Schéma

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-11-26 16:14

Vstupná navigácia

• Obsah vstupu
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Náhľad priateľov PDF
• Informácie o autorovi a citácii
• Späť na začiatok

schéma

Prvýkrát publikované piatok 28. mája 2004; podstatná revízia Ut 2. augusta 2016

Schéma (množné číslo: schémy alebo schémy), známe tiež ako schéma (množné číslo: schémy), je lingvistická „šablóna“, „rám“alebo „vzor“spolu s pravidlom na jej použitie na určenie potenciálne nekonečného množstva. fráz, viet alebo argumentov, ktoré sa nazývajú príklady schémy. Schémy sa používajú v logike na špecifikovanie pravidiel dedukcie, v matematike na opis teórií s nekonečne mnohými axiómami av sémantike na poskytnutie primeraných podmienok na definovanie pravdy.

• 1. Čo je schéma?
• 2. Použitie schém
• 3. Ontologický stav schém
• 4. Schémy v histórii logiky
• Bibliografia
• Akademické nástroje
• Ďalšie internetové zdroje
• Súvisiace záznamy

1. Čo je schéma?

Schéma je komplexný systém pozostávajúci z

1. šablóna-text alebo schéma-šablóna: syntaktický reťazec zložený z významných slov a / alebo symbolov a tiež z zástupných znakov (písmená, medzery, zakrúžkované čísla, elipsy, poradové číselné výrazy ako „prvý“a „druhý“atď.)) a
2. vedľajšia podmienka špecifikujúca, ako sa majú vyplniť zástupné symboly, aby sa získali príklady, a niekedy, ako sa majú chápať dôležité slová alebo symboly (Tarski 1933/1983: 155; Church 1956: 172). Vedľajšia podmienka konkrétne určuje jazyk, či už prirodzený alebo formálny, do ktorého majú inštancie schémy patriť.

Medzi najznámejšie schémy patrí Tarskiho schéma T, ktorej šablóna-text je osemslovný reťazec s dvoma elipsami:

… Je pravdivá veta len vtedy, ak….

Vedľajšia podmienka vyžaduje, aby sa druhé prázdne miesto vyplnilo (deklaračnou) vetou v angličtine a prvé prázdne miesto sa vyplnilo názvom tejto vety (Tarski 1933/1983: 155). Nasledujúci reťazec je inštancia:

„nula je jedna“je skutočná veta iba vtedy, ak je nula jedna.

Odhaľujúce príklady sa získajú použitím vety, o ktorej nie je známe, že je pravdivá a nie je nepravdivá:

„každé dokonalé číslo je párne“je pravdivá veta, a to len vtedy, ak je každé dokonalé číslo párne.

Štrnásťslovná veta

Buď nula je párna alebo nie je to tak, že nula je párna.

je príklad schémy vylúčených stredných viet pre angličtinu, ktorá obsahuje šablónu

Buď (A), alebo nie je to tak / \ A.

Vedľajšou podmienkou je, že dva výskyty výrazu „(A)“sa musia vyplniť výskytmi rovnakej dobre tvarovanej anglickej deklaračnej vety, že diskontinuálny výraz „Buď… alebo…“; vyjadruje klasické nevýlučné rozpojenie a že šesťslovná veta predpona „nie je tomu tak“; vyjadruje klasickú negáciu. Všimnite si, že táto šablóna schémy nie je anglickou vetou. Bolo by prísne povedané nejednotné používať ho ako vetu pri pokusoch o tvrdenie. Bolo by tiež nesprávne nazvať ho pravdivým alebo nepravdivým, hoci sa dá charakterizovať ako platný alebo neplatný vo vhodných zmysloch týchto nejednoznačných slov.

Zdá sa, že niektorí logici identifikujú schému iba so šablónou. (Tarskiho znenie v rokoch 1933/1983: 155–6 naznačuje túto identifikáciu, zatiaľ čo cirkvi v roku 1956: 149 sa zdá, že sa tomu treba vyhnúť.) Jedna a tá istá šablóna schémy však môžu byť súčasťou ľubovoľného počtu rôznych schém v závislosti od strany. stav alebo základný jazyk. Ďalej, keďže ako zástupné symboly môžu byť použité rôzne znaky alebo reťazce (pozri vyššie) a keďže aj jedna notačná zmena vytvára iný syntaktický reťazec v užšom zmysle (Corcoran a kol. 1974), jeden a ten istý súbor prípadov môže byť určený pomocou rôzne párovanie schém, šablón / vedľajších podmienok, dokonca aj vzhľadom na pevný jazyk. Je možné, že táto skutočnosť vedie niektorých autorov k písaniu, akoby sa schéma malo identifikovať so súborom inštancií. Na mnohé účely má zásadný význam súbor konkrétnych prípadov a otázka, čo sa konkrétne týka, sa považuje za čisto technickú stránku.

Niekedy (rovnako ako v schéme vylúčených stredov vyššie) sú zástupné symboly v šablóne schémy označené písmenami. Je dôležité mať na pamäti rozdiel medzi otvorenou vetou na jednej strane, napríklad „((x + y) = (y + x))“; ktorých číselné premenné objektového jazyka '(x)' a '(y)' sa pohybujú v číslach a na druhej strane schému, ako je napríklad schéma číselno-teoretickej komutativity, ktorej šablóna-text je ((X + Y) = (Y + X)) ' a ktorého vedľajšou podmienkou je, že dva výskyty výrazu „(X)“sa majú nahradiť dvoma výskytmi jedného a toho istého čísla a podobne za dva výskyty výrazu „(Y)“. Číslice patria do jazyka objektu, zatiaľ čo zástupné symboly patria k metajazvu. Premenné v objekte objektový jazyk sa pohybujú v doméne objektov,zatiaľ čo fiktívne písmená v texte šablóny sú iba zástupnými symbolmi syntaktických substituentov. (Pre dôkladné vysvetlenie tohto rozlíšenia pozri Quine 1945: sek. 1.)

Schémy môžu byť klasifikované podľa syntaktického typu ich inštancií ako schémy viet, vedľajšie schémy alebo schémy argumentov. Už sme videli dva príklady schém viet. Reťazec

nástupca (A)

je šablónový text pre subvenčnú schému, kde vedľajšia podmienka určuje, že písmeno „(A)“sa musí nahradiť arabskou číslicou. Definitívny opis

nástupca 9

bude príkladom. Upozorňujeme, že táto schéma sa veľmi líši od otvoreného obdobia

nástupca (x),

kde '(x)' je premenná objekt-jazyk. Schéma je v podstate receptom na generovanie syntaktických inštancií. „Dummy letter“„((A)“) v texte šablóny je iba zástupným znakom substituentov (tu číslice). Naproti tomu „(x)“je premenná, ktorá sa pohybuje nad objektmi (tu, čísla).

Schéma argumentov-text je schéma, ktorej inštancie sú argumentmi-textami. Argument text je dvojdielny systém, ktorý sa skladá zo súboru viet nazývaných priestory a jednej vety, ktorá sa nazýva záver. (Argument je ten, ktorý je vyjadrený argumentom-text, ako návrh je ten, ktorý je vyjadrený vetou.) Z rôznych spôsobov prezentácie argumentačného textu, ktorý je pravdepodobne najmenej otvorený nesprávnemu výkladu, je priestor-riadok- formát záverov, ktorý pozostáva zo zoznamu priestorov, za ktorým nasleduje riadok, za ktorým nasleduje záver. Napríklad:

(begin {align} & / textrm {Každý kruh je mnohouholník.} & / textrm {Každý trojuholník je kruh.} & / textrm {Každý štvorec je trojuholník.} \\ hline & / textrm {Každý štvorec je mnohouholník.} end {Zarovnať})

Príkladom schémy argumentu-text je inferenčné pravidlo modus ponens:

(begin {align} & A \& / textrm {if} A / textrm {then} B \\\ hline & B / end {align})

Vedľajšia podmienka určuje, že „(A)“a „(B)“sa majú nahradiť deklaračnými vetami v angličtine a že obidva výskyty výrazov „(A)“(a podobne ako „(B)““) sa nahrádzajú rovnakou vetou alebo vzorcom.

Schémy Axiom možno považovať za schémy argumentov s nulovým predpokladom.

2. Použitie schém

Schémy sa používajú na formalizáciu logiky, matematiky a sémantiky. V logike sa používajú na špecifikáciu axiómov a inferenčných pravidiel systému. Napríklad jedna formalizácia logiky prvého poriadku (v Shapiro 1991: 65) uvádza, že

Akýkoľvek vzorec získaný nahradením vzorcov za grécke písmená je axiom:

(begin {zarovnať} Phi & / rightarrow (Psi / rightarrow / Phi) (Phi / rightarrow (Psi / rightarrow / Xi)) & / rightarrow ((Phi / rightarrow / Psi) rightarrow (Phi / rightarrow / Xi)) (neg / Phi / rightarrow / neg / Psi) & / rightarrow (Psi / rightarrow / Phi) / \ forall x / Phi (x) & / rightarrow / Phi (t) end {zarovnať})

kde (t) je bezplatný výraz pre (x) v (Phi),

a že akýkoľvek odvodenie formy

(begin {align} & / Phi \& / Phi / rightarrow / Psi \\\ hline & / Psi \\ / end {align})

alebo (kde (x) sa nevyskytuje bezplatne v (Phi))

(begin {Zarovnať} Phi & / rightarrow / Psi (x) \\ hline / Phi & / rightarrow / forall x / Psi (x), / end {align})

je platné.

Niektoré matematické teórie sa dajú konečne axiomatizovať v jazyku prvého poriadku, ale niektoré historicky dôležité teórie čísel a teórie množín nemôžu. Axiómy týchto teórií môžu byť niekedy špecifikované pomocou schém. Napríklad v teórii čísel prvého rádu je indukčný princíp špecifikovaný pomocou schémy

[F (0) mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} F (x)) rightarrow F (sx)] rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow F (x)))

tam, kde sa majú dva prázdne miesta označené „(F (x))“vyplniť vzorcom prvého poriadku, ktorý má jeden alebo viac voľných výskytov premennej „(x)“, prázdne označené „(F (0)) 'sa má vyplniť rovnakým vzorcom po každom výskyte voľného miesta' (x) 'bol nahradený výskytom' 0 'a prázdne miesto označené' (F (sx)) ' sa má vyplniť rovnakým vzorcom po tom, čo sa každý voľný výskyt „(x)“nahradil výskytom „(sx)“.

Napríklad, ak vyplníme dva medzery označené '(F (x))' s '(x / ne sx)', máme:

[0 / ne s0 / mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} x / ne sx) rightarrow sx / ne ss x)] rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow x / ne sx))

Použitím angličtiny ako základného objektového jazyka sa mohol použiť nasledujúci text šablóny.

Ak je nula (F) a nástupca každého čísla, ktoré je (F), je tiež (F), potom je každé číslo (F), kde štyri výskyty „(F)“sa majú vyplniť jedným a tým istým aritmetickým predikátom (napr. „menší ako nejaký prvočíselný“).

Naproti tomu pri formalizácii teórie čísel druhého poriadku je možné uviesť jednu indukčnú axiómu:

(forall F {[F (0) mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} F (x)) rightarrow F (sx)] / rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow F (x)) })

Pre každé (F), ak nula je (F) a nástupca každého čísla, ktoré je (F), je tiež (F), potom každé číslo je (F).

Tu '(F)' nie je zástupný symbol v schéme, ale skutočná premenná v rozmedzí vlastností alebo tried (alebo, pri niektorých interpretáciách, množenia v množnom čísle nad jednotlivcami). Porovnania medzi logikou prvého a druhého poriadku pozri Corcoran 1998.

Ortografické podobnosti medzi indukčnou schémou prvého poriadku a indukčnou axiom druhého poriadku majú nešťastnú tendenciu zakrývať dôležité rozdiely medzi nimi. Posledne menovaný je veta v jazyku, zatiaľ čo prvý je iba recept na generovanie viet. Nie sú ani nepriamo ekvivalentné: množina príkladov indukčnej schémy prvého poriadku je logicky slabšia ako indukčná axióma druhého poriadku. To znamená, že existujú vety aritmetiky prvého poriadku, ktoré možno odvodiť z indukčnej axiómy druhého poriadku (spolu s ostatnými axiómami aritmetiky, ktoré sú spoločné pre aritmetiku prvého poriadku a druhého poriadku), ale nie z inštancií aritmetiky prvého rádu indukčná schéma prvého poriadku (pozri Shapiro 1991: 110).

Schémy tiež zohrávali významnú úlohu v sémantike. Tarski rozhodol, že príklad jeho „schémy T“(ktorú nazýva „schéma“) možno považovať za „čiastočnú definíciu pravdy“alebo skôr za „pravú vetu“:

Všeobecnú schému tohto druhu vety možno znázorniť nasledujúcim spôsobom:

(2) (x) je pravdivá veta iba vtedy, ak (p)

S cieľom získať konkrétne definície nahradíme namiesto symbolu „(p)“v tejto schéme akúkoľvek vetu a namiesto „(x)“každého individuálneho názvu tejto vety. (Tarski 1933/1983: 155–6)

Považoval to za kritérium primeranosti pre definíciu „skutočnej vety“pre jazyk, ktorý má všetky následky „čiastkových definícií“(Tarski 1933/1983: 187–8).

3. Ontologický stav schém

Je dôležité objasniť zmiešaný ontologický stav schém. Šablóna-text schémy je syntaktický objekt, reťazec znakov a má rovnaké ontologické predpoklady ako číslice, slová, vzorce a podobne. Napríklad text šablóny pre anglickú schému pomenovávania - „Výraz… pomenuje entitu…“- je štyridsaťznakový výraz zahŕňajúci dvadsať sedem výskytov písmen, šesť výskytov medzery a sedem výskytov obdobia. Na druhej strane vedľajší stav je náročná entita porovnateľná s tvrdením.

Schéma-šablóna je typ reťazca, ktorý má na neurčito veľa tokenov v Peirceho zmysle (Peirce 1906; Corcoran a kol. 1974: 638 n. 5). Žiadny z tokenov šablóny schémy však nie je inštanciou schémy. V skutočnosti je každá inštancia schémy typ reťazca, ktorý má vlastné tokeny. Slovo „inštancia“je podstatné meno vzťahu pre určité typy reťazcov, ktoré nesú určité schémy. Slovo „token“je podstatné meno vzťahu pre určité makroskopické fyzické objekty, ktoré nesú určité abstraktné objekty. Schéma ani šablóna schémy nie sú bežné podstatné mená označujúce inštancie a nie je to ani správne meno množiny inštancií.

Niektorí filozofi zdôrazňujú možné ontologické ekonomiky použitím schém skôr ako axiómov druhého poriadku (napr. Quine 1970/1986). Ale zriedka, ak vôbec, títo filozofi prezentujú úplnú a objektívnu diskusiu o „ontologických záväzkoch“, ktoré vyplývajú z používania schém. Napríklad teória čísel sama osebe predpokladá existenciu čísel a možno aj numerické funkcie a numerické vlastnosti, ale nepredpokladá existenciu matematického zápisu a a fortiori nepredpokladá existenciu rozsiahleho, zložitého notačného systému, ktorý nazývame. jazyk teórie čísel. Niekedy použitie schém môže znížiť ontologické záväzky objektového jazyka pri súčasnom zvýšení záväzkov metajazyku alebo aspoň nedosiahnutia čistých úspor.

4. Schémy v histórii logiky

Grécke slovo „schéma“; bol použitý v Platónovej akadémii pre „[geometrickú] postavu“a v Aristotelovom lýcea pre „[syllogistickú] postavu“. Hoci Aristotelova syllogická postava alebo „schémy“neboli schémami v modernom slova zmysle, Aristotelesove nálady boli. Napríklad text šablóny nálady BARBARA je

(begin {Zarovnať} & P / textrm {patrí každému} M. \& M / textrm {patrí každému} S. \\\ hline & P / textrm {patrí každému} S. / end {zarovnať})

Súvisiaca vedľajšia podmienka je, že (1) obe výskyty '(P)' sa majú vyplniť výskytmi jedného a toho istého spoločného podstatného mena, (2) musia sa vyplniť obidva výskyty '(M)'. s výskytmi jedného a toho istého spoločného podstatného mena, iného ako je použité pre '(P)', (3) oba výskyty '(S)' sa majú vyplniť výskytmi jedného a toho istého spoločného podstatného mena iného ako tie, ktoré sa používajú pre '(P)' a '(M)', a že (4) výraz 'patrí všetkým každému' sa používa na vyjadrenie univerzálnej kladnej predikcie ako v predchádzajúcej analýze. Pravidlá stoickej výrokovej logiky sa považovali za schémy.

Je ťažké do dnešného dňa bezvedomie používať slovo „schéma“; v modernom slova zmysle. Russellov úvod do matematickej filozofie (1919) ho náhodne používa na opis výrokových funkcií:

Výroková funkcia… môže byť považovaná za jednoduchú schému, obyčajnú škrupinu, prázdnu nádobu pre zmysel, nie za niečo už významné. (1919: 157)

Ale výrokové funkcie nie sú syntaktické schémy v modernom slova zmysle. Tarskiho dokument o pravdivej definícii z roku 1933 (Tarski 1933/1983: 157, 160, 172) bol jednou z prvých prominentných publikácií, ktoré používali slovo „schéma“v zmysle blízkom významu tohto článku (Tarski 1933/1983: 155, 156). Tarski tiež používa slovo „schema“a jeho množné číslo „schemata“v období pred druhou svetovou vojnou (1983: 63–64, 114, 310, 386, 423).

Formalizácie logiky na začiatku dvadsiateho storočia používali tzv. Substitučné pravidlá s konečnou sadou axiómov namiesto schém, ktoré nekonečne určovali mnoho axiómov. Tieto „substitučné pravidlá“neboli zvyčajnými pravidlami „nahrádzania rovnakých“; skôr boli bližšie k tým, čo sa dnes nazývajú pravidlá okamžitého vytvorenia. Intuitívna motivácia pre „substitučné pravidlá“bola veľmi jednoduchá, ale syntaktické podrobnosti na ich vykonávanie boli „netolerantne zložité“- používať slová Paula Rosenblooma (1950: 109). V skutočnosti bolo niekoľko prvotriednych logistikov vedených k tomu, aby urobili nepríjemné chyby, ako to Rosenbloom dokumentuje na práve citovanom mieste. Cirkev (1956: 158) pripisuje von Neumannovi „zariadenie na použitie axiomových schém“, vďaka čomu nie je pravidlo (notoricky ťažké uviesť) zbytočné.

Ako zdôraznil Cirkev (napr. 1956: 59), metamatematické spracovanie schém vyžaduje použitie formalizovaných alebo logicky dokonalých jazykov a axiomatizovanú teóriu reťazcov, ako sa prvýkrát uvádza v Tarskiho dokumente o definícii pravdy z roku 1933 (1933/1983: 152–). 256). Viac o histórii, filozofii a matematike tohto dôležitého, ale trochu zanedbávaného poľa, pozri Corcoran a kol. 1974; Corcoran 2006).

Bibliografia

• Church, A., 1956, Úvod do matematickej logiky, Princeton: Princeton University Press.
• Corcoran, J., 1998, „Logika druhého poriadku“, v CS Anderson a M. Zeleny (ed.), Logic, Význam a Výpočet: Eseje na pamiatku kostola Alonzo, Dordrecht: Kluwer.
• ––– 2006, „Schémata: Koncepcia schémy v histórii logiky“, Bulletin of Symbolic Logic, 12 (2): 219–40. doi: 10,2178 / BSL / 1146620060
• –––, 2009, „Aristotelova demonštračná logika“, história a filozofia logiky, 30: 1–20. doi: 10,1080 / 01445340802228362
• Corcoran, J., W. Frank a M. Maloney, 1974, „Stringova teória“, Journal of Symbolic Logic, 39 (4): 625 - 637. doi: 10,2307 / 2272846
• Feferman, A. a S. Feferman, 2004, Alfred Tarski: Life and Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
• Feferman, S. a G. Jäger, 1983, „Princípy výberu, pravidlá baru a autonómne opakované schémy porozumenia v analýze“, Journal of Symbolic Logic, 48: 63–70.
• Horsten, L., 2011, Tarskovský ťah: Deflacionizmus a axiomatická pravda, Cambridge, MA: MIT Press.
• Kleene, SC, 1967, Mathematical Logic, New York: Wiley and Sons; dotlač, New York: Dover, 2002.
• Peirce, C., 1906, „Prolegomena za ospravedlnenie za pragmatizmus“, Monist, 16: 492–546.
• Quine, WV, 1945, „O logike kvantifikácie“, Journal of Symbolic Logic, 10: 1-12.
• –––, 1970, filozofia logiky, Cambridge MA: Harvard University Press, dotlač 1983.
• Rosenbloom, P., 1950. Elements of Mathematical Logic, Dover, New York.
• Russell, B., 1919, Úvod do matematickej filozofie, Londýn: George Allen a Unwin.
• Shapiro, S., 1991, nadácie bez základov socializmu: prípad logiky druhého poriadku, Oxford: Oxford University Press.
• Tarski, A., 1933, „Pojem pravdy v jazykoch deduktívnych vied“(poľsky), Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych, 34, Varšava; dotlač v Zygmunt 1995: 13–172; rozšírený anglický preklad v Tarski 1983: 152–278.
• –––, 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers od 1923 do 1938, editoval s úvodom a analytickým indexom John Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• van Heijenoort, J., 1967, Z Frege do Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Zygmunt, J. (ed.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Varšava: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Akademické nástroje

	Ako citovať tento záznam.
	Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
	Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje