Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Obsah:

Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Video: Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Video: Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Video: BètaBreak - Topoloog en intuïntionist L.E.J. Brouwer 2024, Marec
Anonim

Toto je dokument v archívoch Stanfordskej encyklopédie filozofie.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Prvýkrát publikované St 26. marca 2003; podstatná revízia 25. septembra 2005

Holandský matematik a filozof, ktorý žil v rokoch 1881 až 1966. Tradične sa uvádza ako LEJ Brouwer s úplnými iniciálami, ale jeho priatelia ho nazývali „Bertus“.

V klasickej matematike založil modernú topológiu napríklad stanovením topologickej invencie dimenzie a vety o fixnom bode. Taktiež dal prvú správnu definíciu dimenzie.

Vo filozofii je jeho duchovným dielom intuicionizmus, revizionistický základ matematiky. Intuitionizmus vníma matematiku ako slobodnú činnosť mysle, nezávislú od akéhokoľvek jazyka alebo platonickej oblasti predmetov, a preto zakladá matematiku na filozofii mysle. Dôsledky sú dvojaké. Po prvé, vedie k forme konštruktívnej matematiky, v ktorej sa odmietajú veľké časti klasickej matematiky. Po druhé, spoliehanie sa na filozofiu mysle zavádza črty, ktoré chýbajú v klasickej matematike, ako aj v iných formách konštruktívnej matematiky: na rozdiel od nich nie je intuitívna matematika náležitou súčasťou klasickej matematiky.

  • 1. Osoba
  • 2. Chronológia
  • 3. Stručná charakteristika Brouwerovho intuície
  • 4. Brouwerov rozvoj intuície
  • Bibliografia
  • Ďalšie internetové zdroje
  • Súvisiace záznamy

1. Osoba

Brouwer študoval na (mestskej) univerzite v Amsterdame, kde jeho najdôležitejšími učiteľmi boli Diederik Korteweg (rovnice Korteweg-de Vries), a najmä filozoficky Gerrit Mannoury. Brouwerovými hlavnými študentmi boli Maurits Belinfante a Arend Heyting; posledne menovaná bola učiteľkou Anny Troelstra a Dirk van Dalena. Brouwerových tried sa zúčastnil aj Max Euwe, neskorší majster sveta v šachu, ktorý publikoval teoreticko-teoretickú knihu o šachu z intuičného hľadiska (Euwe, 1929) a ktorý oveľa neskôr predniesol Brouwerovu pohrebnú reč. Medzi Brouwerovými asistentmi boli Heyting, Hans Freudenthal, Karl Menger a Witold Hurewicz, z ktorých dvaja neboli intuicionisticky naklonení. Najvýznamnejší podporovateľ BrouweraIntuicionizmus mimo Holandska bol v tom čase už niekoľko rokov Hermann Weyl.

Brouwer sa javil ako nezávislý a brilantný muž s vysokými morálnymi normami, ale so zveličeným zmyslom pre spravodlivosť, ktorý ho občas prepálil. V dôsledku toho vo svojom živote energicky bojoval proti mnohým bitkám.

Od roku 1914 do roku 1928 bol Brouwer členom redakčnej rady Mathematische Annalen a bol zakladajúcim redaktorom Compositio Mathematica, ktorý sa prvýkrát objavil v roku 1934.

Bol okrem iného členom Kráľovskej holandskej akadémie vied, Kráľovskej spoločnosti v Londýne, Preußische Akademie der Wissenschaften v Berlíne a Akademie der Wissenschaften v Göttingene.

Brouwer získal čestné doktoráty z univerzít v Oslu (1929) a Cambridge (1954) a v roku 1932 bol rytierom v ráde holandského leva.

Brouwerov archív je vedený na Katedre filozofie na Utrechtskej univerzite v Holandsku. Pripravuje sa vydanie korešpondencie a rukopisov.

2. Chronológia

1881, 27. februára, narodený v Overschie (od roku 1941 časť Rotterdamu), Holandsko.

1897 Na univerzite v Amsterdame študuje matematiku a fyziku.

1904 Získa titul doktorand v odbore matematika; prvá publikácia (o rotáciách v štvorrozmernom priestore); ožení sa s Lize de Holl (nar. 1870). Nemali by deti, ale Lize mala dcéru z predchádzajúceho manželstva. Presťahujú sa do mesta Blaricum neďaleko Amsterdamu, kde budú po celý život žiť, hoci mali aj domy na iných miestach.

1907 Získal titul doktora s dizertačnou prácou Over de Grondslagen der Wiskunde (Na základoch matematiky), pod vedením Kortewega na Amsterdamskej univerzite. Znamená to začiatok jeho intuitívnej rekonštrukcie matematiky. Neskôr v tom roku Brouwerova žena vyštudovala a stala sa lekárnikom. Celý život pre ňu Brouwer robil účtovníctvo a vyplňoval daňové formuláre a niekedy pomáhal za pultom.

1908 Prvá účasť na medzinárodnej konferencii, štvrtej medzinárodnej konferencii matematikov v Ríme.

1909-1913 Brouwer za veľmi produktívne štyri roky zakladá modernú topológiu ako kapitolu klasickej matematiky. Hlavné body: nemennosť dimenzie, veta s pevným bodom, stupeň mapovania, definícia dimenzie. Pauza v jeho intuicionistickom programe.

1909 Stáva sa súkromným docentom (neplatený prednášajúci) na Amsterdamskej univerzite. Úvodná prednáška Het Wezen der Meetkunde (Príroda geometrie).

1909 Spĺňa stretnutie s Hilbertom v holandskom prímorskom letovisku Scheveningen. Brouwer veľa obdivuje Hilberta a ich stretnutie opisuje v liste priateľovi ako „krásny nový lúč svetla cez môj život“(Brouwer & Adama van Scheltema, 1984, s. 100). O dvadsať rokov neskôr sa Brouwerov vzťah s Hilbertom stal kyslým.

1911 Prvé uvedenie mien „formalizmus“a „intuicionizmus“v Brouwerových spisoch, v recenzii knihy Gerrita Mannoury o metodológii a filozofii zur elementaratematiky (metodologické a filozofické poznámky o elementárnej matematike) z roku 1909.

1912 Zvolený člen Kráľovskej akadémie vied (počas 2. svetovej vojny „Holandská akadémia vied“, potom „Kráľovská holandská akadémia vied“).

1912 Menovaný mimoriadny profesor v odbore teórie množín, teórie funkcií a axiomatiky. Jeho filozofická inauguračná prednáška „Intuitionisme en Formalisme“je preložená do angličtiny pod názvom „Intuitionism and Formalism“a stáva sa tak v roku 1913 prvou publikáciou o intuicionizme v tomto jazyku.

1913 Vymenovaný riadny profesor ordinarius, nástupca Kortewega, ktorý veľkoryso ponúkol uvoľniť svoje kreslo za týmto účelom.

1914 Pozvaný na členstvo v redakčnej rade Mathematische Annalen; prijíma česť.

1918 Brouwer začína systematickú intuicionálnu rekonštrukciu matematiky pomocou svojho článku „Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre. “(„Teória zakladateľskej množiny nezávisle od princípu vylúčeného stredu. Prvá časť, Všeobecná teória množín.“)

1919 Prijíma ponuky profesorov v Göttingene av Berlíne; odmietne oboje.

1920 Začiatok „Grundlagenstreit“(zakladateľská debata) Brouwerovou prednáškou na „Naturforscherversammlung“v Bad Nauheimu, uverejnenou v roku 1921 ako „Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch-Entwickelung?“(„Má každé skutočné číslo desatinné rozšírenie?“); umocnený Weylovou obranou intuicionizmu v roku 1921, „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“(„O novej základnej kríze matematiky“); Hilbert odpovedal v roku 1922, „Neubegründung der Mathematik“(„Nové základy matematiky“).

1920 „Intuitionistische Mengenlehre“(„Intuitionistic Theory Theory“) je prvým dielom intuitívnej matematiky v medzinárodne publikovanom časopise Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

1922 Spolu s Gerritom Mannouryom zakladá autor Frederik van Eeden a ďalšie „Signifische Kring“(„Signific Circle“), spoločnosť, ktorá sa zameriava na duchovný a politický pokrok prostredníctvom jazykovej reformy, počnúc myšlienkami stanovenými Viktóriou. Lady Welby vo svojom dokumente „Zmysel, význam a interpretácia“(Welby, 1896). Kruh ukončí svoje stretnutia v roku 1926, Mannoury však pokračuje v práci.

1926 prednáška v Göttingene; v dôsledku skupinovej večere v dome Emmy Noetherovej sú Hilbert a Brouwer (na krátku dobu) opäť v dobrých podmienkach.

1927 prednáškový cyklus v Berlíne; v publiku je jeho neskorší asistent Freudenthal. Denník Berliner Tageblatt navrhuje verejnú diskusiu medzi Brouwerom a Hilbertom, ktorá sa má konať na jej stránkach, ale z nejakého dôvodu sa to nerealizuje. Brouwer nedokončí ani knihu, ktorú by napísal nemecký vydavateľ Walter de Gruyter. Prednášky a neúplná kniha sú publikované posmrtne (Brouwer, 1992).

1928 - 10. marca a 14. marca: dve prednášky vo Viedni. Gödel je v publiku, rovnako ako Wittgenstein. Hovorí sa, že vďaka prvej prednáške sa Wittgenstein vrátil k filozofii. Brouwer trávi deň s Wittgensteinom.

1928 - apríl: rozhovory s Husserlom, ktorý je prednášať v Amsterdame.

1928 Konflikt na bolonskej konferencii. Nemeckí matematici sú po prvýkrát od ukončenia prvej svetovej vojny opäť prijatí na medzinárodnú konferenciu, ale nie celkom rovnocenní. Brouwer trvá na tom, že to nie je spravodlivé a že pokiaľ sa s Nemcami nebude zaobchádzať lepšie, konferencia by mala byť bojkotovaná. Hilbert, ktorý nesúhlasí s týmto názorom, je Brouwerovou činnosťou veľmi znepokojený a zúčastňuje sa na konferencii ako vedúci nemeckej delegácie, najväčšej súčasnosti.

1928-1929 „Mathematische Annalenstreit“, konflikt v redakčnej rade Mathematische Annalen. Hilbert si myslí, že má čoskoro zomrieť, cíti potrebu ubezpečiť sa, že po jeho smrti nebude Brouwer príliš vplyvný a nezákonným spôsobom ho vylúči z hracej plochy. [Hilbertova motivácia, ako je opísaná v tomto dokumente, je dokumentovaná v listoch od ľudí, ktorí sú mu blízki: Carathéodory Einstein, 20. októbra 1928; Blumenthal vydavateľovi a redaktorom Mathematische Annalen, 16. novembra 1928; Narodený 20. novembra 1928 v Einsteine. Kópie týchto listov sú v Brouwerovom archíve na Utrechtskej univerzite. Relevantné citácie z nich možno nájsť v publikácii van Dalen, 2005, s. 604 a s. 613]. Einstein, člen predstavenstva, odmieta podporovať Hilbertovu činnosť a nechce mať nič spoločné s celou aférou;väčšina ostatných členov správnej rady nechce Hilberta podráždiť. Brouwer prudko protestuje. Nakoniec je celá doska rozpustená a okamžite zostavená bez Brouwera, v silne zmenšenej veľkosti (najmä pokles Einstein a Carathéodory). Konflikt Brouwera mentálne zlomí a izoluje a končí vo svojej tvorbe veľmi kreatívnym desaťročím. Teraz, keď dvaja hlavní súťažiaci už nie sú schopní pokračovať, je „Grundlagenstreit“ukončený. Teraz, keď dvaja hlavní súťažiaci už nie sú schopní pokračovať, je „Grundlagenstreit“ukončený. Teraz, keď dvaja hlavní súťažiaci už nie sú schopní pokračovať, je „Grundlagenstreit“ukončený.

1928-1930 Konflikt s Karlom Mengerom nad prioritou prvého správneho vymedzenia pojmu dimenzia.

1929 august: krádež Brouwerovej kufríka na električke v Bruseli a jeho matematického poznámkového bloku. Keď ani polícia, ani súkromný detektív, ktorý bol na tento účel prijatý, ho nedokážu nájsť znova, zúfalo by si želal zrekonštruovať jeho obsah. Brouwer neskôr povedal, že táto strata bola nápomocná pri zmene jeho hlavného záujmu z matematiky na filozofiu.

1929 Začína príprava na založenie nového matematického časopisu.

1934 Vystúpenie prvého čísla vlastného medzinárodného časopisu Brouwer s názvom Compositio Mathematica.

1934 Prednáškový cyklus v Ženeve.

1935-1941 člen mestskej rady Blaricum za miestnu neutrálnu stranu (v roku 1939 vyhral voľby získaním 310 z 1601 hlasov).

1940-1945 Počas nemeckej okupácie Holandska v druhej svetovej vojne pomáha Brouwer odporu a snaží sa pomáhať svojim židovským priateľom a jeho študentom. V roku 1943 radí študentom podpísať vyhlásenie o lojalite, ktoré požadujú Nemci. Súčasťou jeho vysvetlenia po vojne je to, že podpísanie by študentom poskytlo relatívny mier potrebný na vybudovanie a vykonávanie odbojových aktivít. Stretol sa so skepticizmom. Z tohto dôvodu a niektorých podobných, možno nešťastných pokusov o šialenstvo počas okupácie, je po oslobodení na niekoľko mesiacov pozastavený. Hlboko urazený Brouwer zvažuje emigráciu do Južnej Afriky alebo USA.

1942 Znovu publikuje tri krátke poznámky o intuicionálnych základoch, prvú od roku 1933.

1945-1950 Konflikt nad časopisom Compositio Mathematica. Časopis sa neobjavil počas vojny a vynakladá sa úsilie na jeho oživenie. Ťažkosti so zostavením novej redakčnej rady vznikajú v dôsledku poškodenej povesti Brouwera. Nakoniec Brouwerove meno zostane na titulnej strane, ale v skutočnosti je odstránené z rady časopisu, ktorý založil.

1947-1951 Každoročná séria prednášok v anglickom Cambridge. Brouwer ich plánuje zmeniť na knihu, ale to sa nestane. Dopĺňa však päť z plánovaných šiestich kapitol, ktoré sú publikované posmutne (Brouwer, 1981).

1948 Obnovuje svoj zakladajúci program papierom, ktorý využíva predstavu stvoriteľského subjektu. Začiatok ďalšieho tvorivého obdobia.

1949 nesúhlasí s plánom uverejnenia jeho zozbieraných dokumentov z dôvodu, že nemá čas písať anotácie, ktoré by odrážali jeho originál, ako aj jeho súčasné názory na ne, čo považuje za vedecky zodpovedné.

1951 Dôchodcovia z University of Amsterdam. Zmiernenie jeho vzťahu s Arendom Heytingom, jeho nástupcom na poste riaditeľa Matematického ústavu, v dôsledku nezhody o presnej úlohe, ktorú tam mohol Brouwer stále zohrávať.

1952 Prednášky v Londýne a Kapskom Meste.

1953 Prednášky v Helsinkách, kde býva u von Wright. Prednáškové turné po USA (okrem iného MIT, Princeton, Wisconsinská univerzita - Madison, Berkeley, Chicago) a Kanade (Kanadský matematický kongres v Kingstone, Ontário). V Princetone navštevuje Gödel.

1955 Publikuje svoj posledný nový príspevok (na základe prednášky na konferencii Boole v Dubline o rok skôr).

1959 Smrť pani Brouwerovej, 89 rokov. Brouwer odmietne ponuku na 1-ročnú pozíciu na University of British Columbia vo Vancouveri.

1962 Brouwerovi sa ponúklo miesto v Montane.

1966 2. decembra: zomrel v Blaricume v Holandsku, vo veku 85 rokov, keď ho pred jeho domom zasiahlo auto.

3. Stručná charakteristika Brouwerovho intuície

Na základe svojej filozofie mysle, na ktoré boli Kant a Schopenhauer hlavnými vplyvmi, charakterizoval Brouwer matematiku predovšetkým ako voľnú aktivitu presného myslenia, činnosť, ktorá je založená na čistej intuícii (vnútorného) času. Žiadna nezávislá oblasť objektov a žiadny jazyk nehrajú zásadnú úlohu. Snažil sa tak vyhnúť Scylle platonizmu (s jeho epistemologickými problémami) a Charybdisu formalizmu (s chudobou obsahu). Pretože podľa Brouwera neexistuje determinant matematickej pravdy mimo pôsobenia myslenia, výrok sa stane skutočnosťou iba vtedy, keď subjekt zažil svoju pravdu (vykonaním vhodnej mentálnej konštrukcie); podobne,výrok sa stane nepravdivým, iba ak subjekt zažil svoju klamstvo (uvedomením si, že vhodná mentálna konštrukcia nie je možná). Preto Brouwer môže tvrdiť, že „neexistujú žiadne neskúsené pravdy“(Brouwer, 1975, s. 488).

Brouwer bol pripravený nasledovať jeho filozofiu mysle až do jej konečných záverov; to, či je rekonštruovaná matematika zlučiteľná alebo nekompatibilná s klasickou matematikou, bolo druhoradou otázkou a nikdy nebolo rozhodujúce. Pri udeľovaní priority filozofie pred tradičnou matematikou sa ukázal ako revizionista. A zatiaľ čo intuicionálna aritmetika je podsystémom klasickej aritmetiky, v analýze je situácia iná: nie všetky klasické analýzy sú intuicionálne prijateľné, ale ani intuicionistické analýzy nie sú klasicky prijateľné. Brouwer tento dôsledok z celého srdca prijal.

4. Brouwerov rozvoj intuície

Brouwerova malá kniha Život, umenie a mystika z roku 1905, zatiaľ čo nevyvíjala jeho základy matematiky ako takej, je kľúčom k týmto základom, ktoré boli vyvinuté v jeho dizertačnej práci, na ktorej súčasne pracoval a ktorá bola ukončená o dva roky neskôr. Kniha obsahuje okrem iných vecí, ako sú napríklad notoricky známe názory na spoločnosť a najmä ženy, svoje základné myšlienky o mysli, jazyku, ontológii a epistemológii.

Tieto myšlienky sú aplikované na matematiku v jeho dizertačnej práci Over de Grondslagen der Wiskunde (Na základoch matematiky), obhajovanej v roku 1907; je to všeobecná filozofia a nie paradoxy, ktoré iniciujú rozvoj intuicionizmu (keď sa to začalo, objavili sa riešenia paradoxov). Rovnako ako Kant, Brouwer zakladá matematiku na čistej intuícii času (zatiaľ čo on odmieta čistú intuíciu priestoru).

Brouwer zastáva názor, že matematika je v podstate beznádejná činnosť a že jazyk môže opisovať matematickú aktivitu až po tom, čo sa stalo. To ho vedie k odmietnutiu axiomatických prístupov k akejkoľvek základnej úlohe v matematike. Logiku tiež koncipuje ako štúdium vzorcov v lingvistickom stvárnení matematickej činnosti, a preto logika závisí od matematiky (ako štúdia vzorov) a nie naopak. Práve tieto úvahy ho motivujú k tomu, aby zaviedol rozdiel medzi matematikou a metamatematikou (pre ktorú použil termín „matematika druhého poriadku“), ktorú Hilbertovi vysvetlil v rozhovoroch v roku 1909.

S týmto názorom sa Brouwer chystá rekonštruovať cantoriánsku teóriu množín. Ak pokus (v návrhu dizertačnej práce) o vytvorenie konštruktívneho zmyslu z Cantorovej druhej triedy čísel (trieda všetkých nespočetne nekonečných ordinálov) a vyšších tried ešte väčších ordinálov zlyhá, uvedomí si, že to nie je možné a odmietne vyššie číselné triedy, ponechávajúc iba všetky konečné ordinály a nedokončenú alebo otvorenú zbierku denominovateľne nekonečných ordinálov. Preto v dôsledku svojich filozofických názorov vedome odsúva časť všeobecne akceptovanej matematiky. Čoskoro urobil to isté so zásadou logiky, so zásadou vylúčeného stredu (PEM), ale v dizertačnej práci si to stále myslí ako v poriadku, ale k ničomu, interpretujúc p ∨ ¬ p ako ¬ p → ¬ s.

V knihe „De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes“(„Nespoľahlivosť logických princípov“) z roku 1908 Brouwer všeobecne formuluje svoju kritiku PEM: hoci v jednoduchej forme p ∨ ¬ p nebude zásada nikdy viesť k v rozpore, existujú príklady, pre ktoré človek konštruktívne nemá pozitívny dôvod na to, aby ich pravdil. Niektoré Brouwer pomenujú. Pretože v prísnom zmysle slova nevyvracajú PEM, sú známe ako „slabé protipoložky“. Ďalšiu diskusiu o tejto téme nájdete v doplnkovom dokumente:

Slabé protiklady

Inovácie, ktoré dávajú intuicionizmus oveľa širšiu škálu ako iné odrody konštruktívnej matematiky (vrátane tej z Brouwerovej dizertačnej práce), sú výberové sekvencie. Sú to potenciálne nekonečné sekvencie čísel (alebo iných matematických objektov), ktoré si jeden matematik zvolil jeden po druhom. Výberové sekvencie sa prvýkrát objavili ako intuicionisticky prijateľné objekty v recenzii kníh z roku 1914; v Brouwerových prednáškach z roku 1916 bol formulovaný princíp, vďaka ktorému sú matematicky sledovateľné, princíp kontinuity. Hlavným využitím výberových sekvencií je rekonštrukcia analýzy; body na kontinuu (reálne čísla) sú identifikované pomocou postupnosti výberu, ktorá spĺňa určité podmienky. Výberové sekvencie sa zhromažďujú spolu pomocou zariadenia nazývaného „šírenie“,ktorý plní funkciu podobnú funkcii kantoriánskeho súboru v klasickej analýze, a spočiatku Brouwer dokonca používa slovo „Menge“(„set“) pre pomazánky. Brouwer rozvíja teóriu nátierok a teóriu bodových množín na nej založenú v dvojdielnom dokumente z rokov 1918/1919 „Begründung der Mengenlehre unabhängig vom Satz vom ausgeschlossenen Dritten“(„teória zakladajúcej množiny nezávisle od princípu vylúčených“). Middle ).

Odpoveď na otázku v názve Brouwerovej noviny „Má každé skutočné číslo desatinné rozšírenie?“(1921) sa ukazuje byť nie. Brouwer demonštruje, že je možné zostaviť výberové sekvencie, ktoré spĺňajú Cauchyovu podmienku, že ich presný vývoj závisí od zatiaľ otvoreného problému. Až do vyriešenia otvoreného problému nie je možné vytvoriť desatinné rozšírenie; z Brouwerovho prísneho konštruktivistického pohľadu to znamená, že až do vyriešenia otvoreného problému neexistuje žiadne desatinné rozšírenie. V tomto zmysle je možné zostaviť reálne čísla (tj konvergujúce výberové sekvencie), ktoré nemajú desatinné rozšírenie.

V roku 1923 vymyslel Brouwer opäť s použitím výberových sekvencií a otvorených problémov všeobecnú techniku, teraz známu ako „Brouwerovské protipoložky“, ktorá generuje slabé protipříklady klasických princípov („Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik“, „Na Význam zásady vylúčeného stredu v matematike “).

Základné vety intuicionistickej analýzy - tyčová veta, ventilátorová veta a kontinuálna veta - sa nachádzajú v „Über Definitionsbereiche von Funktionen“(„O doménach definícií funkcií“) z roku 1927. Prvé dve sú štruktúrne vety o rozšíreniach; tretí (nezamieňať sa so zásadou kontinuity pre výberové sekvencie) uvádza, že každá celková funkcia [0,1] → ℜ je súvislá a rovnomerne súvislá. Veta ventilátora je v skutočnosti dôsledkom barovej vety; v kombinácii s princípom kontinuity, ktorý nie je klasicky platný, poskytuje vetu o kontinuite. Pri klasickej analýze by obe časti vety boli nepravdivé. Na druhej strane, tyčinky s vetrom a vetrom sú klasicky platné, aj keď klasické a intuitívne dôkazy pre nich nie sú zameniteľné. Klasické dôkazy nie sú intuične prijateľné, pretože závisia od princípu vylúčeného stredu; intuicionálne dôkazy nie sú klasicky prijateľné, pretože závisia od úvah o štruktúre mentálnych dôkazov. V tejto úvahe Brouwer predstavil pojem „úplne analyzovanej“alebo „kanonickej“formy dôkazu, ktorý by Martin-Löf a Dummett prijali oveľa neskôr. V poznámke pod čiarou Brouwer uvádza, že také dôkazy, ktoré identifikuje s mentálnymi predmetmi v mysli subjektu, sú často nekonečné.ktorý by prijal oveľa neskôr Martin-Löf a Dummett. V poznámke pod čiarou Brouwer uvádza, že také dôkazy, ktoré identifikuje s mentálnymi predmetmi v mysli subjektu, sú často nekonečné.ktorý by prijal oveľa neskôr Martin-Löf a Dummett. V poznámke pod čiarou Brouwer uvádza, že také dôkazy, ktoré identifikuje s mentálnymi predmetmi v mysli subjektu, sú často nekonečné.

„Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus“(„Intuitionist Reflections on Formalism“) z roku 1928 identifikuje a diskutuje o štyroch kľúčových rozdieloch medzi formalizmom a intuícionizmom, pričom všetky sa týkajú buď úlohy PEM alebo vzťahu medzi matematikou a jazykom. (Tu sa Brouwer v poznámke pod čiarou odvoláva na rozhovory s Hilbertom z roku 1909.) Brouwer zdôrazňuje, ako to urobil vo svojej dizertačnej práci, že formalizmus predpokladá obsahovú matematiku na kovovom poli. Tu tiež predstavuje svoj prvý silný protiklad, vyvrátenie jednej formy PEM, preukázaním, že je nepravdivé, že každé skutočné číslo je racionálne alebo iracionálne. Ďalšiu diskusiu o tejto téme nájdete v doplnkovom dokumente:

Silné protiklady

Z dvoch prednášok, ktoré sa konali vo Viedni v roku 1928 - „Mathematik, Wissenschaft und Sprache“(„Matematika, veda a jazyk“) a „Die Struktur des Kontinuums“(ďalej len „Štruktúra kontinua“) - prvá má filozofickú povahu zatiaľ čo druhý je viac matematický. V časti „Matematika, veda a jazyk“Brouwer uvádza svoje všeobecné názory na vzťahy medzi tromi predmetmi uvedenými v názve, postupuje podľa genetického prístupu a zdôrazňuje úlohu vôle. Dlhšia verzia tejto prednášky bola predstavená v holandskom jazyku v roku 1932 ako „Willen, Weten, Spreken“(„Volition, Knowledge, Language“); obsahuje prvé explicitné poznámky k pojmu, ktorý existoval od začiatku, teraz známy ako pojem „idealizovaný matematik“alebo „tvoriaci predmet“.

Prednáška „Vedomie, filozofia a matematika“z roku 1948 opäť prechádza Brouwerovou filozofiou mysle a niektorými jej dôsledkami pre matematiku. V porovnaní so životom, umením a mystikou, prvá viedenská prednáška a „Willen, Weten, Spreken“odhaľuje, že Brouwerova všeobecná filozofia sa v priebehu rokov značne rozvinula, ale iba do hĺbky.

V roku 1949 publikuje Brouwer (1949a) prvý príklad novej triedy silných protipoložiek, triedy, ktorá sa líši od Brouwerovho predchádzajúceho silného protipříkladu (1928, pozri vyššie) v type argumentu, ktorý sa teraz nazýva „vytváranie“argument subjektu “, zahŕňa zásadný odkaz na časovú štruktúru matematickej aktivity tvoriaceho subjektu (Heyting, 1956, kapitoly III a VIII; van Atten, 2003, kapitoly 4 a 5).

Brouwerov príklad ukazuje, že existuje prípad, keď princíp dvojitej negácie vo forme ∀ x ∈ℜ (¬¬ P (x) → P (x)) vedie k rozporu („De non aequivalentie van de Constructieve en de Negatieve Orderelatie in het Continuum “,„ Nerovnosti konštruktívneho a negatívneho vzťahu k kontinuu “). Prvá publikácia tejto novej triedy silných protikladov (a všeobecne silných protikladov) v angličtine musela počkať do roku 1954, v „Príklad protikladnosti v klasickej teórii funkcií“. Tento polemický názov by sa mal chápať takto: ak človek dodržiava písmeno klasickej teórie, ale vo svojej interpretácii nahrádza intuicionistické predstavy za svoje klasické náprotivky, dochádza k rozporu. Nejde teda o príklad v prísnom slova zmysle,ale skôr výsledok neinterpretovateľnosti. Pretože intuicionálna logika je formálne súčasťou klasickej logiky a intuicionistická aritmetika je súčasťou klasickej aritmetiky, existencia silných protikladov musí závisieť od v podstate neklasickej zložky, a to je samozrejme výberová sekvencia.

Argument vytvárajúceho predmetu je po predchádzajúcom zavedení postupnosti výberu a dôkazu barovej vety nový krok vo využívaní subjektívnych aspektov intuicionizmu. Neexistuje žiadny zásadný dôvod, prečo by mal byť posledný.

Bibliografia

Texty od Brouwera

Takmer všetky dokumenty Brouwer nájdete v

  • Brouwer, LEJ, 1975, Zbierané diela 1. Filozofia a základy matematiky, A. Heyting (ed.), Amsterdam: Severný Holland.
  • Brouwer, LEJ, 1976, Collected Works 2. Geometry, Analysis, Topology and Mechanics, H. Freudenthal (ed.), Amsterdam: North-Holland.

V Zbieraných dielach boli dokumenty v holandčine preložené do angličtiny, ale dokumenty vo francúzštine alebo nemčine nie. Anglické preklady niekoľkých z nich nájdete v

  • van Heijenoort, J., ed., 1967, od Frege po Gödel. A Sourcebook in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge (MA): Harvard University Press.
  • Mancosu, P., ed., 1998, z Hilbert do Brouwer. Debata o základoch matematiky v 20. rokoch, Oxford: Oxford University Press.

Anglický preklad Brouwerovej malej knihy Leven, Kunst en Mystiek z roku 1905, v ktorej Zbierané diela obsahujú iba výňatky, je

Brouwer, LEJ, 1996, 'Life, Art and Mysticism', Notre Dame Journal of Formal Logic, 37 (3): 389-429. Preložil Walter van Stigt, ktorý uvádza úvod na str. 381-387

V Berlíne boli uverejnené prednášky z Berlína z roku 1927

Brouwer, LEJ, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag

Cambridgeove prednášky z rokov 1946-1951, ktoré sa odporúčajú ako Brouwerov vlastný úvod k intuicionizmu, boli uverejnené ako

Brouwer, LEJ, 1981, Brouwer's Cambridge Lectures on Intuitionism, D. van Dalen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press

Osobitný životopisný, zatiaľ neprekladaný vzťah, je korešpondencia medzi Brouwerom a jeho priateľom, socialistickým básnikom CS Adama van Scheltema, ktorý pokrýva roky 1898-1924:

Brouwer, LEJ a Adama van Scheltema, CS, 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdam: De Arbeiderspers

Citované primárne texty ostatnými

  • Euwe, M., 1929, 'Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel', Ned. Akad. Wetensch. Proc., 32: 633-644.
  • Hilbert, D., 1922, 'Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung ', Hamburger Math. Seminarabhandlungen, 1: 157-177. Anglický preklad „The New Grounding of Mathematics: first report“in (Mancosu 1998).
  • Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
  • Welby, V., 1896, 'Sense, Význam and Interpretation', Mind, NS, 5 (17): 24-37; (18): 186-202.
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik', Mathematische Zeitschrift, 10: 39-79. Anglický preklad „O novej základnej matematickej kríze“v (Mancosu 1998).

Sekundárna literatúra

  • van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont (CA): Wadsworth.

    Filozofický úvod do intuicionizmu, ako ho koncipoval Brouwer, s rozsiahlym spracovaním dôkazu o barovej vete, vytvárajúcom subjekte a intersubjektivitou

  • van Dalen, D., 1990, „Vojna žiab a myší alebo Kríza Mathematische Annalen“, Mathematical Intelligencer, 12 (4): 17-31.
  • van Dalen, D., 1999/2005, Mystic, Geometer a Intuitionist, 2 zväzky, Oxford: Clarendon Press.

    Štandardná biografia Brouwera. Zväzok 1, Dawningová revolúcia, pokrýva roky 1881-1928, zväzok 2, Nádej a rozčarovanie, pokrýva roky 1929-1966

  • van Dalen, D., 2001, LEJ Brouwer 1881-1966. Een Biografie. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Amsterdam: Bert Bakker.

    Populárna biografia v 1 zväzku, holandčina

  • Dummett, M., 1977, Elements of Intuitionism, Oxford: Oxford University Press. 2. vydanie, 2000, Oxford: Clarendon Press.

    Prehľad intuicionizmu. Filozoficky sa zdá, že je bližšie k Wittgenstein ako k Brouwerovi

  • Hesseling, DE, 2003, Gnomes in the Fog. Prijatie Brouwerovho Intuitionizmu v 20. rokoch, Bazilej: Birkhauser.

    , Podrobná historická diskusia o reakciách na Brouwerov zrelý intuicionizmus počas základnej debaty

  • Heyting, A., 1956, Intuitionism. Úvod, Amsterdam: Severný Holland. 2., revidované vydanie, 1966. 3., revidované vydanie, 1971.

    Pravdepodobne najvplyvnejšia kniha na túto tému. V štýle, ktorý je viac terénny a oecumenický ako Brouwerov, predstavuje Heyting intuicionálne verzie rôznych základných predmetov v každodennej matematike. Brouwer a Heyting majú niektoré filozofické nezhody, ktoré menia ich ocenenie niektorých aspektov intuitívnej matematiky. K tejto knihe nie sú známe žiadne komentáre Brouwera

  • Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, Paríž: Vrin.

    Prehľad intuicionizmu, ktorý je v blízkosti Brouwera a ukazuje dobrý zmysel historického pozadia Brouwerovej predstavy o intuícii

  • Placek, T., 1999, Mathematical Intuitionism and Intersubjectivity, Dordrecht: Kluwer.

    Porovnanie argumentov pre intuicionizmus, ktoré predložili Brouwer, Heyting a Dummett, najmä s ohľadom na možnosť intersubjektívnej platnosti intuicionistickej matematiky

  • van Stigt, W., 1990, Brouwer's Intuitionism, Amsterdam: North-Holland.

    Obsahuje zaujímavé filozofické diskusie a poskytuje anglické preklady materiálov z archívu Brouwer. Biografický náčrt bol nahradený (van Dalen, 1999/2005) a (van Dalen, 2001)

Ďalšie internetové zdroje

  • Recenzia Hesselingových škriatkov v hmle vo Vestníku symbolickej logiky (postscript)
  • Dirk van Dalen's Brouwer bibliography (Postscript)

[Kontaktujte autora a požiadajte ho o ďalšie návrhy.]

Odporúčaná: