Dôkazová Sémantika

Obsah:

Dôkazová Sémantika
Dôkazová Sémantika

Video: Dôkazová Sémantika

Video: Dôkazová Sémantika
Video: How to make gimbap (aka kimbap: 김밥) 2024, Marec
Anonim

Vstupná navigácia

  • Obsah vstupu
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Náhľad priateľov PDF
  • Informácie o autorovi a citácii
  • Späť na začiatok

Dôkazová sémantika

Prvýkrát zverejnené 5. decembra 2012; podstatná revízia Št 1 február 2018

Dôkazová sémantika je alternatívou k sémantike pravdy. Je založená na základnom predpoklade, že ústredným pojmom, v zmysle ktorého sú významy priradené určitým výrazom nášho jazyka, najmä logickým konštantám, je skôr dôkaz ako pravda. V tomto zmysle je sémantika sémantiky, pokiaľ ide o dôkaz. Dôkazová sémantika tiež znamená sémantiku dôkazov, tj sémantiku entít, ktoré opisujú, ako dospejeme k určitým tvrdeniam pri určitých predpokladoch. Obidva aspekty sémantiky dôkazov môžu byť vzájomne prepojené, tj sémantika dôkazov sa často uvádza ako dôkaz.

Prooforetická sémantika má niekoľko koreňov, z ktorých najšpecifickejšie sú Gentzenove poznámky, že úvodné pravidlá v jeho počte prirodzených dedukcií definujú význam logických konštánt, zatiaľ čo pravidlá eliminácie je možné získať v dôsledku tejto definície (pozri oddiel 2.2.). 1). Všeobecnejšie povedané, patrí k tomu, čo Prawitz nazýval všeobecnou teóriou dôkazov (pozri časť 1.1). Ešte širšie je to súčasť tradície, podľa ktorej by sa mal výraz pojmu vysvetliť odkazom na spôsob, akým sa používa v našom jazyku.

V rámci filozofie sa sémantika korektúry teoretických údajov väčšinou nachádzala pod nadpisom „teória významu“. Táto terminológia vychádza z Dummetta, ktorý tvrdil, že teória významu je základom teoretickej filozofie, pohľadu, ktorý pripisoval Fregeovi. Pojem „dôkazovo-sémantika sémantiky“navrhol Schroeder-Heister (1991; používa sa už v roku 1987 prednášok v Štokholme), aby sa pojem sémantika neponechal iba samotnému denotacionizmu - „sémantika“je štandardný pojem pre vyšetrovania týkajúce sa významu jazykových výrazov. Okrem toho na rozdiel od „teórie významu“pojem „korektívna sémantika“zahŕňa aj filozofické a technické aspekty. V roku 1999 sa v Tübingene konala prvá konferencia s týmto názvom, druhá v roku 2013. Prvá učebnica s týmto názvom vyšla v roku 2015.

  • 1. Pozadie

    • 1.1 Všeobecná teória dôkazov: dôsledky vs. dôkazy
    • 1.2 Inferencializmus, intuicionizmus, antrealizmus
    • 1.3 Teória dôkazov v Gentzenovom štýle: redukcia, normalizácia, eliminácia rezu
  • 2. Niektoré verzie sémantiky korektúry

    • 2.1 Sémantika dôsledkov: Prípustnosť, odvoditeľnosť, pravidlá

      • 2.1.1 Operatívna logika
      • 2.1.2 Gentzenova sémantika
      • 2.1.3 Prirodzená zrážka s pravidlami vyššej úrovne
    • 2.2 Sémantika derivácií založená na pravidlách zavedenia

      • 2.2.1 Zásady inverzie a harmónia
      • 2.2.2 Dôkazová platnosť
      • 2.2.3 Konštruktívna teória typov
    • 2.3 Vymedzenie pojmov a vymedzenie pojmu

      • 2.3.1 Výzva z logického programovania
      • 2.3.2 Definičná reflexia
    • 2.4 Štrukturálna charakterizácia logických konštánt
    • 2.5 Teória kategoriálnych dôkazov
  • 3. Rozšírenia a alternatívy k štandardnej sémantike teoretických dôkazov

    • 3.1 Pravidlá eliminácie ako základné
    • 3.2 Negácia a zamietnutie
    • 3.3 Harmónia a odraz v následnom počte
    • 3.4 Subatomická štruktúra a prirodzený jazyk
    • 3.5 Klasická logika
    • 3.6 Hypotetické zdôvodnenie
    • 3.7 Náročná sémantika teoretických dôkazov
  • 4. Záver a výhľad
  • Bibliografia
  • Akademické nástroje
  • Ďalšie internetové zdroje
  • Súvisiace záznamy

Táto položka obsahuje aj nasledujúce doplňujúce dokumenty, ktoré sú spojené s textom:

  • Príklady korekcie teoretickej platnosti
  • Definičné úvahy a paradoxy

1. Pozadie

1.1 Všeobecná teória dôkazov: dôsledky vs. dôkazy

Pojem „všeobecná teória dôkazov“vytvoril Prawitz. Vo všeobecnej teórii dôkazov sa „dôkazy skúmajú samy osebe v nádeji, že pochopíme ich povahu“, v rozpore s Hilbertovou „teóriou redukčných dôkazov“, čo je „pokus analyzovať dôkazy matematických teórií so zámerom ich redukovanie na niektorú z elementárnych častí matematiky, ako je finitistická alebo konštruktívna matematika “(Prawitz, 1972, s. 123). Podobne žiada Kreisel (1971) o preorientovanie teórie dôkazov. Chce vysvetliť „nedávnu prácu v teórii dôkazov zo zanedbaného hľadiska. Dôkazy a ich reprezentácie formálnymi deriváciami sa považujú za hlavné predmety štúdie, nie za iba nástroje na analýzu vzťahu dôsledkov. “(Kreisel, 1971, str.109) Zatiaľ čo sa Kreisel zameriava na dichotómiu medzi teóriou dôkazov a teóriou preukázateľnosti, Prawitz sa sústreďuje na rôzne ciele, ktoré môže teória dôkazov sledovať. Obidva však zdôrazňujú nevyhnutnosť študovať dôkazy ako základné entity, prostredníctvom ktorých získavame demonštračné (najmä matematické) vedomosti. To predovšetkým znamená, že dôkazy sú epistemickými entitami, ktoré by sa nemali spájať s formálnymi dôkazmi alebo odvodeniami. Ide skôr o to, čo odvodenia označujú, keď sa považujú za vyjadrenie argumentov. (V nasledujúcom texte však často používame „dôkaz“synonymá s „odvodením“, pričom je ponechané na čitateľa, aby určil, či ide o formálne dôkazy alebo dôkazy ako epistemické entity.) Pri diskusii o Prawitzovom (1971) prieskume Kreisel (1971, s.,111) výslovne hovorí o „mapovaní“derivácií a mentálnych činov a považuje za potrebné objasniť toto mapovanie vrátane skúmania identity dôkazov, čo je téma, ktorú do programu zaradili Prawitz a Martin-Löf.,

To znamená, že vo všeobecnej teórii dôkazov nás nezaujíma iba to, či B vyplýva z A, ale spôsobom, ktorým sa dostávame k B, počínajúc A. V tomto zmysle má všeobecná teória dôkazov intenzívny a epistemologický charakter, zatiaľ čo teória modelov, ktorá sa zaujíma o súvislosť súvislostí a nie o spôsob, ako ju ustanoviť, je extenzívna a metafyzická.

1.2 Inferencializmus, intuicionizmus, antrealizmus

Dôkazová sémantika je neodmysliteľne inferenciálna, pretože je to inferenčná aktivita, ktorá sa prejavuje v dôkazoch. Patrí teda k inferentializmu (pozri Brandom, 2000), podľa ktorého inferencie a pravidlá odvodenia určujú význam výrazov, v rozpore s denotacionizmom, podľa ktorého sú označenia primárnym druhom významov. Inferenciálnosť a „sémantický pohľad na význam“je široký filozofický rámec sémantiky korektúry. Táto všeobecná filozofická a sémantická perspektíva sa spojila s konštruktívnymi názormi, ktoré vychádzajú z filozofie matematiky, najmä z matematického intuicionizmu. Väčšina foriem sémantiky korektúry je intuitívna v duchu,čo predovšetkým znamená, že zásady klasickej logiky, ako napríklad zákon vylúčeného stredného alebo dvojitého vylúčenia, sú zamietnuté alebo prinajmenšom považované za problematické. Čiastočne je to spôsobené skutočnosťou, že hlavným nástrojom teoreticko-sémantickej korektúry, počtu prirodzených dedukcií, je sklon k intuicionálnej logike v tom zmysle, že priama formulácia jej eliminačných pravidiel je intuicionálna. Klasická logika je k dispozícii iba prostredníctvom určitého pravidla nepriameho dokazovania, ktoré aspoň do určitej miery ničí symetriu princípov zdôvodnenia (pozri oddiel 3.5). Ak človek zaujme stanovisko prirodzenej dedukcie, potom je intuicionálna logika prirodzeným logickým systémom. Významnú úlohu hrá aj interpretácia logických znakov BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). Táto interpretácia nie je jedinečným prístupom k sémantike, ale zahŕňa rôzne myšlienky, ktoré sú často neformálnejšie ako formálne opísané. Mimoriadny význam má funkčný pohľad na implikáciu, podľa ktorého je dôkaz A → B konštruktívnou funkciou, ktorá pri použití na dôkaz A poskytne dôkaz B. Táto funkčná perspektíva je základom mnohých konceptov teoreticko-teoretickej sémantiky, najmä koncepcií Lorenzena, Prawitza a Martina Löfa (pozri oddiely 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Táto funkčná perspektíva je základom mnohých konceptov teoreticko-teoretickej sémantiky, najmä koncepcií Lorenzena, Prawitza a Martina Löfa (pozri oddiely 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Táto funkčná perspektíva je základom mnohých konceptov teoreticko-teoretickej sémantiky, najmä koncepcií Lorenzena, Prawitza a Martina Löfa (pozri oddiely 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3).

Podľa Dummetta logická pozícia intuicionizmu zodpovedá filozofickej pozícii antrealizmu. Realistický pohľad na realitu nezávislú od uznania je metafyzickým náprotivkom názoru, že všetky vety sú buď pravdivé, alebo nepravdivé, od našich prostriedkov na ich uznanie. Po Dummettovi sú hlavné časti sémantiky korektúry spojené s antrealizmom.

1.3 Teória dôkazov v Gentzenovom štýle: redukcia, normalizácia, eliminácia rezu

Gentzenov počet prirodzených dedukcií a ich vykresľovanie Prawitzom je zázemím väčšiny prístupov k dôkazovo-teoretickej sémantike. Prirodzený odpočet je založený na najmenej troch hlavných myšlienkach:

  • Uvoľnenie predpokladov: Predpoklady sa môžu „odvodiť“alebo „vylúčiť“v priebehu derivácie, takže ústrednou myšlienkou prirodzeného odpočtu je odvodenie v závislosti od predpokladov.
  • Oddeľovanie: Každá schéma primitívnych pravidiel obsahuje iba jednu logickú konštantu.
  • Úvod a vylúčenie: Pravidlá pre logické konštanty prichádzajú vo dvojiciach. Úvodné pravidlo (pravidlá) umožňujú odvodiť vzorec s príslušnou konštantou ako jeho hlavným operátorom, pravidlo (pravidlá) odstránenia umožňujú odvodiť dôsledky z tohto vzorca.

