľavý koniec segmentu bude vpravo od (p). Jedinou časťou čiary, ktorá sa nachádza vo všetkých prvkoch tejto reťaze, je teda polovičný bod, a teda aj časť čiary vybranej reťazou. (V skutočnosti z postulátu teórie čísel vyplýva, že existuje presne jeden bod, ktorý majú všetci členovia ktoréhokoľvek takého reťazca spoločné.) Problém je v tom, že pri paralelnom zdôvodňovaní je polovičný bod tiež vybraný odlišný reťazec ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], / ldots }), kde každý segment za prvým je ľavá polovica predchádzajúcej. A tak obidva reťaze vyberú tú istú časť čiary: polovičný bod. A tak pre mnoho ďalších párov reťazí. Zenoov argument, interpretovaný z hľadiska opakovaného rozdelenia všetkých častí na polovicu, teda nerozdeľuje čiaru na jednotlivé časti. Ak si teda myslíme, že objekty sa skladajú rovnakým spôsobom ako čiara,Z toho vyplýva, že napriek zdaniam táto verzia argumentu nerozdeľuje objekty na časti, ktorých celkovú veľkosť môžeme správne prediskutovať.

(Môžete si myslieť, že tento problém by sa mohol vyriešiť tak, že prvky reťazcov považujeme za segmenty bez koncového bodu napravo. Potom prvý z dvoch reťazcov, ktoré sme považovali, už nemá v žiadnom zo svojich segmentov pol cesty, Problém teda spočíva v tom, že nevyberie žiadnu časť čiary: predchádzajúce zdôvodnenie ukázalo, že nevyberie žiadny bod väčší alebo menší ako polovičný bod, a teraz to nevyberie ani tento bod!)

2.3. Argument úplnej deliteľnosti

… Vždy, keď je telo svojou povahou deliteľné skrz a skrz, či už bisekciou, alebo všeobecne akoukoľvek metódou, nič nemožné nebude mať, ak bude skutočne rozdelené … hoci to v skutočnosti nikto nemohol rozdeliť.

Čo potom zostane? Veľkosť? Nie: to je nemožné, pretože odvtedy nebude niečo rozdelené, zatiaľ čo ex hypotéza bolo telo deliteľné skrz a skrz. Ak sa však pripustí, že nezostane ani telo, ani veľkosť … telo bude pozostávať buď z bodov (a jeho zložky nebudú bez veľkosti), alebo to nebude vôbec nič. Ak by to bolo druhé, potom by to mohlo prísť z ničoho a existovať ako zložka ničoho; a tak pravdepodobne celé telo nebude nič iné ako vzhľad. Ak sa však skladá z bodov, nebude mať žiadnu veľkosť. (Aristoteles o generácii a korupcii, 316a19)

Tieto slová nie sú Aristotelesovo nie Zeno, a tento argument v skutočnosti Aristotelesovi nepripisuje ani Zeno. Máme však názor Simpliciusa (a) na Aristotelovu fyziku, 139.24), že vychádza zo Zena, a preto je tu uvedený. Aristoteles začína hypotézou, že niektoré telo je úplne deliteľné „skrz a skrz“; druhý krok argumentu objasňuje, že tým myslí, že je rozdeliteľné na časti, ktoré samy o sebe nemajú časti veľkosti s akoukoľvek veľkosťou, ktoré zostávajú neúplne rozdelené. (Záleží na tom, že telo je skutočne zložené z takýchto častí, nie z toho, že niekto má čas a nástroje na rozdelenie; a z predchádzajúcej časti si uvedomujeme, že jeden z týchto častí nezíska opakovaným rozdelením všetkých častí na polovicu.) Predpokladajme teda, že telo je rozdelené na jeho bezrozmerné časti. Tieto časti nemohli byť vôbec nič - ako tvrdil Zeno vyššie - alebo „bodové časti“. Ak časti nie sú ničím, potom je to aj telo: je to len ilúzia. A argument sa uzatvára, aj keď ide o body, pretože tieto sú neobsiahnuté, telo samo osebe bude neobsiahnuté: určite akýkoľvek súčet, dokonca nekonečná jedna-nula, je nula.

Možno spochybniť tento posledný predpoklad? Je (ako bolo uvedené vyššie) dôsledkom Cauchyho definície nekonečnej sumy; Grünbaum (1967) však zdôraznil, že táto definícia sa vzťahuje iba na spočítateľné sumy a Cantor poskytol krásny, ohromujúci a mimoriadne vplyvný „diagonálny“dôkaz, že počet bodov v segmente je nespočetne nekonečný. Neexistuje spôsob, ako označiť všetky body v riadku nekonečnom čísel 1, 2, 3, …, a tak existuje viac bodov v riadku ako súčty v Cauchyovej sume. Stručne povedané, analýza použitá pre nespočetne nekonečné delenie tu neplatí.

Predpokladajme teda, že ste práve dostali počet bodov v jednej línii a že ich všetky dĺžky sú nulové; ako by si určil dĺžku? Potrebujeme novú definíciu, ktorá rozširuje Cauchyho na nespočetne nekonečné sumy? Ukazuje sa, že by to nepomohlo, pretože Cauchy ďalej ukázal, že ktorýkoľvek segment, akejkoľvek dĺžky (a skutočne celá nekonečná línia) má presne rovnaký počet bodov ako náš segment. Takže poznať počet bodov neurčí dĺžku čiary, a preto nie je možné nič ako známe sčítanie, v ktorom je celý určený časťami. Namiesto toho musíme premýšľať o vlastnostiach vzdialenosti priamky logicky za jej bodovým zložením: najprv máme množinu bodov (usporiadaných určitým spôsobom, takže existuje nejaká skutočnosť, napríklad,o ktorej z troch je medzi ostatnými) potom definujeme funkciu párov bodov, ktorá určuje, ako ďaleko sú od seba (spĺňajúce také podmienky, ako je vzdialenosť medzi (A) a (B) plus vzdialenosť medzi (B) a (C) sa rovná vzdialenosti medzi (A) a (C) - ak (B) je medzi (A) a (C)). Preto odpovedáme Zeno takto: argument predpokladal, že veľkosť tela bola súčtom veľkostí bodových častí, ale nie je tomu tak; podľa modernej matematiky je segment geometrickej čiary nespočetnou nekonečnosťou bodov plus funkcia vzdialenosti. (Všimnite si, že Grünbaum použil skutočnosť, že bodové zloženie neurčuje dĺžku, aby podporilo jeho „konvenčný“názor, že čiara nemá určujúcu dĺžku vôbec, nezávisle od normy merania.)))))Preto odpovedáme Zeno takto: argument predpokladal, že veľkosť tela bola súčtom veľkostí bodových častí, ale nie je tomu tak; podľa modernej matematiky je segment geometrickej čiary nespočetnou nekonečnosťou bodov plus funkcia vzdialenosti. (Všimnite si, že Grünbaum použil skutočnosť, že bodové zloženie neurčuje dĺžku, aby podporilo jeho „konvenčný“názor, že čiara nemá určujúcu dĺžku vôbec, nezávisle od normy merania.)Preto odpovedáme Zeno takto: argument predpokladal, že veľkosť tela bola súčtom veľkostí bodových častí, ale nie je tomu tak; podľa modernej matematiky je segment geometrickej čiary nespočetnou nekonečnosťou bodov plus funkcia vzdialenosti. (Všimnite si, že Grünbaum použil skutočnosť, že bodové zloženie neurčuje dĺžku, aby podporilo jeho „konvenčný“názor, že čiara nemá určujúcu dĺžku vôbec, nezávisle od normy merania.)(Všimnite si, že Grünbaum použil skutočnosť, že bodové zloženie neurčuje dĺžku, aby podporilo jeho „konvenčný“názor, že čiara nemá určujúcu dĺžku vôbec, nezávisle od normy merania.)(Všimnite si, že Grünbaum použil skutočnosť, že bodové zloženie neurčuje dĺžku, aby podporilo jeho „konvenčný“názor, že čiara nemá určujúcu dĺžku vôbec, nezávisle od normy merania.)

Ako zdôrazňuje Ehrlich (2014), mohli by sme dokonca stanoviť, že „nespočetná suma“núl je nula, pretože dĺžka riadku sa nerovná súčtu dĺžok bodov, ktoré obsahuje (pri riešení Sherryho, 1988, sa obávajú, že odmietnutie rozšírenia definície by bolo ad hoc). Ak teda niekto stanoví, že dĺžka vlasca je súčtom akejkoľvek úplnej zbierky správnych častí, potom to znamená, že body nie sú správne hovoriacimi časťami riadku (na rozdiel od polovíc, štvrtín atď.). V striktnom zmysle v modernej teórii mier (ktorá zovšeobecňuje Grünbaumov rámec) sú body v línii s ňou nezmerateľné a samotné usporiadanie Aristotela, v ktorom je dĺžka celku analyzovaná z hľadiska jej bodov, je nezákonné.,

3. Paradoxy pohybu

3.1 Dichotómia

Prvý tvrdí, že neexistuje pohyb na základe toho, že to, čo je v pohybe, musí prísť do polovice cesty predtým, ako sa dostanú k cieľu. (Aristotle Physics, 239b11)

Tento paradox je známy ako „dichotómia“, pretože zahŕňa opakované rozdelenie na dve (ako druhý paradox plurality). Rovnako ako ostatné pohybové paradoxy, máme to aj od Aristotela, ktorý sa ho snažil vyvrátiť.

Predpokladajme, že pre autobus musí bežať veľmi rýchly bežec, napríklad mýtický Atalanta. Je zrejmé, že predtým, ako dosiahne autobusovú zastávku, musí bežať do polovice cesty, ako hovorí Aristoteles. Nie je tam žiaden problém; za predpokladu, že sa bude pohybovať konštantne, bude jej trvať 1/2 času, kým prejde do polovice cesty, a 1/2 času, kým prebehne zvyšok cesty. Teraz musí tiež bežať v polovici cesty do polovičného bodu - tj 1/4 celkovej vzdialenosti - skôr, ako dosiahne polovičný bod, ale opäť musí zostať s konečným počtom konečných dĺžok, aby mohla bežať, a veľa času na to. A predtým, ako dosiahne 1/4 cesty, musí dosiahnuť (1/2) z (1/4 = 1/8) cesty; a pred tým 1/16; a tak ďalej. V tejto sérii nie je problém v žiadnom konečnom bode, ale čo keď sa polovica vykonáva viackrát nekonečne? Výsledná séria neobsahuje žiadnu prvú vzdialenosť,pre akúkoľvek možnú prvú vzdialenosť bolo možné rozdeliť na polovicu, a preto by napokon nebola prvá. Obsahuje však konečnú vzdialenosť, menovite 1/2 cesty; a predposledná vzdialenosť 1/4 cesty; a tretina na poslednú vzdialenosť, 1/8 cesty; a tak ďalej. Takže séria vzdialeností, ktoré musí Atalanta absolvovať, je:…, potom 1/16 cesty, potom 1/8 cesty, potom 1/4 cesty a nakoniec 1/2 cesty (zatiaľ) nenavrhujeme, aby sa zastavila na konci každého segmentu a potom začala bežať na začiatku nasledujúceho - myslíme si, že jej nepretržitý beh sa skladá z takýchto častí). A teraz je tu problém, pretože pri tomto popise jej behu má cestovanie nekonečné množstvo konečných vzdialeností, ktoré by sme, podľa Zeno, museli uzavrieť, museli venovať nekonečnému času, to znamená, že nikdy nie sú dokončené. A keďže argument nezávisí od vzdialenosti alebo od toho, kto je alebo čo je hybnou silou, vyplýva z toho, že nie je možné nikdy prekonať konečnú vzdialenosť, to znamená, že nie je možné vykonať akýkoľvek pohyb. (Všimnite si, že paradox by mohol byť ľahko vygenerovaný v opačnom smere, takže Atalanta musí najprv bežať do polovice cesty, potom do polovice zostávajúca cesta, potom polovica tejto cesty a tak ďalej, takže musí viesť nasledujúcu nekonečnú sekvenciu frakcií z celkového množstva. vzdialenosť: 1/2, potom 1/4, potom 1/8, potom….)takže musí absolvovať nasledujúci nekonečný sled zlomkov celkovej vzdialenosti: 1/2, potom 1/4, potom 1/8, potom….)takže musí absolvovať nasledujúci nekonečný sled zlomkov celkovej vzdialenosti: 1/2, potom 1/4, potom 1/8, potom….)

Niekoľko bežných reakcií nie je vhodných. Jeden by mohol - ako Simplicius (a) O Aristotelovej fyzike, 1012.22), hovorí, že Diogenes Cynic urobil tichým vstávaním a chodením, že ide o najbežnejšiu skúsenosť, že veci sa v skutočnosti pohybujú a že vieme, že veľmi dobre, že Atalanta nebude mať problém dosiahnuť autobusovú zastávku. To by však nezaujalo Zeno, ktorý ako platený Parmenidean tvrdil, že veľa vecí nie je tak, ako sa zdá: môže sa zdať, že Diogenes kráča alebo že Atalanta beží, ale okolnosti môžu byť klamlivé a určite máme logický dôkaz. že sa v skutočnosti vôbec nehýbajú. Inak, ak človek neakceptuje, že Zeno poskytol dôkaz, že pohyb je iluzórny - ako dúfame, že nie - jeden, potom dlhuje účet, čo je zlé jeho argumentom: uviedol dôvody, prečo je pohyb nemožný,a preto musí primeraná odpoveď preukázať, prečo tieto dôvody nie sú dostatočné. A nebude to len poukazovať na to, že existujú spôsoby, ako rozrezať Atalantovu nábeh iba na dve polovice, čo nie je problém. Pretože ak prijmete všetky kroky v Zenoovom argumente, musíte prijať jeho záver (za predpokladu, že logicky deduktívne uvažoval): nestačí ukázať bezproblémové rozdelenie, musíte tiež preukázať, prečo dané rozdelenie nie je bezproblémové. Nestačí ukázať bezproblémové rozdelenie, musíte tiež ukázať, prečo je dané rozdelenie bezproblémové. Nestačí ukázať bezproblémové rozdelenie, musíte tiež ukázať, prečo je dané rozdelenie bezproblémové.

Ďalšou reakciou, ktorú dal sám Aristoteles, je poukázať na to, že keď rozdelíme vzdialenosť, mali by sme tiež rozdeliť celkový čas, ktorý uplynul: 1/2 času na záverečnú 1/2, 1/4 času za predchádzajúcu 1/4 1/8 času na 1/8 behu atď. Každá zlomková vzdialenosť má teda práve ten správny zlomok konečného času, ktorý má Atalanta dokončiť, a tak vzdialenosť môže byť dokončená v konečnom čase. Aristoteles cítil, že táto odpoveď by mala uspokojiť Zena, uvedomil si však (Physics, 263a15), že to nemôže byť koniec veci. Zatiaľ hovoríme, že čas, ktorý Atalanta potrebuje na dosiahnutie autobusovej zastávky, pozostáva z nekonečného počtu konečných kusov - …, 1/8, 1/4 a 1/2 celkového času - a nie je to nekonečný čas?

Samozrejme by sa dalo opäť tvrdiť, že niektoré nekonečné sumy majú konečné súčty, a najmä, že súčet týchto kusov je (1 / krát) celkový čas, ktorý je samozrejme konečný (a opäť by úplné riešenie vyžadovalo prísny popis nekonečného sčítania, ako je Cauchyho). Aristotle však taký krok neurobil. Namiesto toho urobil ostrý rozdiel medzi tým, čo nazval „súvislou“čiarou a čiarou rozdelenou na časti. Zoberme si jednoduché rozdelenie čiary na dve: na jednej strane je nerozdelená čiara a na druhej strane čiara so stredným bodom vybraným ako hranica týchto dvoch polovíc. Aristoteles tvrdí, že ide o dve odlišné veci: a posledne uvedená je „potenciálne“odvoditeľná z prvej. Ďalej Aristoteles zastáva názor, že čas je ako geometrická čiara,a zvažuje čas potrebný na dokončenie behu. Opäť môžeme rozlíšiť tieto dva prípady: existuje nepretržitý interval od začiatku do konca a interval je rozdelený na nekonečno Zeno z polovičných cyklov. Prvý je „potenciálne nekonečný“v tom zmysle, že by sa mohol rozdeliť na druhý „skutočné nekonečno“. Toto je zásadný krok: Aristoteles si myslí, že keďže tieto intervaly sú geometricky odlišné, musia sa fyzicky odlišovať. Ale ako by to mohlo byť? Tvrdí, že bežec musí urobiť niečo na konci každého polčasu, aby sa odlišil od nasledujúceho: musí sa zastaviť a samotný beh musí byť nespojitý. (Nie je jasné, prečo by nejaká iná akcia nestačila na rozdelenie intervalu.) Potom Aristotelesova úplná odpoveď na paradox je, že otázka, či je nekonečná séria zjazdov možná alebo nie, je nejednoznačná:je možná nekonečná séria polovíc v nepretržitom behu, zatiaľ čo skutočná nekonečnosť nespojitých polovičných cyklov nie je Zeno neidentifikuje nemožnosť, ale neopisuje obvyklý spôsob stekania koľají!

Z našej modernej perspektívy je ťažké zistiť, ako by táto odpoveď mohla byť úplne uspokojivá. V prvom rade predpokladá, že je možné jasne rozlišovať medzi potenciálnymi a skutočnými nekonečnami, čo sa nikdy nedosiahlo úplne. Po druhé, predpokladajme, že Zenoov problém spočíva v tvrdení, že nekonečné sumy konečných množstiev sú vždy nekonečné. Potom Aristotelovo rozlíšenie pomôže iba vtedy, ak dokáže vysvetliť, prečo sú potenciálne nekonečné sumy v skutočnosti konečné (nemohli by sme potenciálne pridať (1 + 1 + 1 + / ldoty), ktoré nemajú konečný súčet); alebo ak môže uviesť dôvod, prečo potenciálne nekonečné sumy jednoducho neexistujú. Alebo možno Aristoteles nevidel nekonečné sumy ako problém, ale skôr to, či dokončenie nekonečna konečných akcií je metafyzicky a koncepčne a fyzicky možné. V krátkosti prediskutujeme tento problém „Supertaskov“, ale všimneme si, že existuje dobre definovaný beh, v ktorom sú fázy Atalantovho chodu prerušované konečnými zvyškami, čo pravdepodobne ukazuje možnosť dokončenia nekonečnej série konečných úloh v konečný čas (Huggett 2010, 21–2). Nakoniec, rozdiel medzi potenciálnymi a skutočnými nekonečnami nehral v matematike žiadnu úlohu, pretože Cantor skrútil transfinitné čísla - určite potenciálny nekonečný nehral žiadnu rolu v moderných matematických riešeniach diskutovaných tu. Rozdiel medzi potenciálnym a skutočným nekonečnom nehral v matematike žiadnu úlohu, pretože Cantor skrotil transfinitné čísla - určite potenciálny nekonečný nehral žiadnu rolu v moderných matematických riešeniach tu diskutovaných. Rozdiel medzi potenciálnym a skutočným nekonečnom nehral v matematike žiadnu úlohu, pretože Cantor skrotil transfinitné čísla - určite potenciálny nekonečný nehral žiadnu rolu v moderných matematických riešeniach tu diskutovaných.

3.2 Achilles a korytnačka

[Druhý] argument sa preto nazýval „Achilles“, a to z toho dôvodu, že v ňom bol Achilles vzatý [ako postava], a tento argument hovorí, že pre neho nie je možné predstihnúť korytnačku, keď ju sleduje. V skutočnosti je nevyhnutné, aby to, čo má niečo predbehnúť, skôr ako to predbehlo, najprv dosiahlo hranicu, od ktorej je stanovené to, čo uteká. V čase, keď sa to, čo sleduje, dosiahne, čo utečie, posunie sa o určitý interval, aj keď je kratší ako ten, ktorý sleduje. A v čase, v ktorom to, čo sleduje, prechádza tento [interval], ktorý to, čo uteká, pokročilo ďalej, v tomto čase to, čo uteká, prechádza určitým množstvom…. A tak v každej dobe, v ktorej to, čo sleduje, prechádza [interval], ktorý to, čo uteká, je pomalšie, už pokročilo,to, čo uteká, tiež zvýši určitú sumu. (Zjednodušené písmeno b) o Aristotelovej fyzike, 1014,10)

Tento paradox sa týka rovnakých úvah ako ten posledný. Predstavte si, že Achilles prenasleduje korytnačku a predpokladajme, že Achilles beží rýchlosťou 1 m / s, že korytnačka plazí rýchlosťou 0,1 m / sa korytnačka začína o 0,9 m pred Achilles. Na jeho strane by Achilles mal chytiť korytnačku po 1 s, vo vzdialenosti 1 m od miesta, kde začína (a tak 0,1 m od miesta, kde začína korytnačka). Mohli by sme zlomiť Achillov pohyb, ako sme to urobili v Atalante, na polovice, alebo by sme to mohli urobiť takto: predtým, ako Achilles dokáže chytiť korytnačku, musí dosiahnuť miesto, kde korytnačka začala. V čase, keď to urobí, korytnačka sa plazí o kúsok ďalej. Takže ďalší Achilles musí dosiahnuť tento nový bod. Ale v čase, keď to Achilles dosiahne, sa korytnačka plazí o kúsok ďalej. A tak ďalej do nekonečna:zakaždým, keď sa Achilles dostane na miesto, kde bola korytnačka, mala korytnačka dosť času na to, aby sa dostala trochu ďalej, a tak si Achilles musí urobiť ešte ďalší beh, takže Achilles má nekonečný počet konečných dobehov, ktoré musí urobiť skôr, ako dokáže korytnačku chytiť, a tak Zeno usudzuje, že korytnačku nikdy nezachytil.

Jedným z aspektov paradoxu je, že Achilles musí prejsť nasledujúcu nekonečnú sériu vzdialeností skôr, ako chytí korytnačku: najskôr 0,9 m, potom ďalších 0,09 m, potom 0,009 m,…. Toto je séria vzdialeností, ktoré korytnačka dosiahne na začiatku každého z úlovkov Achillovej. Pri pohľade na tento spôsob je hádanka identická s dichotómiou, pretože len hovorím, že „to, čo je v pohybe, musí prísť [deväť desatín cesty] predtým, ako sa dostane k cieľu“. A tak sa tu platí aj všetko, čo sme povedali vyššie.

Čo však paradoxne v tejto podobe prináša najživšie, je problém dokončenia série akcií, ktoré nemajú konečného člena - v tomto prípade nekonečnej série doháňaní skôr, ako Achilles dosiahne korytnačku. Ale aký je problém? Možno toto: Achillov beh do bodu, v ktorom by sa mal dostať k korytnačke, sa môže, zdá sa, úplne rozpadnúť na sériu chytení, z ktorých žiaden ho nedostane k korytnačke. Preto nikde v jeho behu nedosiahne korytnačku po všetkom. Ale ak to má Zeno na mysli, neurobí to. Achilles samozrejme nedosiahne korytnačku v žiadnom bode sekvencie, pretože pri každom spustení sekvencie dôjde skôr, ako očakávame, že ju Achilles dosiahne! Berúc do úvahy body, ktoré musí Achilles dosiahnuť vo svojom behu, 1m sa nevyskytuje v poradí 0,9m, 0,99m, 0,999m,…,tak samozrejme nikdy nezachytil korytnačku počas tejto série pokusov! (A rovnaká situácia nastáva aj v Dichotómii: žiadna prvá vzdialenosť v sérii, takže neobsahuje začiatok Atalanty!) Série doháňaní teda koniec koncov celkom nerozkladá beh: posledný bod, v ktorom Achilles robí chytiť korytnačku - musí sa k nej pridať. Takže existuje nejaká hádanka? Pravdepodobne áno.

Achillesov priebeh prechádza sledom bodov 0,9m, 0,99m, 0,999m, …, 1m. Má však táto čudná sekvencia pozostávajúca z nekonečna členov nasledovaná matematicky viac zmyslom? Ak nie, potom náš matematický opis behu nemôže byť správny, ale čo je potom? Našťastie nás teória transfinitov propagovaná Cantorom uisťuje, že takáto séria je úplne úctyhodná. Zistilo sa, že vlastnosti rádu nekonečných radov sú oveľa prepracovanejšie ako vlastnosti konečných radov. Akýkoľvek spôsob usporiadania čísel 1, 2 a 3 poskytuje napríklad sériu v rovnakom vzore, ale existuje veľa rôznych spôsobov, ako usporiadať prirodzené čísla: napríklad 1, 2, 3, …. Alebo …, 3, 2, 1. Alebo …, 4, 2, 1, 3, 5, …. Alebo 2, 3, 4, …, 1, čo je rovnaká séria ako pozície, ktoré musí Achilles prekonať. Teória transfinitov teda nezaobchádza iba s „kardinálnymi“číslami, ktoré závisia iba od toho, koľko vecí existuje, ale aj s „poradovými“číslami, ktoré ďalej závisia od usporiadania vecí. Pretože ordinály sa štandardne považujú za matematicky legitímne čísla a keďže séria bodov, ktoré musí Achilles dosiahnuť, má poradové číslo, vezmeme preto na vedomie, že séria je matematicky legitímna. (Opäť pozri „Supertasks“nižšie, kde nájdete ďalší druh problému, ktorý by sa mohol vyskytnúť pre Achilla.)vezmeme na vedomie, že séria je matematicky legitímna. (Opäť pozri „Supertasks“nižšie, kde nájdete ďalší druh problému, ktorý by sa mohol vyskytnúť pre Achilla.)vezmeme to na vedomie, že séria je matematicky legitímna. (Opäť pozri „Supertasks“nižšie, kde nájdete ďalší druh problému, ktorý by sa mohol vyskytnúť pre Achilla.)

3.3 Šípka

Tretie je … že lietajúca šípka je v pokoji, čo vyplýva z predpokladu, že čas sa skladá z okamihov …. Hovorí, že ak všetko, čo zaberá rovnaký priestor, je v pokoji, a ak je to, čo je v lokomócii, stále, teraz je lietajúca šípka nehybná. (Aristotle Physics, 239b30)

Zeno ruší pohyb a hovorí: „Čo sa pohybuje, nepohybuje sa ani na mieste, ani na mieste, kde nie je.“(Diogenes Laertius žije zo slávnych filozofov, ix.72)

Tento argument proti pohybu sa výslovne týka konkrétneho druhu predpokladu plurality: tento čas sa skladá z momentov (alebo „teraz“) a ničoho iného. Zvážte šípku, ktorá je zjavne v pohybe, kedykoľvek. Po prvé Zeno predpokladá, že počas tohto momentu nejde žiadna vzdialenosť - „zaberá rovnaký priestor“po celý okamih. Ale celé obdobie jeho pohybu obsahuje iba okamihy, ktoré všetky obsahujú šípku v pokoji, a tak Zeno usudzuje, že šípka sa nemôže pohybovať.

Okamžité znepokojenie je dôvodom, prečo je Zeno oprávnený predpokladať, že šípka je kedykoľvek v pokoji. Ak človek predpokladá, že okamih trvá 0 s, okamžite to nasleduje: bez ohľadu na rýchlosť, ktorú má šípka, nikam sa nedostane, ak nemá vôbec čas. Ale čo keď by sme si mysleli, že najmenšie časy sú obmedzené - ak malé - tak, aby sa pohybujúca šípka mohla v okamihu posunúť o určitú vzdialenosť? Jeden spôsob, ako podporiť predpoklad - ktorý si vyžaduje veľa prečítania do textu - sa začína predpokladom, že okamihy sú neoddeliteľné. Potom predpokladajme, že šípka sa v okamihu skutočne pohla. Bolo by to na rôznych miestach na začiatku a na konci okamihu, čo znamená, že okamih má „začiatok“a „koniec“, čo znamená, že má najmenej dve časti, a teda je v rozpore s náš predpoklad.(Všimnite si, že tento argument len potvrdzuje, že sa nič nemôže v priebehu času pohnúť, nie že okamihy nemôžu byť konečné.)

Takže nič sa v žiadnom okamihu nepohybuje, ale čas je zložený vždy z okamihov, takže sa nikdy nič nepohybuje. Prvou reakciou je poukázať na to, že určenie rýchlosti šípky znamená delenie vzdialenosti ubehnutej v určitom čase dĺžkou tejto doby. Ale za predpokladu, že od tejto chvíle majú okamihy nulové trvanie - tento vzorec nemá zmysel v okamihu: šípka prechádza 0 m v 0 s, okamih trvá, ale 0/0 m / s nie je vôbec žiadne číslo. Preto je mylné vyvodiť zo skutočnosti, že šípka necestuje v určitej vzdialenosti v okamihu, keď je v pokoji; to, či je v pohybe v okamihu alebo nie, závisí od toho, či prejde nejakú vzdialenosť v konečnom intervale, ktorý zahŕňa daný okamih.

Odpoveď je správna, ale prináša kontraintuitívne implikáciu, že pohyb nie je niečo, čo sa deje v akomkoľvek okamihu, ale skôr iba v konečnom časovom období. Premýšľajte o tom týmto spôsobom: čas, ako sme povedali, sa skladá iba z okamihov. V žiadnom okamihu nie je prekonaná žiadna vzdialenosť. Kedy sa teda šípka skutočne pohybuje? Ako sa dostane z jedného miesta na druhé neskôr? Existuje iba jedna odpoveď: šípka sa dostane z bodu (X) v čase 1 do bodu (Y) v čase 2 jednoducho kvôli tomu, že je v po sebe idúcich stredných bodoch v postupných medzičasoch - šípka nikdy nezmení svoju polohu počas okamžité, ale iba v intervaloch zložených z okamžitých okamihov, obsadením rôznych pozícií v rôznych časoch. Podľa Bergsonových nezabudnuteľných slov - ktoré považoval za absurdné - „nehnuteľnosť sa skladá z nehybností“(1911, 308):dostať sa z (X) do (Y) je záležitosť obsadenia presne jedného miesta medzi nimi v každom okamihu (samozrejme v správnom poradí). Pre ďalšiu diskusiu o tejto „at-at“koncepcii času pozri Arntzenius (2000) a Salmon (2001, 23-4).

3.4 Štadión

Štvrtý argument je ten, ktorý sa týka rovnakých tiel, ktoré sa pohybujú pozdĺž rovnakých tiel na štadióne z opačných smerov - tých z konca štadióna, ostatných zo stredu pri rovnakých rýchlostiach, v ktorých podľa neho vyplýva, že polovica času je rovná sa jeho dvojnásobku …. (Aristotle Physics, 239b33)

Aristoteles ďalej spracúva a vyvracia argument pre Zenoov konečný paradox pohybu. Text je skôr kryptický, ale zvyčajne sa interpretuje podľa nasledujúcich riadkov: obrázok troch sád dotýkajúcich sa kociek - to isté presne v relatívnom pohybe. Jeden súbor - (A) s - je v pokoji a ostatné - (B) a (C) s - sa pohybujú doprava a doľava konštantnou rovnakou rýchlosťou. A predpokladajme, že v určitom okamihu sú pravica (B) a najľavejšia (C) zarovnaná so stredom (A), ako je to znázornené (tri z nich sú zobrazené kvôli jednoduchosti).

(A) (A) (A)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

Pretože sa (B) s (C) pohybujú rovnakou rýchlosťou, budú súčasne zarovnané s (A).

(A) (A) (A)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

V tomto okamihu najpravdivejšie (B) cestovalo okolo všetkých (C), ale iba polovica (A); keďže majú rovnakú veľkosť, prekonali určitú vzdialenosť aj polovicu tejto vzdialenosti. Predpokladaný rozpor tu však pravdepodobne nie je nakreslený, pretože je zrejmé, že tieto opačné vzdialenosti sú relatívne k (C) a (A); vo všeobecnosti neexistuje protirečenie v rôznych vzťahoch k rôznym veciam. Namiesto toho sa vzdialenosti prevedú na časy vydelením vzdialeností rýchlosťou (B) s; polovica vzdialenosti pri danej rýchlosti trvá polovicu času. Potom hrozí rozpor, pretože čas medzi štátmi je jednoznačný, nie relatívny - proces trvá určitý (nenulový) čas a polovicu tohto času.

Všeobecný rozsudok je taký, že Zeno bol beznádejne zmätený ohľadom relatívnych rýchlostí v tomto paradoxe. Ak sa (B) s pohybujú rýchlosťou S m / s doprava vzhľadom na (A) s, a ak sa (C) pohybujú rýchlosťou S m / s doľava vzhľadom na (A) s, potom sa (C) pohybujú rýchlosťou (S + S = 2) S m / s doľava vzhľadom na (B) s. A tak samozrejme, zatiaľ čo (B) cestujú dvakrát tak ďaleko k (C) s ako (A), robia tak pri dvojnásobnej relatívnej rýchlosti, takže časy sú rovnakým spôsobom. Ale mohol byť Zeno zmätený? (Sattler, 2015, argumentuje proti tomuto a ďalším spoločným čítaniam na štadióne.)

Možno (Davey, 2007) mal namiesto toho na mysli toto (zatiaľ čo Zeno je podľa tohto čítania múdrejší, Aristotelove slová sa nehodia tak dobre): predpokladajme (A) s, (B) s a (C) s majú najmenší priestorový rozsah, „veľkosť bodu“, pričom „body“majú nulovú veľkosť, ak je priestor súvislý, alebo konečný, ak je priestor „atómový“. Ďalej predpokladajme, že medzi (A) s alebo medzi (B) alebo medzi (C) s nie sú medzery. Počas pohybu nad úvodnými (B) prejde všetky (C) s a polovica (A) s, takže polovica (A) s (C) s, Teraz, keď sa bod pohybuje nepretržite pozdĺž čiary bez medzier, existuje súčinnosť 1: 1 medzi okamihmi času a bodmi na čiare - každému okamihu a každému okamihu okamih. Z tohto dôvodupočet '(A) - okamihov' času, ktorý potrebuje vedúci (B) na absolvovanie (A) s, je polovica počtu '(C) - okamžitých okamihov na odovzdanie (C) s-aj keď tieto procesy zaberajú rovnaké množstvo času. Ak teda zásadne predpokladáme, že polovica okamihov znamená polovicu času, usúdime, že polovica času sa rovná celému času, čo je rozpor.

V našej diskusii o úplnej deliteľnosti sme videli vyššie, že problém s takým zdôvodňovaním sa uplatňuje na spojité čiary: ktorýkoľvek úsečka má rovnaký počet bodov, takže z tohto počtu bodov sa nedá odvodiť nič - určite to nie je polovica body (v tomto prípade inštancie) znamenajú polovicu dĺžky (alebo času). Paradox zlyhá, ako bolo uvedené. Nie je však tvrdenie, že intervaly obsahujú rovnaký počet inštancií, v rozpore s krokom argumentu, ktorý dospieva k záveru, že existuje iba polovica (A) - Instant ako (C) - Instant? Tento problém je jemný pre nekonečné množiny: aby sme uviedli iný príklad, 1, 2, 3, … je v korešpondencii 1: 1 s 2, 4, 6, …, a tak je ich rovnaký počet. V tomto zmysle je to 1:1 korešpondencia - presný význam „toho istého čísla“použitého v matematike - že každá konečná čiara má rovnaký počet bodov ako ktorákoľvek iná. Neformálne však existuje aj „polovičný počet“párnych čísel ako celé čísla: páry (1, 2), (3, 4), (5, 6), … možno tiež dať do korešpondencie 1: 1 s 2, 4, 6,…. Podobne existuje neformálne hovoriacich polovica toľko (A) - inštancií ako (C) - instantov: (A) - instantov je v korešpondencii 1: 1 s pármi (C) - instantov, Neexistuje teda žiadny rozpor v počte bodov: neformálna polovica sa rovná striktnému celku (pre atómovú teóriu je potrebné iné riešenie, v súlade s riadkami uvedenými v poslednom odseku tejto časti).1 korešpondencia s 2, 4, 6,…. Podobne je to neformálne hovoriacich polovica toľko (A) - inštancií ako (C) - instantov: (A) - instantov je v korešpondencii 1: 1 s pármi (C) - instantov, Neexistuje teda žiadny rozpor v počte bodov: neformálna polovica sa rovná striktnému celku (pre atómovú teóriu je potrebné iné riešenie, v súlade s riadkami uvedenými v poslednom odseku tejto časti).1 korešpondencia s 2, 4, 6,…. Podobne existuje neformálne hovoriacich polovica toľko (A) - inštancií ako (C) - instantov: (A) - instantov je v korešpondencii 1: 1 s pármi (C) - instantov, Neexistuje teda žiadny rozpor v počte bodov: neformálna polovica sa rovná striktnému celku (pre atómovú teóriu je potrebné iné riešenie, v súlade s riadkami uvedenými v poslednom odseku tejto časti).

(Dovoľte mi spomenúť podobný paradox pohybu - „mlynský kameň“pripisovaný Maimonidom. Predstavte si, že dve kolesá, jedno dvojnásobok polomeru a obvod druhého, sú pripevnené k jednej náprave. udržiavať nápravu vodorovne pre jednu otáčku obidvoch kolies [otáčajú sa rovnakou rýchlosťou kvôli náprave]: každý bod každého kolesa sa dotýka presne jedného bodu svojej koľajnice a každý bod každej koľajnice má presne jeden bod prechádza jeho zostava vzdialenosť rovnaká ako obvod veľkého kolesa? Od malých? Obe? Niečo iné? Ako? Tento problém si tiež vyžaduje pochopenie kontinua, ale nie je to paradoxný jav Zeno, takže budeme nechajte to na vynaliezavosti čitateľa.)

Konečná možná rekonštrukcia Zenoovho štadióna to berie ako argument proti atómovej teórii priestoru a času, čo je zaujímavé, pretože súčasná fyzika skúma taký pohľad, keď sa pokúša „kvantifikovať“časopriestor. Predpokladajme potom, že strany každej kocky sa rovnajú „kvantovej“dĺžke a že dva uvažované momenty sú oddelené jedným kvantovým časom. Potom musí dôjsť k niečomu neobvyklému, pretože doprava (B) a stred (C) sa počas pohybu navzájom prechádzajú, a napriek tomu neexistuje žiadny moment, v ktorom sú na úrovni: pretože tieto dva momenty sú oddelené najmenšími možnom čase, medzi nimi nemôže existovať žiadny okamih - bol by to čas kratší ako najkratší čas z dvoch uvažovaných okamihov. Naopak, ak niekto trval na tom, že ak prebehnú, musí nastať okamih, keď sú na úrovni,potom ukazuje, že nemôže ísť o najkratší konečný interval - nech je to čokoľvek, jednoducho proti nemu namieste argument. Prečo by sme však mali trvať na tomto predpoklade? Problém je v tom, že jeden si prirodzene predstavuje kvantizovaný priestor ako šachovnicu, na ktorej sú šachové figúrky zmrazené počas každého kvantového času. Potom sa človek čuduje, keď sa červená kráľovná, povedzme, dostane z jedného štvorca na druhý, alebo ako sa dostane okolo bielej kráľovnej bez toho, aby bola s ňou na úrovni. Ale analógia je zavádzajúca. Je lepšie myslieť na kvantizovaný priestor ako na obrovskú maticu svetiel, ktorá drží určitý vzor osvetlených svetiel pre každý kvantový čas. V tejto analógii svieti žiarovka prítomnosť predmetu: napríklad rad žiaroviek v rade, ktorý sa postupne rozsvieti, predstavuje teleso pohybujúce sa v priamke. V tomto prípade nie je žiadne pokušenie opýtať sa, keď sa svetlo „dostane“z jednej žiarovky do druhej - alebo analogicky, ako sa telo pohybuje z jedného miesta na druhé. (Tu sa dotýkame otázok časových častí a toho, či objekty „vydržia“alebo „narušiť“.)

4. Dva ďalšie paradoxy

Aristoteles pripisuje Zenovi ďalšie dva paradoxy, sú však dané v kontexte iných bodov, ktoré robí, takže Zenoov zámer nie je možné určiť s istotou: ani to, či sú zámerom argumentovať proti pluralizmu a pohybu. Pre úplnosť ich krátko prediskutujeme.

4.1 Paradox miesta

Zenoova ťažkosť si vyžaduje vysvetlenie; Lebo ak má všetko, čo existuje, miesto, tak aj miesto, a tak ďalej, nekonečno. (Aristotle Physics, 209a23)

Aristoteles pri zostavovaní svojej teórie miesta - rozhodujúcej priestorovej predstavy vo svojej teórii pohybu - uvádza rôzne teórie a problémy, ktoré k tejto téme formulovali jeho predchodcovia vrátane Zena. Tento argument opäť vyvoláva problémy nekonečna, pretože druhý krok argumentu vyžaduje nekonečný ústup miest. Aristoteles ho však prezentuje skôr ako argument proti samotnej myšlienke miesta, ako proti pluralizmu (pravdepodobne ho teda vyradí z kontextu). Je ťažké cítiť silu záveru, prečo by nemala existovať nekonečná séria miest miest …? Zdá sa, že obavy by boli väčšie pre niekoho, kto (ako Aristoteles) veril, že nemôže existovať skutočné nekonečno vecí, pretože sa zdá, že argument ukazuje, že sú. Ale ako sme už diskutovali vyššie, dnes takéto také vlastnosti nemáme;so skutočnou nekonečnosťou miest sa nezdá nič problematické.

Jediným iným spôsobom, ako by sa dalo nájsť ustupujúce znepokojenie, je, ak si človek uvedomí, že telá majú „absolútne“miesta v tom zmysle, že vždy existuje jedinečná privilegovaná odpoveď na otázku „kde je“? Problém potom nie je v tom, že existuje nekonečne veľa miest, ale len to, že ich je veľa. A Aristoteles mohol mať túto obavu, pretože v jeho teórii pohybu je prirodzený pohyb tela určený vzťahom jeho miesta k stredu vesmíru: účet, ktorý vyžaduje určenie miesta, pretože prirodzený pohyb je. (Pozri Sorabji 1988 a Morrison 2002 všeobecne, konkurenčné správy o Aristotelovom stanovisku na mieste; druhá kapitola o ňom, najmä na diskusiu o Aristotelovom zaobchádzaní s paradoxom.) Ale predpokladajme, že jeden má toto miesto absolútne z akéhokoľvek dôvodu, potom pre príkladom,kde som, ako píšem? Ak je paradox správny, potom som na svojom mieste a tiež som na svojom mieste a na svojom mieste a moje …. Pretože som na všetkých týchto miestach, každý sa môže zdať vhodnou odpoveďou na otázku. Predstaviteľné sú rôzne reakcie: popierajte absolútne miesta (najmä preto, že ich naša fyzika nevyžaduje), definujte pojem miesta, ktorý je jedinečný vo všetkých prípadoch (pravdepodobne Aristotelovo riešenie), alebo možno tvrdte, že miesta sú ich vlastné miesta, čím sa odreže regres !definovať pojem miesta, ktorý je jedinečný vo všetkých prípadoch (pravdepodobne Aristotelovo riešenie), alebo možno tvrdia, že miesta sú ich vlastné miesta, čím sa odreže regres!definovať pojem miesta, ktorý je jedinečný vo všetkých prípadoch (pravdepodobne Aristotelovo riešenie), alebo možno tvrdia, že miesta sú ich vlastné miesta, čím sa odreže regres!

4.2 Zrno proso

… Zenoovo odôvodnenie je nepravdivé, keď tvrdí, že neexistuje žiadna časť proso, ktorá nevydáva zvuk; Lebo neexistuje dôvod, prečo by žiadna časť nemala v žiadnom časovom okamihu pohnúť vzduchom, ktorý padá celý bušel. (Aristotle Physics, 250a19)

V kontexte Aristoteles vysvetľuje, že zlomok sily veľa nevytvára rovnaký zlomok pohybu. Napríklad, zatiaľ čo 100 člnov môže ťahať čln, jeden by sa nemusel dostať do pohybu vôbec, nieto na 1 / 100. rýchlosti; preto, že sa mu toľko času, koľko chcete, nemôže posunúť až k 100. (Túto skutočnosť popisujeme ako účinok trenia.) Podobne len preto, že padajúci bušil prosa vydáva neuveriteľný zvuk, keď padá. nevyplýva z toho, že by každé jednotlivé zrno bolo alebo nebolo: vzhľadom na to, ako dlho sa vám páči, nebude sa pohybovať rovnakým množstvom vzduchu ako v buši. Avšak, zatiaľ čo vyvracia tento predpoklad, Aristoteles nevysvetľuje, akú úlohu zohral pre Zena, a môžeme len špekulovať. Nie je ani jasné, či je súčasťou paradoxu alebo iného sporu:tvrdil Zeno tiež, že ukázal, že jedno zrno proso nevydáva zvuk? Jednou zo špekulácií je, že naše zmysly ukazujú, že to tak nie je, pretože nemôžeme počuť pád jediného zrna. Potom je Aristotelova reakcia primeraná; a podobne je to podobné, že samotné sluch vyžaduje pohyb vo vzduchu nad určitú hranicu.

5. Zenoov vplyv na filozofiu

V tejto záverečnej časti by sme mali stručne zvážiť vplyv, ktorý mal Zeno na rôznych filozofov; prehľad literatúry odhalí, že tieto diskusie pokračujú.

  • Pythagorejci: Prvá polovica dvadsiateho storočia, väčšina čítajúca garbiarne (1885) zeno, tvrdila, že jeho argumenty boli namierené proti technickej doktríne Pythagorejcov. Podľa tohto čítania tvrdili, že všetko sa skladalo z prvkov, ktoré mali vlastnosti čísla jednotky, geometrického bodu a fyzického atómu: táto pozícia by zodpovedala ich doktríne, že realita je v zásade matematická. V polovici storočia však séria komentátorov (Vlastos, 1967 zhrnula argument a obsahovala odkazy) dôrazne tvrdila, že Zenoov cieľ bol namiesto toho rozumové chápanie plurality a pohybu - založené na známych geometrických predstavách - a skutočne že doktrína nebola hlavnou súčasťou pythagorovského myslenia. Implicitne sme predpokladali, že tieto argumenty sú správne v našich údajoch o paradoxoch. Interpretácia Tanneryho má však stále svojich obhajcov (pozri napr. Matson 2001).
  • The Atomists: Aristotle (On Generation and Corruption 316b34) tvrdí, že náš tretí argument - ten, ktorý sa týka úplnej deliteľnosti - presvedčil atomistov, že musia existovať najmenšie a nedeliteľné časti hmoty. Pozri Abrahám (1972), kde je ďalšia diskusia o Zenoovom spojení s atomistami.
  • Časné začlenenie: Na začiatku dvadsiateho storočia sa niekoľko vplyvných filozofov pokúšalo dať Zenoove argumenty, aby pracovali v službe metafyziky „časného stávania sa“, (predpokladaného) procesu, ktorým sa stáva prítomný prítomný. Takíto myslitelia ako Bergson (1911), James (1911, Ch 10–11) a Whitehead (1929) tvrdili, že Zenoove paradoxy ukazujú, že priestor a čas nie sú štruktúrované ako matematické kontinuum: tvrdili, že spôsob, ako zachovať realitu pohybu, bolo poprieť, že priestor a čas sa skladajú z bodov a okamihov. Jasne sme však videli, že nástroje štandardnej modernej matematiky sú úlohou riešenia paradoxov, takže takýto záver sa nezdá byť opodstatnený: ak sa súčasnosť skutočne „stane“, nie je dôvod myslieť si, že tento proces nie je zachytený. do kontinua.
  • Aplikácia matematického kontinua na fyzický priestor a čas: Po vedení, ktoré dal Russell (1929, 182 - 198), sa mnohí filozofi, najmä Grünbaum (1967), ujali úlohy ukázať, ako môže moderná matematika vyriešiť všetky Zenoove problémy. paradoxy; ich práca úplne ovplyvnila našu diskusiu o argumentoch. Uvedomili si, že čisto matematické riešenie nepostačuje: paradoxy nielen spochybňujú abstraktnú matematiku, ale aj povahu fyzickej reality. Hľadali teda argument nielen o tom, že Zeno neohrozoval matematiku nekonečna, ale že matematika správne popisuje objekty, čas a priestor. To by neodpovedalo na Zenoove paradoxy, keby matematický rámec, ktorý sme uviedli, nebol dobrým popisom skutočného priestoru, času a pohybu!Myšlienka, že matematický zákon - povedzme Newtonov zákon univerzálnej gravitácie - môže alebo nemusí správne opísať veci, je známa, ale niektoré aspekty matematiky nekonečna - povaha kontinua, definícia nekonečných súm a tak ďalej sa zdajú tak základné že na prvý pohľad môže byť ťažké vidieť, že platia aj náhodne. Ale určite áno: a priori nič nezaručuje, že priestor má štruktúru kontinua, alebo dokonca že časti priestoru sa sčítajú podľa Cauchyho definície. (Losos predstavuje pekný príklad, ktorý vám pomôže objasniť: keďže alkohol sa rozpustí vo vode, ak ich zmiešate s menším ako súčet ich objemov, znamená to, že ani obyčajný prídavok sa nevzťahuje na všetky druhy systémov.) Naše presvedčenie, že matematická teória nekonečna popisuje priestor a čas, je opodstatnené do tej miery, do akej to predpokladajú zákony fyziky, a do tej miery, do akej sú tieto zákony samy osebe potvrdené skúsenosťami. Aj keď je pravda, že takmer všetky fyzikálne teórie predpokladajú, že priestor a čas skutočne majú štruktúru kontinua, je to tiež tak, že kvantové teórie gravitácie pravdepodobne naznačujú, že to tak nie je. Zatiaľ čo nikto nevie, kam tento výskum nakoniec povedie, je celkom možné, že priestor a čas sa ukáže na najzákladnejšej úrovni úplne na rozdiel od matematického kontinua, ktoré sme tu predpokladali. Aj keď je pravda, že takmer všetky fyzikálne teórie predpokladajú, že priestor a čas skutočne majú štruktúru kontinua, je to tiež tak, že kvantové teórie gravitácie pravdepodobne naznačujú, že to tak nie je. Zatiaľ čo nikto nevie, kam tento výskum nakoniec povedie, je celkom možné, že priestor a čas sa ukáže na najzákladnejšej úrovni úplne na rozdiel od matematického kontinua, ktoré sme tu predpokladali. Aj keď je pravda, že takmer všetky fyzikálne teórie predpokladajú, že priestor a čas skutočne majú štruktúru kontinua, je to tiež tak, že kvantové teórie gravitácie pravdepodobne naznačujú, že to tak nie je. Zatiaľ čo nikto nevie, kam tento výskum nakoniec povedie, je celkom možné, že priestor a čas sa ukáže na najzákladnejšej úrovni úplne na rozdiel od matematického kontinua, ktoré sme tu predpokladali.

    Mali by sme tiež poznamenať, že Grünbaum sa ujal úlohy a preukázal, že moderná matematika opisuje priestor a čas tak, aby zahŕňal niečo celkom odlišné od tvrdenia, že to potvrdzujú skúsenosti. Dominantným názorom v tom čase (aj keď v súčasnosti nie) bolo to, že vedecké pojmy mali význam, pokiaľ priamo odkazovali na objekty zážitku - napríklad „1m pravítko“- alebo, ak odkazovali skôr na „teoretické“ako na „pozorovateľné“subjekty - ako „vesmírny bod“alebo „1/2 z 1/2 z… 1/2 závodnej dráhy“- potom získali význam pomocou svojich logických vzťahov - prostredníctvom definícií a teoretických zákonov - k takýmto podmienkam pozorovania. Grünbaum sa teda zaviazal pôsobivým programom dať zmysel všetkým pojmom zahrnutým do modernej teórie nekonečna, interpretovanej ako popis priestoru a času.

  • Supertasky: Ďalšia oblasť myslenia sa týka toho, čo Black (1950 - 51) nazýval „nekonečno stroje“. Black a jeho stúpenci chceli ukázať, že hoci Zenoove paradoxy neponúkali matematiku žiadny problém, ukázali, že koniec koncov, matematika sa nevzťahovala na priestor, čas a pohyb. Najvýraznejšie bolo naše uznesenie k Dichotómii a Achillesovi predpokladať, že celý beh by sa mohol rozdeliť na nekonečnú sériu polovičných cyklov, ktoré by sa dali zhrnúť. Je však skutočne možné dokončiť nekonečnú sériu akcií: dokončiť to, čo sa nazýva „supertask“? Ak nie, a za predpokladu, že Atalanta a Achilles dokážu splniť svoje úlohy, ich úplné spustenie nemožno správne opísať ako nekonečnú sériu napoly prebiehajúcich pokusov, aj keď by ich opísala moderná matematika. Predpokladá sa, že nekonečné stroje majú ustanoviť, že nekonečnú sériu úloh nemožno dokončiť - takže akákoľvek dokončiteľná úloha sa nedá rozdeliť na nekonečno menších úloh, bez ohľadu na matematiku.
  • Infinitesimals: Nakoniec sme videli, ako sa vysporiadať s paradoxmi využívajúcimi zdroje matematiky vyvinuté v 19. storočí. Dlho sa považovalo za jednu z veľkých výhod tohto systému, že nakoniec ukázalo, že nekonečné číselné množstvá, menšie ako akékoľvek konečné číslo, ale väčšie ako nula, nie sú potrebné. (Napríklad Newtonov počet efektívne využíval tieto čísla, niekedy ich považoval za nula a niekedy za konečný; problém s takým prístupom je, že spôsob, ako zaobchádzať s číslami, je vecou intuície a nie prísnosti.) Avšak v dvadsiatom storočí Robinson ukázal, ako zaviesť do matematiky infinitesimálne čísla: je to systém „neštandardnej analýzy“(známy systém reálnych čísel, ktorý Dedekind dôsledne podložil, je naopak iba „analýza“). analogickyBell (1988) vysvetľuje, ako môžu byť infinitesimálne úsečky vložené do geometrie, a komentuje ich vzťah k Zeno. Okrem toho McLaughlin (1992, 1994) ukazuje, ako možno Zenoove paradoxy vyriešiť v neštandardnej analýze; nie sú viac argumentom proti neštandardnej analýze ako proti štandardnej matematike, ktorú sme tu predpokladali. Malo by sa však zdôrazniť, že na rozdiel od McLaughlinových návrhov nie je potrebné, aby neštandardná analýza vyriešila paradoxy: obidva systémy sú rovnako úspešné. (Reeder, 2015, tvrdí, že neštandardná analýza je z hľadiska šípky neuspokojivá a ponúka alternatívny účet využívajúci inú koncepciu nekonečností.) Konštrukcia neštandardnej analýzy však vyvoláva ďalšiu otázku o uplatniteľnosti analýzy na fyzickú analýzu. priestor a čas:zdá sa pravdepodobné, že všetky fyzikálne teórie sa dajú formulovať v oboch termínoch, a pokiaľ sa naše skúsenosti rozširujú, zdá sa, že sú rovnako potvrdené. Nemôžu však platiť tak o priestore, ako aj o čase: buď priestor má nekonečnú časť alebo nie.

Ďalšie čítania

Po relevantných zápisoch v tejto encyklopédii je miestom, kde sa môže začať ďalšie vyšetrovanie, losos (2001), ktorý obsahuje niektoré z najdôležitejších článkov o Zene do roku 1970 a pôsobivo komplexnú bibliografiu diel v angličtine v dvadsiatom storočí.

Dalo by sa tiež pozrieť na Huggetta (1999, kapitola 3) a Huggetta (2010, kapitola 2–3), kde nájdete ďalšie zdrojové pasáže a diskusie. Pokiaľ ide o úvod do matematických myšlienok moderných uznesení, príloha k lososa (2001) alebo Stewart (2017) sú dobrým začiatkom; Russell (1919) a Courant a kol. (1996, Chs. 2 a 9) sú tiež úžasné zdroje. Nakoniec tri zbierky originálnych prameňov pre Zenoove paradoxy: Lee (1936 [2015]) obsahuje všetko známe, Kirk et al (1983, Ch. 9) obsahuje veľké množstvo materiálov (v angličtine a gréčtine) s užitočnými komentármi a Cohen a kol. (1995) má tiež hlavné pasáže.

Bibliografia

  • Abraham, WE, 1972, „Povaha Zenoovho argumentu proti pluralite v DK 29 B I“, Phronesis, 17: 40–52.
  • Aristoteles, 'On Generation and Corruption', AA Joachim (trans), v The Complete Works of Aristotle, J. Barnes (ed.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
  • Aristotle, „Physics“, WD Ross (trans), v The Complete Works of Aristotle, J. Barnes (ed.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
  • Arntzenius, F., 2000, „Existujú skutočne okamžité rýchlosti?“, The Monist, 83: 187–208.
  • Bell, JL, 1988, 'Infinitesimals', Synthese, 75 (3): 285-315.
  • Belot, G. a Earman, J., 2001, „Pred Socratická kvantová gravitácia“, vo fyzike sa stretáva s filozofiou na Planckovej stupnici: Súčasné teórie v kvantovej gravitácii, C. Callender a N. Huggett (eds), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bergson, H., 1911, Creative Evolution, A. Mitchell (trans.), New York: Holt, Reinhart a Winston.
  • Black, M., 1950, „Achilles and the Tortoise“, analýza, 11: 91 - 101.
  • Cohen, SM, Curd, P. a Reeve, CDC (eds), 1995, Čítanie v starogréckej filozofii od Thales po Aristotela, Indianapolis / Cambridge: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Courant, R., Robbins, H. a Stewart, I., 1996, Čo je matematika? Elementárny prístup k nápadom a metódam, 2. vydanie, New York, Oxford: Oxford University Press.
  • Davey, K., 2007, Aristoteles, Zeno a štadión Paradox, Dejiny filozofie štvrťročne, 24: 127–146.
  • Diogenes Laertius, 1983, „Žije slávnych filozofov“, s. 273 presokratických filozofov: Kritická história s výberom textov, 2. vydanie, GS Kirk, JE Raven a M. Schofield (ed.), Cambridge: Cambridge University Press,
  • Ehrlich, P., 2014, „Esej na počesť deväťdesiatych rokov Adolfa Grünbauma: Prehodnotenie Zenoovho paradoxu rozšírenia“, Filozofia vedy, 81 (4): 654–675.
  • Grünbaum, A., 1967, Modern Science and Zeno's Paradoxes, Middletown: Connecticut Wesleyan University Press.
  • Huggett, N. (ed.), 1999, Space from Zeno to Einstein: Classic Readings with Contemporary Commentary, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Huggett, N., 2010, Everywhere and Everywhen: Adventures in Physics and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.
  • James, W., 1911, niektoré problémy filozofie, New York: Longmans, Green & Co.
  • Kirk, GS, Raven JE a Schofield M. (eds), 1983, presokratickí filozofi: Kritická história s výberom textov, 2. vydanie, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lee, HDP (ed.), 1936 [2015], Zeno of Elea: A Text, s prekladmi a poznámkami, Cambridge: Cambridge University Press, dotlač 2015.
  • Matson, WI, 2001, 'Zeno Moves!', V Eseji v starogréckej filozofii VI: Before Plato, A. Preus (ed.), Albany: State University of New York Press.
  • McLaughlin, WI, 1994, 'Resolving Zeno's Paradoxes', Scientific American, 271 (5): 84-89.
  • McLaughlin, WI a Miller, SL, 1992, „Epistemologické použitie neštandardnej analýzy na odpoveď na Zenoove námietky proti pohybu“, Synthese, 92: 371–384.
  • Morison, B, 2002, Miesto: Aristotelova koncepcia miesta, Oxford: Oxford University Press.
  • Newton, I., Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, IB Cohen a AM Whitman (trans.), Berkeley: University of California Press, 1999.
  • Plato, 1997, 'Parmenides', ML Gill a P. Ryan (trans), Plato: Complete Works, JM Cooper (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Reeder, P., 2015, „Zeno's Arrow and Infinitesimal Calculus“, Synthese, 192: 1315–1335.
  • Russell, B., 1919, Úvod do matematickej filozofie, Londýn: George Allen a Unwin Ltd.
  • Russell, B., 1929, Naše vedomosti o vonkajšom svete, New York: WW Norton & Co. Inc.
  • Salmon, WC, 2001, Zeno's Paradoxes, 2. vydanie, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Sattler, B., 2015, „Time is Double the Trouble: Zeno's Moving Rows“, Ancient Philosophy, 35: 1-22.
  • Sherry, DM, 1988, 'Zeno's Metrical Paradox Revisited', Philosophy of Science, 55: 58–73.
  • Simplicius (a), „O Aristotelovej fyzike“, v čítaniach starogréckej filozofie od Thalesa po Aristotela, SM Cohena, P. Curda a CDC Reeva (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., s. 58 - 59, 1995.
  • Simplicius (b), On Aristotle's Physics 6, D. Konstan (trans.), London: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1989.
  • Sorabji, R., 1988, Teórie hmot, vesmíru a pohybu v staroveku a ich pokračovaní, Ithaca: Cornell University Press.
  • Stewart, I., 2017, Infinity a veľmi krátky úvod, Oxford: Oxford University Press.
  • Tannery, P., 1885, „Le Concept Scientifique du Continu: Zenon d'Elee et Georg Cantor“, Revue Philosophique de la France et de l'Etranger, 20: 385–410.
  • Vlastos, G., 1967, „Zeno of Elea“, v Encyklopédii filozofie, P. Edwards (ed.), New York: Macmillan Co. a The Free Press.
  • Whitehead, AN, 1929, Process and Reality, New York: Macmillan Co.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Ako citovať tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
ikona
ikona
Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona phil papiere
ikona phil papiere
Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

Odporúčaná: