Teória Revízie Pravdy

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-08-25 04:39

Toto je dokument v archívoch Stanfordskej encyklopédie filozofie.

Teória revízie pravdy

Prvýkrát publikované 15. decembra 1995; podstatná revízia piatok 28. júla 2006

Zvážte túto vetu:

(1) nie je pravda.

(1)

Už dlho je známe, že veta (1) vytvára paradox, tzv. Klamársky paradox: zdá sa, že nie je možné dôsledne tvrdiť, že (1) je pravda, a nemožné dôsledne tvrdiť, že (1) nie je pravda. (Podrobnosti sú uvedené nižšie v oddiele 1.) Vzhľadom na taký paradox by mohol byť skeptický názor na pravdu alebo aspoň na vyhliadky na to, aby sa vedecký náležite zdôvodnil. Veľkým úspechom Alfreda Tarského bolo ukázať, ako dať - proti tomuto skepticizmu - formálnu definíciu pravdy pre širokú skupinu formalizovaných jazykov. Tarski však nepreukázal, ako definovať pravdu pre jazyky (ako je angličtina), ktoré obsahujú ich vlastné predikáty pravdy. Myslel si, že sa to nedá urobiť, práve kvôli paradoxu klamára. Počítal s tým, že akýkoľvek jazyk s vlastným predikátom pravdy by bol nekonzistentný, pokiaľ by dodržiaval pravidlá štandardnej klasickej logiky a mal schopnosť odvolávať sa na svoje vlastné vety.

Vzhľadom na úzke spojenie medzi významom a pravdou sa všeobecne usudzuje, že akákoľvek sémantika pre jazyk L, tj akákoľvek teória významu pre L, bude úzko súvisieť s teóriou pravdy pre L: skutočne sa bežne predpokladá, že niečo ako Tarskovská teória pravdy pre L bude ústrednou časťou sémantiky pre L. Nemožnosť dávať Tarskovskú teóriu pravdy pre jazyky s ich vlastnými predikátmi pravdy teda ohrozuje projekt sémantiky pre jazyky s ich vlastnými predikátmi pravdy.

Museli sme čakať na prácu Kripkeho 1975 a Martina a Woodruffa 1975 na systematický formálny návrh sémantiky pre jazyky s vlastnými pravdivými predikátmi. Základné myslenie je jednoduché: trestné vety, ako napríklad (1), nie sú ani pravdivé, ani nepravdivé. Najmä Kripke ukazuje, ako realizovať túto myšlienku pre širokú škálu jazykov, pričom v skutočnosti využíva sémantiku s tromi hodnotami, pravdivú, nepravdivú a ani jednu. ^[1] Dá sa bezpečne povedať, že kripské prístupy nahradili Tarskovský pesimizmus ako novú ortodoxiu týkajúcu sa jazykov s ich vlastnými pravdivými predikátmi.

Jedným z hlavných rivalov trojhodnotovej sémantiky je Revízna teória pravdy alebo RTT, ktorú nezávisle predstavili Hans Herzberger a Anil Gupta, a prvýkrát predstavená v publikácii Herzberger 1982a a 1982b, Gupta 1982 a Belnap 1982 - prvé monografie. o témach sú Yaqūb 1993 a locus classicus, Gupta a Belnap 1993. RTT je navrhnutý tak, aby modeloval druh zdôvodnenia, ku ktorému vedie lhárska veta v dvojhodnotovom kontexte. Ústrednou myšlienkou je myšlienka procesu revízie: procesu, ktorým revidujeme hypotézy o pravdivosti jednej alebo viacerých viet. Účelom tohto článku je načrtnúť teóriu revízie pravdy. Postupujeme nasledovne:

• 1. Poloformálny úvod

• 2. Rámovanie problému

  • 2.1 Pravdivé jazyky
  • 2.2 Pozemné modely
  • 2.3 Paradox klamára (opäť)

• 3. Základné pojmy RTT

  • 3.1 Revízne pravidlá
  • 3.2 Revízne sekvencie

• 4. Interpretácia formalizmu

  • 4.1 Označenie T
  • 4.2 „Iff“v dvojsmerovkách T
  • 4.3 Paradoxné zdôvodnenie
  • 4.4 Diplomová práca
  • 4.5 Dozor nad sémantikou
  • 4.6 Výklad formalizmu Yaqūbom

• 5. Ďalšie otázky

  • 5.1 Sémantika s tromi hodnotami
  • 5.2 Zmeny a doplnenia RTT
  • 5.3 Teória revízií pre kruhovo definované pojmy
  • 5.5 Aplikácie
  • 5.5 Otvorená otázka
• Bibliografia
• Ďalšie internetové zdroje
• Súvisiace záznamy

1. Poloformálny úvod

Pozrime sa bližšie na vetu (1) uvedenú vyššie:

(1) nie je pravda.

(1)

Bude užitočné explicitne uviesť paradoxné zdôvodnenie. Najprv predpokladajme, že

(1) nie je pravda.

(2)

Zdá sa, že intuitívny princíp týkajúci sa pravdy je, že pre každú vetu p máme takzvanú dvojväzbovú T

„p“je pravdivé, ak s.

(3)

(Tu používame skratku „iff“ako skratku pre „iba vtedy, ak“.) Mali by sme najmä

„(1) nie je pravda“je pravda, ak (1) nie je pravda.

(4)

Takže z (2) a (4) dostaneme

„(1) nie je pravda“je pravda.

(5)

Potom môžeme použiť identitu,

(1) = '(1) nie je pravda.'

(6)

dospieť k záveru, že (1) je pravda. To všetko ukazuje, že ak (1) nie je pravda, potom (1) je pravda. Podobne môžeme tvrdiť, že ak (1) je pravda, potom (1) nie je pravda. Zdá sa teda, že (1) je pravdivá aj nepravdivá: teda paradoxný. Ako je uvedené vyššie, prístup s tromi hodnotami k paradoxu považuje lhárovú vetu (1) za nepravdivú ani nepravdivú. Presne ako alebo dokonca či tento krok blokuje vyššie uvedené odôvodnenie, je predmetom diskusie. RTT nie je navrhnutý tak, aby blokoval uvažovanie vyššie uvedeného druhu, ale aby ho modeloval - alebo väčšinu z neho. ^[2] Ako sa uvádza vyššie, hlavnou myšlienkou je myšlienka procesu revízie: procesu, ktorým revidujeme hypotézy o pravdivosti jednej alebo viacerých viet.

Zvážte odôvodnenie týkajúce sa klamárnej vety (1) vyššie. Predpokladajme, že predpokladáme, že (1) nie je pravda. Potom by sme mohli s použitím relevantnej dvojsmernej T revidovať našu hypotézu takto:

hypotéza:	(1) nie je pravda.
T-biconditional:	„(1) nie je pravda“je pravda, ak (1) nie je pravda.
Z tohto dôvodu:	„(1) nie je pravda“je pravda.
Známe identity:	(1) = '(1) nie je pravda'.
záver:	(1) je pravda.
Nová revidovaná hypotéza:	(1) je pravda.

Mohli by sme pokračovať v procese revízie tým, že znova preskúmame našu hypotézu takto:

Nová hypotéza:	(1) je pravda.
T-biconditional:	„(1) nie je pravda“je pravda, ak (1) nie je pravda.
Z tohto dôvodu:	„(1) nie je pravda“nie je pravda.
Známe identity:	(1) = '(1) nie je pravda'.
záver:	(1) nie je pravda.
Nová nová revidovaná hypotéza:	(1) nie je pravda.

Ako proces revízie pokračuje, obraciame sa dopredu a dozadu medzi prijatím klamárskej vety za pravdivú a nepravdivú.

Príklad 1.1

Je potrebné vidieť, ako funguje tento druh odôvodnenia revízie v prípade niekoľkých viet. Použijeme myšlienku revízie na nasledujúce tri vety:

(8) je pravda alebo (9) je pravda.	(7)
(7) je pravda.	(8)
(7) nie je pravda.	(9)

Neformálne by sme mohli uvažovať takto. Buď (7) je pravda alebo (7) nie je pravda. Teda buď (8) je pravda alebo (9) je pravda. Teda (7) je pravda. Teda (8) je pravda a (9) nie je pravda a (7) je stále pravda. Opakovaním procesu znova dostaneme (8) je pravda, (9) nie je pravda a (7) je pravda. Formálnejšie zvážte každú počiatočnú hypotézu h ₀ o hodnotách pravdy (7), (8) a (9). Buď h ₀ hovorí, že (7) je pravda, alebo h ₀ hovorí, že (7) nie je pravda. V každom prípade je možné použiť T-biconditional generovať našej revidovanej hypotéza h ₁: pokiaľ H ₀ hovorí, že (7), je pravda, potom h ₁ uvádza, že, (7), je pravda ', je pravda, teda, že (8) je pravda; a ak h ₀hovorí, že (7) je pravda, potom h ₁ hovorí, že „(7) nie je pravda“je pravda, tj že (9) je pravda. Takže h ₁ hovorí, že buď (8) je pravda alebo (9) je pravda. Takže h ₂ hovorí, že „(8) je pravda alebo (9) je pravda“je pravda. Inými slovami, h ₂ hovorí, že (7) je pravda. Takže bez ohľadu na to, s ktorou hypotézou h ₀ začneme, dve iterácie procesu revízie vedú k hypotéze, že (7) je pravdivá. Podobne tri alebo viac opakovaní procesu revízie vedú k hypotéze, že (7) je pravda, (8) je pravdivá a (9) je nepravdivá - bez ohľadu na našu pôvodnú hypotézu. V časti 3 tento príklad prehodnotíme vo formálnejšom kontexte.

Je potrebné poznamenať, že v príklade 1.1 proces revízie poskytuje stabilné hodnoty pravdy pre všetky tri vety. Predstava RT stabilne platná vo všetkých revíznych postupoch bude pre RTT ústredným pojmom. Revízno-teoretické zaobchádzanie je v tomto prípade v rozpore s prístupom s tromi hodnotami: ukázalo sa, že pri väčšine spôsobov realizácie myšlienky s tromi hodnotami nie sú všetky tri vety (7), (8) a (9) ani pravda alebo nepravda. ^[3] V tomto prípade RTT pravdepodobne lepšie zachytí správne neformálne odôvodnenie ako prístup založený na troch hodnotách: RTT priraďuje vetám (7), (8) a (9) pravdivé hodnoty, ktoré im boli priradené. neformálnym zdôvodnením uvedeným na začiatku príkladu.

2. Rámovanie problému

2.1 Pravdivé jazyky

Cieľom RTT je vysvetliť naše často nestabilné a často paradoxné uvažovanie o pravde - účet s dvoma hodnotami, ktorý priraďuje vetám stabilné hodnoty klasickej pravdy, keď intuitívne uvažovanie priradí stabilné hodnoty klasickej pravdy. Predstavíme formálnu sémantiku formálneho jazyka: chceme, aby tento jazyk obsahoval pravdu predikátu a zdroje, ktoré odkazujú na jeho vlastné vety.

Uvažujme jazyk prvého poriadku L, s spojivovými &, ∨ a ¬, kvantifikátormi ∀ a ∃, znamienkami rovná sa =, premennými a niektorými zásobami mien, funkčných symbolov a vzťahových symbolov. Hovoríme, že L je jazyk pravdy, ak má výrazné predikátové T a úvodzovky „a“, ktoré sa použijú na vytvorenie úvodzoviek: ak A je veta L, potom „A“je meno. Nechajte poslané _L = {A: A je veta L}.

2.2 Pozemné modely

Okrem predikátu pravdy predpokladáme, že náš jazyk sa interpretuje úplne klasicky. Takže budeme reprezentovať T BEZ fragment pravda jazyka L o pozemnej modeli, tj klasický výklad T BEZ fragmentu L. U T BEZ fragmentu L, máme na mysli prvého poriadku jazyk L ^-, ktorý má rovnaké názvy, funkčné symboly a vzťah symboly ako L, okrem unárne predikát T. Pretože L ^- má rovnaké názvy ako L, vrátane tých istých úvodzoviek, bude mať L ^- citátový názov „A“pre každú vetu A z L. Teda T x T x nie je veta L ^-, ale „∀ x T x 'je meno L ^- a ∀ x (x =' ∀ x T x ') je veta L ^-. Vzhľadom k tomu, terénne modelácie, budeme uvažovať o vyhliadky na poskytnutie spĺňajúce interpretácii T. Najzreteľnejším desideratom je, že základný model, rozšírený o interpretáciu T, uspokojuje Tarskiho T-biconditionals, tj biconditionals formy

T  'A', ak A

Pre každú A ∈ odoslanej _L. Aby sa veci spresnili, nechal základný model pre L klasický model M = <D, I> pre fragment L bez T, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:

1. D je neprázdna doména diskurzu;

2. I je priradenie funkcie

   1. za každé meno L člena D;
   2. na každý symbol n -ary funkčného L funkcie z D ⁿ do D; a
   3. každé n -ary symbol väzby, iný ako T, L funkcie z D, ⁿ na jeden z dvoch pravdivostná hodnoty v množine { t, f }; ^[4]
3. Odoslané _L ∈ D; a
4. I ('A') = A pre každú A ∈ Odoslané _L.

Články (1) a (2) jednoducho špecifikujú, čo znamená, že M je klasický model fragmentu L bez T. Ustanovenia odsekov 3 a 4 zabezpečujú, aby L pri výklade mohlo hovoriť o svojich vlastných vetách. Vzhľadom na základný model M pre L a názov, funkčný symbol alebo vzťahový symbol X, môžeme uvažovať o I (X) ako o interpretácii, alebo si požičať termín od Gupty a Belnapa, označenie X. Gupta a Belnap charakterizujú výraz výrazu alebo konceptu vo svete ako „abstrakt, niečo, čo nesie všetky informácie o všetkých rozšírených vzťahoch výrazu (alebo konceptu) vo w“. Ak chceme interpretovať T x ako „x je pravda“, potom by sme vzhľadom na základný model M chceli nájsť vhodné označenie alebo vhodný rozsah označení pre T.

2.3 Paradox klamára (opäť)

Mohli by sme skúsiť priradiť T klasického významu tým, že rozširuje M ku klasickému modelu M, = <D ', I'> pre všetkých L, vrátane T. Pripomeňme, že chceme, aby M 'uspokojil T-biconditionals: najzreteľnejšou myšlienkou je pochopiť' iff 'ako štandardnú pravdu podmienenú biconditional. Bohužiaľ, nie každý pozemný model M = <D, I> sa dá rozšíriť na také M '. Zoberme si pravý jazyk L s názvom λ a základný model M = <D, I> taký, že I (λ) = ¬ T λ. A predpokladajme, že M 'je klasické rozšírenie M na všetky L. Pretože M 'je rozšírenie M, ja a ja súhlasíme so všetkými názvami L. tak

Aj '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Takže vety T λ a T  '¬ T λ' majú v M 'rovnakú hodnotu pravdy. Takže T-biconditional

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

je nepravdivý v M '. Toto je formalizácia klamárskeho paradoxu s vetou ¬ T λ ako trestu trestného činu klamára.

V sémantike pre jazyky schopné vyjadriť svoje vlastné pojmy pravdy nebude mať T vo všeobecnosti klasický význam; a „iff“v dvojhviezdach typu T sa nebude chápať ako klasický dvojväzok. Tieto návrhy preberáme ďalej v časti 4.

3. Základné pojmy RTT

3.1 Revízne pravidlá

V časti 1 sme neformálne načrtli ústrednú myšlienku RTT, a to, že môžeme použiť dvojväzbové T na vygenerovanie pravidla pre revíziu - pravidlo pre revíziu hypotézy o rozšírení predikátu pravdy. Tu formalizujeme túto predstavu a ukážeme príklad z časti 1.

Vo všeobecnosti nech je L jazykom pravdy a M bude základným modelom L. Hypotéza je funkcia h: D → { t, f }. Hypotéza bude v skutočnosti byť predpokladaný klasický výklad pre T. Poďme pracovať s príkladom, ktorý zachytáva tak klamár klamára, ako aj príklad 1.1 zo sekcie 1. Príklad formálne, ale čiastočne poloformálnym spôsobom uvedieme, aby sme prešli z jedného hypotetického rozšírenia T na druhý.

Príklad 3.1

Predpokladajme, že L obsahuje štyri mená non-cenovú ponuku, a, p, y a? A žiadne iné ako predikáty T. Predpokladajme tiež, že M = <D, I> je nasledujúce:

D	=	Odoslané L.
I (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T a
I (y)	=	¬ T α
I (λ)	=	¬ T λ

Bude vhodné to nechať

A	byť veta	T β ∨ T γ
B	byť veta	T a
C	byť veta	¬ T α
X	byť veta	¬ T λ

teda:

D	=	Odoslané L.
I (α)	=	A
I (β)	=	B
I (y)	=	C
I (λ)	=	X

Predpokladajme, že hypotéza h ₀ predpokladá, že A je nepravdivé, B je pravdivé, C je nepravdivé a X je pravdivé. teda

h 0 (A)	=	F
h 0 (B)	=	T
h 0 (C)	=	F
h 0 (X)	=	F

Teraz sa zapojíme do nejakého semiformálneho zdôvodnenia na základe hypotézy h ₀. Zo štyroch viet, A, B, C a X, h ₀ kladie iba B v predĺžení T. Preto, z h ₀, sme dospeli k záveru

¬ T α	pretože referent a nie je v predĺžení T
T β	pretože referent p je v predĺžení T
¬ T γ	pretože referent y nie je v predĺžení T
¬ T λ	pretože referent lambda nie je v predĺžení T.

Dvojväzbové T pre štyri vety A, B, C a X sú tieto:

(T A)	A je pravda, ak T β ∨ T γ
(T B)	B je pravda, ak T a
(T C)	C je pravda, ak ¬ T α
(T X)	X je pravdivé, ak ¬ T λ

Preto, z h ₀, sme dospeli k záveru

A je pravda

B nie je pravda

C je pravda

X je pravda

Toto vytvára našu novú hypotézu h ₁:

h 1 (A)	=	T
h 1 (B)	=	F
h 1 (C)	=	T
h 1 (X)	=	T

Pozrime sa znova na našu hypotézu. Takže teraz sa zapojíme do nejakého semiformálneho zdôvodnenia na základe hypotézy h ₁. Hypotéza h ₁ kladie A, C a X, ale nie B, v predĺžení T. Preto, z h ₁, sme dospeli k záveru

T a	pretože referent a je v rozšírení T
¬ T β	pretože referent p je v predĺžení T
T y	pretože referent y nie je v predĺžení T
T λ	pretože referent λ nie je v predĺžení T

Spomeňte na dvojväzok T pre štyri vety A, B, C a X, uvedené vyššie. Z odôvodnenia h ₁ a týchto T-dvojsmerných podmienok sme dospeli k záveru

A je pravda

B je pravda

C nie je pravda

X nie je pravda

Toto vytvára našu novú novú hypotézu h ₂:

h 2 (A)	=	T
h 2 (B)	=	T
h 2 (C)	=	F
h 2 (X)	=	F

□

Formalizujme semiformálne zdôvodnenie vykonané v príklade 3.1. Najprv sme predpokladali, že niektoré vety boli, alebo neboli v predĺžení T. Zvážte bežnú teóriu klasického modelu. Predpokladajme, že náš jazyk má predikát G a meno a, a že máme model M = <D, I>, ktorý umiestni referenta intervalu do rozšírenia G:

I (G) (I (a)) = t

Potom klasicky dospejeme k záveru, že veta Ga je v M. Bude užitočné mať nejaký zápis pre hodnotu klasickej pravdy vety S v klasickom modeli M. Napíšeme Val _M (S). V tomto prípade Val _M (Ga) = t. V príklade 3.1 sme nezačali klasickým modelom celého jazyka L, ale iba klasickým modelom fragmentu L bez T. Ale potom sme pridali hypotézu, aby sme dostali klasický model všetkých L. Použijeme notáciu M + h pre klasický model všetkých L, ktoré získate, keď predĺžite M priradením T rozšírenia prostredníctvom hypotézy h. Po priradení rozšírenia k predikátu T, môžete vypočítať pravdivé hodnoty rôznych viet L. To znamená, že pre každú vetu S z L môžeme počítať

Val _{M + h} (S)

V príklade 3.1 sme začali s hypotézou h ₀ nasledujúcim spôsobom:

h 0 (A)	=	F
h 0 (B)	=	T
h 0 (C)	=	F
h 0 (X)	=	F

Potom sme vypočítali takto:

Val M + h 0 (T a)	=	F
Val M + h 0 (T β)	=	T
Val M + h 0 (T y)	=	F
Val M + h 0 (T λ)	=	F

A potom sme dospeli k nasledovnému:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + H 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + h 0 (= T) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (Ta) = t
Val M + h 0 (X)	=	Val M + h 0 (¬ T λ) = t

Tieto závery vygenerovali našu novú hypotézu, h ₁:

h 1 (A)	=	T
h 1 (B)	=	F
h 1 (C)	=	T
h 1 (X)	=	T

Všimnite si, že všeobecne

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Teraz sme pripravení definovať pravidlo revízie dané základným modelom M = <D, I>. Všeobecne platí, že vzhľadom na to, hypotéza h, nech M + H = <D, I '> je model L, ktorý súhlasí s M na T BEZ fragmentu L, a ktorá je taká, že I' (T) = h. Takže M + h je len klasický model pre všetky L. Pre každý model M + h všetkých L a vetu A, ak L, nech Val _{M + h} (A) je obyčajná hodnota klasickej pravdy A v M + h.

Definícia 3.2

Predpokladajme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základným modelom L. Pravidlo revízie, τ _M, je funkcia mapujúca hypotézy na hypotézy takto:

τ M (h) (d)

=

{

t, ak d ∈ D je veta L a Val M + H (d) = t f, inak

Doložka „inak“nám hovorí, že ak d nie je vetou L, potom sa po jednej aplikácii revízie držíme hypotézy, že d nie je pravda. ^[5] Všimnite si, že v príklade 3.1, h ₁ = τ _M (H ₀) a h ₂ = τ _M (H ₁). Keď kontext objasní, o ktorý základný model sa jedná, upustíme od predplatného „M“.

3.2 Revízne sekvencie

Pozrime sa na príklad 3.1 a uvidíme, čo sa stane, keď opakujeme uplatňovanie pravidla revízie.

Príklad 3.3 (príklad 3.2 pokračovanie)

Pripomeňme, že L obsahuje štyri mená non-cenovú ponuku, a, p, y a? A žiadne iné ako predikáty T. Pamätajte tiež, že M = <D, I> je nasledujúce:

D	=	Odoslané L.
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T a
I (y)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	X	=	¬ T λ

Nasledujúca tabuľka ukazuje, čo sa stane s opakovanými aplikáciami revízneho pravidla τ _M na hypotézu h ₀ z príkladu 3.1. V tejto tabuľke napíšeme τ namiesto τ _M:

S	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
A	F	T	T	T	T	…
B	T	F	T	T	T	…
C	F	T	F	F	F	…
X	F	T	F	T	F	…

Takže h ₀ generuje revíznu postupnosť (pozri definíciu 3.7, nižšie). A a B sú stabilne pravdivé v tejto revíznej postupnosti (pozri definíciu 3.6 nižšie), zatiaľ čo C je stabilne nepravdivé. Klamárska veta X nie je prekvapujúcou skutočnosťou, ani stabilne pravdivá, ani stabilne nepravdivá: klamárska veta je nestabilná. Podobný výpočet by ukázal, že A je stabilne pravdivý, bez ohľadu na počiatočnú hypotézu: teda A je kategoricky pravdivý (pozri definíciu 3.8).

Pred uvedením presnej definície postupnosti revízií uvádzame príklad, v ktorom by sme chceli vykonať proces revízie aj po konečných fázach, h, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h) atď. ďalej.

Príklad 3.4

Predpokladajme, že L obsahuje nonquote mená alfa ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, a unárne predikát G a T. Teraz určíme základný model M = <D, I>, kde názov a ₀ odkazuje na určitú tautológiu a kde

názov α ₁ odkazuje na vety T alfa ₀

názov α ₂ sa odkazuje na vety T alfa _{1 osobu}

na vymenovali aspoň ₃ odkazuje na vety T ₂

Viac formálne, Let ₀ byť veta T α ₀ ∨ ¬ T α ₀, a pre každé n ≥ 0, nech _{n +1} byť Veta T alfa _n. Tak ₁ je veta T alfa ₀, a A ₂ je veta T alfa ₁, a A ₃ je veta T α ₂, a tak ďalej. Náš základný model M = <D, I> je nasledujúci:

D	=	Odoslané L.
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	IFF	A = A n pre niektoré n

To znamená, že rozšírenie G je nasledujúci súbor viet: {a ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …} = {(T α ₀ ∨ ¬ T α ₀), T alfa ₀, T ₁, T a ₂, T a ₃,…}. Nakoniec nech B je veta ∀ x (Gx ⊃ T x). Nech je h akákoľvek hypotéza, pre ktorú máme, pre každé prirodzené číslo n,

h (A _n) = h (B) = f.

Nasledujúca tabuľka uvádza, čo sa stane s opakovanými aplikáciami revízneho pravidla τ _M na hypotézu h. V tejto tabuľke napíšeme τ namiesto τ _M:

S	h (S)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
0	F	T	T	T	T	…
A 1	F	F	T	T	T	…
A 2	F	F	F	T	T	…
A 3	F	F	F	F	T	…
A 4	F	F	F	F	F	…
B	F	F	F	F	F	…

V 0 ^-tého stupňa, každý A _n je mimo hypotetické predĺženie T. Ale z n ^th stupeň ďalej, A, _n je v hypotetickej predĺžení T. Takže pre každé n je veta A _n stabilne predpokladaná tak, aby bola pravdivá. Napriek tomu neexistuje konečná fáza, v ktorej sa predpokladá, že všetky A _n sú pravdivé: v dôsledku toho zostáva veta B = ∀ x (Gx ⊃ T x) v každej konečnej fáze nepravdivá. To naznačuje rozšírenie procesu nasledovne:

S	h (S)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
0	F	T	T	T	…	T	T	T	…
A 1	F	F	T	T	…	T	T	T	…
A 2	F	F	F	T	…	T	T	T	…
A 3	F	F	F	F	…	T	T	T	…
A 4	F	F	F	F	…	T	T	T	…
B	F	F	F	F	…	F	T	T	…

Ak teda umožníme, aby proces revízie pokračoval aj po konečných fázach, potom veta B = ∀ x Gx ⊃ T x) platí od fázy ω + ^1. ďalej. □

V príklade 3.4, intuitívne rozhodnutie, že by mala nielen každej A _n obdrží stabilnú pravdivostnú hodnotu t, ale rovnako tak by sa veta B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Jediným spôsobom, ako to zabezpečiť, je presunúť proces revízie do konečných fáz. Budeme teda brať do úvahy revízne sekvencie, ktoré sú veľmi dlhé: nielen bude mať revízna postupnosť ^th fázu pre každé konečné číslo n, ale η ^th fáze pre každého poradovým číslom n. (Nasledujúci odsek má pomôcť čitateľovi oboznámiť sa s poradovými číslami.)

Jeden spôsob, ako myslieť na poradové čísla, je nasledujúci. Začnite s konečnými prirodzenými číslami:

0, 1, 2, 3,…

Pridajte číslo ω, väčšie ako všetky z nich, ale nie bezprostredného nástupcu niektorého z nich:

0, 1, 2, 3, …, co

A potom vezmite nástupcu ω, jeho nástupcu atď.:

0, 1, 2, 3,…, co, co + 1, co + 2, co + 3…

Potom pridajte číslo ω + ω alebo ω × 2, väčšie ako všetky z nich (a opäť nie ich bezprostredného nástupcu) a začnite znovu a opakujte tento proces znova a znova:

0, 1, 2, 3,…, co, co + 1, co + 2, co + 3,…, co × 2, (co × 2) +1, (co × 2) +2, (co × 2)) +3,…, co × 3, (co × 3) +1, (co × 3) +2, (co × 3) +3,…

Na konci toho pridáme poradové číslo ω × ω alebo ω ²:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Co ², co ² +1,…

Poradové čísla majú nasledujúcu štruktúru: každé poradové číslo má okamžitého nástupcu známeho ako poradové číslo nástupcu; a pre každú nekonečne stúpajúcu sekvenciu poradových čísiel existuje limitné poradie, ktoré je väčšie ako všetky členy sekvencie a ktoré nie je bezprostredným nástupcom ktoréhokoľvek člena sekvencie. Tak sú nasledujúce nástupca radové: 5, 178, ω + 12, (ω x 5) 56, w ² +8; a nasledujúce sú limitné poradové čísla: ω, ω × 2, ω ², (ω ² + ω) atď. Vzhľadom na limitné poradové číslo η je sekvencia S objektov η-dlhá sekvencia, ak existuje objekt S _δ pre každé ordinálne δ <η. Označíme triedu ordinálov ako On. Akákoľvek sekvencia S objektov je nepretržitá sekvencia, ak existuje objekt S _δ pre každý ordinál δ.

Pri posudzovaní, či veta dostáva stabilnú hodnotu pravdy, RTT zvažuje postupnosť hypotéz dĺžky On. Predpokladajme teda, že S je dlhá sekvencia hypotéz a nech ζ a η sa pohybujú nad ordinálmi. Je zrejmé, že na to, aby S predstavoval proces revízie, potrebujeme, aby ζ + ^1. hypotéza bola vygenerovaná z hyp ^tej hypotézy pomocou pravidla revízie. Preto trváme na tom, aby S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ). Čo by sme však mali robiť v limitnej fáze? To je, ako by sme mali nastaviť S _η (δ), keď η je limitné poradové číslo? Je zrejmé, že akýkoľvek objekt, ktorý je až do tejto etapy stabilne pravdivý [nepravdivý], by mal byť v tejto fáze pravdivý [nepravdivý]. Preto zvážte príklad 3.2. Veta A ₂Napríklad, je pravda, až na omega ^-te fázu; takže sme si stanovili A ₂ byť pravdivý na omega ^th stupni. V prípade objektov, ktoré sa až do tejto fázy nestabilizujú, Gupta a Belnap 1993 prijímajú liberálnu politiku: ak sa pri vytváraní revíznej postupnosti S hodnota objektu d ∈ D nestabilizuje do času, keď sa dostanete do limitnej fázy η, potom môžete nastaviť S _η (δ) na ľubovoľný z t alebo f, ktorý sa vám páči. Predtým, ako poskytneme presnú definíciu postupnosti revízií, pokračujeme v príklade 3.3, aby sme videli aplikáciu tejto myšlienky.

Príklad 3.5 (príklad 3.3 pokračovanie)

Pripomeňme, že L obsahuje štyri mená non-cenovú ponuku, a, p, y a? A žiadne iné ako predikáty T. Pamätajte tiež, že M = <D, I> je nasledujúce:

D	=	Odoslané L.
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T a
I (y)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	X	=	¬ T λ

Nasledujúca tabuľka ukazuje, čo sa stane s opakovanými aplikáciami revízneho pravidla τ _M na hypotézu h ₀ z príkladu 3.1. Pre každú ordinálnu η označíme η ^th hypotézu pomocou S _η (potlačenie indexu M na τ). Tak S ₀ = h ₀, S ₁ = τ (H ₀), S ₂ = τ ² (H ₀), S ₃ = τ ³ (H ₀), a S _ω je ω ^th hypotéza, je určená nejakým spôsobom z hypotéz, ktoré k nej viedli. Takže počínajúc h ₀ z príkladu 3.3 sa naša postupnosť revízií začína takto:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
A	F	T	T	T	T	…
B	T	F	T	T	T	…
C	F	T	F	F	F	…
X	F	T	F	T	F	…

Čo sa stane na omega ^th stupni? A a B sú stabilne platí až do W ^th fáze, a C je stabilne falošný až do Q ^teho stupňa. Takže na omega ^-te fáze, musíme mať nasledujúce:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
A	F	T	T	T	T	…	T
B	T	F	T	T	T	…	T
C	F	T	F	F	F	…	F
X	F	T	F	T	F	…	?

Ale vstup pre S _w (X) môže byť buď t, alebo f. Inými slovami, počiatočná hypotéza h ₀ generuje najmenej dve revízne sekvencie. Každá revízna postupnosť S, ktorá má ako počiatočnú hypotézu h _0, musí mať S _co (A) = t, S _co (B) = t a S _co (C) = f. Existuje však nejaká revízna postupnosť S, s h ₀ ako jej východiskovou hypotézou as S _ω (X) = t; a existuje nejaká revízna sekvencia S ', s h ₀ ako jej východiskovou hypotézou, as S _co'(X) = f. □

Teraz sme pripravení definovať pojem revíznej postupnosti:

Definícia 3.6

Predpokladajme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základný model. Predpokladajme, že S je dlhá sekvencia hypotéz. Potom hovoríme, že d ∈ D je stabilne t [ f] v S iff pre nejaký ordinálny θ, ktorý máme

S _ζ (d) = t [ f], pre každý rad ζ ≥ θ.

Predpokladajme, že S je η-dlhá sekvencia hypotéz pre niektoré limitné ordinálne η. Potom hovoríme, že d ∈ D je stabilne t [ f] v S iff pre nejaký ordinálny θ <η máme

S _ζ (d) = t [ f] pre každé ordinálne ζ také, že ζ ≥ θ a ζ <η.

Ak S je On-dlhá postupnosť hypotéz a η je limitné poradové číslo, potom S | _η je počiatočný segment S až do η vrátane. Všimnite si, že S | _η je η-dlhá sekvencia hypotéz.

Definícia 3.7

Predpokladajme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základný model. Predpokladajme, že S je dlhá sekvencia hypotéz. S je revízna postupnosť pre M iff

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ) pre každé ζ ∈ zapnuté a
• pre každý limit ordinál η a každý d ∈ D, ak d je stabilne t [ f] v S | _η, potom S _η (d) = t [ f].

Definícia 3.8

Predpokladajme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základný model. Hovoríme, že veta A je kategoricky pravdivá [false] v M iff A je stabilne t [ f] v každej revíznej postupnosti pre M. Hovoríme, že A je kategoriálny v M, ak A je kategoricky pravdivý alebo kategoricky nepravdivý v M.

Teraz tieto príklady ilustrujeme príkladom. Tento príklad bude tiež ilustrovať nový koncept, ktorý sa má definovať neskôr.

Príklad 3.9

Predpokladajme, že L je pravda jazyk obsahujúca nonquote mená p, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, a unárne predikát G a T. Nech B je veta

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Nech A ₀ je veta ∃ x (Gx & ¬ T x). A pre každé n ≥ 0, nech A _{n +1} je veta T α _n. Zoberme si nasledujúci základný model M = <D, I>

D	=	Odoslané L.
I (β)	=	B
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	IFF	A = A n pre niektoré n

To znamená, že rozšírenie G je nasledujúci súbor viet: {a ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …} = { T alfa ₀, T alfa ₁, T alfa ₂, T alfa ₃, …}. Nech h je akákoľvek hypotéza, pre ktorú máme, h (B) = f a pre každé prirodzené číslo n,

h (A _n) = f.

A nech S je revízna sekvencia, ktorej počiatočná hypotéza je h, tj S ₀ = h. V nasledujúcej tabuľke sú uvedené niektoré z hodnôt S _y (C), v prípade trestu C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …}. V hornom riadku uvádzame iba poradové číslo predstavujúce fázu procesu revízie.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω × 2

(Ω 2 x) +1

(Ω x 2) 2

…

B

F

F

F

F

…

F

T

T

T

…

T

T

T

…

0

F

T

T

T

…

T

F

T

T

…

T

F

T

…

A 1

F

F

T

T

…

T

T

F

T

…

T

T

F

…

A 2

F

F

F

T

…

T

T

T

F

…

T

T

T

…

A 3

F

F

F

F

…

T

T

T

T

…

T

T

T

…

A 4

F

F

F

F

…

T

T

T

T

…

T

T

T

…

Je potrebné kontrastovať s správaním vety B a vety A ₀. Od ω + ^1. stupňa sa B stabilizuje ako pravdivý. V skutočnosti je B stabilne pravdou v každej revíznej postupnosti pre M. Teda B je kategoricky pravdivý v M. Veta ₀, ale nikdy úplne stabilizuje: to je zvyčajne pravda, ale počas niekoľkých konečných fázach limitnej radové veta ₀ môže byť falošný. Za týchto okolností, my hovoríme, že A ₀ je takmer trvalo pravda (pozri definíciu 3.10 nižšie.) V skutočnosti, A ₀ je takmer trvalo platia v každom revíznym sekvencii M. □

Príklad 3.9 ilustruje nielen pojem stability v revíznej postupnosti, ale aj blízku stabilitu, ktorú teraz definujeme:

Definícia 3.10.

Predpokladajme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základný model. Predpokladajme, že S je dlhá sekvencia hypotéz. Potom hovoríme, že d ∈ D je takmer stabilne t [ f] v S iff pre nejakú ordinálnu 9, ktorú máme

pre každé ζ ≥ θ je prirodzené číslo n také, že pre každé m ≥ n, S _{ζ + m} (d) = t [ f].

Gupta a Belnap 1993 charakterizujú rozdiel medzi stabilitou a blízkou stabilitou nasledovne: „Zjednodušovač stability vyžaduje, aby sa prvok [v našom prípade veta] usadil na hodnote x [v našom prípade hodnota pravdy] po niekoľkých počiatočných výkyvoch až do [an ordinálne η]… Na rozdiel od toho blízka stabilita umožňuje kolísanie aj po η, ale tieto fluktuácie sa musia obmedziť na konečné regióny hneď za limitnými ordinálmi “(s. 169). Gupta a Belnap 1993 zavádzajú dve teórie pravdy, T ^* a T ^#, založené na stabilite a takmer stabilite. Vety 3.12 a 3.13 nižšie ilustrujú výhodu systému T ^#, tj systému založeného na takmer stabilite.

Definícia 3.11

Predpokladajme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základný model. Hovoríme, že veta A platí v M pomocou T ^* iff A platí stabilne v každej revíznej postupnosti. A hovoríme, že veta A platí v M pomocou T ^# iff A je takmer stabilne pravdivá v každej revíznej postupnosti.

Veta 3.12

Predpokladajme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základný model. Potom pre každú vetu A z L platí v M ako T ^#:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Veta 3.13

Existuje jazyk pravdy L a základný model M = <D, I> a veta A z L tak, že v M pomocou T ^* neplatí toto:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta a Belnap 1993, oddiel 6C, zaznamenávajú podobné výhody T ^# oproti T ^*. Napríklad T ^# overuje, ale T ^* nepodporuje, tieto sémantické princípy:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta a Belnap zostať neutrálne o tom, ktoré z T ^# a T ^* (a ďalšie alternatíva, že definujú, T ^c) je výhodnejšie.

4. Interpretácia formalizmu

Hlavnými formálnymi pojmami RTT sú pojmy revízne pravidlo (definícia 3.2), tj pravidlo revízie hypotéz; a revíznu postupnosť (definícia 3.7), sekvenciu hypotéz vygenerovaných v súlade s príslušným pravidlom revízie. Pomocou týchto predstáv môžeme pri základnom modeli určiť, kedy je veta stabilná alebo takmer stabilná, pravdivá alebo nepravdivá v konkrétnej revíznej postupnosti. Takto by sme mohli definovať dve teórie pravdy, T ^* a T ^#, založené na stabilite a takmer stabilite. Poslednou myšlienkou je, že každá z týchto teórií vydáva verdikt o tom, ktoré vety jazyka sú kategoricky uplatniteľné vzhľadom na základný model.

Všimnite si, že by sme mohli použiť teoretické pojmy revízie, aby sme mohli rozlišovať medzi vetami pomerne jemne: Niektoré vety sú nestabilné v každej revíznej postupnosti; iné sú stabilné v každej revíznej postupnosti, hoci v niektorých sú stabilne pravdivé a v iných stabilne nepravdivé; a tak ďalej. Môžeme teda použiť teoretické myšlienky revízie na podrobnú analýzu stavu rôznych viet a vzťahov rôznych viet k sebe navzájom.

Pripomeňte si návrh uvedený na konci oddielu 2:

V sémantike pre jazyky schopné vyjadriť svoje vlastné pojmy pravdy nebude mať T vo všeobecnosti klasický význam; a „iff“v dvojhviezdach typu T sa nebude chápať ako klasický dvojväzok.

Gupta a Belnap tieto návrhy dopĺňajú nasledujúcim spôsobom.

4.1 Označenie T

Po prvé, nasvedčujú tomu, že Význam T, pretože zemný modelu M, je pravidlo revízia τ _M sám. Ako už bolo uvedené v predchádzajúcom odseku, možno dať analýzu jemnozrnný statusov a vzájomných vety na základe predstáv generovaných priamo a prirodzene z pravidla revízie ▼ sa _M. Preto je τ _M dobrým kandidátom na označenie T, pretože sa zdá, že je „abstraktom niečoho, čo nesie všetky informácie o všetkých [ T] rozširujúcich vzťahoch“v M. (Pozri charakteristiku výrazu výrazu Gupta a Belnap, ktorá je uvedená v oddiele 2 vyššie.)

4.2 „Iff“v dvojsmerovkách T

Súvisiaci návrh spoločnosti Gupta a Belnap týkajúci sa „iff“v dvojsmerných vedeniach typu T je taký, že namiesto klasického dvojsmerníka je tento výraz „iff“rozlišovacou dvojsvetou použitou na definovanie predtým nedefinovaného pojmu. V roku 1993 Gupta a Belnap prezentujú teóriu revízie pravdy ako osobitný prípad teórie revízií kruhovo definovaných konceptov. Predpokladajme, že L je jazyk s nemenným predikátom F a binárnym predikátom R. Zvážte nový koncept vyjadrený predikátom G zavedený pomocou definície, ako je táto:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Predpokladajme, že začneme doménou diskurzu D a interpretáciou predikátu F a vzťahového symbolu R. Gupta a Belnapove revízne teoretické zaobchádzanie s pojmami takto zavedenými do obehu umožňuje vydávať kategorické výroky, pre určité d ∈ D o tom, či d vyhovuje G alebo nie. Ostatné objekty budú voči G nestabilné: budeme môcť kategoricky tvrdiť, že ani d nespĺňa G, ani d nespĺňa G. V prípade pravdy si Gupta a Belnap vezmú množinu T-dvojväzbových tvarov

T  'A' = df A

(10)

spoločne definovať pojem pravdy. Pravidlo revízie τ _M určuje ich zaobchádzanie s „= _df “(„iff“zavedenia vymedzenia pojmu) spolu s dvojsmernicami tvaru T (10).

4.3 Paradoxné zdôvodnenie

Spomeňte si na klamársku vetu (1) od začiatku tohto článku:

(1) nie je pravda

(1)

V oddiele 1 sme tvrdili, že RTT je navrhnutý tak, aby modeloval, nie blokovať, druh paradoxného zdôvodnenia (1). V poznámke pod čiarou č. 2 sme však poznamenali, že RTT sa v týchto situáciách nevyhýba rozporom. Existujú dva spôsoby, ako to vidieť. Po prvé, zatiaľ čo RTT schvaľuje dvojsmerné obdobie

(1) platí, ak (1) nie je pravda,

relevantný „iff“nie je materiálny biconditional, ako je vysvetlené vyššie. Z toho teda nevyplýva, že obe (1) sú pravdivé a (1) nie sú pravdivé. Po druhé, všimnite si, že na základe žiadnej hypotézy nemôžeme dospieť k záveru, že obidva (1) sú pravdivé a (1) nie sú pravdivé. Ak budeme pevne pamätať na to, že revízne teoretické zdôvodnenie je skôr hypotetické ako kategorické, nevyvodíme z existencie vety, ako je napríklad bod 1 vyššie, žiadne rozpory.

4.4 Diplomová práca

Návrhy Gupty a Belnapa týkajúce sa označovania T a interpretácie „iff“v dvojhviezdach typu T pekne ladia s dvoma úzko súvisiacimi intuíciami vyjadrenými v rozsudku Gupta a Belnap 1993. Prvá intuícia, ktorá je voľne vyjadrená, je „že T - podmienky sú analytické a určujú význam slova „true“(s. 6). Presnejšie povedané, stáva sa „Signifikačnou tézou“(s. 31): „Obojstranní t-kondicionisti upravujú význam pravdy v každom svete [kde je svet reprezentovaný základným modelom].“^[6] Vzhľadom na to, že revízia-teoretické úprava definície "IFF, a vzhľadom k tomu pozemné model M, T-biconditionals (10) sa, ako už bolo uvedené, opraviť navrhovanej Význam T, tj pravidlo revízie ▼ sa _M.

4.5 Dozor nad sémantikou

Druhou intuíciou je dohľad nad významom pravdy. Toto je potomok M. Kremera z roku 1988 navrhovaný supervenience sémantiky. Myšlienka je jednoduchá: ktoré vety spadajú pod pojem „pravda“by sa malo stanoviť (1) interpretáciou nesemantického slovníka a (2) empirickými skutočnosťami. V nekruhových prípadoch je táto intuícia obzvlášť silná: štandardná interpretácia „snehu“a „bieleho“a empirická skutočnosť, že sneh je biely, stačí na to, aby sa zistilo, že veta „sneh je biely“spadá pod pojem pravdy. Dohľad nad významom pravdy je téza, že označenie pravdy, nech už je to čokoľvek, je stanovené základným modelom M. Je zrejmé, že RTT spĺňa túto zásadu.

Stojí za to vidieť, ako by teória pravdy mohla porušiť tento princíp. Zoberme si vetu pravdu, tj vetu, ktorá hovorí o tom, že je to pravda:

(11) je pravda

(11)

Ako už bolo uvedené vyššie, Kripkeho trojhodnotová sémantika umožňuje tri pravdivé hodnoty, pravdivé (t), nepravdivé (f) a ani (n). Vzhľadom na základný model M = <D, I> pre jazyk pravdy L, kandidátske interpretácie T sú interpretácie s tromi hodnotami, tj funkcie h: D → {  t, f, n  }. Vzhľadom na interpretáciu T s tromi hodnotami a schému na vyhodnotenie pravdivej hodnoty zložených viet z hľadiska ich častí môžeme určiť pravú hodnotu Val _{M + h} (A) = t, f alebo n, za každú vetu A z L. Centrálne teorém z troch-oceňujú sémantiky je, že vzhľadom na to akýkoľvek dôvod modelu M, tam je tri-cenil interpretácia h T tak, že pre každú vetu A, máme Val _{M + h} (T  , A ') = Val _{M + h} (A). ^[7] Takýto výklad T budeme označovať ako prijateľný. Naším bodom je toto: ak existuje pravdu, ako v (11), potom neexistuje iba jedna prijateľná interpretácia T; sú tri: jeden podľa ktorého (11) je pravdivý, jeden podľa ktorého (11) je nepravdivý a jeden podľa ktorého (11) nie je ani jeden. Neexistuje teda žiadna „správna“interpretácia Tvzhľadom na základný model M. Zdá sa teda, že trojhodnotová sémantika porušuje dohľad nad sémantikou. ^[8]

(11). RTT nepriradzuje pravdu hodnotiteľovi. Skôr poskytuje analýzu toho, o čom uvažuje ten, kto by sa mohol zaoberať pravdivým pravidlom: Ak začneme hypotézou h, podľa ktorej (11) je pravda, potom po revízii (11) zostane pravda. A ak začneme hypotézou h, podľa ktorej (11) nie je pravda, potom pri revízii (11) to tak nie je. A to je všetko, čo nám koncept pravdy zanecháva. Vzhľadom na toto správanie podľa bodu (11) nám RTT hovorí, že (11) nie je ani kategoricky pravdivý, ani kategoricky nepravdivý, ale je to celkom odlišné od verdiktu, že (11) nie je ani pravdivý, ani nepravdivý.

4.6 Výklad formalizmu Yaqūbom

Zaznamenali sme alternatívny výklad teoretického formalizmu revízie. Yaqūb 1993 súhlasí s Guptou a Belnapom, že dvojslovodiče T sú skôr definičné ako hmotné dvojsloviny, a preto je pojem pravdy kruhový. Yaqūb však interpretuje túto okružnosť výrazným spôsobom. Tvrdí, že

keďže podmienky pravdy niektorých viet zahŕňajú odkaz na pravdu nevyhnutným a nezmeniteľným spôsobom, tieto podmienky môžu získať alebo zlyhať iba vo svete, ktorý už obsahuje rozšírenie predikátu pravdy. Preto, aby proces revízie určil predĺženie predikátu pravdy, musí byť stanovené počiatočné predĺženie predikátu. Toto veľa vyplýva z obehu a bivalencie. (1993, 40)

Rovnako ako Gupta a Belnap, Yaqub predpokladá žiadny prednostné rozšírenie pre T. Podobne ako Gupta a Belnap vidí revízne sekvencie rozšírení T, pričom každá sekvencia vytvorená pôvodným predpokladaným rozšírením je „schopná pojať (a diagnostikovať) rôzne druhy problematických a bezproblémových viet uvažovaných jazykov“(1993)., 41). Na rozdiel od Gupty a Belnapa však z týchto úvah usudzuje, že „pravda v dvojmocnom jazyku nie je supervenientná“(1993, 39). Vysvetľuje v poznámke pod čiarou: aby bola pravda nadradená, musí byť stav pravdy každej vety „úplne určený nesemantickými skutočnosťami“. Yaqūb výslovne nepoužíva pojem význam pojmu. Zdá sa však, že Yaqūb sa zaviazal tvrdiť, že podpísanie T - tj to, čo určuje pravý stav každej vety - je dané konkrétnou revíznou sekvenciou samotnou. A nemodantické fakty, tj samotný pozemný model, neurčujú žiadnu revíznu postupnosť: revízna postupnosť je určená nanajvýš pozemným modelom a počiatočnou hypotézou. ^[9]

5. Ďalšie otázky

5.1 Sémantika s tromi hodnotami

Pri našej diskusii o supervidovanosti nad významom pravdy sme uviedli iba najtvrdšiu expozíciu trojhodnotnej sémantiky. Vzhľadom na pravý jazyk L a základný model M sme definovali prijateľnú trojhodnotovú interpretáciu T ako interpretáciu h: D → {  t, f, n  } tak, že Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M + h} (A) pre každú vetu A z L. Všeobecne platí, že vzhľadom na to, pozemné modelu M, existuje mnoho prijateľné interpretácia T. Predpokladajme, že každá z nich je skutočne prijateľným výkladom. Potom sémantika s tromi hodnotami porušuje dohľad nad významom T, Predpokladajme, na druhej strane, aby sa u každého pozemné modeli M, možno izolovať výsadné prijateľný výklad ako správnu interpretáciu T. Gupta a Belnap prezentujú množstvo úvah proti takto ocenenej sémantike. (Pozri Gupta a Belnap 1993, kapitola 3.) Jedným z hlavných argumentov je, že centrálna veta, tj že pre každý základný model existuje prijateľný výklad, platí iba vtedy, keď je základný jazyk niektorými spôsobmi výslovne ochudobnený: napríklad trojhodnotový prístup zlyhá, ak má jazyk spojitosť ~ s nasledujúcou tabuľkou pravdy:

A	~ A
T	F
F	T
n	T

Jediný operátor negácie, ktorý zvládne prístup s tromi hodnotami, má nasledujúcu tabuľku pravdy:

A	¬ A
T	F
F	T
n	T

Zvážte však klamára, ktorý o sebe hovorí, že to nie je „pravda“, v tomto druhom zmysle „nie“. Gupta a Belnap naliehajú na tvrdenie, že táto veta „prestáva byť intuitívne paradoxná“(1993, 100). Údajnou výhodou RTT je jej schopnosť opísať správanie skutočne paradoxných viet: pravý klamár je podľa sémantického hodnotenia nestabilný: „Bez ohľadu na to, čo predpokladáme, že jeho hodnota je, sémantické hodnotenie vyvracia našu hypotézu.“Sémantika s tromi hodnotami zvládne iba „slabého klamára“, tj vetu, ktorá sa iba slabo neguje, ale nie je zaručené, že je to paradoxné: „Tu sa javí klamár, ale klamú.“

5.2 Zmeny a doplnenia RTT

Zaznamenali sme tri spôsoby zmeny a doplnenia RTT. Najprv by sme mohli obmedziť, ktoré hypotézy sú prijateľné. Napríklad, Gupta a Belnap 1993 zaviesť teóriu, T ^c, o pravde na základe konzistentných hypotézy: hypotéza h zodpovedá práve keď množiny {A: h (A) = t } je kompletný konzistentné sadu viet. Relatívny prínos T ^*, T ^# a T ^c sú diskutované v Gupta a Belnap 1993, kapitola 6.

Po druhé, mohli by sme prijať reštriktívnejšiu politiku v oblasti limitov, než akú prijímajú Gupta a Belnap. Spomeňte na otázku položenú v oddiele 3: Ako by sme mali nastaviť S _η (d), keď η je limitné poradové číslo? Dali sme čiastočnú odpoveď: akýkoľvek objekt, ktorý je až do tejto fázy stabilne pravdivý [nepravdivý], by mal byť v tomto štádiu pravdivý [nepravdivý]. Tiež sme si všimli, že pre objekt d ∈ D, ktorý sa nestabilizuje až do stupňa η, umožňujú Gupta a Belnap 1993 nastaviť S _η (d) ako t alebo f. V podobnom kontexte Herzberger 1982a a 1982b priradí hodnotu f nestabilným objektom. A Gupta pôvodne navrhoval v Gupte 1982, že nestabilné prvky dostanú akúkoľvek hodnotu, ktorú dostali pri počiatočnej hypotéze S ₀.

Tieto prvé dva spôsoby zmeny a doplnenia RTT v skutočnosti obmedzujú pojem revíznej sekvencie tým, že obmedzujú, ktoré z našich revíznych sekvencií sa skutočne počítajú ako prijateľné revízne sekvencie. Obmedzenia sú v istom zmysle miestne: prvé obmedzenie sa dosiahne zavedením obmedzení, na základe ktorých možno použiť hypotézy, a druhé obmedzenie sa dosiahne obmedzením toho, čo sa deje v limitných ordináciách. Treťou možnosťou by bolo zaviesť viac globálnych obmedzení, ktoré sa predpokladané revízne sekvencie považujú za prijateľné. Yaqūb 1993 v skutočnosti navrhuje limitné pravidlo, podľa ktorého prijateľné výroky o nestabilných trestoch v určitom medznom stupni η závisia od rozsudkov vynesených v iných medzných štádiách. Yaqūb tvrdí, že tieto obmedzenia nám umožňujú vyhnúť sa určitým „artefaktom“. Predpokladajme napríklad, že základný model M = <D, I>má dvoch nezávislých klamárov, ktorí majú dve mená a a β, kde I (α) = ¬ T α a I (β) = ¬ T β. Yaqūb tvrdí, že je to iba „artefakt“revíznej sémantiky, naivne prezentovaný, že existujú revízne sekvencie, v ktorých je veta ¬ T α ≡ ¬ T β stabilne pravdivá, pretože obaja klamári sú nezávislí. Jeho globálne obmedzenia sú vyvinuté na vylúčenie takýchto sekvencií. (Pozri Chapuis 1996 pre ďalšiu diskusiu.)

5.3 Teória revízií pre kruhovo definované pojmy

Ako je uvedené v našej diskusii, v oddiele 4 „iff“v dvojstranných podmienkach T, Gupta a Belnap predstavujú RTT ako osobitný prípad teórie revízií kruhovo definovaných konceptov. Aby sme prehodnotili príklad z oddielu 4. Predpokladajme, že L je jazyk s unárnym predikátom F a binárnym predikátom R. Zvážte nový koncept vyjadrený predikátom G zavedený definíciou D takto:

Gx = _df A (x, G)

kde A (x, G) je vzorec

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

V tejto súvislosti je základným modelom klasický model M = <D, I> jazyka L: začneme doménou diskurzu, D a interpretáciou predikátu F a vzťahového symbolu R. Chceli by sme rozšíriť M na interpretáciu jazyka L + G. V tejto súvislosti bude hypotéza považovaná za hypotetické rozšírenie pre novo zavedený koncept G. Formálne je hypotéza jednoducho funkciou h: D → { t, f }. Na základe hypotézy h považujeme M + h za klasický model M + h = <D, I '>, kde I' interpretuje F a R rovnakým spôsobom ako ja a kde I '(G) = h. Pri predpokladanej interpretácii h z G vytvoríme novú interpretáciu G nasledovne: a objekt d ∈ D je v novom rozšírení G iba v prípade, že definujúci vzorec A (x, G) platí pre d v modeli M + h. Formálne používame základný model M a definíciu D na definovanie pravidla revízie, δ _{D, M}, mapovania hypotéz na hypotézy, tj hypotetické interpretácie G na hypotetické interpretácie G. Najmä pre akýkoľvek vzorec B s jednou voľnou premennou x a d ∈ D môžeme štandardným spôsobom definovať pravú hodnotu Val _{M + h, d} (B). potom

ô _{D, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

Vzhľadom k tomu, pravidlo revízie δ _{D, M}, je možné zovšeobecniť pojem sekvencie revízie, ktorý je teraz postupnosť hypotetických rozšírenie G skôr než T. Môžeme zovšeobecniť predstavu, že veta B je stabilne pravdivá, takmer stabilne pravdivá atď., Vzhľadom na postupnosť revízií. Gupta a Belnap zavádzajú systémy S ^* a S ^#, analogické s T ^* a T ^#: ^[10]

Definícia 5.1.

• Veta B platí pre definíciu D na prízemí modelu M v systéme S ^* (zápis M ⊨ _{*, D} B) iff B je stabilne platí vzhľadom ku každej revízii sekvencie pre pravidlá revízne delta _{D, M}.
• Veta B platí pre definíciu D na prízemí modelu M v systéme S ^# (zápis M ⊨ _{#, D} B) práve vtedy, keď B je takmer stabilne platí vo vzťahu ku každej revízii sekvencie pre pravidlá revízne delta _{D, M}.
• Veta B platí pre definíciu D v systéme S ^* (notácia ⊨ _{*, D} B), ak pre všetky klasické pozemné modely M máme M ⊨ _{*, D} B.
• Veta B platí pre definíciu D v systéme S ^# (notácia ⊨ _{#, D} B), ak pre všetky klasické pozemné modely M máme M ⊨ _{#, D} B.

Jednou z otvorených otázok Gupty a Belnapu je to, či pre tieto systémy existuje kompletný počet: to znamená, či je pre každú definíciu D rekurzívne axiomatizovateľná jedna z nasledujúcich dvoch viet: {B: ⊨ _{*, D} B} a {B: ⊨ _{#, D} B}. Kremer 1993 dokazuje, že odpoveď znie nie: ukazuje, že existuje definícia D tak, že každá z týchto skupín viet má zložitosť najmenej Π ¹ ₂, a tým kladie dolnú hranicu na zložitosť S ^* a S ^#. (Antonelli 1994b a 2002 ukazujú, že ide aj o hornú hranicu.)

Kremerov dôkaz využíva intímny vzťah medzi kruhovými definíciami chápanými revíziou - teoreticky a kruhovými definíciami chápanými ako induktívne definície: teória induktívnych definícií sa už nejakú dobu dobre chápe. Kremer predovšetkým dokazuje, že každý induktívne definovaný koncept môže byť definovaný teoreticky. Expresívna sila a ďalšie aspekty revízneho teoretického spracovania kruhových definícií sú témou veľmi zaujímavej práce: pozri Welch 2001, Löwe 2001, Löwe a Welch 2001 a Kühnberger et al. 2005.

5.5 Aplikácie

Vzhľadom na všeobecnú revíziu Guptu a Belnapa - teoretické zaobchádzanie s kruhovými definíciami - ktorých zaobchádzanie s pravdou je špeciálnym prípadom - by sa dalo očakávať, že teoretické myšlienky sa budú uplatňovať na iné koncepty. Antonelli 1994a aplikuje tieto myšlienky na nedôvodné množiny: nedôvodnú množinu X možno považovať za kruhovú, pretože pre niektoré X ₀, …, X _n máme X ∈ X ₀ ∈ … ∈ X _n ∈ X. A Chapuis 2003 aplikuje teoretické myšlienky na racionálne rozhodovanie.

5.5 Otvorená otázka

Uzatvoríme otvorenú otázku o T ^* a T ^#. Spomeňte si na definíciu 3.11, ktorá definuje, kedy veta A jazyka L platí v základnom modeli M pomocou T ^* alebo T ^#. Povieme, že A platí pre T ^* [alternatívne podľa T ^#], ak A platí pre pozemný model M pomocou T ^* [alternatívne pre T ^#] pre každý pozemný model M. Naša otvorená otázka znie: Aká je zložitosť množiny viet platných v T ^* [ T ^#]?

Bibliografia

• Antonelli, GA, 1994, „Zložitosť revízie“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
• Antonelli, GA, 1994, „Neodôvodnené súbory prostredníctvom pravidiel revízie“, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
• Antonelli, GA, 2002, „Zložitosť revízie, revidovaná“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
• Belnap, N., 1982, „Guptovo pravidlo teórie revízie pravdy“, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
• Chapuis, A., 1996, „Alternatívne teórie revízie pravdy“, Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
• Chapuis, A., 2003, „Aplikácia kruhových definícií: racionálne rozhodnutie“, v Löwe, Malzkorn a Räsch (ed.), Základy formálnych vied II: Aplikácie matematickej logiky vo filozofii a lingvistike, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
• Gupta, A., 1982, „Pravda a paradox“, Journal of Philosophical Logic, 11: 1-60.
• Gupta, A., a Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
• Hammer, E., 2003, „Revízna teória pravdy“, Stanfordská encyklopédia filozofie (vydanie z jari 2003), Edward N. Zalta (ed.), URL = ,
• Herzberger, HG, 1982, „Poznámky k naivnej sémantike“, Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
• Herzberger, HG, 1982, „Naivná sémantika a klamársky paradox“, Journal of Philosophy, 79: 479–497.
• Kremer, M., 1988, „Kripke a logika pravdy“, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
• Kremer, P., 1993, „Systémy Gupta-Belnap S ^# a S ^* nie sú axiomatizovateľné“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, S., 1975, „Náčrt teórie pravdy“, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M. a Welch, P., 2005, „Porovnanie indukčných a kruhových definícií: parametre, zložitosť a hry“, Studia Logica, 81: 79–98.
• Löwe, B., 2001 „Revízne sekvencie a počítače s nekonečným časom“, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
• Löwe, B. a Welch, P., 2001, „Teória množín a teória revízie pravdy“, Studia Logica, 68/1: 21–41.
• Martin, R. a Woodruff, P., 1975, „O zastúpení„ True-in-L “v L, Philosophia, 5: 217–221.
• Welch, P., 2001, „O revíznych teóriách pravdy Gupta-Belnap, Kripkeanových pevných bodoch a Nasledujúcej stabilnej množine“, Bulletin for Symbolic Logic, 7: 345–360.
• Yaqūb, A., 1993, klamár hovorí pravdu: Obrana revíznej teórie pravdy, Oxford: Oxford University Press.

Ďalšie internetové zdroje