V Gentzenovom prirodzenom dedukčnom systéme sú logické derivácie prvého rádu napísané v stromovej forme a podľa známych pravidiel. Dôsledok má napríklad nasledujúce pravidlá na zavedenie a odstránenie

[A]
B → Aj
A → B
A → BA → E
B

kde zátvorky označujú možnosť splniť predpoklady A. Otvorené predpoklady derivácie sú tie predpoklady, od ktorých závisí konečný vzorec. Derivácia sa nazýva uzavretá, ak nemá otvorený predpoklad, inak sa nazýva otvorená. Ak sa zaoberáme kvantifikátormi, musíme brať do úvahy aj otvorené individuálne premenné (niekedy nazývané „parametre“). Metalogické črty, ktoré sú rozhodujúce pre overovanie teoretickej sémantiky a prvýkrát systematicky skúmané a publikované Prawitzom (1965), zahŕňajú:

Zníženie: Pre každú obchádzku pozostávajúcu zo zavedenia, po ktorom nasleduje okamžité odstránenie, sa uskutoční táto redukcia, ktorou sa táto obchádzka odstráni.

Normalizácia: Pri následných aplikáciách redukcií je možné derivácie transformovať na normálne formy, ktoré neobsahujú obchádzky.

V dôsledku toho je štandardným krokom odstránenia obchádzok nasledujúci krok:

[A]
B |
A → B A
B
znižuje na

|

A

B

Jednoduchý, ale veľmi dôležitý dôsledok normalizácie je nasledujúci: Každá uzavretá derivácia v intuicionálnej logike môže byť redukovaná na deriváciu pomocou úvodného pravidla v poslednom kroku. Tiež hovoríme, že intuicionálna prirodzená dedukcia vyhovuje „vlastnosti úvodnej formy“. V sémantike korektúry sémantiky je tento výsledok výrazný pod hlavičkou „základný predpoklad“(Dummett, 1991, s. 254). „Základný predpoklad“je typickým príkladom filozofickej reinterpretácie technického dôkazno-teoretického výsledku.

Ďalšie čítanie:

Pre všeobecnú orientáciu sémantiky s overením teoretiky, špeciálne vydanie Synthese (Kahle a Schroeder-Heister, 2006), čitateľ vydáva Piecha a Schroeder-Heister (2016b), učebnicu Francez (2015), Schroeder-Heister (2008b, 2016a) a Wansing (2000).

Pokiaľ ide o filozofické postavenie a rozvoj teórie dôkazov, záznamy o Hilbertovom programe a vývoji teórie dôkazov, ako aj Prawitz (1971).

Pre intuicionizmus vstupy do intuicionálnej logiky, intuicionizmu vo filozofii matematiky a rozvoj intuicionistickej logiky.

V prípade antrealizmu vstup do výziev metafyzickému realizmu, ako aj Tennant (1987); Tennant (1997), Tranchini (2010); Tranchini (2012a).

Pre Gentzenovu teóriu dôkazov a teóriu prirodzeného dedukcie: okrem Gentzenovej (1934/35) pôvodnej prezentácie, Jaśkowského (1934) teória predpokladov a Prawitzovej (1965) klasickej monografie, Tennant (1978), Troelstra a Schwichtenberg (2000). a Negri a von Plato (2001).

2. Niektoré verzie sémantiky korektúry

2.1 Sémantika dôsledkov: Prípustnosť, odvoditeľnosť, pravidlá

Sémantika implikácie leží v centre dôkazovo-teoretickej sémantiky. V protiklade s klasickou sémantikou pravdivých stavov je implikácia sama osebe logickou konštantou. Má tiež charakteristickú vlastnosť, že je viazaná na pojem dôsledok. Dá sa to vnímať ako vyjadrujúci dôsledok na úrovni sentimentu kvôli modus ponens a tomu, čo sa v systémoch Hilbertovho štýlu nazýva dedukčná veta, tj ekvivalencia Γ, A ⊢ B a Γ ⊢ A → B.

Veľmi prirodzeným chápaním implikácie A → B je jej čítanie ako vyjadrenie inferenčného pravidla, ktoré umožňuje prejsť z A na B. Licencovanie kroku od A do B na základe A → B je presne to, čo hovorí modus ponens. A na teorém odpočtu sa dá pozerať ako na prostriedok na stanovenie pravidla: Keď sme preukázali, že B možno odvodiť z A, odôvodňuje pravidlo, že z A môžeme prejsť na B. Sémantika implikácie založená na pravidlách je základom niekoľkých koncepcií sémantiky teoretických dôkazov, najmä koncepcií Lorenzena, von Kutschera a Schroeder-Heister.

2.1.1 Operatívna logika

Lorenzen vo svojom úvode do problematiky operatívnej logiky a matematiky (1955) začína logickými (atómovými) kalkulmi, ktoré zodpovedajú produkčným systémom alebo gramatikám. V takom systéme nazýva pravidlo prípustným, ak sa k nemu môže pridať bez toho, aby sa zväčšila množina jeho odvoditeľných atómov. Implikačná šípka → sa interpretuje ako vyjadrenie prípustnosti. Dôsledok A → B sa považuje za platný, ak je po prečítaní spravidla prípustný (vo vzťahu k základnému počtu). Pokiaľ ide o opakované dôsledky (= pravidlá), Lorenzen rozvíja teóriu prípustnosti vyhlásení vyšších úrovní. Niektoré výkazy, ako sú A → A alebo ((A → B), (B → C)) → (A → C), sa vzťahujú nezávisle od základného počtu. Nazývajú sa všeobecne prijateľné [„allgemeinzulässig“])) a predstavujú systém pozitívnej implikačnej logiky. Podobným spôsobomzákony na univerzálnu kvantifikáciu ∀ sú opodstatnené použitím vyhlásení o prípustnosti pre pravidlá so schematickými premennými.

Na ospravedlnenie zákonov pre logické konštanty ∧, ∨, ∃ a ⊥ používa Lorenzen inverzný princíp (termín, ktorý razil). Vo veľmi zjednodušenej forme, bez ohľadu na premenné v pravidlách, princíp inverzie hovorí, že všetko, čo je možné získať z každej definujúcej podmienky A, možno získať zo samotného A. Napríklad, v prípade disjunkcie, nech A a B sú každá definujúca podmienka A ∨ B vyjadrená primitívnymi pravidlami A → A ∨ B a B → A ∨ B. Potom princíp inverzie hovorí, že A ∨ B → C je prípustné za predpokladu, že A → C a B → C, čo odôvodňuje pravidlo vylúčenia disjunkcie. So zostávajúcimi pripojeniami sa zaobchádza podobným spôsobom. V prípade ⊥ sa pravidlo absurdity ⊥ → A získa zo skutočnosti, že pre ⊥ neexistujú žiadne vymedzujúce podmienky.

2.1.2 Gentzenova sémantika

V tom, čo nazýva „Gentzenova sémantika“, von Kutschera (1968) dáva, ako Lorenzen, sémantiku logicky komplexných implikačných výrokov A 1,…, A n → B vo vzťahu k kalkulu K, ktoré upravujú zdôvodňovanie atómovými vetami. Zásadný rozdiel oproti Lorenzenovi spočíva v skutočnosti, že A 1,…, A n → B teraz vyjadrujú skôr odvoditeľnosť ako vyhlásenie o prípustnosti.

Aby sa to zmenilo na sémantiku logických konštánt výrokovej logiky, von Kutschera argumentuje takto: Keď sa vzdáme bivalencie, už nemôžeme používať klasické priradenia pravdy k atómovým vzorcom. Namiesto toho môžeme použiť kamene, ktoré dokazujú alebo vyvracajú atómové vety. Okrem toho, keďže kalkuláce generujú nielen dôkazy alebo vyvrátenia, ale aj svojvoľné vzťahy odvoditeľnosti, myšlienkou je začať priamo s derivovateľnosťou v atómovom systéme a rozšíriť ho o pravidlá, ktoré charakterizujú logické spojivá. Za to dáva von Kutschera sekvenčný počet s pravidlami pre zavádzanie n -arych výrokových spojov v následnom a predchodcovi, čím sa vytvára sekvenčný systém pre zovšeobecnené výrokové spojky. Von Kutschera ďalej ukazuje, že takto definované zovšeobecnené spojivá môžu byť všetky vyjadrené štandardnými spojivami intuičnej logiky (spojenie, disjunkcia, implikácia, absurdita).

2.1.3 Prirodzená zrážka s pravidlami vyššej úrovne

V rámci programu vývoja všeobecnej schémy pravidiel pre ľubovoľné logické konštanty Schroeder-Heister (1984) navrhol, aby logicky komplexný vzorec vyjadroval obsah alebo spoločný obsah systémov pravidiel. To znamená, že pravidlá zavádzania sa nepovažujú za základné, ale za dôsledky definovania podmienok. Pravidlo R je buď A alebo má tvar R 1, …, R n ⇒ A, kde R 1, …, R nsú sami pravidlami. Tieto takzvané „pravidlá vyššej úrovne“zovšeobecňujú myšlienku, že pravidlá môžu splniť predpoklady v prípade, keď tieto predpoklady môžu byť samy osebe pravidlami. Pre štandardné logické konštanty to znamená, že A ∧ B vyjadruje obsah páru (A, B); A → B vyjadruje obsah pravidla A ⇒ B; A ∨ B vyjadruje spoločný obsah A a B; a absurdita ⊥ vyjadruje spoločný obsah prázdnej rodiny vládnych systémov. V prípade svojvoľných n-tórnych výrokov vedie k prirodzenému systému odpočtov so všeobecnými pravidlami zavedenia a odstránenia. Ukázalo sa, že tieto všeobecné spojivá sú definované ako štandardné, čím sa vytvára výrazná úplnosť štandardných intuicionálnych spojovacích prvkov.

Ďalšie čítanie:

Za prístup Lorenzena vo vzťahu k dôkaznej sémantike v Prawitzovom štýle: Schroeder-Heister (2008a). Pre rozšírenie výrazovej úplnosti v štýle von Kutschera: Wansing (1993a).

2.2 Sémantika derivácií založená na pravidlách zavedenia

2.2.1 Zásady inverzie a harmónia

Gentzen vo svojich Vyšetrovaniach logickej dedukcie uvádza niektoré, dnes veľmi často citované, programové poznámky o sémantickom vzťahu medzi úvodom a eliminačnými závermi pri prirodzenej dedukcii.

Úvod predstavuje „definície“príslušných symbolov a eliminácie nie sú v konečnej analýze viac ako dôsledky týchto definícií. Túto skutočnosť možno vyjadriť takto: Pri eliminácii symbolu môžeme použiť vzorec, s ktorým koncovým symbolom jednáme iba „v tom zmysle, aký mu umožňuje zavedenie tohto symbolu“. (Gentzen, 1934/35, s. 80)

To samozrejme nemôže znamenať, že pravidlá eliminácie sú odvoditeľné od pravidiel zavedenia v doslovnom zmysle slova; v skutočnosti to tak nie je. Môže to znamenať len to, že ich môžu nejakým spôsobom ospravedlniť.

Vďaka spresneniu týchto myšlienok by malo byť možné na základe určitých požiadaviek zobraziť e-inferencie ako jedinečné funkcie ich príslušných I-inferencií. (tamtiež, s. 81)

Myšlienkou, na ktorej sa zakladá Gentzenov program, je to, že máme „definície“vo forme úvodných pravidiel a nejakého sémantického zdôvodnenia, ktoré pomocou „určitých požiadaviek“potvrdzuje vylučovacie pravidlá.

Prijatím Lorenzenovho termínu a prispôsobením svojej základnej myšlienky kontextu prirodzeného dedukcie Prawitz (1965) sformuloval „princíp inverzie“, aby spresnil Gentzenove poznámky:

Nech α je aplikácia eliminačného pravidla, ktoré má B ako dôsledok. Potom odpočty, ktoré spĺňajú dostatočnú podmienku […] na odvodenie hlavného predpokladu α, ak sa kombinujú so odpočítaním menších predpokladov α (ak existujú), už „obsahujú“odpočet B; odpočet B je teda možné získať priamo z daných odpočtov bez pridania α. (s. 33)

Dostatočné podmienky sú tu dané predpokladmi zodpovedajúcich pravidiel zavádzania. Princíp inverzie hovorí, že odvodenie záveru o vylučovacom pravidle je možné získať bez uplatnenia vylučovacieho pravidla, ak sa jeho hlavný predpoklad odvodil pomocou úvodného pravidla v poslednom kroku, čo znamená, že kombinácia

I-záver
A
{D i } E-záver
B

krokov, kde {D i } predstavuje (možno prázdny) zoznam odpočtov menších predpokladov, je možné sa vyhnúť.

Vzťah medzi pravidlami zavádzania a vylučovania sa často označuje ako „harmónia“alebo ako „zásada harmónie“(pozri napr. Tennant, 1978, s. 74). Táto terminológia nie je jednotná a niekedy dokonca ani úplne jasná. V zásade vyjadruje, čo sa myslí aj „inverziou“. Aj keď „harmónia“je pojem, ktorý naznačuje symetrický vzťah, často sa chápe ako vyjadrenie koncepcie založenej na úvodných pravidlách, napr. V Read's (2010) „všeobecná harmónia eliminácie“(hoci občas zahŕňa aj koncepcie založené na eliminácii)). Harmónia niekedy znamená, že spojivá sú v určitom zmysle najsilnejšie alebo najslabšie vzhľadom na ich zavedenie alebo pravidlá vylúčenia. Táto myšlienka je základom princípu harmónie Tennant (1978),ako aj štrukturálne charakteristiky Poppera a Koslowa (pozri časť 2.4). Osobitný vzťah medzi pravidlami zavedenia a odstránenia, ktoré sú formulované v zásade inverzie, vylučuje údajné dedičné definície, ako je definícia pojmu pojivové tonky, ktoré kombinujú úvodné pravidlo pre disjunkciu s vylučovacím pravidlom pre spojenie a ktoré viedli k stále prebiehajúcej diskusii. o formáte inferenčných definícií (pozri Humberstone, 2010).a ktorá viedla k stále prebiehajúcej diskusii o formáte inferenčných definícií (pozri Humberstone, 2010).a ktorá viedla k stále prebiehajúcej diskusii o formáte inferenčných definícií (pozri Humberstone, 2010).

2.2.2 Dôkazová platnosť

Dôkazová validita je dominantným prístupom k dôkazovo-teoretickej sémantike. Ako technický koncept bol vyvinutý Prawitzom (1971; 1973; 1974), a to tak, že zmenil pojem teoreticko-teoretickej platnosti založený na myšlienkach Taita (1967) a pôvodne slúžil na preukázanie silnej normalizácie, na sémantický koncept. Dummett poskytol veľa filozofické opory pre túto predstavu (pozri Dummett, 1991). Predmety, ktoré sú primárne platné, sú dôkazmi ako vyjadrenia argumentov. V sekundárnom zmysle môžu byť platné jednotné pravidlá, ak vedú z platných dôkazov k platným dôkazom. V tomto zmysle je platnosť skôr globálnym než miestnym pojmom. Vzťahuje sa na ľubovoľné derivácie nad daným atómovým systémom, ktorý definuje odvoditeľnosť atómov. Volanie dôkazu, ktorý používa úvodné pravidlo v poslednom kroku, je založené na nasledujúcich troch nápadoch:

  1. Priorita uzavretých kanonických dôkazov.
  2. Redukcia uzavretých nekanonických dôkazov na kanonické.
  3. Substitučný pohľad na otvorené dôkazy.

Ad 1: Definícia platnosti je založená na Gentzenovej myšlienke, že úvodné pravidlá sú „samoospravedlňujúce“a dávajú logickým konštantám svoj význam. Táto vlastnosť sa používa iba pre uzavreté dôkazy, ktoré sa považujú za primárne pred otvorenými dôkazmi.

Ad 2: Nekanonické dôkazy sú opodstatnené ich redukciou na kanonické dôkazy. Postupy redukcie (redukcie obchádzky), ako sa používajú v normalizačných dôkazoch, teda zohrávajú kľúčovú úlohu. Keď odôvodňujú argumenty, Prawitz ich tiež nazýva „ospravedlnenie“. Táto definícia sa opäť uplatňuje iba na uzavreté dôkazy, ktoré zodpovedajú vlastnostiam formy zavedenia uzavretých normálnych derivácií pri prirodzenej odpočte (pozri oddiel 1.3).

Ad 3: Otvorené dôkazy sú odôvodnené zvážením ich uzavretých prípadov. Tieto uzavreté prípady sa získajú nahradením ich otvorených predpokladov ich uzavretými dôkazmi a ich otvorených premenných uzavretými podmienkami. Napríklad dôkaz B z A sa považuje za platný, ak je platný každý uzavretý dôkaz, ktorý sa získa nahradením otvoreného predpokladu A uzavretým dôkazom A. Týmto spôsobom sa otvorené predpoklady považujú za zástupné symboly pre uzavreté dôkazy, a preto môžeme hovoriť o substitučnom výklade otvorených dôkazov.

Z toho vyplýva nasledujúca definícia platnosti teoretickej platnosti:

  1. Každý uzavretý dôkaz v základnom atómovom systéme je platný.
  2. Uzavretý kanonický dôkaz sa považuje za platný, ak jeho okamžité čiastkové dôkazy sú platné.
  3. Uzatvorený nekanonický dôkaz sa považuje za platný, ak sa redukuje na platný uzavretý kanonický dôkaz alebo na uzavretý dôkaz v atómovom systéme.
  4. Otvorený dôkaz sa považuje za platný, ak je platný každý uzavretý dôkaz získaný nahradením jeho otvorených predpokladov za uzavreté dôkazy a jeho otvorené premenné za uzavreté podmienky.

Formálne musí byť táto definícia relativizovaná vzhľadom na uvažovaný atómový systém a na súbor odôvodnení (redukcie dôkazov). Dôkazy sa tu ďalej chápu ako kandidáti platných dôkazov, čo znamená, že pravidlá, z ktorých sú zložené, nie sú stanovené. Vyzerajú ako dôkazové stromy, ale ich jednotlivé kroky môžu mať ľubovoľný (konečný) počet predpokladov a môžu eliminovať ľubovoľné predpoklady. Definícia platnosti určuje tie štruktúry dôkazov, ktoré sú „skutočnými“dôkazmi na základe daných postupov znižovania.

Platnosť vzhľadom na každú voľbu atómového systému možno chápať ako zovšeobecnený pojem logickej platnosti. V skutočnosti, ak vezmeme do úvahy štandardné zníženia intuicionálnej logiky, potom všetky derivácie v intuicionistickej logike sú platné nezávisle od uvažovaného atómového systému. Toto je sémantická správnosť. Môžeme sa opýtať, či sa rozhovor drží, t. či vzhľadom na to, že derivácia je platná pre každý atómový systém, existuje intuitívna logika zodpovedajúca derivácia. Táto intuicionistická logika je v tomto zmysle úplná a nazýva sa Prawitzova domnienka (pozri Prawitz, 1973; Prawitz, 2013). Nebol však predložený žiadny uspokojivý dôkaz. Existujú značné pochybnosti týkajúce sa platnosti tejto domnienky pre systémy, ktoré idú nad rámec implicitnej logiky. V každom prípade to bude závisieť od presného formulovania pojmu platnosti, najmä od jeho spracovania atómových systémov.

Formálnejšiu definíciu a podrobnejšie príklady preukazujúce platnosť, ako aj niekoľko poznámok o domnienke Prawitza nájdete na stránke

Dodatok k príkladom platnosti teoretickej platnosti.

2.2.3 Konštruktívna teória typov

Teória typu Martin-Löfa (Martin-Löf, 1984) je popredným prístupom v konštruktívnej logike a matematike. Filozoficky zdieľa s Prawitzom tri základné predpoklady štandardnej sémantiky teoretických dôkazov, ktoré sú uvedené v oddiele 2.2.2: priorita uzavretých kanonických dôkazov, zníženie uzavretých nekanonických dôkazov na kanonické a substitučný pohľad na otvorené dôkazy. Teória typu Martin-Löfa má však aspoň dva charakteristické znaky, ktoré idú nad rámec iných prístupov v sémantike korektúry:

  1. Posúdenie dôkazných predmetov a zodpovedajúce rozlíšenie medzi ukážkami dôkazov ako predmetov a ukážkami dôkazov.
  2. Pohľad na formačné pravidlá ako na vlastný systém dôkazov, nie ako na vonkajšie pravidlá.

Prvá myšlienka sa týka korešpondencie Curryho-Howarda (pozri de Groote, 1995; Sørensen a Urzyczyn, 2006), podľa ktorej skutočnosť, že vzorec A má určitý dôkaz, sa dá kodifikovať ako skutočnosť, že určitý výraz t je typu A, pričom vzorec A je identifikovaný s typom A. Toto možno formalizovať v kalkuláte na priradenie typu, ktorého výroky majú tvar t: A. Dôkaz t: A v tomto systéme možno chápať tak, že ukazuje, že t je dôkaz A. Martin-Löf (1995; 1998) to uviedol do filozofickej perspektívy tým, že rozlíšil tento dvojitý význam dôkazu nasledujúcim spôsobom. Najprv máme dôkazy o vyhláseniach v tvare t: A. Tieto vyhlásenia sa nazývajú rozsudky, ich dôkazy sa nazývajú demonštrácie. V týchto rozsudkoch pojem t predstavuje dôkaz o tvrdení A. Dôkaz v druhom zmysle sa tiež nazýva dôkazový objekt. Pri preukazovaní rozsudku t: A preukazujeme, že t je dôkazom (predmetom) pre tvrdenie A. V rámci tohto dvojvrstvového systému je demonštračnou vrstvou vrstva argumentácie. Na rozdiel od dôkazových predmetov majú demonštrácie epistemický význam; ich rozsudky nesú asertorickú silu. Dôkazová vrstva je vrstva, v ktorej sú vysvetlené významy: Význam výroku A je vysvetlený rozprávaním toho, čo sa považuje za dôkaz (objekt) pre A. Rozlišovanie medzi kanonickými a nekanonickými dôkazmi je rozlíšením na výrokovej a nie na súdnej úrovni. Z toho vyplýva určitá požiadavka jednoznačnosti. Keď som niečo preukázal, nemám k dispozícii iba odôvodnenie svojho dôkazu, ako je to v Prawitzovom pojme platnosti,zároveň si však musí byť istý, že toto odôvodnenie plní svoj účel. Táto istota je zaručená demonštráciou. Matematicky tento dvojnásobný zmysel pre dôkaz rozvíja svoju skutočnú moc iba vtedy, keď typy môžu samy o sebe závisieť od podmienok. Závislé typy sú základnou súčasťou teórie typov Martin-Löfa a súvisiacich prístupov.

Druhou myšlienkou je prístup Martin-Löfa výrazne odlišujúci od všetkých ostatných definícií dôkaznej teoretickej platnosti. Zásadný rozdiel napríklad v Prawitzovom postupe spočíva v tom, že nemá metajazykový charakter, kde „metajazykový“znamená, že návrhy a kandidáti dôkazov sú špecifikovaní najskôr a potom pomocou definície v metajazde sa stanoví, ktorý z sú platné a ktoré nie. Namiesto toho návrhy a dôkazy vstupujú do hry iba v kontexte demonštrácií. Napríklad, ak predpokladáme, že niečo je dôkazom implikácie A → B, nemusíme nevyhnutne preukazovať, že obidva A a B sú dobre tvarované návrhy, ale okrem toho, že vieme, že A je návrh, potrebujeme iba poznať, že B je návrh za predpokladu, že A bolo dokázané. Byť návrhom je vyjadrená konkrétnou formou rozsudku, ktorý je ustanovený v tom istom systéme preukazovania, ktorý sa používa na preukázanie, že bol dokázaný návrh.

V Martin-Löfovej teórii obsahuje sémantika korektúry teoretických poznatkov silnú ontologickú zložku. Nedávna diskusia sa týka otázky, či majú dôkazné objekty čisto ontologický status alebo či kodifikujú vedomosti, aj keď nie sú samotnými epistemickými činmi.

Ďalšie čítanie:

Zásady inverzie pozri v Schroeder-Heister (2007).

Varianty dôkazovo-teoretickej harmónie pozri Francez (2015) a Schroeder-Heister (2016a). Pre Prawitzovu definíciu dôkazno-teoretickej platnosti pozri Schroeder-Heister (2006).

Teóriu Matin-Löfovej typu pozri v teórii typov, ako aj v Sommaruge (2000).

2.3 Vymedzenie pojmov a vymedzenie pojmu

Dôkazová sémantika sa obyčajne zameriava na logické konštanty. Toto zameranie sa prakticky nikdy nespochybňuje, zjavne preto, že sa to považuje za zrejmé. V teórii dôkazov sa venovala malá pozornosť atómovým systémom, hoci Lorenzenovej ranej práci (pozri časť 2.1.1), kde je opodstatnenie logických pravidiel zakotvené v teórii svojvoľných pravidiel, a Martinovi-Löfovi (1971) teória iterovaných induktívnych definícií, kde sú navrhnuté pravidlá zavádzania a vylučovania atómových vzorcov. Nárast logického programovania túto perspektívu rozšíril. Z hľadiska teoretického hľadiska je logické programovanie teóriou atómového uvažovania vzhľadom na klauzulárne definície atómov. Definičná reflexia je prístup k dôkazovo-teoretickej sémantike, ktorá prijíma túto výzvu a pokúša sa vybudovať teóriu, ktorej rozsah použitia presahuje logické konštanty.

2.3.1 Výzva z logického programovania

V logickom programovaní sa zaoberáme programovými klauzulami formulára

⇐ B 1, …, B m

ktoré definujú atómové vzorce. Takéto klauzuly je možné prirodzene interpretovať tak, že opisujú pravidlá zavádzania atómov. Z hľadiska teoreticko-sémantickej sémantiky sú nevyhnutné tieto dva body:

(1) Úvodné pravidlá (klauzuly) pre logicky zložené vzorce sa v zásade neodlišujú od úvodných pravidiel (klauzuly) pre atómy. Interpretácia logického programovania korektne teoreticky motivuje rozšírenie korektúry teoretickej sémantiky na ľubovoľné atómy, čo vedie k sémantike s oveľa širšou oblasťou aplikácií.

(2) Programové doložky nie sú nevyhnutne odôvodnené. Napríklad hlavica klauzuly sa môže vyskytnúť v jej tele. Dobre podložené programy sú iba určitým druhom programov. Použitie arbitrárnych doložiek bez ďalších požiadaviek v logickom programovaní je motiváciou k tomu, aby sa rovnaká myšlienka presadzovala aj v teoreticko-sémantickej teórii, pripúšťa sa len akýkoľvek druh úvodných pravidiel, nielen tých, ktoré majú špeciálnu formu a najmä nie nevyhnutne dobré pravidlá. -founded. To prináša myšlienku definičnej slobody, ktorá je základným kameňom logického programovania, až po sémantiku, ktorá opäť rozširuje oblasť uplatňovania korektúry sémantiky.

Myšlienka považovať pravidlá zavádzania za pravidlá dávajúce význam atómom úzko súvisí s teóriou induktívnych definícií vo svojej všeobecnej podobe, podľa ktorej induktívne definície sú systémami pravidiel (pozri Aczel, 1977).

2.3.2 Definičná reflexia

Teória definičnej reflexie (Hallnäs, 1991; Hallnäs, 2006; Hallnäs a Schroeder-Heister, 1990/91; Schroeder-Heister, 1993) preberá výzvu logického programovania a dáva dôkazovo-teoretickú sémantiku nielen pre logické konštanty, ale pre svojvoľné výrazy, pre ktoré možno uviesť klauzulu. Formálne tento prístup začína zoznamom klauzúl, ktoré sú definíciou. Každá doložka má tvar

A ⇐ Δ

kde hlava A je atómový vzorec (atóm). V najjednoduchšom prípade je telo Δ je zoznam atómov B 1, …, B m, pričom v tomto prípade definícia vyzerá ako určité logiky programu. Často uvažujeme o rozšírenom prípade, keď A môže obsahovať aj niektoré štrukturálne implikácie „⇒“, a niekedy dokonca aj niektoré štrukturálne univerzálne implikácie, ktoré sa v zásade riešia obmedzením substitúcie. Ak má definícia A tvar

potom A má nasledujúce úvodné a vylučovacie pravidlá

Δ 1 · · Δ n A

1] n]
A C · · · C
C

Úvodné pravidlá, tiež nazývané pravidlá definitívneho ukončenia, vyjadrujú zdôvodnenie „spolu“s doložkami. Pravidlo eliminácie sa nazýva princíp definičnej reflexie, pretože odráža definíciu ako celok. Ak Δ 1,…, Δ nvyčerpať všetky možné podmienky na vytvorenie A podľa danej definície, a ak každá z týchto podmienok má rovnaký záver C, potom samotný A znamená tento záver. Ak sa na definíciu klauzuly pozerá ako na induktívnu definíciu, na túto zásadu sa dá pozerať ako na vyjadrenie extrémnej klauzuly v induktívnych definíciách: Nič iné ako uvedené klauzuly nedefinuje A. Definičná reflexia je, samozrejme, zovšeobecnenou formou diskutovaných princípov inverzie. Rozvíja svoju skutočnú moc v definičných kontextoch s voľnými premennými, ktoré presahujú čisto výrokové odôvodnenie, av kontextoch, ktoré nie sú opodstatnené. Príkladom nedefinovanej definície je definícia atómu R podľa jeho vlastnej negácie:

D R {R | )
D R {R | )

Tento príklad je podrobne opísaný v

Dodatok k definičným úvahám a paradoxom.

Ďalšie čítanie:

Pokiaľ ide o nedôveru a paradoxy, pozri záznamy o autoreferencii a Russellovom paradoxe, ako aj odkazy uvedené v dodatku, na ktorý sa odkazuje.

2.4 Štrukturálna charakterizácia logických konštánt

Existuje veľké množstvo myšlienok a výsledkov týkajúcich sa toho, čo by sa dalo nazvať „štrukturálna charakterizácia“logických konštánt, pričom „štrukturálne“je tu myslené tak v pravo-teoretickom zmysle „štrukturálnych pravidiel“, ako aj v rámci, ktorý nesie určitú štruktúru, kde je tento rámec opäť teoreticky opísaný. Niektorí z jej autorov používajú sémantickú slovnú zásobu a aspoň implicitne naznačujú, že ich téma patrí do oblasti sémantiky korektúry. Iní výslovne popierajú tieto konotácie, zdôrazňujúc, že sa zaujímajú o charakterizáciu, ktorá určuje logickosť konštanty. Otázka „Čo je to logická konštanta?“možno na ne odpovedať teoreticky, aj keď sémantika samotných konštánt je podmienená pravdou:Konkrétne tým, že vyžaduje, aby konštanty (možno podmienene definované pravdu) vykazovali určité inferenciálne správanie, ktoré možno opísať teoreticky. Keďže však niektorí autori zvažujú ich charakterizáciu v rovnakom čase ako sémantiku, je vhodné uviesť niektoré z týchto prístupov.

Najvýraznejším štruktúristom, pokiaľ ide o logické konštanty, ktorý sa ako taký výslovne chápe, je Koslow. Vo svojej Štrukturistickej teórii logiky (1992) rozvíja teóriu logických konštánt, v ktorej ich charakterizuje určitými „implikačnými vzťahmi“, kde implikačný vzťah zhruba zodpovedá konečnému následkovému vzťahu v Tarskiho zmysle (čo opäť možno opísať určité štrukturálne pravidlá systému sekvenčného štýlu) Koslow rozvíja štrukturálnu teóriu v presnom metamatematickom zmysle, ktorý nešpecifikuje doménu objektov žiadnym spôsobom nad rámec uvedených axiómov. Ak je uvedený jazyk alebo akákoľvek iná doména objektov vybavených implikačným vzťahom, štrukturálny prístup sa môže použiť na rozlíšenie logických zlúčenín kontrolou ich implikačných vlastností.

Popper (1947a; 1947b) vo svojich prvých prácach o základoch logiky uvádza inferenciálne charakterizácie logických konštánt v teoreticko-teoretických pojmoch. Používa počet sekvencií a charakterizuje logické konštanty podľa určitých podmienok odvoditeľnosti takýchto sekvencií. Jeho terminológia jasne naznačuje, že má v úmysle dokázať teoretickú sémantiku logických konštánt, keď hovorí o „inferenciálnych definíciách“a „trivializácii matematickej logiky“dosiahnutom definovaním konštánt opísaným spôsobom. Aj keď jeho prezentácia nie je bez konceptuálnej nepresnosti a chýb, ako prvý zvážil charakterizáciu inferenciálneho správania logických konštánt. To je o to pozoruhodnejšie, že pravdepodobne vôbec nebol,a rozhodne si nebol plne vedomý Gentzenovho sekvenčného počtu a Gentzenových ďalších úspechov (bol však v korešpondencii s Bernaysom). Avšak proti jeho vlastnému názoru sa dá jeho práca lepšie chápať ako pokus o definovanie logickosti konštánt a štruktúrne ich charakterizovať, ako o pravo-teoretickej sémantike. Predpovedal však veľa myšlienok, ktoré sú v súčasnosti bežné v korektúre sémantiky, ako je charakterizácia logických konštánt pomocou určitých minimálnych alebo maximálnych podmienok vzhľadom na pravidlá zavedenia alebo odstránenia.ako ako dôkazovo-sémantická sémantika v pravom slova zmysle. Predpovedal však veľa myšlienok, ktoré sú v súčasnosti bežné v korektúre sémantiky, ako je charakterizácia logických konštánt pomocou určitých minimálnych alebo maximálnych podmienok vzhľadom na pravidlá zavedenia alebo odstránenia.ako ako dôkazovo-sémantická sémantika v pravom slova zmysle. Predpovedal však veľa myšlienok, ktoré sú v súčasnosti bežné v korektúre sémantiky, ako je charakterizácia logických konštánt pomocou určitých minimálnych alebo maximálnych podmienok vzhľadom na pravidlá zavedenia alebo odstránenia.

Dôležitými príspevkami do debaty o logickosti, ktoré charakterizujú logické konštanty nepriamo z hľadiska následných pravidiel počtu, sú príspevky Kneale (1956) a Hacking (1979). Dôkladný popis logickosti navrhuje Došen (1980; 1989) vo svojej teórii logických konštánt ako „interpunkčné znamienka“, ktoré vyjadrujú štrukturálne prvky na logickej úrovni. Logické konštanty chápe tak, že sú charakterizované určitými pravidlami dvojitého riadku pre poradie, ktoré je možné čítať oboma smermi. Napríklad konjunkcia a disjunkcia sú (v klasickej logike, s úspešnými zložkami viacerých vzorcov) charakterizované pravidlami dvojitého riadku

A, A, B, A
Γ⊢ A ∧ B, Δ
Γ, A ⊢ Δ Γ, B ⊢ Δ
Γ⊢ A ∨ B, Δ

Došen je schopný uviesť charakteristiky, ktoré zahŕňajú systémy modálnej logiky. Výslovne považuje svoju prácu za príspevok k diskusii o logickosti a nie k koncepcii sémantiky dôkazov. Sambin a kol., Vo svojej základnej logike (Sambin, Battilotti a Faggian, 2000), výslovne chápu, čo Došen nazýva pravidlá dvojitých riadkov ako základné pravidlá udeľovania významov. Pravidlá dvojitého riadku pre spojenie a disjunkciu sa čítajú ako implicitné definície týchto konštánt, ktoré sa pomocou niektorých postupov môžu zmeniť na explicitné pravidlá sekvenčného štýlu, na ktoré sme zvyknutí. Sambin a kol. používajú rovnaký východiskový bod ako Došen, ale interpretujú ho nie ako štrukturálny popis správania konštánt, ale sémanticky ako ich implicitnú definíciu (pozri Schroeder-Heister, 2013).

Existuje niekoľko ďalších prístupov k jednotnej teoreticko-teoretickej charakterizácii logických konštánt, z ktorých všetky sa dotýkajú aspoň otázok teoreticko-teoretickej sémantiky. Takými teóriami sú Belnapova zobrazovacia logika (Belnap, 1982), Wansingova logická informačná štruktúra (Wansing, 1993b), generické korektívne editačné systémy a ich implementácia, ako napríklad logický rámec Edinburghu (Harper, Honsell a Plotkin, 1987) a mnoho následníkov, ktorí umožňujú špecifikáciu rôznych logických systémov. Od vzniku lineárnej a všeobecnejšie subštrukturálnej logiky (Di Cosmo a Miller, 2010; Restall, 2009) existujú rôzne prístupy zaoberajúce sa logikou, ktoré sa líšia v súvislosti s obmedzeniami ich štrukturálnych pravidiel. Nedávny pohyb smerom od vyčlenenia konkrétnej logiky ako pravého smerom k pluralistickejšiemu postoju (pozri napr. Beall a Restall, 2006), ktorý sa zaujíma o to, čo majú rôzne logiky spoločné bez akejkoľvek preferencie konkrétnej logiky, možno považovať za posun od sémantického odôvodnenia k štrukturálnej charakterizácii.

2.5 Teória kategoriálnych dôkazov

Existuje rozsiahla literatúra o teórii kategórií vo vzťahu k teórii dôkazov a po seminárnej práci Lawvereho, Lambeka a ďalších (pozri Lambek a Scott, 1986 a odkazy v nej uvedené) možno samotnú kategóriu považovať za druh abstraktného dôkazu. teórie. Ak sa pozrieme na šípku A → B v kategórii ako druh abstraktného dôkazu B z A, máme znázornenie, ktoré ide nad rámec čistej odvoditeľnosti B z A (pretože šípka má svoju individualitu), ale nezaoberá sa konkrétna syntaktická štruktúra tohto dôkazu. V prípade intuicionálnych systémov sa sémantika korektúry teoreticky v kategorizovanej podobe pravdepodobne najviac približuje tomu, čo je denotačná sémantika v klasickom prípade.

Jedným z najrozvinutejších prístupov k teórii kategorizačných dôkazov je Došen. Nielenže pokročil v uplatňovaní teórií metód kategorizácie v teórii dôkazov (napr. Došen a Petrić, 2004), ale tiež ukázal, ako je možné použiť metódy teoretických dôkazov v samotnej teórii kategórií (Došen, 2000). Najdôležitejšie pre kategoriálnu logiku vo vzťahu k sémantike korektúry je, že v kategoriálnej logike sa šípky vždy spájajú s vzťahom identity, ktorý v teórii korektúry zodpovedá identite dôkazov. Týmto spôsobom sa myšlienky a výsledky teórie kategorických dôkazov týkajú toho, čo sa môže nazývať náročnou sémantikou teoretických dôkazov, tj štúdiom dôkazov ako samostatných entít, nielen ako prostriedkov na zistenie dôsledkov (Došen, 2006, 2016). Ďalšou črtou kategorizačnej teórie dôkazov je to, že má svojou podstatou hypotetický charakter, čo znamená, že vychádza z hypotetických entít. Týmto spôsobom prekonáva paradigmu štandardnej, najmä validizačnej, sémantickej sémantiky (pozri oddiel 3.6).

Ďalšie čítanie:

Popperovu teóriu logických konštánt pozri Schroeder-Heister (2005).

Logické konštanty a ich logickosť sú uvedené v logických konštantách.

Pre kategorické prístupy pozri záznam o teórii kategórií.

3. Rozšírenia a alternatívy k štandardnej sémantike teoretických dôkazov

3.1 Pravidlá eliminácie ako základné

Väčšina prístupov k teoreticko-teoretickej sémantike považuje pravidlá zavádzania za základné, čo znamená dávať alebo zdôvodňovať, zatiaľ čo závery týkajúce sa eliminácie sú vzhľadom na dané pravidlá zavádzania opodstatnené. Táto koncepcia má najmenej tri korene: Prvou je verifikačná teória významu, podľa ktorej podmienky významnosti vety tvoria jej význam. Druhou je myšlienka, že musíme rozlišovať medzi tým, čo dáva zmysel a aké sú dôsledky tohto významu, pretože nie všetky inferenciálne znalosti môžu pozostávať z aplikácií definícií. Tretím je nadradenosť tvrdenia nad inými rečovými prejavmi, ako je prevzatie alebo odmietnutie, čo je implicitné vo všetkých doteraz zvažovaných prístupoch.

Dalo by sa skúmať, ako ďaleko sa človek dostane, skôr ako základom dôkazno-teoretickej sémantiky je zváženie pravidiel eliminácie ako pravidiel zavedenia. Dummett (1991, Ch. 13) načrtol niektoré myšlienky sémantiky sémantiky založenej skôr na eliminácii ako na úvodných pravidlách, aj keď vo veľmi základnej forme. Presnejšia definícia platnosti založená na eliminačných záveroch je spôsobená Prawitzom (1971; 2007; pozri tiež Schroeder-Heister 2015). Jeho podstatnou myšlienkou je, že uzavretý dôkaz sa považuje za platný, ak je výsledkom uplatnenia pravidla vylúčenia na jeho konečný vzorec platný dôkaz alebo sa tento dôkaz zníži na jeden. Napríklad uzavretý dôkaz o implikácii A → B je platný, ak je pre akýkoľvek daný uzavretý dôkaz A výsledok uplatnenia modus ponens

A → BA
B

Tieto dva dôkazy sú platným dôkazom B alebo sa redukujú len na takýto dôkaz. Táto koncepcia zachováva dve z troch základných zložiek Prawitzovej sémantiky teoretickej sémantiky (pozri časť 2.2.2): úlohu redukcie dôkazov a substitučný pohľad na predpoklady. Iba kanonickosť dôkazov končiacich úvodmi sa zmenila na kanonicitu dôkazov končiacich vylúčením.

3.2 Negácia a zamietnutie

Štandardná sémantika korektúry je zameraná na tvrdenie, že podmienky asertibility určujú význam logických konštánt. V súlade s intuicionálnym spôsobom postupu sa negácia a A vzorca A bežne chápe ako implikujúca absurditu A → ⊥, kde ⊥ je konštanta, ktorú nemožno uplatniť, tj pre ktorú nie je definovaná žiadna podmienka asertibility. Toto je „nepriamy“spôsob pochopenia negácie. V literatúre sa diskutuje o tom, čo by sa podľa von Kutschera (1969) mohlo nazývať „priamou“negáciou. Týmto sa rozumie primitívny operátor negácie na jednom mieste, ktorý nemôže byť, alebo aspoň nie, zredukovaný na naznačovanie absurdity. Nie je to ani klasická negácia. Skôr sa riadi pravidlami, ktoré zdvojujú obvyklé pravidlá pre logické konštanty. Niekedy sa to nazýva „odmietnutie“vety,niekedy aj „silná negácia“(pozri Odintsov, 2008). Typické pravidlá pre odmietnutie ~ A z A sú

~ A ~ B ~ A ~ B
~ (A ∨ B) ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Pravidlá odmietnutia pre prevádzkovateľa v zásade zodpovedajú pravidlám uplatnenia pre duálneho prevádzkovateľa. Preskúmalo sa niekoľko logík odmietnutia, najmä Nelsonova logika „konštruktívnej nepravdy“, ktorú Nelson (1949) najskôr motivoval vzhľadom na určitú sémantiku realizovateľnosti. Hlavný dôraz sa kladie na jeho systémy, ktoré sa neskôr nazývajú N3 a N4 a ktoré sa líšia v zaobchádzaní s protirečením (N4 je N3 bez protirečivého kvodlibetu). Pri použití odmietnutia je možné akýkoľvek prístup k sémantike teoretických dôkazov zdvojnásobiť len výmenou tvrdení a odmietnutí a obrátením sa z logických konštánt na ich duály. Pritom získa skôr systém založený na vyvrátení (= dôkaz o odmietnutí) ako na dôkazu. Dá sa to chápať tak, že na populárno-teoretickú sémantiku aplikuje popperovský pohľad.

Ďalším prístupom by nebolo len zdvojnásobiť tvrdenie-teoretickú sémantiku zameranú na tvrdenie v prospech vyvrátenia-teoretickej sémantiky zameranej na odmietnutie, ale vidieť vzťah medzi pravidlami pre tvrdenie a odmietnutie, ako sa riadi princípom inverzie alebo zásadou definičnej reflexie. jeho vlastné. To by bol princíp toho, čo by sa dalo nazvať „tvrdenie-odmietnutie-harmónia“. Zatiaľ čo v štandardnej sémantike korektúry, princípy inverzie kontrolujú vzťah medzi tvrdeniami a predpokladmi (alebo dôsledkami), takáto zásada by teraz upravovala vzťah medzi tvrdeniami a odmietnutím. Vzhľadom na určité definičné podmienky A by to znamenalo, že odmietnutie každej definujúcej podmienky A vedie k odmietnutiu samotného A. Pre spojenie a disjunkciu to vedie k spoločným párom pravidiel tvrdenia a zamietnutia

A B ~ A ~ B
A ∨ B A ∨ B ~ (A ∨ B)
AB ~ A ~ B
A ∧ B ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Táto myšlienka sa dá ľahko zovšeobecniť na definitívnu reflexiu, ktorá vedie k systému úvah, v ktorom sú vzájomne prepojené tvrdenia a odmietnutie. Súbežne s deduktívnymi vzťahmi medzi formami úsudku študovanými na tradičnom námestí opozície (Schroeder-Heister, 2012a; Zeilberger, 2008). Malo by sa zdôrazniť, že operátor odmietnutia je tu vonkajším znakom označujúcim formu rozsudku a nie ako logický operátor. To predovšetkým znamená, že sa nemôže opakovať.

3.3 Harmónia a odraz v následnom počte

Gentzenov postupný počet prejavuje symetriu medzi pravými a ľavými úvodnými pravidlami, ktoré naznačujú, že treba hľadať harmonický princíp, ktorý túto symetriu robí významnou pre sémantiku s teoretickými dôkazmi. Na riešenie tohto fenoménu sa sledovali najmenej tri riadky. (i) Pravidlá zavedenia práva alebo pravidlá zavedenia zľava sa považujú za pravidlá zavedenia. Opačné pravidlá (úvodné slová vľavo a vpravo) sú potom opodstatnené pomocou zodpovedajúcich vylučovacích pravidiel. To znamená, že metódy diskutované skôr sa aplikujú skôr na celé sekvencie, ako na vzorce v rámci sekvencií. Na rozdiel od týchto vzorcov nie sú poradie logicky štruktúrované. Preto tento prístup vychádza z definitívnej reflexie,ktoré uplatňujú harmóniu a inverziu k pravidlám pre ľubovoľne štruktúrované subjekty a nie iba pre logické kompozity. Realizovali ho de Campos Sanz a Piecha (2009). ii) Pravidlá uvádzania napravo a naľavo sú odvodené z charakterizácie v zmysle Došenových dvojradových pravidiel (oddiel 2.4), ktorá sa potom chápe ako definícia určitého druhu. Smer zhora nadol pravidla dvojitého riadku je už pravidlom zavádzania doprava alebo doľava. Druhú možno odvodiť zo smeru zdola nahor pomocou určitých zásad. Toto je základná významovo-teoretická zložka základnej logiky Sambin et al. (Sambin, Battilotti a Faggian, 2000). iii) Pravidlá zavádzania sprava a doľava sa chápu tak, že vyjadrujú interakciu medzi sekvenciami pomocou pravidla strihu. Na základe pravicových alebo ľavicových pravidieldoplňujúce pravidlá vyjadrujú, že všetko, čo určitým spôsobom interaguje s jeho predpokladmi, sa týka aj jej záverov. Táto myšlienka interakcie je zovšeobecnený symetrický princíp definičnej reflexie. Môže sa to považovať za zovšeobecnenie princípu inverzie, pričom sa skôr použije pojem interakcie ako odvoditeľnosť dôsledkov (pozri Schroeder-Heister, 2013). Všetky tri prístupy sa vzťahujú na sekvenčný počet v jeho klasickej podobe, s možným viac ako jedným vzorcom v postupnom poradí, vrátane štruktúrne obmedzených verzií, ktoré sa skúmajú v lineárnej a inej logike. Môže sa to považovať za zovšeobecnenie princípu inverzie, pričom sa skôr použije pojem interakcie ako odvoditeľnosť dôsledkov (pozri Schroeder-Heister, 2013). Všetky tri prístupy sa vzťahujú na sekvenčný počet v jeho klasickej podobe, s možným viac ako jedným vzorcom v postupnom poradí, vrátane štruktúrne obmedzených verzií, ktoré sa skúmajú v lineárnej a inej logike. Môže sa to považovať za zovšeobecnenie princípu inverzie, pričom sa skôr použije pojem interakcie ako odvoditeľnosť dôsledkov (pozri Schroeder-Heister, 2013). Všetky tri prístupy sa vzťahujú na sekvenčný počet v jeho klasickej podobe, s možným viac ako jedným vzorcom v postupnom poradí, vrátane štruktúrne obmedzených verzií, ktoré sa skúmajú v lineárnej a inej logike.

3.4 Subatomická štruktúra a prirodzený jazyk

Aj keď, rovnako ako v definičných úvahách, uvažujeme o definičných pravidlách pre atómy, ich definičné podmienky tieto atómy zvyčajne nerozkladajú. Wieckowski (2008; 2011; 2016) navrhol dôkazovo-teoretický prístup, ktorý zohľadňuje vnútornú štruktúru atómových viet. Používa úvodné a eliminačné pravidlá pre atómové vety, pričom tieto atómové vety sa nielen redukujú na iné atómové vety, ale aj na subatomické výrazy predstavujúce význam predikátov a jednotlivých mien. Toto možno vnímať ako prvý krok smerom k aplikáciám prirodzenej reči sémantiky sémantiky. Ďalším krokom v tomto smere bol podnik Francez, ktorý vyvinul korektoristickú sémantiku niekoľkých fragmentov angličtiny (pozri Francez, Dyckhoff a Ben-Avi, 2010; Francez a Dyckhoff, 2010,Francez a Ben-Avi 2015).

3.5 Klasická logika

Dôkazová sémantika je intuicionálne zaujatá. Je to spôsobené skutočnosťou, že prirodzená dedukcia ako jej uprednostňovaný rámec má určité vlastnosti, vďaka ktorým je obzvlášť vhodný pre intuicionálnu logiku. Pri klasickom prirodzenom odvodení ex falso quodlibet

A

sa nahrádza pravidlom klasického reductio ad absurdum

[A → ⊥]
A

Tým, že sa umožní odvodiť A → ⊥ na odvodenie A, toto pravidlo narúša zásadu podzložky. Ďalej, v tom, že obsahuje ⊥ aj A → ⊥, odkazuje na dva rôzne logické konštanty v jednom pravidle, takže už žiadne oddelenie logických konštánt neexistuje. A nakoniec, ako pravidlo eliminácie pre ⊥ sa neriadi všeobecným vzorcom uvádzania a vylučovania. V dôsledku toho sa ničí vlastnosť formy úvodu, že každá uzavretá derivácia sa môže zredukovať na tú, ktorá používa pravidlo úvodu v poslednom kroku.

Klasická logika veľmi dobre zapadá do viacnásobného postupného počtu. Tam nepotrebujeme žiadne ďalšie zásady okrem tých, ktoré sa predpokladajú v intuicionálnom prípade. Na získanie klasickej logiky postačuje iba štrukturálny rys umožňujúci viac ako jeden vzorec v následnej. Pretože existujú reálne prístupy na vytvorenie harmónie medzi úvodmi do pravého a ľavými úvodmi v sekvenčnom počte (pozri oddiel 3.3), zdá sa, že klasická logika je úplne opodstatnená. Je to však presvedčivé, iba ak je odôvodnenie vhodne koncipované ako proces s viacerými závermi, aj keď to nezodpovedá nášmu štandardnému postupu, v ktorom sa zameriavame na jednotlivé závery. Dalo by sa skúsiť vyvinúť primeranú intuíciu tvrdením, že zdôvodnenie viacerých záverov vymedzuje skôr oblasť, v ktorej leží pravda, než aby bol jediný návrh stanovený ako pravdivý. Túto intuíciu je však ťažké udržať a bez vážnych ťažkostí ju nemožno formálne zachytiť. Filozofické prístupy, ako napríklad prístupy od Shoesmitha a Smileyho (1978) a teoreticko-teoretické prístupy, ako sú kontrolné siete (pozri Girard, 1987; Di Cosmo a Miller, 2010), sú pokusmi týmto smerom.

Základným dôvodom zlyhania vlastnosti formy úvodu v klasickej logike je indeterminizmus spojený so zákonmi o disjunkcii. A ^ B možno odvodiť z A, ako aj z B. Preto, ak by disjunkčné zákony boli jediným spôsobom, ako vyvodiť A ∨ B, odvoditeľnosť A is A, ktorá je kľúčovým princípom klasickej logiky, by znamenala, že A, alebo urd A, čo je absurdné, by bola odvodená. Jedným z východísk z tohto problému je zrušenie indeterministického disjunkcie a použitie jeho klasického de Morganovho ekvivalentu ¬ (¬ A ∧¬ B). To v podstate vedie k logike bez riadneho rozpojenia. V prípade kvantifikátora by tiež neexistoval žiadny vhodný existenciálny kvantifikátor, pretože ∃ xA by sa malo chápať v zmysle ¬∀ x ¬ A. Ak je niekto pripravený prijať toto obmedzenie, môžu sa pre klasickú logiku formulovať určité zásady harmónie.

3.6 Hypotetické zdôvodnenie

Štandardné prístupy k sémantike teoretických dôkazov, najmä prístup Prawitzov založený na platnosti (oddiel 2.2.2), považujú za základné uzavreté derivácie. Platnosť otvorených derivátov je definovaná ako prenos platnosti z uzavretých derivácií predpokladov do uzavretej derivácie tvrdenia, pričom toto získanie sa získa nahradením uzavretej derivácie otvoreným predpokladom. Ak teda niekto nazýva uzavreté derivácie „kategorické“a otvorené derivácie „hypotetické“, možno tento prístup charakterizovať ako nasledujúce dve základné myšlienky: (I) Nadradenosť kategorickej nad hypotetickou, (II) pohľad na prenos dôsledkov. Tieto dva predpoklady (I) a (II) možno považovať za dogmy štandardnej sémantiky (pozri Schroeder-Heister 2012c). „Štandardná sémantika“tu neznamená iba štandardnú sémantiku teoretických dôkazov,ale aj klasickú sémantiku teoretických modelov, kde sa predpokladá, že tieto dogmy sú. Začína sa definíciou pravdy, ktorá je kategorickým pojmom a definuje následky, hypotetický pojem, ako prenos pravdy z podmienok do následkov. Z tohto hľadiska si konštruktívna sémantika, vrátane sémantiky teoreticko-teoretických, vymieňa pojem pravdy s konceptom konštrukcie alebo dôkazu a interpretuje „prenos“v zmysle konštruktívnej funkcie alebo postupu, ale inak ponecháva rámec nedotknutý.konštruktívna sémantika, vrátane sémantiky teoretického overovania, vymieňajú pojem pravdy s konceptom konštrukcie alebo dôkazu a interpretujú „prenos“v zmysle konštruktívnej funkcie alebo postupu, ale inak rámec nechávajú nedotknutý.konštruktívna sémantika, vrátane sémantiky teoretického overovania, vymieňajú pojem pravdy s konceptom konštrukcie alebo dôkazu a interpretujú „prenos“v zmysle konštruktívnej funkcie alebo postupu, ale inak rámec nechávajú nedotknutý.

S týmito dogmami v zásade nie je nič zlé. V štandardnom rámci sa však ťažko riešia javy. Takýmto javom je nedostatočná kvalifikácia, najmä kruhovitosť, kde môžeme mať následky bez prenosu pravdy a preukázateľnosti. Ďalším fenoménom sú subštrukturálne rozdiely, kde je nevyhnutné zahrnúť štruktúrovanie predpokladov od samého začiatku. Navyše, a to je najdôležitejšie, môžeme veci definovať určitým spôsobom bez toho, aby sme vopred vedeli, či je naša definícia alebo reťazec definícií opodstatnená alebo nie. Najprv sa nezapojíme do metalinguistického štúdia definície, s ktorou začíname, ale chceli by sme začať okamžite uvažovať. Tento problém sa nezíska, ak sa obmedzíme na prípad logických konštánt,ak sú definujúce pravidlá triviálne opodstatnené. Problém však nastáva okamžite, keď zvážime zložitejšie prípady, ktoré presahujú logické konštanty.

Preto je potrebné postupovať iným smerom a začať s hypotetickým konceptom dôsledkov, tj charakterizovať dôsledok priamo bez toho, aby sa redukoval na kategorický prípad. Filozoficky to znamená, že kategorický koncept je obmedzujúcim pojmom hypotetického konceptu. V klasickom prípade by pravda bola obmedzujúcim prípadom dôsledkov, konkrétne dôsledkom bez hypotéz. Tento program úzko súvisí s prístupom teórie kategoriálnych dôkazov (oddiel 2.5), ktorý je založený na nadradenosti hypotetických entít („šípky“). Formálne by to uprednostnilo sekvenčný počet pred prirodzenými dedukciami, pretože sekvenčný počet umožňuje manipuláciu na predpokladovej strane sekvencie pomocou pravidiel na zavedenie vľavo.

3.7 Náročná sémantika teoretických dôkazov

Ako je uvedené v prvej časti (1.1), sémantika korektúry je v duchu náročná, pretože sa zaujíma o dôkazy a nie iba o preukázateľnosť. Čo sa týka dôkazno-teoretickej sémantiky, nie je relevantné iba to, či B vyplýva z A, ale tiež, akým spôsobom môžeme zistiť, že B vyplýva z A. Inými slovami, identita dôkazov je dôležitou otázkou. Aj keď je to evidentne evidentné a sémantici teoretických dôkazov by za normálnych okolností súhlasili s týmto abstraktným tvrdením, prax v sémantike teoretických dôkazov je často iná a téma identity dôkazov je veľmi zanedbávanou témou. Stáva sa často, že sú identifikované rovnako silné pravidlá. Napríklad, keď sa diskutuje o zásadách harmónie a uvažuje sa o štandardnom zavedení pravidla pre spojenie

AB
A ∧ B

Mnohí teoretici sémantiky teoretických znalostí by považovali za irelevantné, či si vyberie dvojicu projekcií

A ∧ B A ∧ B
A B

alebo pár

A ∧ B A ∧ BA
A B

ako pravidlá eliminácie spojenia. Druhá dvojica pravidiel by sa často považovala za zložitejší variant dvojice projekcií. Z náročného hľadiska však tieto dva páry pravidiel nie sú totožné. Ich identifikácia zodpovedá identifikácii A ∧ B a A ∧ (A → B), čo je iba extenzívne, ale nie inkrementálne správne. Ako často tvrdil Došen (napr. Došen 1997, 2006), vzorce ako A ∧ B a A ∧ (A → B) sú rovnocenné, ale nie izomorfné. Tu „izomorfný“znamená, že keď dokážeme jeden vzorec od druhého a naopak, získame kombináciou týchto dvoch dôkazov dôkaz totožnosti. V tomto príklade to tak nie je.

Uskutočňovanie tejto myšlienky vedie k zásadám harmónie a inverzie, ktoré sa líšia od štandardných. Pretože harmónia a inverzia leží v centre sémantiky teoretických dôkazov, dotýka sa mnohých jej otázok. Ak vezmeme tému náročnosti vážne, môže sa pretvoriť mnoho oblastí sémantiky teoretických dôkazov. A keďže identita dôkazov je základnou témou teórie kategoriálnych dôkazov, bude sa musieť teórii teórií dôkazov venovať väčšia pozornosť, ako je tomu v súčasnosti.

Ďalšie čítanie

O negácii a zamietnutí pozri Tranchini (2012b); Wansing (2001).

Sémantiku prirodzeného jazyka nájdete vo francúzštine (2015).

Pre klasickú logiku pozri záznam o klasickej logike.

Hypotetické uvažovanie a tvrdá sémantika teoretických dôkazov pozri Došen (2003, 2016) a Schroeder-Heister (2016a).

4. Záver a výhľad

Štandardná sémantika korektúry je prakticky výlučne obsadená logickými konštantami. Logické konštanty zohrávajú ústrednú úlohu pri uvažovaní a odvodzovaní, ale určite nie sú výhradnými a možno ani najtypickejšími druhmi entít, ktoré je možné definovať nepriamo. Je potrebný rámec, ktorý sa zaoberá inferenčnými definíciami v širšom zmysle a pokrýva rovnako logické, ako aj mimologické inferenčné definície. Myšlienka definičnej reflexie s ohľadom na svojvoľné definičné pravidlá (pozri 2.3.2) a tiež aplikácie v prirodzenom jazyku (pozri 3.4) ukazuje týmto smerom, ale je možné si predstaviť ďalekosiahlejšie koncepcie. Okrem toho je koncentrácia na harmóniu, inverzné princípy, definičné reflexie a podobne zavádzajúca,ako by to mohlo naznačovať, že sémantika korektúry spočíva iba v tom. Je potrebné zdôrazniť, že už v oblasti aritmetiky sú okrem inverzie potrebné prísnejšie zásady. Napriek týmto obmedzeniam však sémantika korektúry už získala veľmi významné úspechy, ktoré môžu konkurovať rozšírenejším prístupom k sémantike.

Bibliografia

  • Aczel, Peter (1977). „Úvod k indukčným definíciám“, v Handbook of Mathematical Logic, John Barwise (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 739 - 782.
  • Beall, JC a Greg Restall (2006). Logický pluralizmus, Oxford: Oxford University Press.
  • Belnap, Nuel D. (1982). „Display Logic“, Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
  • Brandom, Robert B. (2000). Vysvetľujúce dôvody: Úvod do inferentializmu, Cambridge Mass.: Harvard University Press.
  • de Campos Sanz, Wagner a Thomas Piecha (2009). „Inverzia definičným odrazom a prípustnosť logických pravidiel“, prehľad symbolickej logiky, 2: 550–569.
  • –––, Thomas Piecha a Peter Schroeder-Heister (2014). „Konštruktívna sémantika, prípustnosť pravidiel a platnosť Peircovho zákona“, Logic Journal of IGPL, 22: 297–308.
  • de Groote, Philippe, ed. (1995). Izomorfizmus Curryho-Howarda, zväzok 8 v Cahiers du Centre de Logique, Academia-Bruyland.
  • Di Cosmo, Roberto a Dale Miller (2010). „Lineárna logika“, Stanfordská encyklopédia filozofie (jeseň 2010, vydanie), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Došen, Kosta (1980). Logické konštanty: Esej v Proof Theory, D. Phil. Diplomová práca, Katedra filozofie, Oxfordská univerzita.
  • ––– (1989). „Logické konštanty ako interpunkčné znamienka“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 30: 362–381.
  • ––– (1997). „Logický dôsledok: Strih v štýle“, v: Dalla Chiara, ML, K. Doets, D. Mundici, J. van Benthem (ed.), Logické a vedecké metódy: Zväzok Jeden z desiateho medzinárodného kongresu logiky, metodika and Philosophy of Science, Florence, August 1995, Dordrecht: Kluwer, 289-311.
  • ––– (2000). Vylúčenie v kategórii zníženie, Berlín: Springer.
  • ––– (2003). „Identita dôkazov založená na normalizácii a všeobecnosti“, Bulletin of Symbolic Logic, 9: 477–503.
  • ––– (2006). „Modely odpočtu“, v: Kahle a Schroeder-Heister, eds. (2006), s. 639 - 657.
  • ––– (2016). „Na cestách kategórií“, v: Piecha a Schroeder-Heister, eds. (2016b), s. 65 - 77.
  • ––– a Zoran Petrić (2004). Dôkazová a teoretická koherencia, Londýn: College Publications.
  • Dummett, Michael (1991). Logický základ metafyziky, Londýn: Duckworth.
  • Francez, Nissim (2015). Prooforetická sémantika, Londýn: College Publications.
  • ––– a Gilad Ben-Avi (2015). „Dôkazovo-teoretická rekonštrukcia zovšeobecnených kvantifikátorov“, Journal of Semantics, 32: 313–371.
  • ––– a Roy Dyckhoff (2010). „Dôkazová sémantika pre fragment prírodného jazyka“, lingvistika a filozofia, 33: 447–477.
  • –––, Roy Dyckhoff a Gilad Ben-Avi (2010). „Dôkazová sémantika sémantiky pre vedľajšie frázy“, Studia Logica, 94: 381–401.
  • Gentzen, Gerhard (1934/35). „Untersuchungen über das logische Schließen“, Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431; Anglický preklad v The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ME Szabo (ed.), Amsterdam: North Holland, 1969, s. 68–131.
  • Girard, Jean-Yves (1987). „Lineárna logika“, teoretická informatika, 50: 1-102.
  • Hacking, Ian (1979). „Čo je to logika?“, Journal of Philosophy, 76: 285–319.
  • Hallnäs, Lars (1991). „Čiastočné indukčné definície“, Teoretická informatika, 87: 115–142.
  • ––– (2006). „O teoreticko-teoretickom základe teórie všeobecných definícií“, Synthese, 148: 589–602.
  • Hallnäs, Lars a Peter Schroeder-Heister (1990/91). „Dôkazovo-teoretický prístup k logickému programovaniu: I. Klauzuly ako pravidlá. II. Programy ako definície “, Journal of Logic and Computation, 1: 261–283, 635–660.
  • Harper, Robert, Furio Honsell a Gordon Plotkin (1987). „Rámec pre definovanie logiky“, Vestník Združenia pre počítačové stroje, 40: 194–204.
  • Humberstone, Lloyd (2010). „Sentence Connectives in Formal Logic“, Stanfordská encyklopédia filozofie (vydanie z leta 2010), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Jaśkowski, Stanisław (1934). „K Pravidlám predpokladov vo formálnej logike“, Studia Logica, 1: 5–32 (dotlač v S. McCall (ed.), Poľská logika 1920 - 1939, Oxford 1967, s. 232–258).
  • Jäger, Gerhard a Robert F. Stärk (1998). „Proof-theoretic Framework for Logic Programming“, Handbook of Proof Theory, Samuel R. Buss (ed.), Amsterdam: Elsevier, s. 639–682.
  • Kahle, Reinhard a Peter Schroeder-Heister, eds. (2006). Proof-theoretic Sémantika, Zvláštne vydanie Synthese, Zväzok 148.
  • Kneale, William (1956). „The Province of Logic“, Contemporary British Philosophy, HD Lewis (ed.), London: Allen and Unwin, s. 237–261.
  • Koslow, Arnold (1992). Štrukturistická teória logiky, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kreisel, Georg (1971). „Prehľad teórie dôkazov II“, zborník z druhého škandinávskeho logického sympózia, JE Renstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 109–170.
  • Kremer, Philip (2009). „Teória revízie pravdy“, Stanfordská encyklopédia filozofie (vydanie z jari 2009), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Kreuger, Per (1994). „Axiómy v definičných kalkulách“, rozšírenie logického programovania: Zborník zo 4. medzinárodného seminára, ELP'93, St. Andrews, Spojené kráľovstvo, marec / apríl 1993 (poznámky o prednáškach v informatike, Voluem 798), Roy Dyckhoff (ed.), Berlin: Springer, s. 196 - 205.
  • Lambek, J. a PJ Scott (1986). Úvod do kategorickej logiky vyššieho poriadku, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lorenzen, Paul (1955). Einführung v operatívnom Logik und Mathematik, Berlín: Springer; 2. vydanie, 1969.
  • Martin-Löf, Per (1971). „Hauptsatz za intuicionálnu teóriu iterovaných induktívnych definícií“, Zborník druhého škandinávskeho logického sympózia, JE Fenstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 179–216.
  • ––– (1984). Intuitionistická teória typov, Neapol: Bibliopolis.
  • ––– (1995). „Verifikácia v minulosti a teraz“, základná debata: Zložitosť a konštruktivita v matematike a fyzike, Werner DePauli-Schimanovich, Eckehart Köhler a Friedrich Stadler (ed.), Dordrecht: Kluwer, s. 187–196.
  • ––– (1998). „Pravda a zrozumiteľnosť: Na princípoch C a K Michaela Dummetta“, Pravda v matematike, Harold G. Dales a Gianluigi Oliveri (ed.), Oxford: Clarendon Press, s. 105–114.
  • Negri, Sara a Jan von Plato (2001). Štrukturálna korektúra, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Nelson, David (1949). „Constructible Falsity“, Journal of Symbolic Logic, 14: 16–26.
  • Odintsov, Sergei P. (2008). Konštruktívne negácie a nesúlad, Berlín: Springer.
  • Piecha, Thomas (2016). „Úplnosť v sémantike dôkazov“. In: Piecha a Schroeder-Heister, ed. (2016b), s. 231 - 251.
  • –––, Wagner de Campos Sanz a Peter Schroeder-Heister (2015). „Zlyhanie úplnosti v proofetickej sémantike“, Journal of Philosophical Logic, 44: 321–335.
  • ––– a Peter Schroeder-Heister (2016a). „Atómové systémy v proko-teoretickej sémantike: dva prístupy“, v: Redmond, J., OP Martins, Á. N. Fernándezova epistemológia, vedomosti a vplyv interakcie, Cham: Springer, s. 47–62.
  • ––– a Peter Schroeder-Heister, eds. (2016b). Pokroky v sémantike dôkazov, Cham: Springer (otvorený prístup)
  • Popper, Karl Raimund (1947a). „Logika bez predpokladov“, Zborník aristotelskej spoločnosti, 47: 251–292.
  • ––– (1947b). „Nové základy pre logiku“, Mind, 56: 193–235; opravy, Mind, 57: 69–70.
  • Prawitz, Dag (1965). Prírodné odpočty: Proof-theoretical Study, Stockholm: Almqvist & Wiksell; dotlač Mineola, NY: Dover Publications, 2006.
  • ––– (1971). „Nápady a výsledky v dôkazovej teórii“, zborník druhého škandinávskeho logického sympózia (Oslo 1970), Jens E. Fenstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 235–308.
  • ––– (1972). „Filozofická pozícia teórie dôkazov“, súčasná filozofia v Škandinávii, RE Olson a AM Paul (ed.), Baltimore, Londýn: John Hopkins Press, s. 123–134.
  • ––– (1973). „Smerom k založeniu všeobecnej teórie dôkazov“, Logic, Methodology and Philosophy of Science IV, Patrick Suppes, et al. (eds.), Amsterdam: Severný Holland, s. 225 - 250.
  • ––– (1974). „K myšlienke všeobecnej teórie dôkazov“, Synthese, 27: 63–77.
  • ––– (1985). „Poznámky k niektorým prístupom k koncepcii logických dôsledkov“, Synthese, 62: 152–171.
  • ––– (2006). “Význam priblížený pomocou dôkazov”, Synthese, 148: 507–524.
  • ––– (2007). „Pragmatistické a verifikačné teórie významu“, filozofia Michaela Dummetta, Randalla E. Auxiera a Lewisa Edwina Hahna (ed.), La Salle: Open Court, s. 455–481.
  • ––– (2013). „Prístup k všeobecnej teórii korektúry a domnienka druhu úplnosti intuitívnej logiky prepracovanej“, pokroky v prirodzenej dedukcii, Edward Hermann Haeusler, Luiz Carlos Pereira a Valeria de Paiva (ed.), Berlín: Springer.
  • Prečítajte si, Stephen (2010). „Všeobecne-eliminačná harmónia a význam logických konštánt“, Journal of Philosophical Logic, 39: 557–576.
  • Restall, Greg (2009). „Substructural Logics“, Stanfordská encyklopédia filozofie (vydanie z leta 2009), Edward N. Zalta (ed.), URL =,
  • Sambin, Giovanni, Giulia Battilotti a Claudia Faggian (2000). „Základná logika: Reflexia, symetria, viditeľnosť“, Journal of Symbolic Logic, 65: 979–1013.
  • Sandqvist, Tor (2009). „Klasická logika bez bivalencie“, analýza, 69: 211–218.
  • Schroeder-Heister, Peter (1984). „Prirodzené rozšírenie prirodzeného odpočtu“, Journal of Symbolic Logic, 49: 1284–1300.
  • ––– (1991). „Jednotná dôkazná sémantika sémantiky pre logické konštanty (abstrakt)“, Journal of Symbolic Logic, 56: 1142.
  • ––– (1992). „Zníženie eliminácie v logike s definičnou reflexiou“, neklasická logika a spracovanie informácií: Zborník z medzinárodného seminára, Berlín, november 1990 (poznámky o prednáškach z informatiky: zväzok 619). David Pearce a Heinrich Wansing (ed.), Berlín: Springer, s. 146 - 171.
  • ––– (1993). „Pravidlá definičnej reflexie“, zborník z 8. výročného sympózia IEEE o logike v informatike, Los Alamitos: IEEE Press, s. 222–232.
  • ––– (2004). „K pojmu domnienky v logických systémoch“, vybrané príspevky prispeli do sekcií GAP5 (piaty medzinárodný kongres spoločnosti pre analytickú filozofiu, Bielefeld, 22. - 26. septembra 2003), R. Bluhm a C. Nimtz (ed.), Paderborn: mentis je k dispozícii online), s. 27–48.
  • ––– (2005). „Popperova štrukturalizačná teória logiky“, Karl Popper: Hodnotenie sté výročia. Vol. III: Science, Ian Jarvie, Karl Milford a David Miller (ed.), Aldershot: Ashgate, s. 17–36.
  • ––– (2006). „Koncepty platnosti v prognostickej sémantike“, Synthese, 148: 525–571.
  • ––– (2007). „Všeobecný definičný odraz a princíp inverzie“, Logica Universalis, 1: 355–376.
  • ––– (2008a). „Lorenzenovo operatívne odôvodnenie intuitionistickej logiky“, sto rokov intuitionizmu (1907-2007): konferencia v Cerisy, Mark van Atten a kol. (eds.), Basel: Birkhäuser, 214–240 [Referenčné odkazy na celý zväzok: 391–416].
  • ––– (2008b). „Dôsledok teoretickej verzus teoretické následky“, Ročenka logiky 2007, M. Peliš (ed.), Praha: Filosofia, s. 187–2007.
  • ––– (2012a). „Definičné zdôvodnenie v proofetickej sémantike a námestí opozície“, Námestie opozície: Všeobecný rámec poznania, Jean-Yves Béziau a Gillman Payette (ed.), Bern: Peter Lang, s. 323–349.
  • ––– (2012b). „Dôkazová sémantika, sebavedomie a formát deduktívneho zdôvodnenia“. In: Topoi 31, s. 77 - 85.
  • ––– (2012c). „Kategorická a hypotetická: kritika niektorých základných predpokladov štandardnej sémantiky“. In: Synthese 187, s. 925 - 942.
  • ––– (2012d). „Paradoxy a štrukturálne pravidlá“. In: Dutilh Novaes, Catarina a Ole T. Hjortland, vyd., Insolubles and Consequences. Eseje na počesť Štefana Čítať. London: College Publications, s. 203–211.
  • ––– (2013). „Definičná reflexia a základná logika“, Annals of Pure and Applied Logic, 164 (4): 491–501.
  • ––– (2015). „Dôkazová teoretická platnosť založená na pravidlách vylúčenia“. In: Haeusler, Edward Hermann, Wagner de Campos Sanz a Bruno Lopes, ed., Prečo je to dôkaz? Festschrift pre Luiz Carlos Pereira. London: College Publications, s. 159 - 176.
  • ––– (2016a). „Otvorené problémy v proofetickej sémantike“. In: Piecha a Schroeder-Heister, ed. (2016b), s. 253 - 283.
  • ––– (2016b). „Obmedzenie počiatočných sekvencií: kompromisy medzi identitou, kontrakciou a obmedzením“. In: Kahle, Reinhard, Thomas Strahm a Thomas Studer, ed., Advances in Proof Theory Basel: Birkhäuser, s. 339–351.
  • Shoesmith, DJ a Timothy J. Smiley (1978). Logika viacerých záverov, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sommaruga, Giovanni (2000). História a filozofia teórie konštruktívneho typu, Dordrecht: Kluwer.
  • Sørensen, Morten Heine B. a Pawel Urzyczyn (2006). Prednášky o karí-Howardovom izomorfizme, Amsterdam: Elsevier.
  • Tait, W. W: (1967). „Intenzívne interpretácie funkcií konečného typu I“, Journal of Symbolic Logic, 32: 198–212.
  • Tennant, Neil (1978). Natural Logic, Edinburgh: Edinburgh University Press.
  • ––– (1982). „Dôkaz a paradox“, Dialectica, 36: 265–296.
  • ––– (1987). Anti-realizmus a logika: Pravda ako večný, Oxford: Clarendon Press.
  • ––– (1997). Skrotenie pravdy, Oxford: Clarendon Press.
  • Tranchini, Luca (2010). Dôkaz a pravda: Anti-realistická perspektíva, Milano: Edizioni ETS, 2013; dotlač Ph. D. dizertačná práca, Katedra filozofie, Univerzita v Tuebingene, 2010, k dispozícii online.
  • ––– (2012a). „Pravda z perspektívy teoretickej korektúry“. In: Topoi 31, s. 47 - 57.
  • ––– (2012b). „Prírodná zrážka pre duálnu intuitívnu logiku“, Studia Logica, 100: 631–648.
  • ––– (2016). „Dôkazová sémantika, paradoxy a rozlíšenie medzi zmyslom a denotáciou“, Journal of Logic and Computation, 26, s. 495–512.
  • Troelstra, Anne S. a Dirk van Dalen (1988). Konštruktivizmus v matematike: Úvod, Amsterdam: Severný Holland.
  • Troelstra, AS a H. Schwichtenberg (2000). Základná teória korektúry, Cambridge University Press, druhé vydanie.
  • von Kutschera, Franz (1968). “Die Vollständigkeit des Operatorensystems {¬, ∧, ∨, ⊃} für die intuitionistische Aussagenlogik in Rahmen der Gentzensemantik”, Archiv for Mathatische Logik und Grundlagenforschung, 11: 3–16.
  • ––– (1969). „Ein verallgemeinerter Widerlegungsbegrifff für Gentzenkalküle“, Archiv for Mathatische Logik und Grundlagenforschung, 12: 104–118.
  • Wansing, Heinrich (1993a). „Funkčná úplnosť pre subsystémy intuitívnej progresívnej logiky“, Journal of Philosophical Logic, 22: 303–321.
  • ––– (1993b). Logika informačných štruktúr (prednášky z umelej inteligencie, zväzok 681), Berlín: Springer Springer.
  • ––– (2000). „Idea proofetickej sémantiky“, Studia Logica, 64: 3–20.
  • ––– (2001). „Negation“, The Blackwell Guide of Philosophical Logic, L. Goble (ed.), Cambridge, MA: Blackwell, s. 415–436.
  • Wieckowski, Bartosz (2008). „Predikcia vo fikcii“, v ročenke Logica 2007, M. Peliš (ed.), Praha: Filosofia, s. 267–285.
  • ––– (2011). „Pravidlá pre subatomickú deriváciu“, prehľad symbolickej logiky, 4: 219–236.
  • ––– (2016). „Subatomická prirodzená zrážka pre naturalistický jazyk prvého poriadku s neprimitívnou identitou“, Journal of Logic, Language and Information, 25: 215–268.
  • Zeilberger, Noam (2008). „O jednote duality“, Annals of Pure and Applied Logic, 153: 66–96.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Ako citovať tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Ukážku verzie tohto príspevku vo formáte PDF si môžete pozrieť na stránke Friends of the SEP Society.
ikona
ikona
Vyhľadajte túto vstupnú tému v projekte Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona phil papiere
ikona phil papiere
Vylepšená bibliografia tohto záznamu vo PhilPapers s odkazmi na jeho databázu.

Ďalšie internetové zdroje

  • de Campos Sanz, Wagner a Thomas Piecha (2012). „Poznámky ku konštruktívnej sémantike pre klasickú a intuitívnu logiku,“online rukopis.
  • Tranchini, Luca (2012b). „Dôkazová sémantika, paradoxy a rozlíšenie medzi zmyslom a denotáciou“, online rukopis.

Odporúčaná: